Misalkan P adalah sebuah titik pada bidang E, dan misalkan r adalah bilangan positif. Lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r adalah himpunan semua titik Q di E yang jaraknya dari P sama R. Dua lingkaran atau lebih yang pusatnya sama disebut konsentris.
"Misalkan P adalah sebuah titik pada bidang E" - Ini berarti kita memperkenalkan sebuah titik tertentu yang dinotasikan sebagai P yang berada di bidang E. Bidang E adalah konteks atau tempat di mana lingkaran akan dibentuk.
"Misalkan r adalah bilangan positif" - Ini mengasumsikan bahwa r adalah suatu bilangan positif yang akan digunakan sebagai jari-jari lingkaran yang akan dibentuk.
"Lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r" - Ini menggambarkan pembentukan lingkaran di bidang E, dengan titik P sebagai pusatnya dan jarak dari P ke setiap titik di lingkaran tersebut adalah sejauh r (jari-jari).
"Himpunan semua titik Q di E yang jaraknya dari P sama R" - Ini menjelaskan bahwa semua titik Q di bidang E, yang jaraknya dari P adalah sejauh r (jari-jari), membentuk lingkaran tersebut.
Jika Q adalah sembarang titik pada lingkaran, maka ruas PQ adalah jari-jari lingkaran, dan Q disebut ujung luarnya. Jika Q dan R adalah dua titik pada lingkaran, maka a segmen QR adalah tali busur lingkaran. Tali busur yang mempunyai pusat disebut a diameter lingkaran. Ternyata panjang setiap diameternya adalah angka 2r. Angka 2r ini disebut diameter lingkaran. (Perhatikan bahwa kata radius adalah digunakan dalam dua pengertian. Ini bisa berarti angka r atau segmen PQ. Tapi itu akan terjadi selalu mudah untuk membedakan mana yang dimaksud. Ketika kita berbicara tentang radius, yang kita maksud adalah nomor r, dan ketika kita berbicara tentang jari-jari, yang kita maksud adalah sebuah segmen. Demikian pula untuk dua penggunaan kata diameter.)
Bagian dalam lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang yang jaraknya dari pusat lebih kecil dari jari-jarinya. Bagian luar lingkaran adalah himpunan semua titik-titik pada bidang yang jaraknya dari pusat lebih besar dari jari-jarinya.
Definisi yang sesuai untuk bola di ruang angkasa sangat mirip. Mereka adalah sebagai berikut.
Diberikan titik P dan bilangan positif r. Bola dengan pusat P dan jari-jari r adalah himpunan semua titik Q yang jaraknya dari P sama dengan r. Dua atau lebih bidang dengan pusat yang sama disebut konsentris.
Jika Q adalah sembarang titik pada bola, maka ruas PQ adalah jari-jarinya bola, dan Q disebut ujung luarnya. Jika Q dan R adalah dua titik pada bola, maka segmen QR disebut tali busur bola. Akord yang berisi pusatnya disebut diameter bola. Terbukti panjang setiap diameternya adalah angka 2r. Angka 2r disebut diameter bola.
Bagian dalam bola adalah himpunan semua titik yang jaraknya dari pusat lebih kecil dari jari- jarinya. Bagian luar bola adalah himpunan semua titik yang jarak dari pusat lebih besar dari jari- jarinya.
Garis Potong dan Garis Singgung.
Teorema Garis-Lingkaran
Diberikan sebuah lingkaran C dan garis L pada bidang yang sama. Jika garis dan lingkaran mempunyai satu dan hanya satu titik persekutuan, maka garis tersebut disebut garis singgung, dan titik
persekutuan disebut titik singgung, atau titik kontak. Jika garis memotong lingkaran di lebih dari satu titik, disebut garis potong. Berikut ini-
TEOREMA 1.
Jika suatu garis tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran di bagian terluarnya ujung, maka garis tersebut merupakan garis singgung.
BUKTI. Misalkan C adalah lingkaran yang berpusat di P ; misalkan PQ adalah jari-jari, dan misalkan L tegak lurus terhadap PQ di Q (Gbr. 16.4). Jika R adalah titik lain dari L, maka PR > PQ,
karena ruas terpendek yang menghubungkan suatu titik dengan suatu garis adalah ruas yang tegak lurus. Oleh karena itu R berada di bagian luar C. Oleh karena itu L memotong C hanya di Q
dan karenanya merupakan garis singgung
Hal sebaliknya juga benar.
TEOREMA 2. Setiap garis singgung. sebuah lingkaran tegak lurus terhadap jari-jarinya ditarik ke
■
titik kontak.
BUKTI. Misalkan C adalah lingkaran yang berpusat di P, dan misalkan L bersinggungan dengan C di Q.
Misalkan Q bukan kaki tegak lurus P ke L, dan misalkan R adalah
titik yang merupakan kaki tegak lurus. Dengan postulat konstruksi segmen (atau teorema konstruksi segmen, menurut bab di mana
Anda lihat), ada titik S dari L sedemikian rupa sehingga Q-R-S dan RQ = RS. Oleh Teorema Pythagoras, diterapkan dua kali, kita punya
P R2+R S2=P S2, P R2+R Q2=P Q2. Jadi PS = PQ, S terletak pada lingkaran, dan L bukan garis singgung. ❑ Bukti teorema berikut cukup jelas.
. Gambar 16.29 C Gambar 16.30 T Machine Translated by Google
