40 Soal dan pembahasan dimensi 3.pdf

(1)

Dimensi Tiga

Di susun Oleh : Di susun Oleh :

Yuyun Somantri

11 http://bimbinganbelajar.net/ http://bimbinganbelajar.net/ Di dukung oleh : Di dukung oleh :

Portal edukasi Gratis Indonesia

Open Knowledge and Education

http://oke.or.id

Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy,

Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetapdiperbaiki dengan tetap menyertakan nama penulis

menyertakan nama penulis、、tanpa ada tujuan komersialtanpa ada tujuan komersial

1 1

Lahir di Bandung tahun 1956,

Lahir di Bandung tahun 1956, Lulus dari SMK Kimia Lulus dari SMK Kimia melanjutkan studinya ke UPI (Imelanjutkan studinya ke UPI (IKIP Bandung), laluKIP Bandung), lalu meneruskan studinya lagi bidang matematika dan dari

meneruskan studinya lagi bidang matematika dan dari tahun 1984 sampai saat ini mengajar matahun 1984 sampai saat ini mengajar ma tematika ditematika di SMA Negeri 3 Tasikmalaya

SMA Negeri 3 Tasikmalaya

1 1

imensi

(2)

1.

1. DiketaDiketahui kubus hui kubus ABCD.ABCD.EFGH denEFGH dengan rusugan rusuk a . Mek a . Melalui dlalui diagonal iagonal DF dan tDF dan titik titik tengahengah rusuk AE dibuat bidang

rusuk AE dibuat bidang datar. Tentukan luas bagian datar. Tentukan luas bagian bidang di dalam kubus bidang di dalam kubus ! !

Jawab : Jawab : H H GG E E FF Q Q PP D D CC aa A A BB aa 6 6 3 3 .. 2 2 .. .. .. ₂₂11 22 2 2 1 1 2 2 1 1 _PQ_PQ_DF_DF _a_a _a_a _a_a L L_PQDF_PQDF

==

2.

2. ubus ABCubus ABCD.EFGH bD.EFGH berusuk a merusuk a m. Titi. Titik "# $ dan % adak "# $ dan % adalah titilah titik&titik&titik tengah dark tengah dari AD#i AD# AB dan BF. Beru'a a'akah 'enam'ang bidang "$% !

AB dan BF. Beru'a a'akah 'enam'ang bidang "$% !

Jawab : Jawab :

H T

H T G G Garis bantuGaris bantu S S E E FF U U R R D D CC PP A A BB Q Q Sumbu

Sumbu afinitasafinitas Jadi berupa seienam beraturan PQR!STU

Jadi berupa seienam beraturan PQR!STU

imensi

(3)

(. ubus ABCD.EFGH 'an)ang rusukn*a + m. Titik " tengah&tengah EH. Tentukan )arak titik " ke garis BG ! Jawab : H G 20 _G P P E F 4 2

−

x " P# D C $ A B B

P# ada%a& pr'(e)si titi) P pada aris BG!

(

)

( ) ( ) 2 3 ' 18 ) 2 3 ( 36 36 ) ' ( 2 3 6 ) 2 4 ( 20 ' ' 6 2 2 4 2 4 20 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=

⇒

=

−

=

−

=

⇔

−

=

−

=

+

=

+

=

PP x PP x x x PP PP BP BG PG

+. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk&rusukn*a 1, m. Tentukan )arak titik F ke garis AC ! Jawab : H G E F F 2 10 2 10 D C C 2 5 F# A B A 6 5 ) 2 5 ( ) 2 10 ( '

=

2

−

2

=

FF

(4)

-. "an)ang setia' rusuk kubus ABCD.EFGH ialah 3# sedangkan titik $ 'ada AD dan A$

 1. Tentukan )arak A ke bidang $BF !

Jawab : H G E F Q $ A# * + , $ D C A B A B 3 3 1 1 ' ) 2 ( 3 1 ) ' ( ) ' ( 2 3 1 2 1 4 1 2 2 1 2 2 2 2

=

−

=

−

=

⇒

−

=

−

=

+

=

x AA x x x AA AA BQ Cara %ain : 3 ' ' . 2 1 . 3 ' . . ' . . 2 1 2 1 2 1

=

⇔

=

∆ AA AA AA BQ AQ AB AA BQ AQ AB L _QAB

/. "ada kubus ABCD.EFGH# tentukan )arak antara titik C dengan bidang BDG *ang 'an)ang rusukn*a / m ! Jawab : H G G E F " C# D C T A B T 3 2 C 3 2 6 3 6 . 2 3 . ' ' . . 6 3 18 36

=

⇔

=

+

=

GT CG CT CC CC GT CG CT GT

(5)

0. ika BE dan AH masing&masing diagonal bidang sisi ABFE dan ADHE 'ada kubus ABCD.EFGH# maka tentukan besar sudut antara BE dan AH !

Jawab : H G E F D C A B BG se-a-ar AH! ( ) ( )  60 , ,

=

∠

=

∠

BE AH BE BG

. "ada kubus ABCD.EFGH# tentukan sudut antara garis AF dan BH !

Jawab : H G Q E F a P D C a A a B PQ se-a-ar AF ( ) ( )  90 0 2 . 3 . 2 . . 2 ) ( ) ( ) ( cos 5 ) ( 3 2 , , 2 1 2 1 2 4 5 2 4 2 2 4 3 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1

=

⇒

=

−

+

=

−

+

=

+

=

∠

=

∠

x a a a a a PR BR BP PR BR x a a a BP a BH BR a PQ PR x PQ BH AF BH

(6)

3. "ada kubus ABCD.EFGH# tentukan sudut antara garis AH dan bidang BFHD ! Jawab : H G E F D C A# A B ( ) ( )  30 2 1 2 2 ' sin ' , , 2 1

=

⇒

=

∠

=

∠

α α α a a AH AA H A AH BFHD AH

1,. "ada kubus ABCD.EFGH# tentukan tangen sudut antara CG dan bidang BDG !

Jawab : H G E F D C T A B ( ) ( ) 2 2 tan , , 2 1 2 1

=

∠

=

∠

a a CG CT GT CG BDG CG θ θ

11. "ada kubus ABCD.EFGH. " adalah titik tengah FG dan $ adalah titik tengah EH. ika

θ adalah sudut antara bidang ABGH dan AB"$# maka tentukan tan θ !

Jawab : H G Q P E F D C A B

(7)

( ) ( ) 3 1 tan 10 3 10 3 2 . 5 . 2 2 . . 2 ) ( ) ( ) ( cos 2 , 5 , , 2 2 2 2 4 1 2 2 4 5 2 2 2 2

=

−

+

=

−

+

=

⇒

=

∠

=

∠

⇒







⊥

θ θ θ a a a a a a BG PB PG BG PB a BG BP a AB GB PB ABGH ABPQ AB GB AB PB a a

12. "ada bangun D.ABC diketahui bah4a bidang ABC sama sisi. DC tegak lurus ABC. "an)ang DC  1 dan sudut DBC  

30 . Bila θ men*atakan sudut antara bidang DAB

dengan CAB maka tentukan tan θ !

Jawab : D A θ _T C  30 B

( ) ( )

3 2 1 tan 2 3 3 3 3 3 1 2 2 1 30 sin 2 3 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2

=

−

=

−

=

⇔

=

CT CD CT BA BT BC BD BD θ 

1(. "ada kubus ABCD.EFGH# titik 5 adalah titik tengah sisi CD dan " adalah titik tengah diagonal BH. Tentukan 'erbandingan antara 6olume limas ".BC5 dan 6olume kubus ABCD.EFGH ! Jawab : H G E F V _P_._BCS:V _ABCD_._EFGH

=

1:24 P S D C A B

(8)

1+. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. T adalah suatu titik 'ada 'er'an)angan AE sehingga TE  7 a. ika bidang TBD memotong bidang atas EFGH se'an)ang "$#

maka tentukan 'an)ang "$ !

Jawab : T H G E P Q F D C A B 2 2 3 1 2 3 2 1 a PQ a PQ a a BD PQ EA TE

=

⇔

=

⇒

=

1-. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk  m. Tentukan 'an)ang 'ro*eksi DE 'ada bidang BDHF ! Jawab : H G E# E F D C A B

Pr'(e)si DE pada BDHF ada%a& DE#! 6 4 ) 2 4 ( 8 '

=

2

+

2

=

DE .m!

(9)

1/. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik " adalah titik tengah rusuk AE. Tentukan bentuk irisan bidang *ang melalui titik&titik "# D dan F dengan kubus !

Jawab : H G E F Sumbu afinitas P D C A B

Jadi berupa be%a& )etupat!

10. "ada kubus ABCD.EFGH# tentukan 'an)ang 'ro*eksi AH 'ada bidang BDHF !

Jawab : H G E F D C A# A B

Pr'(e)si AH pada BDHF ada%a& A#H 6 4 ) 2 4 ( 8 ' H

=

2

+

2

=

A

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 m.  adalah titik tengah rusuk AB. Tentukan )arak antara titik  ke garis HC !

Jawab : H G H E F 12 2

−

x /# $ D C C A / B /

(10)

( ) ( ) 2 9 ) 2 3 ( 180 ' 2 3 ) 2 12 ( 324 180 ' ' 324 180 12 180 6 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=

−

=

⇒

−

=

−

=

+

=

+

=

KK x x x KK KK KH KC

13. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. Tentukan )arak titik A ke diagonal BH !

Jawab : H G H E F x a 3

−

2 a A# D C $ A B A a B 6 3 ) 3 ( ' 3 ) 3 ( ) 2 ( ) ' ( ) ' ( 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a AA a x x a a x a AA AA

=

−

=

⇒

−

=

−

=

2,. "ada limas T.ABC diketahui AT# AB dan AC saling tegak lurus. "an)ang AT  AB  AC  - m. Tentukan )arak titik A ke bidang TBC !

Jawab : T T $ A# x

−

6 2 5 C A A D D B

(11)

3 ) 6 ( 25 ' 6 ) 6 ( ) 2 ( 5 ) ' ( ) ' ( 6 ) 2 ( 5 2 ) 2 ( 5 3 5 2 3 5 3 5 2 2 5 2 2 5 2 2 2 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2

=

−

=

⇒

−

=

−

=

+

=

−

=

AA x x x AA AA TD AD

21. Diketahui limas beraturan T.ABCD. "an)ang rusuk alas 12 m dan 'an)ang rusuk tegakn*a 12 2 m. Tentukan )arak A ke TC !

Jawab : T T A# D C C A B A 6 6 ) 2 6 ( ) 2 12 ( '

=

2

−

2

=

AA

22. "risma segi&+ beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk / m dan tinggi 'risma  m. Titik 'otong diagonal AC dan BD adalah T. Tentukan )arak titik D ke TH !

Jawab : H G H E F $ 0 D# D C 82

−

x D T T 3 2 A B 41 ) 82 ( 8 ' 82 ) 82 ( ) 2 3 ( 8 82 18 64 41 24 2 41 32 2 41 32 2 2 2 2

=

−

=

⇒

−

=

−

=

+

=

DD x x x HT

(12)

2(. "ada kubus ABCD.EFGH# tentukan )arak titik H ke DF ! Jawab : H G H F E F 6 3

−

x H# $ D C D A B 6 2 ) 3 2 ( 36 ' 3 2 ) 3 6 ( 72 36 2 2 2

=

−

=

⇒

−

=

−

HH x x x

2+. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a m. ika 5 meru'akan 'ro*eksi titik C 'ada bidang AFH# maka tentukan )arak titik A ke titik 5 !

Jawab : H G P P E F S# D C A B A C 6 ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 ( 3 1 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 a AS AS a a AS a a a a CP AP

=

⇒

−

=

−

=

+

=

2-. "ada kubus ABCD.EFGH# tentukan )arak titik C ke bidang AFH !

Jawab : P H G P $ E F C# x

−

54 D C A C A B

(13)

3 4 6 54 ' 6 ) 54 ( ) 2 6 ( 54 54 ) 2 3 ( 6 2 2 2 2 2 2

=

−

=

⇒

−

=

−

=

+

=

CC x x x CP AP

2/. Bidang em'at 8tetrahedron9 T.ABC mem'un*ai alas segitiga siku&siku ABC# dengan sisi AB  AC# TA  5 3 dan tegak lurus 'ada alas. ika BC  1,# maka tentukan sudut antara

TBC dan bidang alas !

Jawab : T T 3 5 C θ A A D D 1 B  60 3 5 3 5 tan 5 25 50 50 100 2 10 2 2 2 2

=

⇒

=

−

=

⇔

=

+

θ θ AD AB AB maka AC AB Karena AC AB

20. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk + m. ika sudut antara BF dan bidang BEG adalah α _{maka tentukan} _sinα !

Jawab : H G P 2 2 F P E F 2 D C α A B B

(14)

3 3 1 6 2 2 2 sin 6 2 8 16

=

+

=

α BP

2. "ada kubus ABCD.EFGH# α _{adalah sudut antara bidang ACF dan ABCD. Tentukan}

nilai sinα ! Jawab : H G F E F 2 3 a a D P C α A B P 2 2 a B 6 sin ₃1 2 3

=

a a α

23. "ada limas segiem'at beraturan T.ABCD *ang semua rusukn*a sama 'an)ang# tentukan besar sudut antara TA dan bidang ABCD !

Jawab : T T a D C P α a A a₂2 P A a B  45 2 cos 2 ₂1 2

=

⇒

=

α α a a

(15)

(,. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk + Titik T 'ada 'er'an)angan CG# sehingga CG  GT. ika sudut antara TC dan bidang BDT adalah α _{maka tentukan tan} α _!

Jawab : T T α H G 0 E F D C P C P 2 2 A B 2 4 1 8 2 2 tanα

=

(1. "ada kubus ABCD.EFGH# α _{adalah sudut antara bidang ADHE dan ACH. Tentukan}

nilai cosα _! Jawab : H G P E F α 2 2 a 2 3 a P D C D a C A B 3 3 1 cos 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2

=

+

 











=

a a a a CP a α

(16)

(2. Diketahui bidang em'at beraturan T.ABC dengan rusuk + m. Titik " 'ada 'ertengahan AB. 5udut antara T" dengan bidang alas adalah α _{. Tentukan nilai} tanα !

Jawab : T T 2 2 3 4 B 2 P α A P 2 3 C 2 C 2 2 1 8 tan 3 1 3 2 . 3 2 . 2 4 ) 3 2 ( ) 3 2 ( cos 3 2 2 4 2 2 2 2 2

=

⇒

=

−

+

=

−

=

α α PT CP

((. Bidang em'at A.BCD dengan AD siku&siku dengan alas dan segitiga BCD siku&siku di D. 5udut antara bidang BCD dan BCA adalah α _{. Tentukan nilai tan} α _!

Jawab : A A C 2 E 2 + α D + B D 2 E 2 2 2 4 tan 2 2 4 2 2

=

−

=

α DE BC

(17)

(+. "ada limas tegak T.ABCD alasn*a berbentuk 'ersegi 'an)ang. 5udut antara bidang TAD dan TBC adalah α _{. Tentukan nilai tan} α _!

Jawab : T T α *3 17 3 3 17 D C P Q 0 P " Q A " B 15 8 tan 17 15 17 3 . 17 3 . 2 6 ) 17 3 ( ) 17 3 ( cos 17 3 4 13 2 2 2 2 2

=

⇒

=

−

+

=

−

=

α α TQ TP

(-. "ada limas beraturan T.ABCD dengan rusuk tegak 2 5m dan rusuk alas + m# tentukan

tangen sudut antara bidang TBC dengan bidang ABCD !

Jawab : T T 5 2 2 D C + α P Q Q + P A 2 B 3 2 3 2 tan 3 2 4 16 4 2 ) 5 2 ( 2 2

=

−

=

−

=

α TQ TP

(18)

(/. ABCD adalah em'at 'ersegi 'an)ang 'ada bidang hori:ontal dan ADEF em'at 'ersegi 'an)ang 'ula 'ada bidang 6ertikal. "an)ang AF  ( m# BC  + m dan CE  0 m. ika α

dan β berturut&turut sudut antara BE dengan bidang ABCD dan bidang ADEF# maka tentukan tanα .tanβ !

Jawab : E β ₄ F D C 3 2 α A B 35 3 5 10 2 . 14 2 3 tan . tan 5 4 3 14 2 40 16 10 2 3 7 2 2 2 2

=

+

=

+

=

−

=

β α AE BD AB CD

(0. Dari limas beraturan T."$%5 diketahui T"T$T%T52 dan "$$%%55"2. ika

α _{adalah sudut antara bidang T"$ dan T%5# maka tentukan nilai} cosα _!

Jawab : T T α + 3 3 Q R A B + A B + P S + 3 1 3 . 3 . 2 2 ) 3 ( ) 3 ( cos 3 1 2 2 2 2 2 2

=

−

+

=

−

=

α TB TA

(19)

(. "ada bidang em'at T.ABC# bidang alas ABC meru'akan segitiga sama sisi# TA tegak lurus 'ada bidang alas# 'an)ang TA sama dengan 1 dan besar sudut TBA adalah 

30 . ika α

adalah sudut antara bidang TBC dan bidang alas# maka tentukan nilai tanα ! Jawab : T * C α A D  30 B 3 2 1 tan 2 3 ) ( ) 3 ( 3 30 tan 1 2 3 2 2 3 2

=

−

=

AD TA AD BC AC AB α 

(3. ;imas beraturan T.ABC dengan 'an)ang rusuk alas / m dan 'an)ang rusuk tegak 3 m. Tentukan nilai sinus sudut antara bidang TAB dan bidang ABC !

Jawab : T 5 C " A α 3 D B 12 138 sin 12 6 27 . 72 . 2 81 27 72 cos 27 3 6 72 3 9 2 2 2 2

=

⇒

=

−

+

=

−

=

−

=

α α CD TD

(20)

+,. Diketahui limas segiem'at beraturan T.ABCD. "an)ang rusuk tegak 11 m dan 'an)ang

rusuk alas 2 2 m. 5udut antara bidang TAD dan TBC adalah α # maka tentukan nilai α cos _! Jawab : T T 11 α 3 3 D C P Q P Q 2 2 A B 9 5 3 . 3 . 2 8 9 9 cos 3 ) 2 ( ) 11 ( 2 2