MAKALAH KALKULUS
PERAN INTEGRAL DALAM MENGHITUNG LUAS DAN VOLUME
Dosen Pengampu: Cukri Rahmi Niani,S.Pd.,M.Si
Disusun Oleh:
MAULIDA
(2405903040052)
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS TEUKU UMAR
2024
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena dengan rahmat dan karunia-Nya, penulis dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik. Makalah ini disusun sebagai bagian dari tugas pada mata kuliah KALKULUS untuk membahas salah satu penerapan konsep kalkulus, khususnya integral, dalam dunia medis, yaitu untuk menghitung dosis obat yang tepat pada pasien.
Integral merupakan konsep matematika yang sangat penting dalam banyak bidang ilmu, termasuk teknik medis. Dalam pengobatan, terutama dalam pemberian dosis obat, perhitungan yang tepat sangat diperlukan agar efek terapeutik yang diinginkan tercapai tanpa menimbulkan efek samping yang merugikan pasien. Oleh karena itu, pemahaman dan penerapan integral dalam menghitung dosis obat sangat penting dalam praktik medis.
Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, baik dari segi isi maupun penulisan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan demi perbaikan pada makalah ini di masa yang akan datang. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ibu Cukri Rahmi Niani,S.Pd.,M.Si yang telah memberikan bimbingan serta kepada pihak-pihak yang telah memberikan dukungan dalam penyusunan makalah ini.
Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang berguna mengenai penerapan integral dalam teknik medis, khususnya dalam perhitungan dosis obat yang tepat. Semoga bermanfaat bagi dunia pendidikan dan pengembangan ilmu pengetahuan, khususnya dalam bidang teknik medis.
BAB I
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Integral merupakan salah satu konsep dasar dalam kalkulus yang sangat penting untuk memahami dan menghitung akumulasi atau perubahan suatu kuantitas yang terakumulasi sepanjang suatu interval. Konsep ini menjadi dasar untuk perhitungan luas area di bawah kurva, volume benda, serta akumulasi perubahan dalam berbagai fenomena alam. Integral memiliki dua jenis utama, yaitu integral tak tentu dan integral tentu, yang masing-masing memiliki penerapan yang luas dalam ilmu pengetahuan dan teknologi.
Sejarah integral berawal dari usaha untuk menyelesaikan masalah geometris yang berkaitan dengan perhitungan luas, volume, dan akumulasi kuantitas lainnya. Sebelum pengembangan kalkulus, masalah tersebut ditangani dengan pendekatan geometri klasik yang sering kali melibatkan perkiraan. Pengembangan integral sebagai bagian dari kalkulus dimulai pada abad ke-17, ketika dua tokoh besar, Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz, secara independen mengembangkan konsep-konsep yang menjadi dasar bagi kalkulus integral modern.
Konsep integral pertama kali muncul dalam upaya untuk menghitung luas daerah di bawah kurva atau volume benda yang tidak memiliki bentuk geometris sederhana. Sebelum kalkulus, matematikawan Yunani Kuno, seperti Eudoxus dan Archimedes, telah mengembangkan metode untuk menghitung luas dan volume dengan mendekati hasil tersebut melalui teknik yang dikenal sebagai metode kehabisan (method of exhaustion). Namun, kalkulus integral memberikan cara yang lebih sistematis dan efisien dalam menghitung akumulasi atau total perubahan dalam suatu fungsi.
1.2 Rumusan Masalah
1. Apa pengertian dan dasar teori dari kalkulus integral?
2. Bagaimana penerapan integral dalam menghitung luas area, volume, dan total perubahan dalam kehidupan sehari-hari?
3. Apa saja metode dan teknik yang digunakan dalam menghitung integral, seperti integrasi parsial dan substitusi?
4. Bagaimana integral digunakan dalam berbagai bidang ilmu, seperti fisika, ekonomi, dan teknik?
5. Apa peran integral dalam memecahkan masalah yang melibatkan perubahan atau akumulasi secara bertahap?
1.3 Tujuan
1. Memahami Konsep Dasar Integral: Untuk menjelaskan pengertian integral sebagai alat untuk menghitung akumulasi atau perubahan suatu kuantitas dalam suatu interval tertentu.
2. Menjelaskan Penerapan Integral dalam Berbagai Bidang: Untuk menggambarkan bagaimana integral digunakan dalam berbagai disiplin ilmu, seperti fisika, ekonomi, teknik, dan biologi, serta bagaimana integral membantu dalam pemecahan masalah praktis.
3. Menganalisis Teknik dan Metode Perhitungan Integral: Untuk mengulas berbagai metode dalam perhitungan integral, seperti integrasi substitusi, integrasi parsial, dan teknik numerik yang digunakan dalam aplikasi sehari-hari.
4. Mengungkap Pentingnya Integral dalam Kehidupan Sehari-hari: Untuk menunjukkan betapa integral memainkan peran penting dalam kehidupan sehari-hari, terutama dalam menghitung luas, volume, jarak, dan fenomena yang melibatkan perubahan bertahap.
5. Menghubungkan Integral dengan Konsep Turunan: Untuk menjelaskan hubungan integral dengan turunan melalui Teorema Dasar Kalkulus dan bagaimana keduanya saling berinteraksi dalam pemecahan masalah.
BAB II
KAJIAN TEORI DAN PEMBAHASAN 2.1Pngertian Integral
Integral dapat diartikan sebagai proses untuk menghitung jumlah total atau akumulasi suatu kuantitas. Dalam kalkulus, integral dibagi menjadi dua jenis utama:
Integral Tak Tentu: Merupakan bentuk integral yang tidak memiliki batas tertentu dan menghasilkan fungsi antiturunan. Integral tak tentu digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pencarian fungsi asal suatu turunan.
Integral Tentu: Merupakan bentuk integral yang memiliki batas bawah dan batas atas. Integral ini menghasilkan nilai numerik yang menggambarkan jumlah total suatu kuantitas dalam interval tertentu. Integral tentu digunakan dalam perhitungan luas dan volume.
2.2 Teorema Dasar Integral
Teorema Dasar Kalkulus menghubungkan antara diferensiasi dan integrasi. Teorema ini terdiri dari dua bagian:
Bagian pertama: Jika F(x) adalah antiturunan dari fungsi f(x), maka integral tentu dari f(x) dari aa hingga bb dapat dihitung dengan rumus:
Bagian kedua: Jika F'(x) = f(x), maka F(x) adalah antiturunan dari f(x).
Kedua bagian teorema ini sangat penting dalam memahami integral, karena memberi dasar untuk menghubungkan fungsi dengan perhitungan luas dan volume.
2.3 Integral dalam Menghitung Luas dan Volume
Integral sering digunakan untuk menghitung luas dan volume dalam berbagai bidang.
Dua aplikasi integral yang paling umum adalah:
Menghitung Luas Daerah: Integral digunakan untuk menghitung luas area yang dibatasi oleh grafik suatu fungsi dan sumbu x.
Menghitung Volume: Integral digunakan untuk menghitung volume benda yang terbentuk oleh rotasi kurva atau volume wilayah tiga dimensi.
BAB III
APLIKASI INTEGRAL DALAM MENGHITUNG LUAS 3.1 Luas Daerah di Bawah Kurva
Salah satu aplikasi utama integral adalah untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi, sumbu x, dan dua titik batas pada sumbu x. Misalnya, jika kita ingin menghitung luas daerah yang terletak di bawah kurva fungsi f(x)f(x) pada interval [a,b][a, b], kita dapat menggunakan integral tentu sebagai berikut:
Sebagai contoh, untuk menghitung luas di bawah kurva f(x) = x2 pada interval [0, 2], kita dapat menghitung integralnya:
Maka, luas daerah tersebut adalah 83\frac{8}{3} unit persegi.
3.2 Luas Tertutup oleh Dua Kurva
Jika kita ingin menghitung luas daerah yang terletak di antara dua kurva f(x) dan g(x) pada interval [a, b], kita dapat menghitung integral dari selisih kedua fungsi tersebut. Jika f(x) berada di atas g(x) pada interval tersebut, maka luas daerah yang terletak di antara kedua kurva dapat dihitung dengan rumus:
Sebagai contoh, jika kita ingin menghitung luas daerah yang terletak di antara f(x) = x2 dan g(x) = x pada interval [0, 1], kita dapat menghitung integralnya:
Maka, luas daerah tersebut adalah
BAB IV
APLIKASI INTEGRAL DALAM MENGHITUNG VOLUME
4.1 Volume dengan Metode Silinder (Putar di sekitar Sumbu x)
Integral juga digunakan untuk menghitung volume benda yang terbentuk oleh rotasi kurva. Misalnya, untuk menghitung volume benda yang terbentuk oleh rotasi kurva y = f(x) di sekitar sumbu x antara batas aa dan bb, kita dapat menggunakan rumus:
Sebagai contoh, jika kita memutar kurva y=xy = x pada interval [0, 1] di sekitar sumbu x, maka volumenya dihitung sebagai:
Maka, volume benda tersebut adalah π3\frac{\pi}{3} unit kubik.
4.2 Volume dengan Metode Cakram (Putar di sekitar Sumbu y)
Jika kita memutar kurva di sekitar sumbu y, rumus untuk volume adalah:
Ini digunakan dalam kasus di mana kita memiliki fungsi yang memutar objek di sekitar sumbu y.
4.3 Volume dengan Metode Selimut (Metode Integral Ganda)
Untuk menghitung volume benda tiga dimensi yang lebih kompleks, kita dapat menggunakan integral ganda. Metode ini melibatkan dua kali integrasi: pertama untuk menghitung luas daerah pada bidang, dan kedua untuk mengalikan dengan ketinggian atau kedalaman objek tersebut.
Langkah-langkah Menggunakan Metode Selimut:
1. Tentukan batas bawah dan batas atas dari daerah yang akan diputar.
2. Identifikasi fungsi yang membatasi daerah tersebut.
3. Tentukan sumbu rotasi (biasanya sumbu x atau y).
4. Gunakan rumus volume dengan metode selimut
Jika daerah diputar di sekitar sumbu y, rumus volume adalah:
Jika daerah diputar di sekitar sumbu xxx, rumus volume adalah:
Di mana x atau y adalah jarak dari sumbu rotasi, dan f(x) atau g(y) adalah fungsi yang membatasi daerah tersebut
BAB V KESIMPULAN
Integral merupakan alat yang sangat berguna untuk menghitung luas dan volume dalam berbagai konteks. Dalam kehidupan sehari-hari, integral digunakan dalam berbagai bidang, termasuk fisika, teknik, ekonomi, dan arsitektur. Aplikasi integral dalam menghitung luas dan volume sangat penting untuk menyelesaikan masalah teknis yang melibatkan bentuk-bentuk geometris yang kompleks. Dengan demikian, pemahaman yang baik tentang teori dan aplikasi integral sangat penting untuk mengatasi tantangan praktis yang dihadapi dalam dunia nyata.
Daftar Pustaka
Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.
Thomas, G. B., & Finney, R. L. (2015). Calculus and Analytic Geometry (9th ed.).
Pearson Education.
Larson, R., & Edwards, B. H. (2013). Calculus (10th ed.). Cengage Learning.
Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10th ed.).
