Transformasi Linear

TRANSFORMASI LINEAR

Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T:V →W dinamakan transformasi linear, jika untuk setiap a , b∈V dan a∈Rberlaku:

SIFAT−SIFAT TRANSFORMASI LINEAR

Misalkan T adalah transformasi linear dari V ke W, dengan u danv ada di V. Maka sifat-sifat berikut adalah benar.

Contoh 1:

Tunjukann bahwa T : R2 → R3, dengan

→ Rumus Transformasi

Merupakan transformasi linier.

Jawab : Ambil unsur sembarang di R², Misalkan u=

(

^uu12

)

^{v ¿}

(

^vv12

)

^∈R2,

(i) Akan ditujukan bahwa T(u+v)=T(u)+T(v)

T(u+v)=T

¿

( (u1+−vu(1u)2−1+−v(uv221+) v2) )

¿

( (

^u1+−vu1u

)

^{2−(1+−vuv221+v2)}

)

1. T(0)=0

2. Τ(−v)=−Τ(v)

3. T(u−v)=T(u)−T(v) 4.

Jika v=C1V₁+C2V₂+…+CnVn maka T(v)=T

(

^{C1V1+C2V2+…+CnVn}

)

^=c1T

(

^v1

)

^+c2T

(

^v2

)

^+…+CnT(Vn)

¿C₁T(V₁)+C2T(V₂)++CnT(Vn) 1. T(a+b)=T(a)+T(b)

2. Τ(aa)=αT(α)

Jika V=W maka T dinamakan operator linear

T

[ (

^xy

) ]

⁼

(

^x−−yxy

)

¿

(

^{u−1−uuu212}

)

⁺

(

^{v−1−vv2v12}

)

Terbukti bahwa T(u+v)=T(u)+T(v) (ii) Ambil unsur sembarang u∈R² dan a∈R

T(a u) ¿ T

[ (

^uu12

) ]

=

(

^{au−au1a u−au21 2}

)

=

(

^{a(aau(−u(1−uu21))2)}

)

=^a

(

^{u−u1−uu212}

)

=aT(u)

Jadi, T merupakan transpormasi linier Contoh 2:

Misalkan T merupakan suatu transformasi dari ^M2x2 ke R yang didefinisikan oleh T(A)=det(A), untuk setiap A∈M_2x2 Apakah T merupakan Transformasi linier.

Jawab :

Misalkan A=¿

(

^aa13aa24

)

^∈M2x2

Maka untuk setiap A∈R berlaku

det (aA)=¿ det=¿

(

^{a aaa13aaaa24}

)

^=a2=¿

(

^a1a2−a3a4

)

^¿a2det(A)

Perhatikan bahwa det(aA)a²det(A). Jadi T bukan transformasi lininer.

Contoh 3:

Diketahui T:P₂ (Polinom orde-2)→ R², dengan

T(^a+bx+c x²)=¿

(

^aa−−bc

)

a. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan T

(

1+x+x²

)

Jawab:

a. (i) Ambil unsur sembarang^P2,

u=u₁+u₂x+u₃x² v=v₁+v₂x+v₃x²

Sehingga

u+v=

(

^u1+v1

)

⁺

(

^u2+v2

)

^x+

(

^u3+v3

)

^x2

Perhatikan bahwa

T(u+v)=T

( (

^u1+v1

)

⁺

(

^u2+v2

)

^x+

(

^u3+v3

)

^x2

)

¿

( ( (

^uu11++vv11

) )

⁻⁻

( (

^uu23++vv23

) ) )

¿

( ( (

^{uu11−u−u23}

) )

⁺⁺

( (

^{vv11−v−v23}

) ) )

¿

(

^{uu11−u−u23}

)

⁺

(

^{vv11−−vv23}

)

¿T

(

^u1+u2x+u3x2

)

^+T

(

^v1+v2x+v3x2

)

Memenuhi T(u+v)=T(u)+T(v)

(ii) Ambil unsur sembarang P2, dan α∈R , sehingga u=u₁+u₂x+u₃x²

T(α u)=T

(

^{α u1+u2x+u3x2}

)

¿

( ( (

^{α uα u11−−α uα u23}

) ) )

¿

(

^αα

( (

^{uu11−u−u32}

) ) )

¿α

(

^{uu11−−uu23}

)

¿αT

(

^u1+u2x+u3x2

)

¿αT(u)

Jadi, T merupakan transformasi linear

b. T

(

¹+x+x²

)

=

(

¹⁻¹¹⁻¹

)

⁼

(

⁰⁰

)

Suatu transformasi linear T:V →W dapat direpresentasikan dalam bentuk : T(u)=A u untuk setiap u∈V .

→ A dinamakan matriks transformasi dari T. Contoh 4:

Misalkan, suatu transformasi linear T:R²→ R³ didefinisikan oleh :

T

[ (

^xy

) ]

⁼

(

^x−−yxy

)

Jawab :

Perhatikan bahwa

T

[ (

^xy

) ]

⁼

(

^x−−yxy

)

⁼

(

^{−1 01−10 1}

) (

^xy

)

Jadi matriks transformasi untuk T:R²→ R³ adalah

A=

(

^{−1 01−10 1}

)

Jika T:Rⁿ→ R^mmerupakan transformasi linear maka ukuran matriks tranformasi adalah m x n

Misalkan

B=

{

^{v1, v2}

}

basis bagi ruang vector V dan T:R²→ R³ merupakan transformasi linear Dengan

T

(

^vi

)

⁼

(

^ui

)

untuk setiap i=1,2.

Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara : Tulis :

T

(

^v1

)

^{=A v1=u1}

T

(

^v2

)

^{=A v2=u2}

Sehingga

A_3x2

[

^{v1 v2}

]

2x2=

[

^{u1 u2}

]

3x2

Jadi

A=

[

^{u1 u2}

][

^{v1 v2}

]

⁻¹

[

^{v1 v2}

]

basis bagi V maka ia punya invers