soal latuhan kalkulus vektor

(1)

Nama : Anis Mahdzuroh NIM : 1222050016 Kelas : 4A

Absen : 12

Mengetik Soal Kalkulus

1. Diketahui sebuah kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻 dengan titik 𝐽 merupakan titik tengah garis 𝐴𝐵 dan titik 𝐾 merupakan titik tengah garis 𝐸𝐻. Hitunglah jarak titik 𝐽 ke titik 𝐾 jika panjang rusuknya 8 cm.

Jawab:

Koordinat titik 𝐽 adalah (8,4,0) Koordinat titik 𝐾 adalah (4,0,8) Maka

𝐽𝐾⃗⃗⃗⃗ = 𝐾⃗⃗ − 𝐽

= ( 4 0 8

) − ( 8 4 0

)

= (

−4

−4 8

)

= √(−4)²+ (−4)²+ 8²

= √16 + 16 + 64

= √96

= 4√6

2. Tuliskan titik 𝑀(−5,7) dalam bentuk basis kemudian gambarkan 𝑏⃗ ! Jawab:

𝑀(−5,7)

𝑏⃗ = 𝑥₁𝑖 + 𝑦₁𝑗

= −5𝑖 + 7𝑗

(2)

3. Diketahui 𝑣⃗⃗⃗⃗ = (2,1,3), ₁ 𝑣⃗⃗⃗⃗ = (1,1,2), ₂ 𝑣⃗⃗⃗⃗ = (1,0,1). Periksalan apakah ₃ 𝑆 = { 𝑣⃗⃗⃗⃗ , 𝑣₁ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑣₂ ⃗⃗⃗⃗ } bebas linear dalam ruang vektor 𝑅₃ ³

Jawaban:

Unutk menentukan himpunan 𝑆 bebas linear atau tidak, maka 𝑘₁𝑣⃗⃗⃗⃗ + 𝑘₁ ₂𝑣⃗⃗⃗⃗ +₂ 𝑘₃𝑣⃗⃗⃗⃗ = 0. Sehingga: ₃

𝑘₁𝑣⃗⃗⃗⃗ + 𝑘₁ ₂𝑣⃗⃗⃗⃗ + 𝑘₂ ₃𝑣⃗⃗⃗⃗ ₃ = (0,0,0)

↔ 𝑘₁(2,1,3) + 𝑘₂(1,1,2) + 𝑘₃(1,0,1) = (0,0,0)

↔ (2𝑘₁, 𝑘₁, 3𝑘₁) + (𝑘₂, 𝑘₂, 2𝑘₂) + (𝑘₃, 0, 𝑘₃) = (0,0,0)

↔ (2𝑘₁+ 𝑘₂+ 𝑘₃, 𝑘₁+ 𝑘₂ + 0, 3𝑘₁+ 2𝑘₂+ 𝑘₃) = (0,0,0) Berdasarkan kesamaan vektor pada 𝑅³, diperoleh:

2𝑘₁+ 𝑘₂+ 𝑘₃ = 0 𝑘₁+ 𝑘₂+ 0 = 0 3𝑘₁+ 2𝑘₂+ 𝑘₃ = 0 Matriks koefisien dari sistem persamaan diatas adalah:

𝐴 = [

1 1 2

1 0 1

2 1 3

] 1 1 1 0 2 1

𝑑𝑒𝑡(𝐴) = (1.0.3 + 1.1.2 + 2.1.1) − (2.0.2 + 1.1.1 + 1.1.3)

= (0 + 2 + 2) − (0 + 1 + 3)

= 4 − 4

= 0

Dengan demikian, persamaan 𝑘₁𝑣⃗⃗⃗⃗ + 𝑘₁ ₂𝑣⃗⃗⃗⃗ + 𝑘₂ ₃𝑣⃗⃗⃗⃗ = 0 mempunyai Solusi ₃ non-trival. Akibatnya, himpunan 𝑆 bergantung linear

4. Diberikan fungsi vektor 𝐴 = 𝑥𝑦 𝑖 + 2𝑥𝑦² 𝑗 − 𝑥³𝑦² 𝑘, 𝐵 = −𝑥 𝑖 + 2𝑦 𝑗 − 2𝑘.

Tentukan ^𝜕

𝜕𝑦(𝐴 × 𝐵) Jawaban:

-5

𝑀(−5,7) 7

(3)

𝐴 × 𝐵 = [

𝑖 𝑗 𝑘

𝑥𝑦 2𝑥𝑦² 𝑥³𝑦²

−𝑥 2𝑦 −2

]

= [(−4𝑥𝑦²) − (−2𝑥³𝑦³)]𝑖 + [(𝑥⁴𝑦²+ 2𝑥𝑦)]𝑗 + [2𝑥𝑦²+ 2𝑥²𝑦²]𝑘

𝜕

𝜕𝑦(𝐴 × 𝐵) = 𝜕

𝜕𝑦(−4𝑥𝑦²+ 2𝑥³𝑦³)𝑖 + (𝑥⁴𝑦²+ 2𝑥𝑦)𝑗 + (2𝑥𝑦²+ 2𝑥²𝑦²)𝑘

= (−8𝑥𝑦 + 6𝑥³𝑦²)𝑖 + (2𝑥⁴𝑦 + 2𝑥)𝑗 + (4𝑥𝑦 + 4𝑥²𝑦)𝑘 5. Perhatikan gambar dibawah ini.

Diketahui gambar diatas adalah kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan titik R merupakan tengah-tengah garis EF. Hitunglah jarak titik R ke bidang BDG!

Jawaban:

Koordinat D = (0,0,0) Koordinat B = (6,6,0) Koordinat G = (0,6,6) Koordinat R = (6,3,6) 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (

0 0 0

) − ( 6 6 0

) = (

−6

−6 0

)

𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 0 6 6

) − ( 6 6 0

) = (

−6 0 6

)

𝐵𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 𝑥 𝑦 𝑧

) − ( 6 6 0

) = ( 𝑥 − 6 𝑦 − 6

𝑧 )

Persamaan bidang BDE dengan missal titik sembarang S (x,y,z) → 𝑆. 𝐵𝐷𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

↔ 𝐵𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0

y

x

z

A B

C F E

R

G H

D

(4)

↔ [

𝑥 − 6 𝑦 − 6 𝑧

−6 −6 0

−6 0 6

] = 0

↔ (𝑥 − 6)(−36) + (𝑦 − 6)(36) + 𝑧(−36) = 0

↔ −36𝑥 + 216 + 36𝑦 − 216 − 36𝑧 = 0

↔ −36𝑥 + 36𝑦 − 36𝑧 = 0

Sehingga jarak dari R (6,3,6) ke persamaan bidang −36𝑥 + 36𝑦 − 36𝑧 adalah:

|−36(6) + 36(3) + (−36)6|

√(−36)²+ 36² + (−36)² =|−216 + 108 − 216|

√3 . 36² = 108

36√3= √3 6. Diketahui segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan koordinat 𝐴(2,2,2), 𝐵(−1,2, −1), dan

𝐶(−1,0,1). Hitunglah luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 tersebut!

Jawaban:

𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =1

2|𝐴𝐵 × 𝐴𝐶|

• 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴

= (

−1 2

−1 ) − (

2 2 2

) = (

−3 0

−3 )

• 𝐴𝐶 = 𝐶 − 𝐴

= (

−1 0 1

) − ( 2 2 2

) = (

−3

−2

−1 )

• 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = [

𝑖 𝑗 𝑘

3 0 −1 0 2 −2 ]

= 𝑖(2) + 𝑗(6) + 𝑘(6)

= 2𝑖 + 6𝑗 + 6𝑘

• |𝐴𝐵 × 𝐴𝐶| = √2²+ 6²+ 6²

= √4 + 36 + 36

= √76

= 2√19

• 𝐿∆ 𝐴𝐵𝐶 =¹

2|𝐴𝐵 × 𝐴𝐶|

=¹

22√19

= √19 7. Perhatikan gambar berikut

(5)

Pada jajar genjang ABCD dengan titik tengahnya O, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢⃗ , dan 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣 . Nyatakan vektor 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ dalam 𝑢⃗ dan 𝑣

Jawaban:

𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

= 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

= 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + (−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )

= 𝑣 + (−𝑢⃗ )

= 𝑣 − 𝑢⃗ 𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −¹

2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

= −¹

2(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )

= −¹

2(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ )

= −¹

2(𝑢⃗ + 𝑣 )

8. Hitunglah integral tutup dari medan vektor 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧)𝑖 + (𝑥)𝑗 + (𝑦)𝑘 mengelilingi lingkaran 𝐶 pada bidang 𝑧 = 1 dengan jari-jari 2 yang berpusat di titik asal (0,0,1)

Jawaban:

∮ 𝐹 _𝐶^⬚ ∙ 𝑑𝑟 = ∬ (∇ × 𝐹 ) ∙ 𝑑𝑆_𝑆^⬚ 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧)𝑖 + (𝑥)𝑗 + (𝑦)𝑘

∇ × 𝐹 = [

𝑖 𝑗 𝑘

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝑧 𝑥 𝜕𝑧𝑦 ]

= (1 − 0)𝑖 − (0 − 1)𝑗 + (0 − 0)𝑘

= 𝑖 + 𝑗 𝑑𝑆 = 𝑘⃗ 𝑑𝐴, 𝑧 = 1

(∇ × 𝐹 ) ∙ 𝑑𝑆 = (𝑖 + 𝑗) ∙ 𝑘 𝑑𝐴

= 0

∮ 𝐹 _𝐶^⬚ ∙ 𝑑𝑟 = ∬ (∇ × 𝐹 ) ∙ 𝑑𝑆_𝑆^⬚ = 0 𝑣

𝑢⃗

O

D C

B

(6)

9. Besar sudut antara vektor 𝑚 = 2𝑖 − 3𝑗 + 𝑘 dan 𝑛 = 𝑖 + 2𝑗 + 4𝑘 adalah Jawaban:

𝑚⃗⃗ . 𝑛⃗ = |𝑚⃗⃗ | . |𝑛⃗ | cos 𝜃

↔ (2, −3,1)(1,2,4) = √2²+ (−3)²+ 1² . √1²+ 2² + 4² cos 𝜃

↔ 2 − 6 + 4 = √14 . √21 cos 𝜃

↔ 0 = √294 cos 𝜃

↔ 0 = 7√6 cos 𝜃

↔ cos 𝜃 = ⁰

7√6

↔ cos 𝜃 = 0

↔ cos 90° = 0

10. Perhatikan gambar dibawah ini

Dari gambar diatas diketahui bahwa 𝑆 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑏, 𝑓(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔(𝑥)}.

Tinjaulah 𝐹₁(𝑥, 𝑦) dan turunan parsialnya yang kontinu di 𝑆!

Jawaban:

∮ 𝐹_𝑐^⬚ ₁ 𝑑𝑥 = ∫ 𝐹_𝑐^⬚ ₁

1 𝑑𝑥 + ∫ 𝐹_𝑐^⬚ ₁

2 𝑑𝑥 + ∫ 𝐹_𝑐^⬚ ₁

3 𝑑𝑥 + ∫ 𝐹_𝑐^⬚ ₁

4 𝑑𝑥

= ∫ 𝐹_𝑎^𝑏 ₁(𝑥, 𝑓(𝑥))𝑑𝑥 + 0 + ∫ 𝐹_𝑏^𝑎 ₁(𝑥, 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 + 0

= ∫ 𝐹_𝑎^𝑏 ₁(𝑥, 𝑓(𝑥))𝑑𝑥 − ∫ 𝐹_𝑎^𝑏 ₁(𝑥, 𝑔(𝑥))𝑑𝑥

= − ∫ [𝐹_𝑎^𝑏 ₁(𝑥, 𝑔(𝑥)) − 𝐹₁(𝑥, 𝑓(𝑥))]𝑑𝑥

= − ∫ ∫_𝑎^𝑏 _𝑓(𝑥)^𝑔(𝑥)^𝜕𝐹_𝜕𝑦¹𝑑𝑦 𝑑𝑥

= − ∬ (_𝑆^⬚ ^𝜕𝐹_𝜕𝑦¹) 𝑑𝐴

11. Diketahui vector 𝐷 = 2𝑥³𝑦𝑧 𝑖 + 5𝑦𝑧² 𝑗 + 𝑥𝑦𝑧 𝑘 dan ∅ = 2𝑦𝑧²+ 2𝑥. Carilah

∇. 𝐴∅ pada titik (−1,1, −1) Jawaban:

S 𝑐4

y

𝑐₂ 𝑐₃

𝑐₁

x 𝑦 = 𝑓(𝑥)

a

𝑦 = 𝑔(𝑥)

b

(7)

∇. 𝐴∅ = (2𝑥³𝑦𝑧 𝑖 + 5𝑦𝑧² 𝑗 + 𝑥𝑦𝑧 𝑘) ∙ (^{𝜕(2𝑦𝑧}²^+2𝑥)

𝜕𝑥 𝑖 +^{𝜕(2𝑦𝑧}²^+2𝑥)

𝜕𝑦 𝑗 +

𝜕(2𝑦𝑧²+2𝑥)

𝜕𝑧 𝑘)

= (2𝑥³𝑦𝑧 𝑖 + 5𝑦𝑧² 𝑗 + 𝑥𝑦𝑧 𝑘). (2𝑖 + 2𝑗 + 4𝑧)

= 4𝑥³𝑦𝑧 + 10𝑦𝑧²+ 𝑥𝑦𝑧²

∇. 𝐴∅ pada titik (−1,1, −1)

= 4(−1)³(1)(−1) + 10(1)(−1)²+ (−1)(1)(−1)²

= 13

12. Jika 𝐴(𝑟) = 𝑟²𝑖 + (𝑟 − 2)𝑗 − 𝑟𝑘 dan 𝐵(𝑟) = 3𝑟𝑖 − 𝑟²𝑗, hitunglah ∫ 𝐴. 𝐵 𝑑𝑟₀² Jawaban:

∫ 𝐴. 𝐵 𝑑𝑟₀² = ∫ [𝑟₀² ²𝑖 + (𝑟 − 2)𝑗 − 𝑟𝑘]. [3𝑟𝑖 − 𝑟²𝑗]𝑑𝑟

= ∫ (3𝑟₀² ³− 𝑟³ + 2𝑟²)𝑑𝑟

=^3𝑟⁴

4 −^𝑟⁴

4 +^2𝑟³

3 |

0 2

= [³⁽²⁾⁴

4 −⁽²⁾⁴

4 +²⁽²⁾³

3 + 𝑐] − [³⁽⁰⁾⁴

4 −⁽⁰⁾⁴

4 +²⁽⁰⁾³

3 + 𝑐]

= 12 − 4 +¹⁶

5

=⁵⁶

5

13. Diketahui 𝐴(𝑖, 1,0), 𝐵(0,2,2), 𝐶(3,5, 𝑗). Agar vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ tegak lurus pada 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , maka nilai 𝑖 − 𝑗 harus berapa?

Jawaban:

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (0 − 𝑖, 1 − 2,2 − 0) = (−𝑖, −1,2) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = (3 − 0,5 − 2, 𝑗 − 2) = (3,3, 𝑗 − 2) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0

↔ (−𝑖, −1,2)(3,3, 𝑗 − 2) = 0

↔ −3𝑖 − 3 + 2𝑗 − 4 = 0

↔ −3𝑖 + 2𝑗 = 7

↔ −3𝑖 = −2𝑗 + 7

(8)

↔ 𝑖 = −^(−2𝑗+7)

3

↔ 𝑖 =^2𝑗+7

3

Sehingga 𝑖 − 𝑗 =^2𝑗+7

3 − 𝑗 14. Perhatikan gambar berikut ini

Pada persegi panjang OABC diatas, diketahui panjang garis OA adalah 24 cm dan panjang garis AB adalah 10 cm. jika 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢⃗ dan 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣 , maka berapa nilai 𝑢⃗ . 𝑣 !

Jawaban:

𝑣 = √(𝑢⃗⃗⃗⃗ )²+ 𝐴𝐵²

= √24²+ 10²

= √576 + 100

= √676

= 26

𝑢⃗ . 𝑣 = |𝑢⃗ ||𝑣 | cos 𝛼

= |24||26| (²⁴

26)

= 624 (²⁴

26)

= 576

15. Diketahui M merupakan titik berat segitiga PQR dengan P(-2,2,3), Q(-1,3,2), dan R(4,-5,6). Maka berapa panjang vector M

Jawaban:

𝑀 =¹

3(𝑃 + 𝑄 + 𝑅)

=¹

3[(−2,2,3) + (−1,3,2) + (4, −5,6)]

=¹

3(1,0,11)

= (¹

3, 0,¹¹

3)

A

C B

O

𝑣

𝑢⃗

(9)

|𝑀| = √¹

3

2 + 0²+¹¹

3 2

= √¹

9+¹²¹

9

= √¹²²

9

=^√122

3