情報数学 I-A 講義のポイント No.4
復習 No.3
定理1 (1.2) A1, A2⊂X, B1, B2⊂Y, f:X →Y に対して次が成立 する。
(1) f(A1∪A2) =f(A1)∪f(A2), f(A1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2) ; (2) A1⊃A2 のとき，f(A1\A2)⊃f(A1)\f(A2) ;
証明.
∀y∈f(A1)\f(A2)
⇔y∈f(A1)∩f(A2)c
⇔y∈f(A1) かつ y∈f(A2)c
⇔y∈f(A1) かつ y /∈f(A2)
⇔ ∃x∈A1 s.t. y=f(x) かつ y /∈f(A2)
⇔ ∃x∈A1 s.t. y=f(x) かつ y̸=f(x′) (∀x′ ∈A2)
⇒ ∃x∈A1 かつ x /∈A2 s.t. y=f(x)
⇔ ∃x∈A1\A2 s.t. y=f(x)
⇔y(=f(x))∈f(A1\A2)
定理2 A1⊃A2 のとき，f(A1\A2)⊃f(A1)\f(A2) が成立する。
別証. A1⊃A2 のとき A1∩A2=A2 が成り立つので，
f(A1)\f(A2) =f(A1)∩f(A2)c
=f((A1∩Ac2)∪(A1∩A2))∩f(A2)c
= (f(A1∩Ac2)∪f(A2))∩f(A2)c ←(定理1.2の(1)より)
= (f(A1∩Ac2)∩f(A2)c)∪(f(A2)∩f(A2)c) ←(分配律より)
= (f(A1∩Ac2)∩f(A2)c)∪∅ ←(B∩Bc=∅より)
=f(A1∩Ac2)∩f(A2)c ←(B∪∅=Bより)
⊂f(A1∩Ac2) ←(B∩C⊂Bより)
=f(A1\A2) ←(差集合の定義より)
定理3 (3) f−1(B1∪B2) =f−1(B1)∪f−1(B2), f−1(B1∩B2) =f−1(B1)∩
f−1(B2)
問題
f :X →Y が単射 ⇒ f(A1∩A2) =f(A1)∩f(A2) f :X →Y が単射 ⇒ f(A1\A2) =f(A1)\f(A2)
定理 4 (1.2) A={Aα⊂X; α∈J}, B={Bβ ⊂Y; β ∈K},f :X → Y に対して次が成立する。
(1) f (∪
α∈J
Aα
)
= ∪
α∈J
f(Aα), f (∩
α∈J
Aα
)
⊂ ∩
α∈J
f(Aα);
(3) f−1
∪
β∈K
Bβ
= ∪
β∈K
f−1(Bβ), f−1
∩
β∈K
Bβ
= ∩
β∈K
f−1(sBβ)
A1,A2⊂X, B1,B2⊂Y, f :X→Y に対して次が成立する。
(4) B1⊃B2 のとき，f−1(B1\B2) =f−1(B1)\f−1(B2);
(5) A1⊂f−1(f(A1)), f(
f−1(B1))
=B1∩f(X), f(
A1∩f−1(B1))
= f(A1)∩B1
合成写像
f :X →Y, g:Y →Zが写像のとき，g◦f :X →Zをgとfの合成写 像という。g◦f(x)≡g(f(x))
例)X =Y =Z=R
f(x)≡logx, g(x)≡ |x| とするとき，g◦f(x) =|logx|, f ◦g(x) = log|x|
命題5 (1) 写像f :X →Y, g:Y →Zに対して，合成写像g◦fが単射 ならばfも単射である。
(2) 写像f :X →Y, g :Y →Zに対して，合成写像g◦f が全射ならば gも全射である。
講義 (No.4) の内容
直積集合
添え字の集合 J の各要素αにJ ∋α 7→ xα ∈Xα を対応させる写 像f（すなわち，f(α) = xα (∀α∈J)）の全体を ∏
α∈J
Xαとかき，集合族 A ≡ {Xα; α∈J}の直積集合という。このf は，直積集合の要素
∏
α∈J
xα または (xα)α∈J
で表せる（すなわち，同一視できる）。xαをfのα−座標という。
射影
対応Pβ: ∏
α∈J
Xα→xβ を ∏
α∈J
Xα から Xβ への射影という。
べき集合 直積集合 ∏
α∈J
Xα に対して，Xα=X (∀α∈J) のとき，∏
α∈J
Xα を XJ と表し，X を底とし，Jを指標とするべき集合（あるいは配置集合）
という。とくに，Xを２元集合とし，J =Aとすると，2Aは，Aのすべて の部分集合からなる集合族と考えることができる。
１）直積集合とべき集合の例
2A, BA
２）X上の関係R⊂X×X ３）X上の同値関係 ４）同値類 [x]
５）X上の同値関係Rによる商集合 X/R
