SOAL DIAGONAL BIDANG DAN PEMBAHASAN

I

H G

F E

D C

B A

15 cm I

DIAGONAL BIDANG,DIAGONAL RUANG DAN BIDANG DIAGONAL PADA RUANG DIMENSI TIGA

1. Tulislah dan tentukan panjang diagonal bidang dan diagonal ruang kubus ABCD,EFGH dengan panjang rusuk 4 cm.

Penyelesaian :

Panjang rusuk kubus 4 cm a. Panjang diagonal bidang b. Panjang diagonal ruang Penyelesaian :

Panjang rusuk kubus 4 cm a=4cm a. Panjang diagonal bidang ¿a

√

²⁼⁴

√

^2cm

b. Panjang diagonal ruang ¿a

√

3=4

√

3cm

2. Tulislah dan tentukan luas bidang diagonal panjang diagonal ruang pada kubus ABCD.EFGH adalah 10

√

³ cm. Tentukan :

a. Panjang rusuk

b. Panjang diagonal bidang c. Luas bidang diagonal

d. Luas bidang BCL, dimana I adalah titik tengah EH Penyelesaian :

Diketahui diagonal ruang ¿10

√

^3cm

a. Panjang rusuk ¿10cm

b. Panjang diagonal bidang ¿s

√

²⁼¹⁰

√

^2cm

c. Luas bidang diagonal :

Misalkan bidang diagonal ACEF, dengan AC ¿10

√

^{2cm dan AE=10cm}

Luas bidang diagonal ¿p × l ¿AC × AE

¿10

√

^{2cm ×10cm}

¿100

√

^2cm

d. Luas bidang BCL dengan I ditengah titik EH Luas bidang BCL :

BI=CI=

√

^BE2+EI2

¿

√

⁽¹⁰

^√

²⁾²⁺⁵²

¿

√

²⁰⁰⁺²⁵

¿

√

²²⁵

¿25cm IO=

√

^BI2−BO2

¿

√

¹⁵²⁻⁵²

¿

√

²²⁵⁻²⁵

¿

√

²⁰⁰

A

D C E

B F H G

8 cm

10 cm

6 cm ¿10

√

^2cm

Luas bidang BCL ¿1

2× BC× IO ¿1

2×10×10

√

²

¿50

√

2cm²

3. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang = 8 cm, lebar = 6 cm, dan tinggi = 10 cm. Tulislah dan hitunglah :

a. Panjang diagonal bidang AC b. Panjang diagonal runag AG c. Luas bidang diagonal BDHF d. Luas permukaan balok, dan e. Volume balok

Penyelesaian :

a. Panjang diagonal bidang AC dapat dihitung dengan menggunakan rumus Pythagoras pada segitiga ABC dengan siku –siku di B.

AC²=AB²+BC² AC²=8²+6² ¿64+36 ¿100

AC=

√

¹⁰⁰

^¿10 cm

Jadi, panjang diagonal bidang AC adalah 10 cm

b. Perhatikan segitiga ACG. Panjang diagonal ruang AG dapat diperoleh sebagai berikut.

AG²=AC²+CG² AG²=10²+10² ¿100+100 ¿200

AG=

√

²⁰⁰

¿

√

^100×2

¿10

√

^{2 cm}

Jadi, panjang diagonal bidang AG adalah 10

√

^{2 cm}

c. Bidang diagonal BDHF berbentuk persegi panjang, sehingga : Luas BDHF ¿BD . DH

¿10.10 ¿100cm²

d. L=2(p . l+p . t+l. t) L=2(8.6+8.10+6.10) L=2(48+80+60) L=2(188)

L=376cm²

Jadi , luas permukaan balok adalah 376cm² . e. V=p . l. t

¿8.6 .10 ¿480cm³

Jadi, volume balok adalah 480 cm³

4. Luas permukaan kubus ABCD.EFGH adalah 96 cm². Tulislah dan tentukan

a. Volume kubus b. Luas bidang BDG Penyelesaian :

a. Lp=6s²

↔ _96=6s²

↔ 16=s² (kedua ruas dibagi dengan 6)

↔ s=4cm V=s³=4³=64cm³

Jadi , volume kubus _64cm³ .

b. Perhatikan gambar kubus di bawah. Segitiga BDG merupakan segitiga sama sisi dengan alas = BD dan tinggi = GO. Panjang BD = BG = DG = diagonal bidang kubus = 3

√

^{2cm .}

GO²=DG²−OD²

¿(4

√

²⁾²⁻

(

⁴2

√

²

)

²

¿32−8 ¿24

GO=

√

²⁴

¿2

√

^6cm

L_BDG=1

2× BD ×GO ¿1

2×4

√

^2×2

√

⁶

¿8

√

3cm²

Jadi, luas bidang BDG adalah 8

√

3cm²

5. Sebuah kotak penyimpanan alat kesehatan berbentuk balok dengan panjang 25 cm, lebar 10 cm dan tinggi 10 cm. Jika seluruh

permukaan kotak akan dilapisi dengan alumunium, tulislah dan tentukan luas permukaan alumunium yang diperlukan

Penyelesaian L=2(p . l+p . t+l. t) L=2(25.10+25.10+10.10) L=2(250+250+100) L=2(600)

L=1.200cm²

Jadi , luas permukaan alumunium yang diperlukan adalah 1.200cm² .

6. Sebuah prisma segitiga siku – siku dengan panjang kedua sisi siku – sikunya 6 cm dan 8 cm serta tinggi prisma 12

√

^3cm . Tulislah dan tentukan Volume prisma

Penyelesaian

V_prisma=luas bidangalas ×tin ggi prisma Luas bidang alas ¿1

2×a ×t

(t=

√

⁸²⁺⁶²⁼

√

⁶⁴⁺³⁶⁼

√

^100=10)

¿1

2×8×10

¿4×10 ¿40cm² V_prisma=30×12

√

³

V_prisma=288

√

3cm³

Jadi volume prisma adalah 288

√

3cm³

7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Misalkan X adalah titik tengah AB dan Y titik tengah GH. Tulislah dan

tentukan jarak antara : a. Titik D dan G

b. Titik C dan E

c. Titik F dan garis AB Penyelesaian

Diketahui : panjang rusuk : 12 cm Titik X adalah titik tengah AB Titik Y adalah titik tengah GH

a. Titik D dan G b. Titik C dan E

c. Titik F dan garis AB a. Titik D dan G

Jarak titik D dan G adalah panjang garis DG.

DG = diagonal bidang kubus = 12

√

2 cm b. Titik C dan E

Jarak titik C dan E adalah panjang garis CE.

CE = diagonal ruang kubus = 12

√

^{3 cm}

c. Titik F dan garis AB

Titik tengah garis AB = X , maka XB = 1

2× AB = 1

2×12=6cm , BF = 12 cm

FX =

√

^(BF)2+(XB)2

=

√

^(12)2+(6)2

=

√

¹⁴⁴⁺³⁶

=

√

¹⁸⁰

=

√

^36×5

= 6

√

⁵

Jadi jarak titik F dan garis AB adalah 6

√

^5cm

8. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm . Jika S adalah titik potong EG dan FH, tulislah dan tentukan jarak DH ke AS

Penyelesaian

Diketahui : panjang rusuk : 6 cm Ditanya : jarak DH ke AS

HS tegak lurus DH HS tegak lurus AS

Jadi HS = jarak DH ke AS HF =

√

⁶²⁺⁶²

=

√

³⁶⁺³⁶

=

√

72 = 6

√

^2cm

HS = 1 2× HF

6 cm T

W V

T U

S R

Q

P Y

T W

Y S

3 cm

3 cm 6 cm

= 1

2×6

√

² = 3

√

^2cm

Jadi jarak DH ke AS adalah 3

√

^2cm

9. Kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 6 cm. Tulislah dan tentukan jarak titik S ke bidang PRW

Penyelesaian

SQ = PR = RW = PW = 6

√

^{2 cm}

Perhatikan segitiga SYW, diperoleh:

YW =

√

^(SY)2+(SW)2

=

√ ⁽

^SQ2

⁾

^2+(SW)2

=

√ ⁽

⁶

^√

²²

⁾

²⁺⁶²

=

√

⁽³

^√

²⁾²⁺³⁶

=

√

¹⁸⁺³⁶

=

√

⁵⁴

= 3

√

^{6 cm}

Perhatikan segitiga SYW sebangun dengan segitiga STW,diperoleh ST

SY=SW YW

↔ ST 3

√

²⁼

6 3

√

⁶

↔ ST=6×3

√

²

3

√

⁶

¿18

√

2 3

√

^{6 ×}

√

6

√

⁶

¿18

√

¹²

3×6

¿

√

¹²

¿2

√

^{3 cm}

Jadi jarak titik S ke bidang PRW adalah 2

√

^{3 cm}

G E F

D C

B A

H

12 cm 4 cm 6 cm

P

G E F

D C

B A

H

12 cm 6 cm

4 cm

P Q

R

B R

Q

3 cm

4 cm 5 cm

B Q

P

5 cm

12 cm ?

10. Perhatikan gambar balok ABCD.EFGH. Titik P terletak di tengah – tengah EH. Tulislah dan tentukan jarak antara titik B dan titik P

Penyelesaian

Dari segitiga BRQ, diperoleh panjang BQ : BQ =

√

^BR2+RQ2

=

√

³²⁺⁴

=

√

⁹⁺¹⁶

=

√

²⁵

= 5cm

Dari segitiga BQP, diperoleh panjang BP : BP =

√

^BQ2+QP2

=

√

⁵²⁺¹²²

=

√

²⁵⁺¹⁴⁴

=

√

¹⁶⁹

= 13cm

Jadi, panjang jarak antara titik B dan titik P adalah 13 cm