يرﻮﺌﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو دازآ تﺎﺷﺎﻌﺗرا و ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳا ﻞﯿﻠﺤﺗﻪﺳ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻايﺪﻌﺑ ﯽﺳﺪﻨﻬﻣﮏﯿﻧﺎﮑﻣسرﺪﻣ

(1)

ﯽﺸﻫوﮋﭘ ﯽﻤﻠﻋ ﻪﻣﺎﻨﻫﺎﻣ

ﯽﺳﺪﻨﻬﻣ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ

سرﺪﻣ

mme.modares.ac.ir

ﻦﯾا ﻪﺑ عﺎﺟرا ياﺮﺑ ﺪﯿﯾﺎﻤﻧ هدﺎﻔﺘﺳا ﻞﯾذ ترﺎﺒﻋ زا ﻪﻟﺎﻘﻣ

: Please cite this article using:

M. Alizadeh, A. Alibeigloo, Static and free vibration analyses of functionally graded sandwich plates using three dimensional theory of elasticity, Modares Mechanical Engineering, Vol. 14, No. 10, pp. 195-204, 2014 (In Persian)

يرﻮﺌﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو دازآ تﺎﺷﺎﻌﺗرا و ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳا ﻞﯿﻠﺤﺗ ﻪﺳ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يﺪﻌﺑ

هداﺰﯿﻠﻋ ﻦﺴﺤﻣ ﯽﻠﻋ ﺮﺒﮐا ،

1

ﻮﻠﮕﯿﺑ

2

*

1 - ،ﺪﺷرا ﯽﺳﺎﻨﺷرﺎﮐ يﻮﺠﺸﻧاد هﺎﮕﺸﻧاد ،ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ ﯽﺳﺪﻨﻬﻣ هﺪﮑﺸﻧاد

ناﺮﻬﺗ ،سرﺪﻣ ﺖﯿﺑﺮﺗ

2 - ناﺮﻬﺗ ،سرﺪﻣ ﺖﯿﺑﺮﺗ هﺎﮕﺸﻧاد ،ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ ﯽﺳﺪﻨﻬﻣ هﺪﮑﺸﻧاد ،رﺎﯿﺸﻧاد

* ﯽﺘﺴﭘ قوﺪﻨﺻ ،ناﺮﻬﺗ 143

- 14115

، [email protected]

ﻪﻟﺎﻘﻣ تﺎﻋﻼﻃا هﺪﯿﮑﭼ

ﻞﻣﺎﮐ ﯽﺸﻫوﮋﭘ ﻪﻟﺎﻘﻣ :ﺖﻓﺎﯾرد 21 يد 1392ﺪﻨﻔﺳا19 :شﺮﯾﺬﭘ 1392 ﺮﻬﻣ06 :ﺖﯾﺎﺳ رد ﻪﺋارا 1393

ﺶﻫوﮋﭘ ﻦﯾا رد قرو دازآ تﺎﺷﺎﻌﺗرا و ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳا رﺎﺘﻓر ﯽﺳرﺮﺑ ﻪﺑ

ﻪﯾور و ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ ﻪﺘﺴﻫ زا ﻞﮑﺸﺘﻣ ﯽﻠﯿﻄﺘﺴﻣ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ يﺎﻫ ﺎﯾ و ﻦﮕﻤﻫ يﺎﻫ

ﻪﯾور ﻪﺟرد ﺖﻣﺎﺨﺿ يﺎﺘﺳار رد داﻮﻣ ،ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ ﻪﯾﻻ رد .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺘﺧادﺮﭘ ﻦﮕﻤﻫ ﻪﺘﺴﻫ و ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ داﻮﻣ ﺲﻨﺟ زا يﺎﻫ هﺪﺷ يﺪﻨﺑ

زا و ﺪﻧا

ﭘ ﯽﻧاﻮﺗ ﻊﯾزﻮﺗ ﺖﯿﻌﺑﺎﺗ ﯽﻣ يوﺮﯿ

ﻪﯿﮑﺗ يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ ﺎﺑ قرو .ﺪﻨﻨﮐ ﺮﺑ ﻪﻟﺄﺴﻣ ﻞﺣ سﺎﺳا .ﺖﺳا ﯽﻧﺎﻗﻮﻓ ﺢﻄﺳ ﺮﺑ ﺖﺧاﻮﻨﮑﯾ ﻊﯾزﻮﺗ ﺎﺑ رﺎﺸﻓ ﺖﺤﺗ هدﺎﺳ هﺎﮔ

ﺶﻨﺗ ،لدﺎﻌﺗ تﻻدﺎﻌﻣ ﺐﯿﮐﺮﺗ زا .ﺖﺳا هﺪﺷ ﺎﻨﺑ يﺪﻌﺑ ﻪﺳ ﮥﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يرﻮﺌﺗ ﮥﯾﺎﭘ -

ﺶﻧﺮﮐ و ﺶﻧﺮﮐ -

جاﺮﺨﺘﺳا ﻢﮐﺎﺣ ﺖﻟﺎﺣ يﺎﻀﻓ تﻻدﺎﻌﻣ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ

ا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﺲﭙﺳ .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﯿﮑﺗ ﻂﯾاﺮﺷ ﻪﮐ قرو ﯽﺿﺮﻋ و ﯽﻟﻮﻃ يﺎﻫﺎﺘﺳار رد ﻪﯾرﻮﻓ ﻂﺴﺑ ز

ﻞﺣ ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ ترﻮﺼﺑ ،ﺪﻨﮐ ﯽﻣ ءﺎﺿرا ار هدﺎﺳ ﯽﻫﺎﮔ

ﻪﺤﺻ و ﯽﺠﻨﺳرﺎﺒﺘﻋا ياﺮﺑ ناﻮﺗ ﯽﻣ ﺮﺿﺎﺣ ﻞﺣ زا .ﺖﺳا هﺪﺷ يرﻮﺌﺗ ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ تﺎﯿﺿﺮﻓ لﺎﻤﻋا ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ ﺞﯾﺎﺘﻧ يراﺬﮔ

.دﺮﮐ هدﺎﻔﺘﺳا يﺪﻌﺑ ود يﺎﻫ

ﻣ ﺞﯾﺎﺘﻧ ﺎﺑ ﻞﺻﺎﺣ ﺞﯾﺎﺘﻧ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ﺎﺑ ﺲﭙﺳ ﻪﻟﺎﻘ

ﺖﻣﺎﺨﺿ ﺖﺒﺴﻧ ،ﯽﻧاﻮﺗ ﺐﯾﺮﺿ ﺮﯿﺛﺄﺗ ﺖﯾﺎﻬﻧ رد .ﺖﺳا هﺪﺷ ﺪﯿﯾﺄﺗ رﻮﮐﺬﻣ شور ﺖﻗد و ﺖﺤﺻ ،ﺮﺒﺘﻌﻣ يﺎﻫ

ﻪﯾﻻ .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺋارا ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو رﺎﺘﻓر رد ضﺮﻋ ﻪﺑ لﻮﻃ ﺖﺒﺴﻧ و لﻮﻃ ﻪﺑ ﺖﻣﺎﺨﺿ ﺖﺒﺴﻧ ،ﺎﻫ

:نﺎﮔژاو ﺪﯿﻠﮐ ﯽﻠﯿﻄﺘﺴﻣ قرو ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ داﻮﻣ ﯽﺷﺎﻌﺗرا و ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳا ﻞﯿﻠﺤﺗ ﻪﺳ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يﺪﻌﺑ

Static and free vibration analyses of functionally graded sandwich plates using three dimensional theory of elasticity

Mohsen Alizadeh, Akbar Alibeigloo^*

Department of Mechanical Engineering, Tarbiat Modares University, Tehran, Iran.

* P.O.B. 14114-143 Tehran, Iran, [email protected]

ARTICLE INFORMATION ABSTRACT

Original Research Paper Received 11 January 2014 Accepted 10 March 2014 Available Online 28 September 2014

In this study, static and free vibration behaviors of two type of sandwich plates based on the three dimensional theory of elasticity are investigated. The core layer of one type is functionally graded (FG) with the homogeneous face sheets where as in second type the core layer is isotropic with the face sheets FG material. Plate is under uniform pressure at the top surface and free from traction in the bottom surface. The effective material properties of FG layers are estimated to vary continuously through the thickness direction according to a power-law distribution in terms of the volume fractions of the constituents. State space differential equations are obtained from equilibrium equations and constitutive relations. The obtained governing differential equations are solved by using Fourier series expansion along the in plane directions and state space technique across the thickness direction. Accuracy and exactness of the present approach is validated by comparing the numerical results with the published results. Furthermore it is possible to validate the exactness of the conventional two dimensional theories. Finally the influences of volume fraction, width-to-thickness ratios and aspect ratio on the vibration and static behaviors of plate are investigated.

Keywords:

Rectangular Plate Functionally Graded Material Static and Free Vibration Analyses Three Dimensional

1 - ﻪﻣﺪﻘﻣ هزﺎﺳ ﺮﺑ ﻢﮐﺎﺣ ﯽﻠﮐ لﻮﺻا ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ يﺎﻫ

.ﺖﺳا نﺎﺴﮑﯾ ﺎﻬﻧآ يﻻﺎﺑ عﻮﻨﺗ دﻮﺟو ﺎﺑ1

هزﺎﺳ ﻦﯾا رد ار ﻦﯿﯾﺎﭘ ﯽﻟﺎﮕﭼ ﺎﺑ ﻢﯿﺨﺿ ﮥﺘﺴﻫ ﮏﯾ ﻪﮐ) كزﺎﻧ و يﻮﻗ ﻪﯾور ود زا ﺎﻫ

ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﺑ لﺎﺼﺗا ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ ،(ﺪﻧا هﺪﺷ ﻞﯿﮑﺸﺗ ،ﻪﺘﺴﻫ ﻪﺑ ﻪﯾور

ﯽﻠﺻا زا ﯽﮑﯾ.ﺪﻧا ﻦﯾﺮﺗ

ﯽﻧاﺮﮕﻧ كﺮﺘﺸﻣ ﺢﻄﺳ رد قرﻮﺗ و كﺮﺗ لﺎﻤﺘﺣا ﯽﯾﺎﻫرﺎﺘﺧﺎﺳ ﻦﯿﻨﭼ درﻮﻣ رد ﺎﻫ

ﺶﻨﺗ ﺰﮐﺮﻤﺗ ﺮﺛا ﺮﺑ ،ﻪﯾور و ﻪﺘﺴﻫ ﻦﯿﺑ ﯽﺘﺨﺳ فﻼﺘﺧا زا ﯽﺷﺎﻧ ﯽﺿﺮﻋ ﯽﺷﺮﺑ يﺎﻫ

1- Sandwich Structure

ﻪﯾور ﯽﻣ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻪﺘﺴﻫ و ﺎﻫ .دﻮﺷ هزﺎﺳ نﺎﻨﯿﻤﻃا ﺖﯿﻠﺑﺎﻗ ﺪﯾﺪﺷ ﺖﻓا ﺚﻋﺎﺑ ﺪﻧاﻮﺗ

ﺪﻣ داﻮﻣ ﻦﮕﻤﻫﺎﻧ ﯽﺒﯿﮐﺮﺗ داﻮﻣ زا يﺪﯾﺪﺟ هوﺮﮔ ﯽﻌﺑﺎﺗ جر و ﺶﯾارآ ﻪﮐ ﺪﻨﺘﺴﻫ2

ﻪﺑ ﺎﻬﻧآ ﯽﮑﯾﺰﯿﻓ تﺎﯿﺻﻮﺼﺧ و داﻮﻣ ﺐﯿﮐﺮﺗ ﺖﺒﺴﻧ ﺎﯾ ﮏﯾ رد مﺮﻧ و ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ترﻮﺻ

ﻪﺳ تﺎﺼﺘﺨﻣ زا ﺎﺘﺳار ﺪﻨﭼ ﻪﻄﻘﻧ زا يﺪﻌﺑ

ﯽﻣ ﺮﯿﯿﻐﺗ ﺮﮕﯾد ﮥﻄﻘﻧ ﻪﺑ يا ﻪﺑ .ﺪﯾﺎﻤﻧ

ا ﺐﯾﺮﺿ ،ﮓﻧﺎﯾ لوﺪﻣ ﻞﯿﺒﻗ زا ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ داﻮﻣ صاﻮﺧ ﺮﮕﯾد ترﺎﺒﻋ طﺎﺴﺒﻧ

ﺮﯿﯿﻐﺗ ﺪﻌﺑ ﺪﻨﭼ ﺎﯾ ﮏﯾ رد صﺎﺧ ﯽﻌﺑﺎﺗ ﻖﺒﻃ ﯽﺗراﺮﺣ ﺖﯾاﺪﻫ ﺐﯾﺮﺿ و ﯽﺗراﺮﺣ

2- Nonhomogeneous

(2)

196

،سرﺪﻣ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ ﯽﺳﺪﻨﻬﻣ يد

1393 هرود ، 14

، هرﺎﻤﺷ 10

ﯽﻣ ﻞﯿﮑﺸﺗ داﻮﻣ ﯽﻤﺠﺣ ﺮﺴﮐ رد ﺮﯿﯿﻐﺗ ﺎﺑ رﺎﮐ ﻦﯾا .ﺪﯾﺎﻤﻧ ﺎﻬﻧآ رﺎﺘﺧﺎﺳﺰﯾر و هﺪﻨﻫد

ﻪﺑ ﻪﮐ هداد نﺎﺸﻧ ﺮﯿﺧا يرﻮﺌﺗ و ﯽﺑﺮﺠﺗ تﺎﻘﯿﻘﺤﺗ .دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ ﻦﮑﻤﻣ يﺮﯿﮔرﺎﮐ

ﺶﻨﺗ ،ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ يﺎﻫرﺎﺘﺧﺎﺳ رد ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ ﮥﺘﺴﻫ يﺎﻫ

ﻪﺤﻔﺻ ود نﺎﯿﻣ ﯽﺷﺮﺑ

ﯽﻣ ﺶﻫﺎﮐ تﺪﺷ ﻪﺑ ار ﺶﻨﺗ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾا رد هوﻼﻌﺑ .ﺪﻫد

ﻪﺤﻔﺻ يﺎﻫ ﻦﯿﺑ رد يا

ﻪﯾﻻ ﯽﺘﯾزﻮﭙﻣﺎﮐ داﻮﻣ رد كﺮﺗ ﺶﯾاﺪﯿﭘ ﻞﮑﺸﻣ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ ﺮﺑاﺮﺑ ﻢﻫ ﺎﺑ ﺎﻫ

ﺶﻨﺗ زا ﯽﺷﺎﻧ ﻪﮐ ﻪﺑ و ﺪﻧﺎﻤﺴﭘ يﺎﻫ

ﻦﯿﺑ ﯽﺗراﺮﺣ طﺎﺴﺒﻧا ﺐﯾﺮﺿ فﻼﺘﺧا ﻞﯿﻟد

ﺪﻣ داﻮﻣ رد ،ﺖﺳا ﻪﻨﯿﻣز هدﺎﻣ و فﺎﯿﻟا ﺖﺒﺴﻧ ﯽﺠﯾرﺪﺗ ﺮﯿﯿﻐﺗ ﻞﯿﻟد ﻪﺑ ﯽﻌﺑﺎﺗ جر

نارﺎﮑﻤﻫ و ارﻮﻣﺎﮐﺎﻧ .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻊﻓر ﯽﺒﯿﮐﺮﺗ داﻮﻣ ]

1 [ جرﺪﻣ داﻮﻣ ﺲﻨﺟ زا قرو ،

ﻪﯾﻻ ﺎﺑ ﯽﻌﺑﺎﺗ رد .ﺪﻧدﺮﮐ ﯽﺳرﺮﺑ ﯽﺿﺮﻋ ﺖﺧاﻮﻨﮑﯾ رﺎﺑ ﺖﺤﺗ ار ﮏﯾﺮﺘﮑﻟاوﺰﯿﭘ يﺎﻫ

ﮏﯿﺳﻼﮐ ﻞﺣ ﺎﺑ و ﻪﺋارا يﺪﻌﺑ ﻪﺳ ﮥﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا ﻞﺣ ﺪﻧداد مﺎﺠﻧا ﻪﮐ ﯽﻘﯿﻘﺤﺗ ﻪﺳ ﻞﺣ ﺪﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﻪﮐ ،ﺪﻧدﺮﮐ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ﻖﯿﻗد رﺎﯿﺴﺑ يﺪﻌﺑ

ﯽﻣ ﺮﺗ ﻦﯾا و ﺪﺷﺎﺑ

ﺖﻣﺎﺨﺿ رد ﺖﻗد ﮓﻨﭼ و يدر .ﺖﺳا ﺮﺗدﻮﻬﺸﻣ ﻻﺎﺑ يﺎﻫ

] 2 [ زا قرو ﻞﮑﺷ ﺮﯿﯿﻐﺗ ،

ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ داﻮﻣ ﺲﻨﺟ ﻪﯿﮑﺗ يور

ﺎﺑ ار ﯽﺗراﺮﺣ و ﯽﮑﯿﻧﺎﮑﻣ رﺎﺑ ﺖﺤﺗ هدﺎﺳ هﺎﮔ

ﺞﯾﺎﺘﻧ نﺎﺸﯾا .ﺪﻧدﺮﮐ ﻞﯿﻠﺤﺗ و ﯽﺳرﺮﺑ يﺪﻌﺑ ﻪﺳ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يرﻮﺌﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا يرﻮﺌﺗ ﺎﺑ ار دﻮﺧ ﺖﻣﺎﺨﺿ ﺶﯾاﺰﻓا ﺎﺑ ﺪﺷ هﺪﻫﺎﺸﻣ ﻪﮐ ﺪﻧدﺮﮐ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ يﺪﻌﺑ ود يﺎﻫ

يرﻮﺌﺗ رد قرو ﯽﻣ ﺶﯾاﺰﻓا ﺎﻄﺧ يﺪﻌﺑود يﺎﻫ

ﻪﺳ ﻞﺣ و ﺪﺑﺎﯾ ﺐﺗاﺮﻣ ﻪﺑ يﺪﻌﺑ

ﻗد ﻖﯿ ﯽﻣ ﺮﺗ .ﺪﺷﺎﺑ

رﻮﮑﻧز ] 3 [ داﻮﻣ زا هﺪﺷ ﻪﺘﺧﺎﺳ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو دازآ تﺎﺷﺎﻌﺗرا و ﺶﻧﺎﻤﮐ ،

ﻪﺋارا ار ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو ﺶﻤﺧ يﺪﻌﺑود ﻞﺣ ﻖﯿﻘﺤﺗ ﻦﯾا رد .ﺪﻧدﺮﮐ

ﻪﯿﮑﺗ يور ﺮﺑ لوﺪﻣ و نﻮﺳاﻮﭘ ﺐﯾﺮﺿ ﻪﮐ ﺖﺳا هﺪﺷ ضﺮﻓ و مﺎﺠﻧا هدﺎﺳ هﺎﮔ

ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ تاﺮﯿﯿﻐﺗ ﺖﻣﺎﺨﺿ يﺎﺘﺳار رد ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا نارﺎﮑﻤﻫ و ﯽﻟ .ﺪﻧراد يا

] 4 [ ،

ﻪﺳ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يرﻮﺌﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﺎﺑ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو دازآ تﺎﺷﺎﻌﺗرا ،يﺪﻌﺑ

ﻪﯾﻻ ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ زا نﺎﺸﯾا ﻞﯿﻠﺤﺗ رد .ﺪﻧدﺮﮐ ﯽﺳرﺮﺑ ار ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ يﺎﻫ يا

فﻮﺸﯿﺒﭼ ﺰﺘﯾر شور و1

ﻮﺘﭽﺴﯾﺮﺑ .ﺖﺳا هدﻮﻤﻧ هدﺎﻔﺘﺳا2

] 5 [ ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳا ﻞﯿﻠﺤﺗ ،

ﻪﯿﮑﺗ يور ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ ﭻﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو ﺘﺳا ﺎﺑ ار هدﺎﺳ هﺎﮔ

لﺪﻣ زا هدﺎﻔ يﺎﻫ

وESL

زا ﻪﺘﺴﻫ ﻪﮐ ﺖﺳا هدﺮﮐ ضﺮﻓ دﻮﺧ ﻖﯿﻘﺤﺗ رد ﻮﺘﭽﺴﯾﺮﺑ .ﺖﺳا هدﺮﮐ ﻪﺋاراLW

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﺖﻣﺎﺨﺿ يﺎﺘﺳار رد و ﺖﺳا ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ داﻮﻣ ﺲﻨﺟ يا

.ﺖﺳا هﺪﺷ هدز ﻦﯿﻤﺨﺗ رﺪﻧاﮋﻟ نارﺎﮑﻤﻫ و ﯽﻔﻗاو ]

6 [ رﺎﺑ ﺖﺤﺗ ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ كزﺎﻧ قرو يﺪﻌﺑ ﻪﺳ ﻞﯿﻠﺤﺗ ،

ﺶﻣ شور زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳا فوﺮﺘﭘ يﺪﻨﺑ

- ﻦﯿﮐﺮﻠﮔ رد .ﺪﻧداد مﺎﺠﻧا ار3

لوﺪﻣ ﻪﮐ ﺪﺷ ضﺮﻓ ﺪﻧداد مﺎﺠﻧا ﻪﮐ ﯽﻘﯿﻘﺤﺗ ﺎﺑ ﺖﻣﺎﺨﺿ يﺎﺘﺳار رد ﮓﻧﺎﯾ

ﯽﻣ ﺖﺑﺎﺛ نﻮﺳاﻮﭘ ﺐﯾﺮﺿ و ﺖﺳا ﺮﯿﻐﺘﻣ ﯽﯾﺎﻤﻧ ﺖﯿﻌﺑﺎﺗ نارﺎﮑﻤﻫ و ﺰﯾﺰﻌﻟاﺪﺒﻋ.ﺪﺷﺎﺑ

] 7 [ ار ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ داﻮﻣ ﺲﻨﺟ زا ﮥﺘﺴﻫ ﺎﺑ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳا ﻞﯿﻠﺤﺗ ،

حﻼﺻا يرﻮﺌﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﻦﯾا .ﺪﻧداد مﺎﺠﻧا قرو يﻻﺎﺑ ﻪﺒﺗﺮﻣ ﻞﮑﺷﺮﯿﯿﻐﺗ هﺪﺷ

ﻼﺻا يﺪﻌﺑود يرﻮﺌﺗ ح

ﻪﺑ ﻞﮑﺷﺮﯿﯿﻐﺗ يﺪﻌﺑود يﺎﻬﯾرﻮﺌﺗ ﺮﯾﺎﺳ فﻼﺧﺮﺑ هﺪﺷ

يﺎﺟ 5 ﻞﻣﺎﺷ ،ﺮﯿﻐﺘﻣ ﻊﺑﺎﺗ 4

هدﺎﺳ ﺚﻋﺎﺑ ﻪﮐ ﺖﺳا ﺮﯿﻐﺘﻣ ﻊﺑﺎﺗ هﺪﺷ ﻞﺣ نﺪﺷ ﺮﺗ

يرﻮﺌﺗ ﺮﯾﺎﺳ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ار دﻮﺧ يﺪﻣآرﺎﮐ لﺎﺣ ﻦﯿﻋ رد و ﻆﻔﺣ يﺪﻌﺑود يﺎﻫ

ﻢﮑﯿﻧﺎﻣ و نﺎﺟاﺮﺘﻧ.ﺖﺳا هدﺮﮐ ]

8 [ ﻞﮑﺷﺮﯿﯿﻐﺗ يﻻﺎﺑ ﻪﺒﺗﺮﻣ يرﻮﺌﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ،

نﺎﻤﻟا ﺎﺑ جرﺪﻣ داﻮﻣ ﺲﻨﺟ زا ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو تﺎﺷﺎﻌﺗرا و ﺶﻤﺨﯾﻮﻤﻬﺳ يﺎﻫ

يﺪﻤﺤﻣ و ﯽﻠﯿﻠﺧ.ﺪﻧدﺮﮐ ﯽﺳرﺮﺑ ار ﯽﻌﺑﺎﺗ ]

9 [ قرو دازآ تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﻞﯿﻠﺤﺗ ،

ر ﺎﺑ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ ﻪﯾو

ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو داﻮﻣ صاﻮﺧ ﻪﮐ ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ داﻮﻣ ﺲﻨﺟ زا يﺎﻫ

ﺎﻬﻧآ.ﺪﻧداد مﺎﺠﻧا هﺪﺷ حﻼﺻا يﻻﺎﺑ ﻪﺒﺗﺮﻣ يرﻮﺌﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ار ﺪﻨﺷﺎﺑ ﺎﻣد ﻪﺑ ﺖﻣﺎﺨﺿ يﺎﺘﺳار رد ﺎﻣد ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ داﻮﻣ صاﻮﺧ ﺖﯿﻌﺑﺎﺗ ﻪﮐ ﺪﻧدﺮﮐ ضﺮﻓ لﻮﻣﺮﻓ ﻖﺒﻃ ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ترﻮﺻ و ﯽﻤﺷﺎﻫ ﯽﻨﯿﺴﺣ .ﺖﺳا ﺮﯿﻐﺘﻣ ﯽﻧاﻮﺗ نﻮﻧﺎﻗ يﺪﻨﺑ

ﯽﻣﺮﺧ ] 10 [ ﻪﻧاﻮﺘﺳا ﻪﺘﺳﻮﭘ دازآ شﺎﻌﺗرا ﻞﯿﺤﺗ ، ﺷ ﻪﺘﺧﺎﺳ ﻢﯿﺨﺿ ًﺎﺘﺒﺴﻧ يا

زا هﺪ

1- Chebyshev

2- Ritz 3- Petrov–Galerkin

تﺎﻌﺑﺮﻣ شور زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ار ﮏﯿﺳﻼﮐ يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ ﺎﺑ ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ داﻮﻣ مﺮﻧ و ﯽﻠﺿﺎﻔﺗ نارﺎﮑﻤﻫ و ﯽﻤﺷﺎﻫ ﯽﻨﯿﺴﺣ .ﺪﻧداد مﺎﺠﻧا سﻮﮐﺎﺑآ راﺰﻓا

] 11 [ ،

ﻪﯾﻻ ﺎﺑ ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ ﻢﯿﺨﺿ ًﺎﺘﺒﺴﻧ ﯽﻠﯿﻄﺘﺴﻣ قرو دازآ تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﻞﯿﻠﺤﺗ يﺎﻫ

نارﺎﮑﻤﻫ و يﺪﯿﻤﺣ.ﺪﻧدﻮﻤﻧ ﻪﺋارا ار ﻦﯿﻟﺪﻨﯿﻣ يرﻮﺌﺗ سﺎﺳاﺮﺑ ﺪﻨﻤﺷﻮﻫ ]

12 [ ،

رﺎﺑ ﺖﺤﺗ ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ داﻮﻣ ﺲﻨﺟ زا ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو ﺶﻤﺧ ﻞﯿﻠﺤﺗ يرﻮﺌﺗ رد هﺪﺷ حﻼﺻا ﺮﯿﻐﺘﻣ رﺎﻬﭼ ﻦﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ﺎﺑ ار ﯽﮑﯿﻧﺎﮑﻣﻮﻣﺮﺗ نارﺎﮑﻤﻫ و جﺎﺗ ﻦﺸﻠﮔ .ﺪﻧداد مﺎﺠﻧا ﯽﺷﺮﺑ ﻞﮑﺷﺮﯿﯿﻐﺗ ]

13 [ ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳا ﻞﯿﻠﺤﺗ ،

ﻪﯿﮑﺗ يور ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ داﻮﻣ ﺲﻨﺟ زا قرو هﺎﮔ

ﺖﺧاﻮﻨﮑﯾ رﺎﺑ ﺖﺤﺗ ﻒﻠﺘﺨﻣ يﺎﻫ

يﻻﺎﺑ ﻪﺒﺗﺮﻣ يﺪﻌﺑود يرﻮﺌﺗ زا نﺎﺸﯾا ﻖﯿﻘﺤﺗ رد .ﺪﻧداد مﺎﺠﻧا ار ﯽﺿﺮﻋ ) ﻞﮑﺷﺮﯿﯿﻐﺗ فﺮﺻ ﯽﺷﺮﺑ ﺢﯿﺤﺼﺗ ﺐﯾﺮﺿ زا و ﺖﺳا هﺪﺷ هدﺎﻔﺘﺳا (HSDT

ﺮﻈﻧ

ا هﺪﺷ نارﺎﮑﻤﻫ و ﯽﻤﯿﺣر .ﺖﺳ ]

14 [ شور ﺐﯿﮐﺮﺗ ﺎﺑ ، و ﯽﻠﺿﺎﻔﺗ تﺎﻌﺑﺮﻣ يﺎﻫ

ﺮﺑ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا ﻞﺣ ﮏﯾ ﺖﻟﺎﺣ يﺎﻀﻓ ﺮﺘﺴﺑ ﺮﯿﺛﺄﺗ و دازآ تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﯽﺳرﺮﺑ يا

ﻪﯾﻻ رد ﺪﯿﻘﻣ ﻪﺘﻬﺟود ﯽﻌﺑﺎﺗ جﺪﻣ ﺮﯿﺗ ﮏﯾ رد ﮏﯿﺘﺳﻻا ﻪﺋارا ،ﮏﯾﺮﺘﮑﻟاوﺰﯿﭘ يﺎﻫ

نارﺎﮑﻤﻫ و ساﻮﻧ.ﺪﻧدﺮﮐ ]

15 [

، ﻞﯿﻠﺤﺗ قرو دازآ تﺎﺷﺎﻌﺗرا و ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳا ،ﺶﻧﺎﻤﮐ

و قرو يﻻﺎﺑ ﻪﺒﺗﺮﻣ ﻞﮑﺷﺮﯿﯿﻐﺗ يرﻮﺌﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ار ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو و ﻦﮕﻤﻫ ﺶﻣ ﮏﯿﻨﮑﺗ نارﺎﮑﻤﻫ و ﯽﺳوﺎﮐآ .ﺪﻧداد مﺎﺠﻧا يﺪﻨﺑ

] 16 [ ﺮﺛا ﻦﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ﺎﺑ ،

ﯽﺷﺮﺑ ﻞﮑﺷﺮﯿﯿﻐﺗ ﮏﯿﺘﺳﻻا ﺮﺘﺴﺑ يور ﺮﺑ ﻪﮐ ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ قرو دازآ تﺎﺷﺎﻌﺗرا ،

ﯽﺷﺮﺑ ﻞﮑﺷﺮﯿﯿﻐﺗ يرﻮﺌﺗ زا دﻮﺧ ﻖﯿﻘﺤﺗ رد نﺎﺸﯾا .ﺪﻧدﺮﮐ ﯽﺳرﺮﺑ ار دراد راﺮﻗ ﻦﺘﻠﯿﻤﻫ ﻞﺻا زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ قرو ﺮﺑ ﻢﮐﺎﺣ تﻻدﺎﻌﻣ .ﺪﻧدﺮﮐ هدﺎﻔﺘﺳا ﻻﺎﺑ ﻪﺒﺗﺮﻣ

4

هﺪﺷ جاﺮﺨﺘﺳا ﯽﻠﻋ.ﺪﻧا

ﻮﻠﮕﯿﺑ ] 17 [ ﻪﺳ ﮏﯿﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻞﯿﻠﺤﺗ ، ﻞﻧﺎﭘ يﺪﻌﺑ

ﻪﻧاﻮﺘﺳا .ﺖﺳا هدﺮﮐ ﻪﺋارا ار ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ داﻮﻣ ﺲﻨﺟ زا ﻪﺘﺴﻫ ﺎﺑ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ يا ﻪﮐ ﺪﻫد ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ﻪﻨﯿﻣز ﻦﯾا رد هﺪﺷ مﺎﺠﻧا تﺎﻘﯿﻘﺤﺗ ﺮﺑ ﻖﯿﻗد روﺮﻣ يﺪﻌﺑ ﻪﺳ يرﻮﺌﺗ سﺎﺳا ﺮﺑ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو ﯽﺷﺎﻌﺗرا و ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳا ﻞﯿﻠﺤﺗ

راﺰﮔ نﻮﻨﮐﺎﺗ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا ﻪﺳ ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ ﻞﺣ ﺮﺿﺎﺣ ﺶﻫوﮋﭘ رد.ﺖﺳا هﺪﺸﻧ ش

قرو زا عﻮﻧ ود ﯽﺷﺎﻌﺗرا و ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳ رﺎﺘﻓر ياﺮﺑ يﺪﻌﺑ جرﺪﻣ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ يﺎﻫ

ﻪﯾرﻮﻓ يﺮﺳ و ﺖﻟﺎﺣ يﺎﻀﻓ شور زا ﯽﺒﯿﮐﺮﺗ ﺎﺑ .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺋارا ﯽﻠﯿﻄﺘﺴﻣ ﯽﻌﺑﺎﺗ ناﺪﯿﻣ ﺲﻧﺎﮐﺮﻓ و نﺎﮑﻣ ﺮﯿﯿﻐﺗ و ﺶﻨﺗ يﺎﻫ ﯽﺳرﺮﺑ و ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ قرو ﯽﻌﯿﺒﻃ يﺎﻫ

هﺪﺷ ﺳا هﺪﺷ ضﺮﻓ .ﺪﻧا ﻪﺟرد ﺖﻣﺎﺨﺿ يﺎﺘﺳار رد داﻮﻣ ،ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ ﻪﯾﻻ رد ﺖ

-

ﯽﻣ يوﺮﯿﭘ ﯽﻧاﻮﺗ ﻊﯾزﻮﺗ ﺖﯿﻌﺑﺎﺗ زا و يﺪﻨﺑ ﻪﯿﮑﺗ يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ ﺎﺑ قرو .ﺪﻨﻨﮐ

هﺎﮔ

ﯽﻣ ﯽﻧﺎﻗﻮﻓ ﺢﻄﺳ ﺮﺑ ﺖﺧاﻮﻨﮑﯾ ﻊﯾزﻮﺗ ﺎﺑ رﺎﺸﻓ ﺖﺤﺗ هدﺎﺳ .ﺪﺷﺎﺑ

2 - ﻪﻟﺄﺴﻣ ﺢﯾﺮﺸﺗ

2 - 1 - ﻪﻟﺄﺴﻣ ﻪﺳﺪﻨﻫ

قرو ﮥﺳﺪﻨﻫ هﺎﮕﺘﺳد ﺖﯿﻌﻗﻮﻣ و ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ درﻮﻣ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ يﺎﻫ

رد ،تﺎﺼﺘﺨﻣ

ﻞﮑﺷ يﺎﻫ 1 و 2 هﺪﺷ هداد نﺎﺸﻧ يﺎﺘﺳار رد قرو ضﺮﻋ و لﻮﻃ .ﺖﺳا

وx y

ﻪﺑ ﺐﯿﺗﺮﺗ و a

قرو ﻞﮐ ﺖﻣﺎﺨﺿ ،b

ﯽﻣh

رد تﺎﺼﺘﺨﻣ هﺎﮕﺘﺳد أﺪﺒﻣ و ﺪﺷﺎﺑ

ﻪﯿﮑﺗ ياراد قرو .دراد راﺮﻗ قرو ﯽﻧﺎﯿﻣ ﮥﺤﻔﺻ هﺎﮔ

ﺎﺑ رﺎﺸﻓ ﺖﺤﺗ و هدﻮﺑ هدﺎﺳ يﺎﻫ

ﺖﺧاﻮﻨﮑﯾ ﻊﯾزﻮﺗ

P0

ﯽﻣ .ﺪﺷﺎﺑ

ﻞﮑﺷ 1 ﻒﻟا عﻮﻧ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو رد تﺎﺼﺘﺨﻣ هﺎﮕﺘﺳد ﺖﯿﻌﻗﻮﻣ و دﺎﻌﺑا ،ﻪﺳﺪﻨﻫ

4- Hamilton’s Principle

(3)

1393 هرود ، 14

، هرﺎﻤﺷ

197 10

ﻞﮑﺷ 2 ب عﻮﻧ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو رد تﺎﺼﺘﺨﻣ هﺎﮕﺘﺳد ﺖﯿﻌﻗﻮﻣ و دﺎﻌﺑا ،ﻪﺳﺪﻨﻫ

ﻪﺑ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو عﻮﻧ ود ﺮﺿﺎﺣ ﻖﯿﻘﺤﺗ رد ﯽﻣ ﺮﻈﻧ ﺪﻣ ﺮﯾز ترﻮﺻ

:ﺪﺷﺎﺑ

ﻞﮑﺷ) ﻒﻟا عﻮﻧ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو 1

رو ﻪﺘﺴﻫ :(

ﻪﯾور و ﻦﮕﻤﻫ ق ﺲﻨﺟ زا ﺎﻫ

ﯽﻣ ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ داﻮﻣ ﻪﯾﻻ رد ﮏﯿﻣاﺮﺳ ﯽﻤﺠﺣ ﺮﺴﮐ .ﺪﻨﺷﺎﺑ

ترﻮﺻ ﻪﺑ قرو يﺎﻫ

) ﻪﻄﺑار 1 ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ( .دﻮﺷ

) 1 (

[ ]

1 1 2

2 p 1

1

, ,

V z z z z z

z z æ - ö

=çè - ÷ø Î

[ ]

2 1, 2, 3

V = zÎ z z

[ ]

3 3 4

3 p 4

4

, ,

V z z z z z

z z æ - ö

=ç ÷ Î

è - ø

نآ رد ﻪﮐ

Z1

،ﯽﻧﺎﺘﺤﺗ ﺢﻄﺳ تﺎﺼﺘﺨﻣ

Z2

ﻦﯿﯾﺎﭘ ﻪﯾور كﺮﺘﺸﻣ ﺢﻄﺳ تﺎﺼﺘﺨﻣ

،ﻪﺘﺴﻫ و

Z3

و ﯽﯾﻻﺎﺑ ﻪﯾور و ﻪﺘﺴﻫ كﺮﺘﺸﻣ ﺢﻄﺳ تﺎﺼﺘﺨﻣ

Z4

ﺢﻄﺳ تﺎﺼﺘﺨﻣ

يﺎﺘﺳار رد قرو ﯽﻧﺎﻗﻮﻓ .ﺪﻨﺘﺴﻫZ

ﻞﮑﺷ) ب عﻮﻧ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو 2

ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ داﻮﻣ ﺲﻨﺟ زا قرو ﻪﺘﺴﻫ :(

ﻪﯾور و ﯽﻣ ﻦﮕﻤﻫ ﺎﻫ ﻪﯾﻻ رد ﮏﯿﻣاﺮﺳ ﯽﻤﺠﺣ ﺮﺴﮐ .ﺪﻨﺷﺎﺑ

ترﻮﺻ ﻪﺑ قرو يﺎﻫ

ﻪﻄﺑار ) 2 ( ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ .دﻮﺷ

) 2 (

[ ]

1 0, 1, 2

V = zÎ z z

[ ]

2 2 3

3 p 2

2

, ,

V z z z z z

z z æ - ö

=çè - ÷ø Î

[ ]

3 1, 3, 4

V = zÎ z z

2 - 2 - ﻢﮐﺎﺣ ﻂﺑاور

ﺶﻨﺗ ﻂﺑاور -

ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا لوﺪﻣ ﻪﮐ ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ هدﺎﻣ ﮏﯾ رد ﺶﻧﺮﮐ ردE

ﯽﻣ ﺮﯿﻐﺘﻣ ﺖﻣﺎﺨﺿ يﺎﺘﺳار ) ﻪﻄﺑار مﺮﻓ ﻪﺑ ﺪﺷﺎﺑ

3 .ﺖﺳا (

) 3 (

13 x

11 12

23 12

33 13

22

55 4

66 23

4

0 0 0 ε

0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

y x

y

z z

xz xz

yz yz

xy xy

C C C

C C

C s

s s

t g

é ù

ê ú

ê

ì ü ì ü

ï ï ï ï

ï ï= ï ï

í ý í ý

ï ï ï ï

î þ î

ê úú

ê ú

ë û þ

ﻪﮐ

Cij

) ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ ﻪﺑ 4

ﯽﻣ ( .ﺪﺷﺎﺑ

) 4 (

11 22 33 2

C =C =C = +l m

12 13 23

C =C =C =l

44 55 66

C =C =C =m

ﻪﮐ وµ

) ﻪﻄﺑار مﺮﻓ ﻪﺑλ

5 ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ( .ﺪﻧﻮﺷ

( ^{( )})

2 1 m E z

= n +

) 5 (¹ ⁿ^{E z})(^{( )}^{1 2} ) (

l= n n

+ -

ﻪﯾﻻ رد داﻮﻣ ﺲﻨﺟ زا ﻪﮐ ﯽﯾﺎﻫ ﯽﻣ ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ

ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا لوﺪﻣ ،ﺪﻨﺷﺎﺑ ) ﻪﻄﺑار سﺎﺳاﺮﺑ

6 ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ( .دﻮﺷ

) 6 ( ) ( c m) i m (

E z = E -E V +E

ﻪﮐ

Em

و

Ec

ﮏﯿﻣاﺮﺳ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا لوﺪﻣ و ﺰﻠﻓ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا لوﺪﻣ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﺑ

) .ﺪﻨﺘﺴﻫ

i=1,2,3

(

Vi

ﻪﯾﻻ رد ﯽﻤﺠﺣ ﺮﺴﮐ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ يﺎﻫ

ﻪﯾﻻ رد ﻦﮕﻤﻫ يﺎﻫ ﯽﻣ ﺖﺑﺎﺛ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا لوﺪﻣ

:ﺪﺷﺎﺑ E E= 0

ﻪﯾﻻ رد ﻪﮐ ﺖﺳا ﺮﮐذ ﻪﺑ مزﻻ ﺖﺑﺎﺛ نﻮﺳاﻮﭘ ﺐﯾﺮﺿ ﻦﮕﻤﻫ و ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ يﺎﻫ

.ﺖﺳا هﺪﺷ ضﺮﻓ ﻪﯿﮑﺗ ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ ﻂﺑاور ﻪﺑ هدﺎﺳ هﺎﮔ

) ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ 7

ﯽﻣ ( :ﺪﻨﺷﺎﺑ

) 7 (

x v w 0

s = = = رد^x⁼⁰^,a

y u w 0

s = = = رد^y⁼⁰^,b

ﺶﻨﺗ ﻂﺑاور زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ -

ﺶﻧﺮﮐ و ﺶﻧﺮﮐ -

ﺶﻨﺗ ﻂﺑاور نﺎﮑﻣﺮﯿﯿﻐﺗ -

نﺎﮑﻣﺮﯿﯿﻐﺗ

ﻪﺑ ) ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ 8

ﯽﻣ ﻞﺻﺎﺣ ( :ﺪﻧﻮﺷ

( )( ) (1 ) , , ,

1 1 2

x x y z

E u v w

s n n n

n n é ù

= + - ë - + + û

( )( ) , (1 ) , ,

1 1 2

y x y z

E u v w

s n n n

n n é ù

= + - ë + - + û

( )( ) , , (1 ) ,

1 1 2

z x y z

E u v w

s n n n

n n é ù

= + - ë + + - û

( )

xy 2 1 , y ,x

E u v

t = n +

+

( )

xz 2 1 ,z ,x

E u w

t = n +

+

) 8 ( )

( )

(

yz 2 1 ,z ,y

E v w

t = n +

+

ﻪﺑ ﯽﻤﺠﺣ يﺎﻫوﺮﯿﻧ بﺎﯿﻏ رد لدﺎﻌﺗ تﻻدﺎﻌﻣ ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ

) 9 ( .ﺪﻨﺘﺴﻫ

x ,x xy , y xz ,z 0 s +t +t =

xy ,x y , y yz ,z 0 t +s +t =

) 9 (

xz ,x yz , y z ,z 0 t +t +s =

ﺶﺨﺑ ندﺮﮐ ﻪﻓﺎﺿا ﺎﺑ ﻪﻄﺑار مﺮﻓ ﻪﺑ ﺖﮐﺮﺣ تﻻدﺎﻌﻣ ،لدﺎﻌﺗ تﻻدﺎﻌﻣ ﻪﺑ ﯽﺳﺮﻨﯾا

) 10 ( :ﺪﺷ ﺪﻫاﻮﺧ

2 x ,x xy,y xz ,z 2

u s +t +t =r^¶t

¶

2 xy ,x y , y yz ,z 2

v t +s +t =r^¶t

¶

) 10 (

2 xz ,x yz ,y z ,z 2

w t +t +s =r^¶t

¶

3 - ﻞﺣ ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳا

3 - 1 - ﺖﻟﺎﺣ يﺎﻀﻓ تﻻدﺎﻌﻣ جاﺮﺨﺘﺳا ﺖﺧاﻮﻨﮑﯾ رﺎﺸﻓ ﺖﺤﺗ قرو ﺖﺳا هﺪﺷ ضﺮﻓ ،ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳا ﻞﯿﻠﺤﺗ ياﺮﺑ ﺮﺑ ﯽﺿﺮﻋ

ﻪﺑ قرو ﻦﯿﯾﺎﭘ و ﻻﺎﺑ حﻮﻄﺳ رد ﯽﺤﻄﺳ ﻂﯾاﺮﺷ .دراد راﺮﻗ ﯽﻧﺎﻗﻮﻓ ﺢﻄﺳ يور ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ )

11 ( ﯽﻣ .ﺪﺷﺎﺑ

) 11 (

0 0

z P , xz yz , at z h s = - t =t = =

0 0

z xz yz , at z s =t =t = =

) تﻻدﺎﻌﻣ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ 8

) و ( 9 ﻪﻄﺑار مﺮﻓ ﻪﺑ ﺖﻟﺎﺣ يﺎﻀﻓ تﻻدﺎﻌﻣ ( )

12 (

ﯽﻣ ﺖﺳﺪﺑ .ﺪﯾآ

(4)

198

1393 هرود ، 14

، هرﺎﻤﺷ 10

z ,z xz yz

s = -t -t

( )

2 1

,z xz ,x

u w

E n t

= + -

( )

2 1

,z yz ,y

v w

E n t

= + -

( )( )

( )

1 1 2

1 1 1

,z z ,x , y

w u v

E

n n s n n

n n n

+ -

= - -

- - -

( ) ( )

1 1 2 2 1 2 1

t n s

n n n n

= - - -

- - + - -

xz ,z z ,x ,xx , yy ,xy

E E E

u u v

) 12

( ) ( ) (

, 1 , 2 1 , 1 2 , 2 1 ,

yz z z y xy yy xx

E E E

u v v

t n s

n n n n

= - - -

- - +

- -

) ﻪﻄﺑار) يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ 7

ﻂﺴﺑ ((

) ﻪﻄﺑار ﮥﯾرﻮﻓ يﺎﻫ 13

ﺶﻨﺗ ياﺮﺑ ( ﺎﻫ

نﺎﮑﻣﺮﯿﯿﻐﺗ و .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ﺎﻫ

( ) (^sin ) (^sin )

x x z p xm pny

s =s

( ) (^sin ) (^sin )

y y z p xm pny

s =s

( ) (^sin ) ( )^sin

z z z p xm pny

s =s

( ) (^cos ) (^sin )

xz xz z p xm p yn

t =t

( ) (^sin ) (^cos )

yz yz z p xm p yn

t =t

( ) (^cos ) (^cos )

xy xy z p xm p yn

t =t

( ) (^cos m ) (^sin n )

u U z= p x p y

( ) (^cos m ) (^cos n )

v V z= p x p y

) 13 ( ) (^sin m ) ( )^sin n (

w W z= p x p y

ﻪﮐ

Pm=mπ/a

و

Pn=nπ/b

) تﻻدﺎﻌﻣ يراﺬﮕﯾﺎﺟ ﺎﺑ 13

) تﻻدﺎﻌﻣ رد ( 12

ﺖﻟﺎﺣ يﺎﻀﻓ تﻻدﺎﻌﻣ ،(

) 14 .دﻮﺷ ﯽﻣ ﻞﺻﺎﺣ (

,

z z pm xz pn yz

s = t + t

( )

,

2 1

z xz m

U p W

E n t

= + -

( )

,

2 1

z yz n

V p W

E n t

= + -

( )( )

( )

,

1 1 2

1 1 1

z z n m

W p U p V

E

n n s n n

n n n

+ -

= + +

- - -

( )

2 2

, 1 1 1 2 2 1

m m n m n

xz z z

p E p p p p

U E V

t n s

n n n n

æ ö

= - - + + çè - + ÷ø + -

) 14

( )

(

2 2

, 1 1 2 1 2 1

n m n m n

yz z z

p E p p V Ep p U

t n s

n n n n

æ ö

= - - + + çè + - ÷ø + -

،ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ ﻪﯾﻻ رد ﻪﮐ ﺖﺳا ﺮﮐذ ﻪﺑ مزﻻ ﻊﺑﺎﺗE

داﻮﻣ ﺎﺑ ﻪﯾﻻرد و هدﻮﺑz

ﯽﻣ ﺖﺑﺎﺛ ﻦﮕﻤﻫ .ﺪﺷﺎﺑ

) تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد 14

ﯽﻣ ار ( ﻪﻄﺑار ﯽﺴﯾﺮﺗﺎﻣ مﺮﻓ ﻪﺑ ناﻮﺗ )

15 ( :ﺖﺷﻮﻧ

) 15 d G (

dz d= d

ﻪﮐ :ﺖﺳا ﺖﻟﺎﺣ يﺎﻀﻓ يﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ ﻞﻣﺎﺷ ﯽﻧﻮﺘﺳ رادﺮﺑδ

) 16

{

z Uz Vz Wz xz yz

}

^T (

d= s t t

) ﻞﯿﺳاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﺣ ﺎﺑ 15

) ﻪﻄﺑار ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ ﻪﯾﻻ ياﺮﺑ ( 17

ﻞﺻﺎﺣ (

ﯽﻣ :دﻮﺷ

) 17

( )

⁰ ^{( )}⁰

( )

0 , 0 (

Z

Z F

F G dz

G

F F

z e e Z z z z z

d ò ^- d

é ù

= ë û £ £

ﻪﮐ

Z0

راﺪﻘﻣ .ﺖﺳا ﯽﻌﺑﺎﺗ جرﺪﻣ ﻪﯾﻻ ﻦﯿﺋﺎﭘ ﺢﻄﺳ ردZ

) ﻞﯿﺳاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﺣ ﺎﺑ 15

( ) ﻪﻄﺑار ﻦﮕﻤﻫ ﻪﯾﻻ ياﺮﺑ 18

ﯽﻣ ﻞﺻﺎﺣ ( .دﻮﺷ

) 18

( )

⁰

( )

0 (

(z z )

, 0 GH

H z e H z z z z

d = ^- éëd ùû £ £

ﻪﮐ δH

ﺖﯿﻤﮐ ﯽﻣ ﻦﮕﻤﻫ ﻪﯾﻻ ﻦﯿﯾﺎﭘ ﺢﻄﺳ رد ﺎﻫ .ﺪﺷﺎﺑ

3 - 2 - ﻪﯾﻻ ﻦﯿﺑ نﺎﮑﻣﺮﯿﯿﻐﺗ و ﺶﻨﺗ ﯽﮕﺘﺳﻮﯿﭘ ﯽﻠﮐ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮥﺒﺳﺎﺤﻣ و ﺎﻫ

ﻪﯾﻻ ﻦﯿﺑ يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ ﯽﮕﺘﺳﻮﯿﭘ لﺎﻤﻋا ﺎﺑ رادﺮﺑ ﮥﻄﺑار ﺎﻫ

ﻦﯿﯾﺎﭘ و ﻻﺎﺑ ﺢﻄﺳδ

ﯽﻣ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﯽﻣ ﺖﺳﺪﺑ ﯽﻠﮐ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ رﺎﮐ ﻦﯾا مﺎﺠﻧا ﺎﺑ ﻪﮐ دﻮﺷ

.ﺪﯾآ

3 - 2 - 1 - ﻒﻟا عﻮﻧ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو

ﻪﯾﻻ زا ماﺪﮐﺮﻫ ياﺮﺑ رادﺮﺑ ﺎﻫ

ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ ﻪﺑδ

) 19 ( ﯽﻣ ﻪﺘﺷﻮﻧ .دﻮﺷ

( )

¹ ¹

( )

1 1 1 , 1 2

Z

Z G dzF

F z e F z z z z

d ò d

é ù

= ë û £ £

( )

^H⁽ ²⁾

( )

2 , 2 3

H

Z Z G

z e H z z z z

d = ^- éëd ùû £ £

) 19

( )

³ ²

( )

(

2 2 3 , 3 4

Z F Z

G dz

F z e F z z z z

d ò d

é ù

= ë û £ £

ﻪﻄﺑار ،ﻂﺑاور ﯽﮕﺘﺳﻮﯿﭘ ياﺮﺑ )

20 ( .ﺪﺷﺎﺑ راﺮﻗﺮﺑ ﺪﯾﺎﺑ

( ) ( )

1 2 1 1 1

F z MF F z

d = d

( )3 ( )2

H z MH H z

d = d

) 20 ( ) ( ) (

2 4 2 2 3

F z MF F z

d = d

) ﻂﺑاور ﺐﯿﮐﺮﺗ ﺎﺑ 20

ﯽﻠﮐ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ( ﻪﻄﺑار مﺮﻓ ﻪﺑS

) 21 ( ﯽﻣ ﺖﺳﺪﺑ .ﺪﯾآ

) 21 ( ) ( ) (

2 4 1 1 , 2 1

F z S F z S M M MF H F

d = d =

3 - 2 - 2 - قرو ب عﻮﻧ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ

ﻪﯾﻻ زا ماﺪﮐﺮﻫ ياﺮﺑ ﻒﻟا عﻮﻧ ﺪﻨﻧﺎﻣ رادﺮﺑ ﺎﻫ

ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ ﻪﺑδ

) 22 ( ﯽﻣ ﻪﺘﺷﻮﻧ .دﻮﺷ

( )

¹

( )

1 1

1

1 1

( )

, 2 GH

H H

z e Z Z z z z z

d = ^- éëd ùû £ £

( )

²

( )

2 , 2 3

Z F Z

G dz

F z e F z z z z

d ò d

é ù

= ë û £ £

) 22

( )

²

( )

(

2 2

3

( )

3 4

,

GH

H H

z e Z Z z z z z

d = ^- ^éëd ^ùû £ £

) ﻪﻄﺑار ،ﯽﮕﺘﺳﻮﯿﭘ ياﺮﺑ 23

.ﺪﺷﺎﺑ راﺮﻗﺮﺑ ﺪﯾﺎﺑ (

( ) ( )

1 2 1 1 1

H z MH H z

d = d

( )3 ( )2

F z MF F z

d = d

) 23 ( ) ( ) (

2 4 2 2 3

H z MH H z

d = d

ﻂﺑاور

MH1

،

MH2

و

MF

هﺪﺷ ﺮﮐذ ﺖﺳﻮﯿﭘ رد .ﺪﻧا

) ﻂﺑاور ﺐﯿﮐﺮﺗ ﺎﺑ 23

ﯽﻠﮐ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ( ﻪﻄﺑار مﺮﻓ ﻪﺑS

) 24 ( ﯽﻣ ﺖﺳﺪﺑ .ﺪﯾآ

) 24 ( ) ( ) (

2 4 1 1 , 2 1

H z S H z S M M MH F H

d = d =

3 - 3 - ﻦﯿﯾﺎﭘ و ﻻﺎﺑ حﻮﻄﺳ يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ لﺎﻤﻋا

ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ ) ﻂﺑاور 11 ) و ( 21 ) ﻂﺑاور ﺎﯾ و ﻒﻟا عﻮﻧ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو ياﺮﺑ ( 11

(

) و 24 ،ﻦﯿﺋﺎﭘ و ﻻﺎﺑ حﻮﻄﺳ ﻂﯾاﺮﺷ لﺎﻤﻋا و ،ب عﻮﻧ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو ياﺮﺑ (

) ﻪﻄﺑار مﺮﻓ ﻪﺑ ﯽﯾﺎﻬﻧ ﻪﻟدﺎﻌﻣ 25

ﯽﻣ ﺖﺳﺪﺑ ( .ﺪﯾآ

) 25 (

( ) ( ) ( )

12 13 14 1

52 53 54 1

62 63 64 1

0 0

Pmn s s s U z

s s s V z

s s s W z

é- ù é ùé ù

ê ú=ê úê ú

ê ú ê úê ú

ê ú êë úûê ú

ë û ë û

) ﮥﻟدﺎﻌﻣ ﻞﺣ ﺎﺑ 25

ندروآ ﺖﺳﺪﺑ و ( ( )1

،U z

( )1

وV z

( )1

زا هدﺎﻔﺘﺳا وW z

رادﺮﺑ ،ﻦﯿﯾﺎﭘ ﺢﻄﺳ ﻂﯾاﺮﺷ

δ(z1)

) ﻂﺑاور زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ و هﺪﺷ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ 20

ياﺮﺑ (

) و ﻒﻟا عﻮﻧ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو 23

،ب عﻮﻧ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو ياﺮﺑ (

δ(z2)

و

δ(z3)

(5)

1393 هرود ، 14

، هرﺎﻤﺷ

199 10

) تﻻدﺎﻌﻣ رد نداد راﺮﻗ ﺎﺑ و هﺪﻣآ ﺖﺳﺪﺑ ﺰﯿﻧ 19

) و ( 20 ،(

ﺺﺨﺸﻣ ًﻼﻣﺎﮐδ(z)

رادﺮﺑ نداد راﺮﻗ ﺎﺑ ﺲﭙﺳ .ﺖﺳا هﺪﺷ ) ردδ(z)

13 قرو ﺶﻤﺧ ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳا ﻞﺣ (

.ﺪﺷ ﺪﻫاﻮﺧ ﻞﻣﺎﮐ 4 - ﯽﺷﺎﻌﺗرا ﻞﺣ ) ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ ﻪﺑ ﻞﯿﻠﺤﺗ ﻦﯾا رد ﯽﺤﻄﺳ ﻂﯾاﺮﺷ 26

.ﺖﺳا (

) 26 ( 0

z= ,hردsz=txz=tyz=^0,

ﻂﺴﺑ ) ﻪﻄﺑار ﮥﯾرﻮﻓ يﺎﻫ 27

( ﻪﯿﮑﺗ ﻂﯾاﺮﺷ هﺎﮔ

ﯽﻣ ﺎﺿرا ار هدﺎﺳ يﺎﻫ .ﺪﻨﮐ

( ) (

^sin

) ( )

^sin ^{( )}^{i t}

x x z p xm pny e^w

s =s

( ) (

^sin

) ( )

^sin ^{( )}^{i t}

y y z p xm pny e ^w

s =s

( ) (

^sin

) ( )

^sin ^{( )}^{i t}

z z z p xm pny e ^w

s =s

( ) (

^cos

) ( )

^sin ^{( )}^{i t}

xz xz z p xm p yn e ^w

t =t

( ) (

^sin

) ( )

^cos ^{( )}^{i t}

yz yz z p xm p yn e ^w

t =t

( ) (

^cos

) ( )

^cos ^{( )}^{i t}

xy xy z p xm p yn e^w

t =t

( ) (

^cos m

) ( )

^sin n ^{( )}^{i t}

u U= z p x p y e^w

( ) (

^cos m

) ( )

^cos n ^{( )}^{i t}

v V= z p x p y e^w

) 27

( ) (

^sin m

) ( )

^sin n ^{( )}^{i t} ( w W= z p x p y e ^w

قﻮﻓ ﻂﺑاور رد و قرو ﯽﻌﯿﺒﻃ ﺲﻧﺎﮐﺮﻓω

) ﻂﺑاور لﺎﻤﻋا ﺎﺑ .ﺖﺳا نﺎﻣزt

27 رد (

) ﻂﺑاور 8 ) و ( 10 ) ﻪﻄﺑار مﺮﻓ ﻪﺑ ﺖﻟﺎﺣ يﺎﻀﻓ تﻻدﺎﻌﻣ ،(

28 هﺪﻣآ ﺖﺳﺪﺑ ( .ﺪﻧا

2 ,

z z pm xz pn yz W

s = t + t -rw

( )

,

2 1

z xz m

U p W

E n t

= + -

( )( )

( )

,

1 1 2

1 1 1

z z n m

W p U p V

E

n n s n n

n n n

+ -

= + +

- - -

( )

2 2

,

2

1 1 1 2 2 1

m m n m n

xz z z

p E p p Ep p

U V

U

t n s

n n n n

rw

æ ö

= - - + + çè - + ÷ø + - -

) 28 (

( )

2 2

,

2

1 1 2 1 2 1

n m n m n

yz z z

p E p p Ep p

V U

V

t n s

n n n n

rw

æ ö

= - - + + çè + - ÷ø + - -

ًﺎﺘﯾﺎﻬﻧ و ،ﺪﺷ هداد ﺢﯿﺿﻮﺗ ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳا ﻞﺣ رد ﻪﭼ نآ ﺪﻨﻧﺎﻣ ﻞﺣ ﺪﻧور مﺎﺠﻧا ﺎﺑ ) ﯽﺤﻄﺳ ﻂﯾاﺮﺷ لﺎﻤﻋا 26

) ﻪﻄﺑار ﻪﻄﺑار ( 29

.ﺖﺳا هﺪﻣآ ﺖﺳﺪﺑ (

) 29 (

( ) ( ) ( )

12 13 14 1

52 53 54 1

62 63 64 1

0 0 0

s s s U z

s s s V z

s s s W z

é ù

é ù é ù

ê ú

ê ú ê= úê ú

ê ú ê ú

ê ú

ê ú ê ú

ë û ë û ë û

طﺮﺷ ندﻮﺑ ﺮﻔﺻ قﻮﻓ ﻦﮑﻤﻫ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد ياﺮﺑ ﺮﻔﺻ ﺮﯿﻏ باﻮﺟ دﻮﺟو

:ﺖﺳا ﺐﯾاﺮﺿ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ) 30 ( 0

S =

) ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﺣ زا 30

ﺲﻧﺎﮐﺮﻓ ( .دﻮﺷ ﯽﻣ ﻦﯿﯿﻌﺗ ﯽﭽﯾوﺪﻧﺎﺳ قرو ﯽﻌﯿﺒﻃ يﺎﻫ

5 - ﺚﺤﺑ و يدﺪﻋ ﺞﯾﺎﺘﻧ ﺐﻟﺎﻗ رد يدﺪﻋ ﺞﯾﺎﺘﻧ ﺶﺨﺑ ﻦﯾا رد ،تﺎﺒﺳﺎﺤﻣ ﺖﻗد و ﺖﺤﺻ نداد نﺎﺸﻧ ياﺮﺑ

ﺲﻨﺟ و ﻞﺋﺎﺴﻣ ياﺮﺑ لوﺪﺟ و رادﻮﻤﻧ ﻞﻣﺎﺷ ﺞﯾﺎﺘﻧ .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺋارا ﻒﻠﺘﺨﻣ يﺎﻫ

ﯽﻣ ﯽﺷﺎﻌﺗرا و ﯽﮑﯿﺗﺎﺘﺳا ﺶﺨﺑ ود ﺎﺑ ﯽﺠﻨﺳرﺎﺒﺘﻋا ﻞﺣ ود ﺮﻫ رد ﻪﮐ