kelompok 1 kapita selekta tentang fungsi dan macamnya

MAKALAH

(PENGERTIAN FUNGSI DAN MACAMNYA, KOMPOSISI FUNGSI DAN SIFATNYA, SERTA FUNGSI INVERS)

Makalah Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kapita Selekta Pendidikan Matematika

Disusun Oleh Kelompok 1:

1. Novi Kurniawan (P2A923009) 2. M Nazipurahman (P2A923019)

Dosen Pengampu:

Prof. Dr. Drs. Syaiful, M.Pd.

Dr. Dra. Mujahidawati, M.Si.

PROGRAM STUDI PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JAMBI 2024

i

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah puji syukur kepada Allah SWT, Tuhan Yang Maha Kuasa yang selalu memberikan limpahan nikmat dan berkah kepada kita, sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat dan salam atas Nabi SAW pembawa risalah pencerahan dan risalah ilmu pengetahuan bagi manusia. Pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada Dosen Pengampu yang telah bersedia memberikan bimbingannya dalam penyelesaian makalah ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan dan dukungannya hingga makalah ini dapat diselesaikan.

Penulis sangat berharap makalah ini dapat digunakan dalam rangka menambah wawasan, pengetahuan, serta penunjang atau referensi materi terkait Pengertian Fungsi dan Macamnya, Komposisi Fungsi dan Sifatnya, serta Fungsi Invers pada mata kuliah Kapita Selekta Pendidikan Matematika. Makalah ini jauh dari kata sempurna, untuk itu, jika ada kritik dan saran yang dapat membangun makalah ini kearah yang lebih baik lagi kami dengan senang hati menerima dan memperbaiki makalah selanjutnya dengan baik. Akhir kata, semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi semua orang.

Jambi, September 2024

Tim Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... i DAFTAR ISI... ii BAB I Pendahuluan

1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Rumusan Masalah ... 2 1.3 Tujuan ... 2 BAB II Pembahasan

2.1 Pengertian Fungsi dan Macamnya ... 3 2.2 Komposisi Fungsi dan Sifatnya ... 9 2.3 Fungsi Invers ... 12 BAB III Penutup

3.1 Kesimpulan ... 16 3.2 Saran ... 16 DAFTAR PUSTAKA ... 17

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Matematika merupakan salah satu disiplin ilmu yang sangat erat dengan suatu bilangan. Matematika juga merupakan bahasa, dimana bahasa pada matematika tidak memiliki makna ambigu (ganda) yaitu selalu pasti. Matematika banyak memegang peran penting dalam pemecahan masalah disetiap bidang kehidupan. Kemampuannya menerjemahkan berbagai fenomena kehidupan dalam bahasa matematika sebagai ilmu dasar yang harus dikuasai oleh setiap orang.

Hubungan antara satu elemen himpunan tepat dengan satu elemen pada himpunan yang lain disebut fungsi. Dalam fungsi ada yang dikenal dengan grafik, grafik fungsi ini menggambarkan hubungan matematik antara dua variabel atau lebih.

Fungsi merupakan konsep dasar dalam matematika yang digunakan untuk menggambarkan hubungan antara dua himpunan. Setiap elemen pada himpunan pertama (domain) dipasangkan dengan tepat satu elemen pada himpunan kedua (kodomain).

Pemahaman yang baik mengenai fungsi sangat penting karena fungsinya sering kali diaplikasikan dalam berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, dan ilmu komputer. Dalam konteks ini, penting untuk memahami pengertian fungsi serta berbagai macam jenis fungsi yang ada, seperti fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi eksponensial, dan lainnya, yang masing-masing memiliki karakteristik tersendiri.

Selain pengertian dasar, fungsi juga memiliki konsep lanjutan yang dikenal sebagai komposisi fungsi, yaitu proses menggabungkan dua fungsi sehingga hasil dari satu fungsi menjadi input bagi fungsi lainnya. Komposisi ini memainkan peran penting dalam mempermudah analisis dan perhitungan berbagai masalah matematika yang kompleks.

Lebih lanjut, komposisi fungsi juga memiliki sifat-sifat khusus, seperti asosiatif, yang mempermudah manipulasi aljabar dalam menyelesaikan persamaan dan masalah fungsional lainnya.

Penting juga untuk mempelajari sifat-sifat dari fungsi itu sendiri. Sifat-sifat seperti injektif (satu-ke-satu), surjektif (onto), dan bijektif (satu-ke-satu dan onto) adalah aspek mendasar dalam memahami struktur dan perilaku fungsi. Dengan mengetahui sifat-sifat ini, kita dapat menentukan apakah suatu fungsi memiliki invers, yang sangat penting dalam konteks pemetaan balik dalam berbagai aplikasi matematika.

Fungsi invers adalah kebalikan dari fungsi asli, di mana fungsi invers mengubah output dari fungsi menjadi input semula. Tidak semua fungsi memiliki invers, hanya

fungsi yang bijektif yang dapat memiliki invers. Pemahaman tentang fungsi invers sangat krusial dalam berbagai aplikasi praktis, seperti pemrograman komputer, kalkulus, dan pemodelan matematika di mana diperlukan pemetaan balik untuk menyelesaikan suatu masalah.

Pada dasarnya konsep “fungsi” merupakan hal yang penting dalam berbagai cabang matematika. Dalam banyak hal fungsi diterapkan dalam berbagai bidang untuk menyelesaikan persoalan-persoalan baik dalam bidang tehnik, ekonomi, dan bidang lain yang mempelajari hubungan-hubungan antar variabel, dimana variabel satu sama lainnya saling pengaruh mempengaruhi dan dapat diukur, seperti jarak dan waktu dapat diiukur, sehingga dapat dikatakan bahwa jarak adalah fungsi dari waktu.

Dengan demikian, makalah ini akan membahas secara mendalam mengenai konsep fungsi beserta berbagai jenisnya, komposisi fungsi dan sifat-sifatnya, serta fungsi invers.

Pembahasan ini diharapkan dapat memberikan pemahaman yang komprehensif dan aplikatif bagi para pembaca dalam menggunakan konsep fungsi dalam kehidupan sehari- hari maupun dalam bidang akademis.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun yang akan dibahas pada makalah ini adalah : 1) Apa itu fungsi dan macamnya?

2) Bagaimana komposisi fungsi dan sifatnya?

3) Apa itu fungsi invers?

1.3 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui lebih mendalamtentang:

1) Untuk mengetahui apa itu fungsi dan macamnya.

2) Untuk mengetahui bagaimana komposisi fungsi dan sifatnya.

3) Untuk mengetahui apa itu fungsi invers.

3 BAB II PEMBAHASAN

2.1 Fungsi dan Macamnya 2.1.1 Pengertian fungsi

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi dari A ke B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

Jika f adalah suatu fungsi dari A ke B, maka:

- himpunan A disebut domain (daerah asal),

- himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dan himpunan anggota B yang pasangan (himpunan C) disebut range (hasil) fungsi f.

Aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota - anggota himpunan B disebut aturan fungsi f.

Misal diketahui fungsi-fungsi:

f : A → B ditentukan dengan notasi f(x) g : C → D ditentukan dengan notasi g(x)

Untuk lebih memahami tentang fungsi, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh soal

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu fungsi f : A → B ditentukan oleh f(x) = 2x – 1.

1. Gambarlah fungsi f dengan diagram panah.

2. Tentukan range fungsi f.

3. Gambarlah grafik fungsi f.

Penyelesaian

b. Dari diagram di atas, terlihat bahwa:

f(x) = 2x – 1 f(1) = 2 ⋅ 1 – 1 = 1 f(2) = 2 ⋅ 2 – 1 = 3 f(3) = 2⋅ 3 – 1 = 5 f(4) = 2⋅ 4 – 1 = 7

Jadi, range fungsi f adalah {1, 3, 5, 7}.

2.1.2 Macam-macam fungsi

1) Fungsi Konstan (Fungsi Tetap)

Suatu fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.

Contoh soal

Diketahui f : R → R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3 ≤ x < 2}. Tentukan gambar grafiknya.

Penyelesaian

5 2) Fungsi Linear

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x)

= ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

Contoh soal

Jika diketahui f(x) = 2x + 3, gambarlah grafiknya.

Penyelesaian

3) Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = a𝑥² + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.

Contoh soal

Perhatikan gambar di bawah ini, fungsi f ditentukan oleh f(x) = 𝑥² + 2x – 3.

Tentukanlah:

a. Domain fungsi f.

b. Nilai minimum fungsi f.

c. Nilai maksimum fungsi f.

d. Range fungsi f.

e. Pembuat nol fungsi f.

f. Koordinat titik balik minimum

Penyelesaian

a. Domain fungsi f adalah {x | –4 ≤ x < 2}.

b. Nilai minimum fungsi f adalah –4.

c. Nilai maksimum fungsi f adalah 5.

d. Range fungsi f adalah {y | –4 ≤ y ≤ 5}.

e. Pembuat nol fungsi f adalah –3 dan 1.

f. Koordinat titik balik minimum grafik fungsi f adalah (–1, –4).

4) Fungsi Identitas

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x.

Contoh soal

Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.

a. Carilah f(–2), f(0), f(1), f(3).

b. Gambarlah grafiknya.

Penyelesaian a. f(x) = x

f(–2) = –2 f(0) = 0 f(1) = – 1 f(3) = 3 b. Grafiknya:

5) Fungsi Tangga (Bertingkat)

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.

7 Contoh soal

Tentukan interval dari:

a. f(–2) b. f(0) c. f(3) d. f(5)

e. gambar grafiknya.

Penyelesain a. f(–2) = –1 b. f(0) = 0 c. f(3) = 2 d. f(5) = 3 e. grafiknya:

6) Fungsi Modulus

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

7) Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.

Contoh soal

Tentukan fungsi f di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak genap dan tidak ganjil.

a. f(x) = 4𝑥³ + 3x b. f(x) = 2 cos x – 4 c. f(x) = 2𝑥² + 3x Penyelesaian a. f(x) = 4𝑥³ + 3x

f(–x) = 4(–x)³ + 3(–x)

= –4𝑥³ – 3x

= –(4𝑥³ + 3x)

= –f(x)

Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi ganjil.

b. f(x) = 2 cos x – 4 f(x) = 2 cos (–x) – 4

= 2 cos x – 4

Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi genap.

c. f(x) = 2𝑥² + 3x

f(–x) = 2(–x)² + 3(–x)

= 2x² - 3x

Fungsi f(–x) ≠ f(x) dan f(–x) ≠ –f(x).

Jadi, fungsi f(x) adalah tidak genap dan tidak ganjil

9 2.2 Komposisi Fungsi dan Sifatnya

2.2.1 Pengertian komposisi fungsi

Fungsi hasil pengkombinasian atau penggabungan fungsi-fungsi lain dengan syarat tertentu disebut fungsi komposisi.

Jika 𝑓: 𝐴 → 𝐵 yang dinyatakan dengan pasangan terurut 𝑓 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ∈ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑔: 𝐵 → 𝐶 yang dinyatakan dengan pasangan terurut 𝑔 = {(𝑦, 𝑧)|𝑦 ∈ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑧 ∈ 𝐶} dengan fungsi h adalah komposisi f dan g. definisi ini

digambarkan sebagai berikut

Fungsi 𝑕(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) adalah komposisi dari fungsi f dan g, dengan demikian dinamakan fungsi komposisi. Komposisi disimbolkan oleh " ◦ ". Bentuk g(f(x)) ditulis sebagai (𝑔 ◦ 𝑓)(𝑥) atau

𝑕(𝑥) = (𝑔 ◦ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g ° f) adalah irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong, atau 𝑅𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ≠ Ø.

Untuk menjelaskan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya, dapat dilakukan dengan dua cara berikut ini.

 Dengan menentukan rumus komposisinya terlebih dahulu, kemudian disubstitusikan nilainya.

 Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi yang akan dicari.

Contoh soal

1. Jika f(x) = 3𝑥² dan g(x) = x - 4, tentukan g ° f(x).

2. Jika g(x) = 2x + 4 dan h(x) = 𝑥² + 2x +5, tentukan h ° g(x).

Penyelesain

1. g ° f(x) = g {f (x)} = f(x) - 4 = 3𝑥² - 4 2. h ° g(x) = h{g(x)} = {g(x)}² + 2{g(x)} + 5

= (2x + 4)² + 2(2x + 4) + 5

= 4𝑥² + 16x + 16 + 4x + 8 + 5

Jika f : A  B ; g : B  C ; h : C  D, maka berlaku:

i. ( fog)( x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif) ii. (( fog) oh)( x) = ( fo( goh))( x) (sifat asosiatif) iii. ( fo I)( x) = ( Iof)( x) = f( x) (elemen identitas)

= 4𝑥² + 20x + 29 2.2.2 Sifat-sifat komposisi fungsi

Contoh soal

1. Diketahui f(x) = 2x – 1, g(x) = 𝑥² + 2.

a. Tentukan (g ◦ f)(x).

b. Tentukan (f ◦ g)(x).

c. Apakah berlaku sifat komutatif: g ◦ f = f ◦ g?

Penyelesaian

a. (g ◦ f)(x) = g(f(x))

= g(2x – 1)

= (2x – 1)² + 2

= 4𝑥² – 4x + 1 + 2

= 4𝑥² – 4x + 3 b. (f ◦ g)(x) = f(g(x))

= f(𝑥² + 2)

= 2(𝑥² + 2) – 1

= 4𝑥² + 4 – 1

= 4𝑥² + 3

c. Tidak berlaku sifat komutatif karena g ◦ f ≠ f ◦ g.

2. Diketahui f(x) = 𝑥² , g(x) = x – 3, dan h(x) = 5x.

a. Tentukan (f ◦ (g ◦ h))(x).

b. Tentukan ((f ◦ g) ◦ h)(x).

c. Apakah f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h, mengapa?

Penyelesaian

a. (f ◦ (g ◦ h))(x) = ….

Misal p(x) = (g ◦ h)(x)

= g(h(x))

11

= g(5x)

= 5x – 3 Soalnya menjadi

(f ◦ (g ◦ h)(x)) = (f ◦ p)(x)

= f(p(x))

= f(5x – 3)

= (5x – 3)2

= 25𝑥² – 30x + 9 b. ((f ◦ g) ◦ h)(x) = ….

Misal s(x) = (f ◦ g)(x)

= f(g(x))

= f(x – 3)

=(x – 3)2

Soalnya menjadi:

((f ◦ g) ◦ h)(x) = (s ◦ h)(x)

= s(h(x))

= s(5x)

= (5x – 3)2

= 25𝑥² – 30x + 9

c. Ya, (f ◦ (g ◦ h))(x) = ((f ◦ g) c h)(x) sebab berlaku sifat asosiatif.

3. Diketahui f(x) = 5x – 2 dan I(x) = x.

Buktikan I ◦ f = f ◦ I = f.

Bukti

(I ◦ f)(x) = I(f(x))

= I(5x – 2)

= 5x – 2 (f ◦ I)(x) = f(I(x))

= f(x)

= 5x – 2

Tampak bahwa I ◦ f = f ◦ I = f (terbukti).

2.3 Fungsi Invers

2.3.1 Pengertian Fungsi Invers

Fungsi invers adalah pemetaan yang memiliki arah berlawanan dengan fungsinya. Misalkan suatu fungsi memetakan dari himpunan A ke B. Maka, yang dimaksud fungsi invers adalah fungsi yang memetakan dari B ke A. Suatu fungsi memiliki fungsi invers, tetapi tidak semua fungsi memilikinya. Berikut adalah syarat agar invers suatu fungsi merupakan fungsi.

Perhatikan fungsi g(x) berikut ini dengan g : A → B

Apabila fungsi g dibalik, maka diperoleh relasi R1. Relasi R1 disebut invers (kebalikan) fungsi g. Apakah relasi R1 merupakan fungsi? Selanjutnya perhatikan fungsi f dengan f : A→ B pada gambar (ii). Apabila fungsi f dibalik, maka diperoleh relasi R2. Relasi R2 merupakan invers fungsi f. Apakah relasi R2 merupakan fungsi.

Pada relasi R1, ada anggota B yang tidak memiliki pasangan di A. Sehingga relasi R1 bukan merupakan fungsi. Sedangkan pada relasi R2, semua anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A, sehingga relasi R2 merupakan fungsi. Fungsi R2 ini selanjutnya disebut sebagai fungsi invers dari f, atau f ^-1. Dari contoh diatas, dapat disimpulkan bahwa f ^-1 ada apabila f dalam keadaan berkorespondensi satu-satu atau f adalah bijektif.

Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara berikut ini.

 Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.

 Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).

 Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = 𝑓⁻¹(x).

13 Contoh soal

Jika diketahui 𝑓(𝑥) = ^𝑥

𝑥 +4 , x ≠ –4, tentukan inversnya.

Penyelesaian

Misal f(x) = ,y, maka soalnya menjadi: 𝑦

y(x + 4) = x yx + 4y = x yx – x = –4y (y – 1)x = –4y

𝑥 = ^−4𝑦

𝑦−1

𝑓(𝑦) = ^−4𝑦

𝑦−1

𝑓⁻¹(𝑥) = ^−4𝑦

𝑦−1

2.3.2 Invers dari fungsi komposisi

Jika terdapat fungsi komposisi (g ◦ f), maka (g ◦ f) dapat dipandang sebagai suatu fungsi tunggal, sehingga pada fungsi tersebut dapat dicari inversnya.

Perhatikan diagram berikut.

Dari gambar diagram di atas f : A → B, g : B → C, dengan f dan g berkorespondensi satu-satu sedermikian sehingga h = g ◦ f, maka 𝑕⁻¹ = 𝑓⁻¹ ◦ 𝑔⁻¹. Dalam hal ini (g ◦ f)⁻¹ = 𝑕⁻¹ = disebut fungsi invers dari fungsi komposisi, sehingga diperoleh sifatsifat berikut ini.

(𝒈 ◦ 𝒇)^−𝟏 = 𝒇^−𝟏 ◦ 𝒈^−𝟏(𝒙).

(𝒇 ◦ 𝒈)^−𝟏 = 𝒈^−𝟏 ◦ 𝒇^−𝟏(𝒙).

Contoh soal

1. Diketahui fungsi f : R → R dan g : R → R dengan ketentuan f(x) = 3x + 2, g(x) = x - 4.

Tentukan:

a. 𝑓⁻¹ (x) b. 𝑔⁻¹(𝑥)

c. (𝑔 ◦ 𝑓)⁻¹ (x) d. (𝑓 ◦ 𝑔)⁻¹ (x) Penyelesaian

a. f(x) = 3x +2 misal y = f(x)

f(x) = 3x + 2 y = 3x + 2 y - 2 = 3x

𝑥 = ^𝑦-2

3

Jadi, 𝑓⁻¹(𝑥) = ^𝑥-2

3

b. g(x) = x - 4 misal y = g(x)

g(x) = x - 4 y = x - 4 y + 4 = x

x = y + 4 Jadi 𝑔⁻¹(x) = x + 4 c. (g ◦ f)(x) = g(f(x)

= g (3x + 2)

= 3x + 2 - 4

= 3x – 2 misal y = (g ◦ f)(x) (g ◦ f)(x) = 3x – 2

y = 3x – 2 y + 2 = 3x

𝑦+2 = x

3

x = ^𝑦+2

3

15 Jadi (𝑔 ◦ 𝑓)⁻¹ (x)= 𝑥+2

3

d. (f ◦ g)(x) = f(g(x)

= f(x - 4)

= 3(x - 4) + 2

=3x - 12 + 2

=3x - 10 misal y = (f ◦ g)(x) (f ◦ g)(x) = 3x - 10 y = 3x - 10

x = 𝑦+10 3

Jadi (𝑓 ◦ 𝑔)⁻¹ (x) = 𝑥+10 3

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (codomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil (range).

Relasi khusus dua himpunan yang menghubungkan setiap anggota himpunan daerah asal dengan tepat satu anggota himpunan kawan disebut fungsi. Dalam fungsi terdapat grafik fungsi yang dapat menggambarkan hubungan variabel dalam persamaanfungsi.

Dengan mengenal jenis-jenis fungsi sambil mempelajari bahwa fungsi biasa digunakan dalam bidang peternakan. Konsep fungsi ini digunakan untuk memberikan gambaran konkrit dari sebuah analisis dilihat dari segi perhitungan matematika. Jenis-jenis fungsi yakni fungsi constant, fungsi linear, fungsi kuadarat, fungsi identitas, fungsi tangga, fungsi modulus, fungsi ganjil dan genap, serta fungsi fungsi invers.

3.2 Saran

Pada materi dimakalah ini, penulis sangat berharap bagi pembaca memberikan masukan dan kritik agar penulis bisa memperbaiki kekurangan yang ada pada makalah ini agar menjadi lebih baik.

17

DAFTAR PUSTAKA

Diky Susanto, dkk. 2021. Matematika SMA/SMK Kelas X1. Jakarta: Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Badan Penelitian dan Pengembangan dan Perbukuan Pusat Kurikulum dan Perbukuan.

Sulistiyono. 2008. Seri Pedalaman Materi Matematika Program IPA. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama