matematika ekonomi difrensi fungsi sederhana

,Kata Pengantar

Puji syukur diucapkan ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat-Nya sehingga makalah ini dapat tersusun sampai dengan selesai. Tidak lupa kami mengucapkan terima kasih terhadap bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan

sumbangan baik pikiran maupun materinya.

Penulis sangat berharap semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi pembaca. Bahkan kami berharap lebih jauh lagi agar makalah ini bisa pembaca praktikkan dalam kehidupan sehari-hari.

Bagi kami sebagai penyusun merasa bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan makalah ini karena keterbatasan pengetahuan dan pengalaman Kami.

Untuk itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

Sekian terimakasih.

Tangggal, 16 Agustus 2023

i

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

BAB I

1.1 LATAR BELAKANG

Dalam kehidupan masyarakat modern, matematika dipandang sebagai ilmu

pengetahuan masa kini yang meliputi tentang berhitung dan ilmu ukur ruang. Oleh karena itu di butuhkan pemikiran secara logis, rasional, dan eksa agar dapat menyelesaikan berbagai masalah. Seperti hanya ilmu ilmu yang lain matemaika juga memiliki asepek teoritik dan aspek terapan atau praktik, meski tidak mudah untuk membedakan mana yang tergolong matematika terapan. Hal ini di sebabkan oleh keabstrakan dari objek – objek kajian matematika, meski tidak sedikit teori – teori dalam matematika yang di bangun dari realitas lingkungan manusia.

Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yangbersangkutan. Dengan diferensial dapat pula disidik kedudukan - kedudukan khusu dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimumnya, jika ada. Berdasarkan manfaat- manfaatnya inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis ekonomi. Sebagaimana diketahui, analaisis dalam sangat penting dalam bisnis dan ekonomi sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan minimum.

Di dalam diferensial juga menyangkut fungsi yang mengandung hanyasatu variabel bebas dan persamaannya. Pengertian diferensial hakekat derivative kaidah – kaidah doferensial pemggunaannya dalam penyidikan titik ekstrim sebuah fungsi dan penerapan ekonominya di uraikan disini.

1.2 RUMUSAN MASALAH

1. Bagaimana kuesion diferensi dan derivative?

2. Apa saja kaidah – kaidah diferensiasi?

3. Bagaimana derivative dari derivative?

4. Bagaimana hubungan antara fungsi dan derivatifnya?

1.3 TUJUAN PENULISAN

1. Dapat mengetahui kuosien diferensi dan derevatif 2. Dapat mengetahui apa saja kaidah kaidah diferensiasi 3. Dapat mengetahui bagaimana derevatif dari derefatif

4. Dapat mengetahui hubungan antara fungsi dan derivativenya.

1

BAB II PEMBAHASAN

II.1 Kuesion Diferensi dan Deveratif

Diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalambisnis dan ekonomi karena :

 Membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.

 Menentukan kedudukan – kedukan khusus dari fungsi, seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimum.

Jika y =f (x) dan terdapat tambahan variabel bebas x sebesar ∆x (baca;’’delta x

‘’),maka persamaannya dapat di tulis menjadi : y = f (x)

y+ ∆ y =f (x + ∆x) ∆ y = f (x + ∆) – y ∆ y = f (x + ∆x) – f (x)

Dimana ∆x adalah tambahan x, sedangkan ∆y adalah tambahan y akibat adanya tambahan x jadi

∆y karena adanya ∆x. Apabila pada persamaan (1) ruas kiri dan ruas kanan sama – sama di bagi

∆x, maka di peroleh :

∆ y

∆ x=f(x+∆ x)

∆ x

Bentuk ∆y/ ∆ x inilah yang disebut sebagai hasil bagi perbedaan kuosien diferensi, yang mencerminkan tingkat perubahan rata rata variabel terikat y terhadap

perubahan variabel bebas x. Proses penurunan fungsi di sebut juga proses diferensiasi → merupakan penentuan limit suatu kuosien diferensi (∆x sangat kecil ). Hasil proses diferensiasi dinamakanturunan atau derivatife.

Proses penurunan sebuah fungsi disebut juga proses pendeferensian atau diferensiasi pada dasarnya merupakan penentuan limit suatu kuosien diferensi dalam hal pertambahan variabel bebasnya sangat kecil atau mendeketi nol. Hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi tersebut dinamakan turunan dan deviratif (devirative).

Cara menuliskan turunan dari suatu dapat dilakukan dengan beberapa macam notasi atau

lambing. Dari berbagai macama notasi turunan fungsi yang di tunjukan di atas, yang paling lazim digunakan ialah bentuk dy/dx (baca; deye’ deeks bukan deye bagi deeks).

II.2 Kaidah – Kaidah Diferensiasi

Secara umum memebentuk umum dsebuah fungsi dapat dilakukan dengan cara lebih dulu menemukan kuosien diferensialnya, kemudia menentukan limit kuosien

diferensi tersebut untuk pertambahan variabel bebas mendekati nol. Berikut sejumlah yang dapat digunakan untuk menurunkan berbabagai bentuk fungsi.

1. Diferensi konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta maka dy/dx = 0 Contoh y = 5→ dy/dx = 0

2. Diferensi fungsi pangkat konstanta dengan fungsi

Jika y = x³ , dimana nadalah konstanta, maka dy/dx= xnⁿ Contoh : y = x³→ dy/dx = 3−1=¿3x²

3x^¿ 3. Diferensi perkalian kostanta dengan fungsi

Jika y = kv, dimana v = h (x), → dy/dx = 5 k dv/dx Contoh : y = 5x³→ dy/dx = 5 (3x²) 15 x² 4. Difrensi pembagaian konstantadengan fungsi

Jika y = k/v , dimana v = h (x), maka : dy

dx=kdv/dx v² Contoh: y = 5

x^3' dy

dx=−5(3x²)

(

x³

)

2 = −15x²

x⁶ 5. Diferensi Penjumlahan / Pengurangan fungsi

Jika y = u ± v dimana u g ( x ) dan v h (x) Maka dy/dx = du/dx ± dv/dx.

Contoh : = 4x²+x³→ u=4x² du/dx =8x → v=x³ dv/dx = 3x² dx/dy = du/dx + dv/dx = 8x + 3x² 6. Diferensiasi perkalian fungsi

Jika y = uv, dimana u = g (x), dan v = h ( x ) Maka dy

dx=dv

dx ± v dy dx

Contoh : y = x² (4x²)¿ ) dy

dx=udv

dx± v du dx

4

(

x²

)(

3x²

)

+

(

x³

)

(8x)=12x⁴+8x⁴=20x⁴ 3 7. Diferensial pembagian fungsi

Jika y= u

v ' dimanau=g(x)dan v=h(x) Maka dy

dx=v du dx−udv

dx v²

y = 4x² 3² dv

dx= du dxudv

dx v²

=

x³¿²

¿

¿

(

x³

)

(8x)−

(

4x²

)

(3x²)

¿

8. Diferensi fungsi komposit

Jika y = ƒ (u) sedangkan u = g (x), dengan kata lain y = ƒ

{

g(x)

}

, maka dy

dx×du dx

Contoh y = (4 x³+5¿² misalnya u = 4 x³+5, sehingga y = u² du

dx12x²dandy

dx = 2u dy

dx=dy dx×du

dx2u

(

12x²

)

=2

(

4x²+5

) (

12x²

)

96x⁵+120x²

9. Diferensiasi fungsi berpangkat

Jika y= uⁿ , dimana u= g(x), dan n adalah kontanta, maka dy

dx=nuⁿ⁻¹×du dx

Contoh :

(

4x³+5

)

misalnya u=4x³+5→du

dx=12x² dy

dx=nuⁿ⁻¹×du

dx = 2

(

4x³+5

)

+12x²=96x⁵+120x²

Kaidah ke 9 ini mirip dengan kaidah ke 8, dan memang merupakan kasus khusus ; yakni jika u=ƒ(x) = x, sehingga y= uⁿ=xⁿ maka, dy/dx =

¿

nuⁿ⁻¹¿ yang lain adalah kaidah ke 2).

10. Diferensiasi fungsi logaritmik Jika y = alogx , maka dy

dx= 1 x∈a Contoh : y= 5 log 2 , maka dy

dx= 1

x∈a= 1 2∈5 4

II.3 Derivatif dari Derivatif.

Tergantung pada derajatnya. Sesungguhnya setiap fungsi dapat diturunkan lagi dari satu kali. Dengan perkataan lain, turunannya masih bisa diturunkan lagi. Turunan pertama (first derivative)sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atau (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama, turunan ketiga (third derivative ) adalah turunan dari turunan kedua dan seterusnya.

Fungsi awal : y = f (x) Turunan pertama : _y² Turunan kedua : y n Turunan ketiga : y’n Contoh :

y = f (x) = x³−4x²+5x−7 y’ = dy/dx = 3 _x²_−8x+5 yn’’ = d²y / dx² = 6x - 8 yn’’’= _d³_y / _dx³ = 6 y’’’’ = d⁴ / d⁴=0

derivatife yang di peroleh derivatife dari sebuah fungsi dinamakan derivatife berderajat lebih tinggi (higher order derivatives). Derivative pertama dari derivatfe kedua sebagai bermanfaat untuk menelaah fungsi yang bersangkutan. Sebagaimana akan ditunjukan sub hb berikut.besar kecilnya harga atau nilai derivative pertama dan nilai derifatif kedua dapadi gunakan untuk menentukan posisi posisi khusus dari kurva fungsi (non- linear) yang bersangkutan.

A. Hubungan Antara Fungsi dan Deferensinya

Pedekatan kulkulus diferensi amat berguna untuk menyidik bentuk gambar suatu fungsi (non- linear). Dengan menegetahui besarnya harga dari turunan pertama (first Derivatife ) dan turunan kedua ( second derivative)sebuah fungsi akan dapat dikenali untuk gambar dari fungsi tersebut. Secara berurutan seksi seksi ini berikut akan membahas hubungan antara fungsi non-linear dari deratif pertamanya, guna untuk mengetahui kurvanya apakah menaik apakah menurun pada kedudukan tertentu.

Hubungan antara fungsi perabiotik dan derivatifenya, guna untuk mengetahui letak dan

5

bentuk titik ekstrimnya (maksimum dan minimum nya) , serta hubungan antara fungsi kubik dan derivatife nya guna mengetahui letak ekstrimserta titik beloknya.

Akan tetapi sebelum itu marilah kita perhstikan secara umum dari sebuah fungsi dan fungsi turunanya.

1. Hubungan secara umum antara fungsi dari fungsi turunanya.

Berdasarkan kaidah diferensiasi dapat disimpulkan bahwa turunan dari suatu fungsi berderajat “n” adalah sebuah fungsi berderajat “n-1”. Dengan kata lain, turunan dari suatu fungsi berderajat 3, adalah sebuah fungsi berderajat 2, turunan dari fungsi berderajat 2adalah sebuah fungsi berderajat , turunan dari fungsi berderajat 1 adalah sebuah fungsi berderajat0 alias sebuah konstanta, dan akhirnya turunan dari sebuah kontanta adalah 0.

Contohnya :

y = f (x) = 1/3 x³−4x²+12x−5 ……….. fungsi kubik y’ = dy/dx = _x²_−8x+12 ………... fungsi kuadrat y’’ = d²y / dx² = 2x -8………... fungsi linear y’’’ = _d³ _y / _dx³₌₂ ……….. konstanta 2. Fungsi menaik dan fungsi menurun

Derivatife pertama dari sebuah fungsi non- linear dapat di pergunakan menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun

pada kedudukan tertentu. Dalam kasus khusus derivative pertama dapat pula menunjukan titik ekstrim sebuah fungsi non – linear. fungsi deferatif pertama dari fungsi y = f(x) yakni f (x) adalah lereng taksiran.

Dari kurva yang mencerminkan fungsi y = f(x). Berarti untuk y = f(x) pada kedudukan tertentu x= a, f (a) merupakan lereng kurva y = f (x) pada kedudukan x

= a. Positif negatifnya nilai f (a) akan menentukan menaik atau menurunnya fungsi y = f(x) pada x = a. Jika dervatifnya pertama f(a) > 0 (lereng kurvanya positif pada x = a), maka y =f(x) menaik manakala x bertambah sesudah x = a.

Sedangkan jika derivatif pertamanya f'(a) < 0 (lereng kurvanya negatif pada x = a), maka y = f(x) merupakan fungsi menurun pada kedudukan x = a; yakni y = f(x) menurun manakala x bertambah sesudah x = a.

3. Uji tanda

Apabila derivative pertama f (x) = 0, berarti y = f (x) berada di titik ekstimnya.

Guna menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum ataukah titik minimum.perlu dilakukan uji tanda terhadap f (a)=0, jika f (x) > 0 untuk x <a dan f (x) <0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya titik maksimum.

Sedangkan jika f (x) <0 untuk x <a dan f (x) > 0 untuk x> a, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.

6 Contoh :

Tentukan apakah y = f (x) 1/3 x³−4x²+12x−5 merupakan fungsi menarik ataukah fungsi menurun pada x=5 dan x= 7. Selidiki pula untuk x=6.

f (x) = _x²_−8x=12

f (5) = 5²−8(5)=12=−3<0, berarti y =f (x) menurun pada x= 5 f (7) = 7²−8(7)+12=5>0, berarti y = f (x) menaik pada x=7

f (6) = 6²−8(6)=12=0 , berarti y = f(x) berada di titik elstrim = 6 ini tidak minimum.

4. Titik ekstrim fungsi parabolik.

Dalam hal y = f (x) adalah sebuah fungsi parabolik, derivative pertama berguna untuk menentukan letak titik ckstrimnya, sedangkan derivative kedua untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan.

Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan mereka secara grafik.

y= f(x)=x2-8x+12 ………. fungsi parabolik y’’ = f(x)=dy/dx=2x-8………fungsi linear y"=d2y/dx 2 = 2 ……….. konstanta

4), tepat pada saat turunan pertama dari fungsi parabolik tadi (yakni fungsi linear y' - 2x-8)sama dengan nol. Pada y' 0, nilai variabel bebas x = 4, dan parabola tersebut mencapai titik

ekstrimnya yaitu pada kedudukan x = 4 dan y = 4, Nilai y = -4 untuk fungsi parabolik ini diperoleh melalui substitusi x = 4 ke dalam persamaan parabolanya.

Penentuan titik ekstrim suatu fungsi parabolik dapat pula dilakukan dengan pendekatan diferensial. Absis dari titik ekstrim fungsi parabolik y = f(x) adalah x pada y' = 0, sedangkan kordinatnya adalah y untuk x pada y' - 0. kemudian untuk menegetahui apakah titik ekstrimnya berupa titik maksimum ataukah titik minimum, dengan kata lain untuk mengetahui apakah parabolanya terbuka ke bawah atukah terbuka ke atas, dapat disidik melalui turunan kedua dari fungsi paraboliknya yaitu y". Apabila y" < 0, bentuk parabolanya terbuka ke bwah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum. Sebaliknya jika y">0, bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik minnimum. Jadi, ringkasnya:

• Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y' - 0

jika y" < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum.

Jika y’’’> 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik, minimum.

7

Contoh :

Misalnya y = x2 =6x – 2 Maka y = -2x + 6 Y = 2<0

Karena y’’ < 0 maka bentuk parabolanya terbuka ke bawah titik ekstrimnya adalah titik maksimum.

Syarat maksimum: y’ = 0 -2x +6 =0, x= 3 Untuk x= 3 y = ( 3

¿ ¿²+6(3)−2=7

8

BAB III PENUTUPAN.

III.1 Kesimpulan

Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi schubungan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan, Derivasi adalah hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi.

Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi schubungan dengan

perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat pula disidik kedudukan - kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik

maksimum, titik minimum dan titik beloknya jika ada.

Teori Diferensial amat lazim diterapkan dalam konsep elastisitas, konsep nilai marjinal dan

konsep optimisasi. Dalam kaitannya dengan konsep elastisitas pada sub bab ini secara berurutan akan dibahas penerapan diferensial dan penghitungan elastisitas berbagai variabel ekonomi.

Sedangkan dalam kaitannya dengan konsep marjinal dan konsep optimisasi, akan dibahas penerapan diferensial dalam pembentukan fungsi atau penghitungan nilai marjinal dan berbagai variabel ekonomi, serta penetuan niai optimum dari fungsi variabel yang bersangkutan.

9 III.2 Daftar Pustaka

Suci MR , Desi DC. , Ahmad Z, Reka S, Putri A, Cindy P, M. Ari F. diferensial fungsi sederhana. manajmen Aprin Palembang,

UIN Sultan Syarif Kasim , (2021), diferensial fungsi sederhana matematika ekonomi.

https://www.studocu.com/id/document/universitas-islam-negeri-sultan-syarif- kasim/manajemen/diferensial-fungsi-sederhana/46265630?origin=home-recent-3.

10 Daftar Isi

KATA PENGANTAR ……….. i

DAFTAR ISI ………... ii

BAB I PENDAHULUAN ………... 1

I.1 Latar Belakang ……….... 1

I.2 Rumusan Masalah……… 1

I.3 Tujuan Penulisan ………. BAB II PEMBAHASAN………... 2

II.1 Kuesion Deferensi Deferatif……….. 2

II.2 Kaidah kaidah diferensi………. 5

II.3 Derifative dari derivative ……….. 8

BAB III PENUTUPAN………... 9 III.1 Kesimpulan………... 9 III. 2 Daftar Pustaka……….. 10

ii

MATEMATIKA EKONOMI

“ Diferensial Fungsi Sederhana”

Di susun oleh :

Suci Maha Rani 2306211161 Desi Dwi Cahyani 2306211015

Ahmad Zafir 2306211217 Reka Saputra 230621117 Putri Aliyah 2306211067 Cindy Patricia 2306211099

Muhammad Ari Firmansyah 2306211113 Bunga Vilia Sira