Vektor Ruang dalam Matematika Teknik

(1)

VEKTOR

Matematika Teknik 1

Rudi Setiawan, M.T

(2)

Warsun Najib, 2005 2

(3)

1. Vektor di Ruang 2

• Besaran Skalar dan Besaran Vektor

• Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai)

• Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa

• Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah

• Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik

• Notasi Vektor

• Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.

• Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic).

• Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang u = AB

• Notasi u dibaca “vektor u”

(4)

Penyajian Vektor

• Vektor sbg pasangan bilangan

• u = (a,b)

• a : komponen mendatar, b : komponen vertikal

• Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j

• u = ai + bj

• Panjang vektor u ditentukan oleh rumus



 



  b u a

2

|

2

u

|  a  b

(5)

Kesamaan Vektor

• Dua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan arahnya sama.

• Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)

• Jika u = v, maka

• |u| = |v|

• arah u = arah v

• a=c dan b=d

(6)

a b

Dua vektor sama, a = b

a b

Dua Vektor mempunyai besar sama, arah berbeda

a b

Dua vektor arah sama, besaran beda

a

b Dua Vektor besar dan

arah berbeda

(7)

Penjumlahan Vektor

• Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjang

• Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:

u v w = u + v

w = u + v u

v

 u



 







 



 



 



 



 





 



 



 



 

d b

c a

d c b

v a u

d v c

b dan u a

(8)

Elemen Identitas

• Vektor nol ditulis 0

• Vektor nol disebut elemen identitas

• u + 0 = 0 + u = u

• Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka –u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.

• u – u = u + (-u) = 0

(9)

Pengurangan Vektor

• Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan u + (-v)

• Dalam bentuk pasangan bilangan

v u

w = u - v -v

u



 







 



 







 



 





 



 



 



 

d b

c a

d c b

v a u

d v c

b dan u a

(10)

Perkalian Vektor dengan Skalar

• mu adalah suatu vektor dg panjang m kali panjang vektor u dan searah dengan u jika m > 0, dan berlawanan arah jika m < 0.

u

2u

 



 



 



 



 

 



 



 

mb ma b

m a mu

maka

real bilangan

m b dan

u a Jika

:

,

(11)

Sifat-Sifat Operasi Vektor

• Komutatif  a + b = b + a

• Asosiatif  (a+b)+c = a+(b+c)

• Elemen identitas terhadap penjumlahan

• Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor

• Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|

• 1u = u

• 0u = 0, m0 = 0.

• Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0

(12)

Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)

• (mn)u = m(nu)

• |mu| = |m||u|

• (-mu) = - (mu) = m (-u)

• Distributif : (m+n)u = mu + nu

• Distributif : m(u+v) = mu + mv

• u+(-1)u = u + (-u) = 0

(13)

Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

2

2 ( )

) (

|

| u v a c b d

d b

c a

d c b

v a u

d v c

b dan u a

Jika

n Penguranga













 







 



 



 



 



 





 



 



 



 

2

2 ( )

) (

|

| u v a c b d

d b

c a

d c b

v a u

d v c

b dan u a

Jika

n Penjumlaha









 







 



 



 



 



 





 



 



 



 

(14)

Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

 cos

|

||

| 2

|

| u  v  u ²  v ²  u v

u + v u

v θ



cos

|

||

| 2

|

| u  v  u ²  v ²  u v

u

v u-v

θ

(15)

Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

n penjumlaha hasil

r arah vekto :

sin

|

| )

sin(

|

| sin

|





v u

v

u 

 



u + v u

v α

u

v u-v

α β

n penguranga hasil

r arah vekto :

sin

|

| )

sin(

|

| sin

|









v u

v

u 

 



β

(16)

Vektor Posisi

• OA = a dan OB = b adalah vektor posisi.

• AB = AO + OB

• = OB – OA

• = b – a

X Y

0

A

B

b a

(17)

(18)

(19)

Tentukan besaran |v| pada komponen vektor v dengan titik awal P dan titik terminal Q

) 2 . 1 , 0 , 5 . 5 (

) 5 . 0 , 4 , 0 . 3

(  

 Q

P

(20)

(21)

Dot Product (Inner Product)

• Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.



cos

|

||

| a b b

a  

 Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a₁,b₁,c₁] dan b = [a₂,b₂,c₂], maka :

3 3 2

2 1

1

b a b c c

a b

a    

 a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90^o}

 a•b = 0 jika {γ| γ = 90^o}

 a•b < 0 jika {γ| 90^o < γ< 180^o}

(22)

i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0^o = 1 (berhimpit) i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90^o = 0 (tegak lurus)

(23)

(24)

Vektor Ortogonal

• Teorema

• Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus

• Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.

• Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.

• Untuk vektor bukan-nol

• a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0  γ = 90^o = π/2

(25)

Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product

• Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:

b b

a a

b a



 

|

||

cos  |

(26)

Applications of Vector Product Moment of a force

• Find moment of force P about the center of the wheel.

|P|=1000 lb 30^o

1,5 ft

] 1299 ,

0 , 0 500 [

866

5 . 1 0 0

0 0

500 866

0 5 . 1 0

) 5 , 1 titik

pada roda

pusat (

] 0 , 5 . 1 ,

0 [

] 0 , 500 , 866 [

] 0 , 30 sin 1000 ,

30 cos 1000 [





















k j

i k

j i

p r m

y r

P

Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda (sumbu z negatif ).

(27)

Scalar Triple Product

shg pertama,

brs mnrt 3

orde determinan

ekspansi mrpk

Ini

, ,

v a c) (b

a

] v , v , [v v

c b andaikan

c) (b

a c) b (a

sebagai an

didefinisk )

( ditulis

] , , [ ],

, , [ ],

, , [

vektor tiga

dari product triple

Scalar

2 1

3 1

3

1 3

2 3

2

3 2

1

3 3 2 2 1 1

3 2 1

3 2 1 3

2 3 1

2 1

c c

b a b

c c

b a b

c c

b a b

v a v a v a c

b a

c c c c

b b b a b

a a a































3 2

1

3 2

1

3 2

1

c) (b

a c) b (a

c c

c

b b

b

b b

b









(28)

Scalar Triple Product

Geometric representation

• a,b,c vektor

• β sudut antara (bxc) dan a

• h tinggi parallelogram

b

|

| luas

mempunyai c

dan b

sisi dg

alas genjang

jajaran cos

|

cos

|

||

|

| ) (

|

) (

c b area h

height a

c b a c

b a

c b Besar a



















c b x c

a

β h

(29)

j m c

j m i

m b

j m i

m a

x r

) 7 . 3 (

)

9 . 2 ( ) 6 . 1 (

)

5 . 1 ( )

2 . 4 (

positif -

sumbu dan

antara

dibentuk yang

sudut dan

vector ketiga

dari resultan Hitunglah

















(30)

(31)

Vektor Product (Cross Product)

• Hasil perkalian Dot product adalah skalar. Dlm beberapa aplikasi, misalkan berkaitan dengan rotasi, diperlukan perkalian vektor

• Definisi



sin :

, length v a b b

a

v   

a v b

tor sebuah vek adalah

] , , [ dan

] , , [ vektor

antara Product

Cross a xb a  a₁ a₂ a₃ b  b₁ b₂ b₃

 |v| merupakan luas parallelogram pd gambar di atas.

 Arah v = a x b tegaklurus kedua vektor a dan b dan a, b, v sedemikian sehingga membentuk aturan tangan kanan.

(32)

Aturan tangan kanan v = a x b

a

b

a b v

v

(33)

Vektor Product (Cross Product)

• Dalam bentuk komponen vektor

a v b

] ,

, [

] , , [ v

1 2 2

1 3 1 1

3 2 3 3

2

3 2 1

b a b

a b a b

a

v v v





 Utk mengingat rumus di atas (ingat rumus determinan matrik)

3 2

1

3 2

1

b b

b

a a

a

k j

i b a 

alike are

indices two

any if

ijk if

ijk if k

j i

ijk ijk ijk k

ijk

0

213 , 132 , 321 1

312 , 231 , 123 1

3

1











 





2 1

3 2

1

3 2

1

b b

b a

j i

b b

b

a a

a

k j

i b

a 

(34)

(35)

General Properties of Vector Products:

 

⁾

( )

( ) (

) (

) ( )

( )

(

j i i j i

i c

b a c

b a

e Associativ Not

b a a

b e Commutativ Anti

i j j i a

c c a e Commutativ Not

c b c

a c

b a

c a b

a c

b a

f Distributi Sifat

b q a

b a q b a

q Skalar

Sifat

























































(36)

Applications of Vector Product Moment of a force

• Find moment of force P about the center of the wheel.

|P|=1000 lb 30^o

1,5 ft

] 1299 ,

0 , 0 500 [

866

5 . 1 0 0

0 0

500 866

0 5 . 1 0

) 5 , 1 titik

pada roda

pusat (

] 0 , 5 . 1 ,

0 [

] 0 , 500 , 866 [

] 0 , 30 sin 1000 ,

30 cos 1000 [

 

























k j

i k

j i

p r m

y r

P

Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda

(37)

Scalar Triple Product

shg pertama,

brs mnrt 3

orde determinan

ekspansi mrpk

Ini

, ,

v a c) (b

a

] v , v , [v v

c b andaikan

c) (b

a c) b (a

sebagai kan

didefinisi )

( ditulis

] , , [ ],

, , [ ],

, , [

vektor tiga

dari product triple

Scalar

2 1

3 1

3

1 3

2 3

2

3 2

1

3 3 2 2 1 1

3 2 1

3 2 1 3

2 3 1

2 1

c c

b a b

c c

b a b

c c

b a b

v a v a v a c

b a

c c c c

b b b a b

a a a





 

























3 2

1

3 2

1

3 2

1

c) (b

a c) b (a

c c

c

b b

b

a a

a









(38)

Scalar Triple Product

Geometric representation

• a,b,c vektor

• β sudut antara (bxc) dan a

• h tinggi parallelogram

b

|

| luas

mempunyai c

dan b

sisi dg

alas genjang

jajaran cos

|

cos

|

||

|

| ) (

|

) (

c b area h

height a

c b a c

b a

c b Besar a



















c b x c

a

β h

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

Referensi

• Advanced Engineering Mathematic, chapter 9

• Warsun Najib, Jurusan Teknik Elektro FT UGM

(49)

(50)

Tugas

(51)

) 3 2

(

) 4 3

(

vektor 2

antara Sudut

Berapakah 7.

j i

b j

i

a       ) 0 , 2 , 2 (

) 1 , 1 , 1 (

B.

) 0 , 2 , 6 (

) 0 , 1 , 1 (

A.

Q terminal dan titik

P awal ik

dengan tit ektor v

komponen v pada

| v

| besaran Tentukan

6.



Q P

(52)