Nama : Clara Yolanda Br Ginting Nim : 4213311060
Kelas : PSPM 21 D
Matkul : Kapita Selekta Matematika Pendidikan Menengah Dosen Pengampu : Dr. Mariani Sihombing M.Pd
Tugas Rutin 1 Soal:
1. Seorang mempunyai bahan 60m wol dan 40m katun, Penjahit akan membuat jas dan rok untuk dijual. Pembuatan satu jas memerlukan 3m wol dan 1m katun, sedangkan satu rok memerlukan 2m wol dan 2m katun. Harga penjualan 1 jas adalah Rp 20.0000 dan 1 rok Rp 10.0000. berapa banyak jas dan rok yang harus dibuat penjahit agar diperoleh harga penjualan yang setinggi-tingginya
Jawaban:
Jas Rok Persediaan
Wol (m) 3 2 60
Katun (m) 1 2 40
Misal: banyaknya jas dimisalkan x buah Banyaknya rok dimisalkan y buah Dengan memperhatikan tabel
• Karena banyaknya wol yang disediakan 60 m, maka pertidaksamaan yang harus dipenuhi
3𝑥 + 2𝑦 ≤ 60
• Karena banyaknya katun yang disediakan 40 m, maka pertidaksamaan yang harus dipenuhi 𝑥 + 2𝑦 ≤ 40
• Karen x dan y menyatakan banyaknya wol dan katun, maka x dan y tidak boleh bilangan negatif, jadi pertidaksamaan yang harus dipenuhi, 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 60 , 𝑥 + 2𝑦 ≤ 40, 𝑥 ≥ 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ≥ 0.
Karena besarnya harga 1 jas Rp 20.000 dan harga 1 rok Rp 10.000. maka yang menjadi sasaran dalam soal ini agar diperoleh harga penjualan setinggi-tingginya adalah mencari nilai x dan y agar 20.000𝑥 + 10.000𝑦
Model matematika dari soal adalah:
Maksimum f (x,y) = 20.000𝑥 + 10.000𝑦 Dengan syarat {
3𝑥 + 2𝑦 ≤ 60 𝑥 + 2𝑦 ≤ 40 𝑥 ≥ 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ≥ 0 Menyelesaikan model matematika
• Substitusi titik O (0,0) pada kedua persamaan
❖ 3𝑥 + 2𝑦 = 60 (subs x = 0) 3(0) + 2𝑦 = 60
𝑦 = 30 (0, 30)
❖ 3𝑥 + 2𝑦 = 60 (subs y = 0) 3𝑥 + 0 = 60
𝑥 = 20 (20,0)
❖ 𝑥 + 2𝑦 = 40 (subs x = 0) 0 + 2𝑦 = 40
𝑦 = 20 (0,20)
❖ 𝑥 + 2𝑦 ≤ 40 (subs y = 0) 𝑥 + 0 ≤ 40
𝑥 ≤ 40 (40,0)
Menentukan titik kritis dengan melakukan eliminasi pada kedua persamaan 3𝑥 + 2𝑦 = 60
𝑥 + 2𝑦 = 40 2𝑥 = 20 𝑥 = 10
Maka nilai y didapat dengan mensubstitusikan ke persamaan kedua yaitu 𝑥 + 2𝑦 ≤ 40. Sehingga y = 15 . didapat titik kritis (10,15)
2. Pedagang sepeda mempunyai modal sebesar Rp.830.000,-. Dari modalnya tersebut pedagang paling banyak dapat membeli sepeda 20 buah. Sepeda yang dibeli terdiri dari 2 jenis. Harga beli 1 buah sepeda jenis I Rp.30.000,- dan harga beli 1 buah sepeda jenis II Rp.50.000,-. Apabila pedagang memperoleh laba Rp.10.000,-dari 1 sepeda jenis I dan Rp.18.000,- dari 1 sepeda jenis II, Berapa laba minimum-yang diperoleh pedagang?
Peyelesaian :
1. Bentuk model matematika Misal x = sepeda jenis I
y = sepeda jenis II
Mensubstitusikan koordinat titik-titik sudut daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan penyelesaian kepada fungsi objektifnya:
Fungsi objektifnya, f(x,y) = 20.000x + 10.000y maka:
• (0,30) maka f(0,30) = 20.000 (0) + 10.000 (30) = 300.000
• (40,0) maka f (40,0) = 20.000 (40) + 10.000 (0) = 800.000
• (10,15) maka f (10,15) = 20.000 (10) + 10.000 (15) = 350.000
• (0,0) mak f (0,0) = 20.000 (0) + 10.000 (0) = 0 Menentukan jawaban akhir dari soal
Maka untuk mendapatkan keuntungan maksimal atau harga penjualan setinggi-tingginya, penjahit dapat membuat 40 jas dan 0 rok
Jenis Sepeda I (x)
Jenis Sepeda II (y)
Jumlah sepeda x y 20
Harga Beli Rp.30.000 Rp.50.000 Rp.830.000
Keuntungan Rp.10.000 Rp.18.000 F(x, y)
Dari permasalahan di atas dapat dimodelkan
𝑥 + 𝑦 ≤ 20 ……….(1) 30.000x + 50.000y ≤ 830.000
atau
3𝑥 + 5𝑦 ≤ 83 ………. (2) 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
𝑓(𝑥, 𝑦) = 10.000x + 18.000y
2. Menyelesaikan model matematika
• 𝑥 + 𝑦 = 20 Substitusikan 𝑥 = 0 0 + 𝑦 = 20
𝑦 = 20 𝐴 = (0, 20)
Substitusikan 𝑦 = 0 𝑥 + 0 = 20
𝑥 = 20 𝐵 = (20, 0)
• 3𝑥 + 5𝑦 = 83 Substitusikan 𝑥 = 0 3(0) + 5𝑦 = 83 5𝑦 = 83 𝑦 = 16,6 𝐶 = (0, 16,6)
Substitusikan 𝑦 = 0 3𝑥 + 5(0) = 83 3𝑥 = 83 𝑥 = 27,6 𝐷 = (27,67, 0)
• Untuk mencari titik potong kita dapat mengeliminasi per (1) dan (2) 𝑥 + 𝑦 = 20 (x3)
3𝑥 + 5𝑦 = 83 (x1) − 3𝑥 + 3𝑦 = 60
3𝑥 + 5𝑦 = 83 −
−2𝑦 = −23 𝑦 =−23
−2 𝑦 = 11,5
Substitusikan nilai y ke dalam per (1)
𝑥 + 𝑦 = 20 𝑥 + 11,5 = 20
𝑥 = 20 − 11,5 𝑥 = 8,5
𝐸 = (8,5, 11,5)
3. Menentukan Fungsi Objektif
Karena sistem pertidaksamaan diatas adalah kendala dari fungsi tujuan maka dalam hal ini proses pekerjaanya adalah menentukan nilai fungsi objektif pada koordinat titik-titik daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut. kemudian mensubstitusi koordinat titik-titiknya kepada fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 10.000x + 18.000y
• 𝑂 = (0, 0)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 10.000x + 18.000y 𝑓(0, 0) = 10.000 (0) + 18.000(0) = 0
• 𝐵 = (20, 0)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 10.000x + 18.000y 𝑓(20, 0) = 10.000 (20) + 18.000(0) = 200.000
• 𝐶 = (0, 16,6)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 10.000x + 18.000y
𝑓(0, 16,6) = 10.000 (0) + 18.000(16,6) = 298.800
• 𝐸 = (8,5, 11,5)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 10.000x + 18.000y
𝑓(8,5, 11,5) = 10.000 (8,5) + 18.000(11,5) = 85.000 + 207.000
= 292.000
4. Menentukan Jawaban akhir dari soal
Dengan memperhatikan jawaban pada nilai fungsi yang terkecil terdapat pada titik (0,0). Jadi, laba minimum yang diperoleh pedagang sepeda ialah Rp. 0.,-
3. Sebuah perusahaan mengelola dua tambang batu bara. Tiap tambang memproduksi batu bara mutu rendah (R) dan tinggi (T). Selama 1 hari tambang 1 memproduksi 100 ton R dan 400 ton T, sedangkan tambang II memproduksi 100 ton R dan 100 ton R. Setiap pengiriman batubara perusahaan wajib menyediakan sekurang-kurangnya 4000 dan 6400 ton T. Setiap hari biaya produksi tambang I sebesar satu juta rupiah dan tambang II Rp. 800.000,-. Agar Perusahaan dapat memnuhi kewajibannya untuk satu kali pengiriman batu bara dan biaya produksi yang dikeluarkan serendah-rendahnya, berapa harikah tambang 1 dan tambang II berproduksi.
Peyelesaian :
1. Bentuk model matematika
Tambang I Tambang II Persediaan Biaya
Mutu Rendah 100 100 4000 Rp. 1.000.000
Mutu Tinggi 400 100 6400 Rp. 800.000
Misal: Banyak hari yang digunakan untuk memproduksi bahan tambang I = x Banyak hari yang digunakan untuk memproduksi bahan tambang II = y 100𝑥 + 100𝑦 ≥ 4000 jika disederhanakan maka : 𝑥 + 𝑦 ≥ 40
400𝑥 + 100𝑦 ≥ 6400 jika disederhanakan maka : 4𝑥 + 𝑦 ≥ 64 𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
f (x+𝑦) = 1.000.000𝑥 + 800.000𝑦 2. Menyelesaikan model matematika
Pertama Tentukan terlebih dahulu titik koordinat
• 𝑥 + 𝑦 ≥ 40 (substitusikan 𝑥 = 0) 0 + 𝑦 = 40
𝑦 = 40 (0,40)
• 𝑥 + 𝑦 ≥ 40 (substitusikan 𝑦 = 0) 𝑥 + 0 = 40
𝑥 = 40 (40,0)
• 4𝑥 + 𝑦 ≥ 64 (substitusikan 𝑥 = 0) 0 + 𝑦 = 64
𝑦 = 64 (0,64)
• 4𝑥 + 𝑦 ≥ 64 (substitusikan 𝑦 = 0) 4𝑥 + 0 = 64
4𝑥 = 64 4𝑥 = 64 𝑥 = 16 (16,0)
Eliminasi persamaan 1 dan 2 𝑥 + 𝑦 = 40
4𝑥 + 𝑦 = 64 -
−3𝑥 = −24
𝑥 = 8
Substitusikan 𝑥 = 8 ke persamaan 2
4𝑥 + 𝑦 = 64 4(8) + 𝑦 = 64 32+𝑦 = 64 𝑦 = 32
3. Karena sistem pertidaksamaan diatas adalah kendala dari fungsi tujuan maka dalam hal ini proses pekerjaanya adalah menentukan nilai fungsi objektif pada koordinat titik-titik daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut. kemudian mensubstitusi koordinat titik-titiknya kepada fungsi objektif
Fungsi objektifnya f (x+𝑦) = 1.000.000𝑥 + 800.000𝑦
• (8,32) berarti f (x+𝑦) = 1.000.000(8) + 800.000(32) = 33.600.000
• (0,64) berarti f (x+𝑦) = 1.000.000(0) + 800.000(64) = 51.200.000
• (40,0) berarti f (x+𝑦) = 1.000.000(40) + 800.000(0) = 40.000.000 4. Menentukan Jawaban akhir dari soal
Dengan memperhatikan jawaban pada nilai fungsi yang terkecil terdapat pada titik (8,32). Jadi biaya produksi yang serendah-rendahnya Rp. 33.600.000,- dan tambang 1 berproduksi 8 hari , tambang II berproduksi 32 hari
4. Pembuatan 1 roti jenis I memerlukan 2 bahan A. 1 bahan B, dan 1 bahan C. Sedangkan 1 roti jenis II memerlukan 1 bahan A, 3 bahan B, dan bahan C. Untuk pembuatan kedua jenis roti tersebut pengusaha harus menyediakan sekurang kurangnya 10 bahan A, 15 bahan B, dan 7 2/3 bahan C. Jika biaya pengeluaran dari pembuatan 1 roti jenis 1 Rp. 50.- dan 1 roti jenis kedua Rp 100-, berapa banyak jenis roti I dan roti jenis II yang harus dibuat pengusaha agar biaya yang dikeluarkan sedikit mungkin
Peyelesaian :
1. Bentuk model matematika Misal x= Roti jenis I
y= Roti jenis II
Roti jenis I (x)
Roti jenis II (y)
Bahan A 2 1 10
Bahan B 1 3 15
Bahan C 1 1 23
3
Pengeluaran Rp. 50 Rp. 100 F(x, y)
Dari permasalahan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut:
𝐴: 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10
𝐵: 𝑥 + 3𝑦 ≥ 15
𝐶: 𝑥 + 𝑦 ≥23 3
𝑓(𝑥, 𝑦) = 50x + 100y
2. Menyelesaikan model matematika Fungsi obyektif : 𝑓(𝑥, 𝑦) = 50x + 100y Titik Potong sumbu koordinat:
2𝑥 + 𝑦 ≥ 10 Substitusikan 𝑥 = 0 0 + 𝑦 = 10
𝑦 = 10 𝐴 = (0, 10)
2𝑥 + 𝑦 ≥ 10 Substitusikan y= 0 2𝑥 + 0 = 10 𝑥 = 5
• B = (5, 0) 𝑥 + 3𝑦 ≤ 15
• Substitusikan x= 0
• 0 + 3y = 15
• y = 5 C = (0, 5)
𝑥 + 3𝑦 ≤ 15
• Substitusikan 𝑦 = 0
• 𝑥 + 0 = 15
• 𝑥 = 15 D = (15, 0)
𝑥 + 𝑦 ≤ 23 3
• Substitusikan x= 0
• 0 + y =23
3
• y =23
3
E = (0,23 3)
𝑥 + 𝑦 ≤23 3
• Substitusikan y= 0
• 𝑥 + 0 =23
3
• 𝑥 =23
3
• F = (23
3 , 0)
Dari gambar diatas dapat disimpulkan bahwa titik sudut daerah penyelesaian adalah:
𝑨 = (𝟎, 𝟏𝟎)
𝐃 = (𝟏𝟓, 𝟎)
Titik potong (Pers 1) dan (Pers 3) Titik potong (Pers 2) dan (Pers 3)
3. Menentukan titik potong
Misalkan model kendala adalah persamaan 𝐴: 2𝑥 + 𝑦 = 10 (Pers 1)
𝐵: 𝑥 + 3𝑦 = 15 (Pers 2) 𝐶: 𝑥 + 𝑦 =23
3 (Pers 3)
• Titik potong (Pers 1) dan (Pers 3) Eliminasi (Pers 1) dan (Pers 3)
2𝑥 + 𝑦 = 10 𝑥 + 𝑦 =23
3 𝑥 =7 3
−
Subtitusi 𝑥 =7
3 ke (Pers 3) 𝑥 + 𝑦 =23
3 7
3 + 𝑦 =23 3
𝑦 =16 3
Maka titik potong (Pers 1) dan (Pers 3) adalah G(𝟕
𝟑,𝟏𝟔
𝟑)
• Titik potong (Pers 2) dan (Pers 3) 𝑥 + 3𝑦 = 15
𝑥 + 𝑦 =23 3 2y =7
3 𝑦 =11 3
−
Subtitusi 𝑦 =11
3 ke (Pers 3) 𝑥 + 𝑦 =23
3
𝑥 +11
3 = 23
3
𝑥 = 4
Maka titik potong (Pers 2) dan (Pers 3) adalah H(𝟒,𝟏𝟏
𝟑)
4. Menentukan Fungsi Objektif Subtitusi titik pojok ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 50x + 100y
• 𝐴 = (0, 10)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 50x + 100y
𝑓(0, 10) = 50 (0) + 100(10) = 1000
• D = (15, 0)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 50x + 100y
𝑓(15, 0) = 50 (15) + 100(0) = 750
• G = (7
3,16
3)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 50x + 100y 𝑓 (7
3,16
3) = 50 (7
3) + 100( 16
3) = 116,6+533,3
= 649,9
• H = ( 4,11
3)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 50x + 100y 𝑓 (4,11
3) = 50 ( 4) + 100(11
3) = 200+366,6
= 566,6 (MINIMUM)
5. Menentukan Jawaban akhir dari soal
Dengan memperhatikan jawaban pada nilai fungsi yang terkecil terdapat pada titik (4,11
3). Maka banya roti jenis I adalah 4 dan jenis roti II adalah 11
3 𝑎𝑡𝑎𝑢 3,66 𝑎𝑡𝑎𝑢 4 agar biaya yang dikeluarkan minimum.
