東工大本番レベル模試 解答・解説・採点基準

1

東工大本番レベル模試 解答・解説・採点基準

全５問 １８０分 ３００点満点 第１問 （６０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 15点

直角三角形の辺の長さを^{a b c a, ,}

(

≦b≦^c

)

とおくと, 三平方の定 理より

2 2 2

a +b =c …①

が成立し, この直角三角形の面積は1

2abとなる。したがって, , ,

a b cが①を満たす整数であるとき, ,a bのいずれかが必ず偶数と なることを示せば十分である。これを背理法により示す。すなわち,

,

a bがどちらも奇数であると仮定する。このとき, 整数a b , を用い て,

2 1, 2 1

a= a− b= b−

の形で表すことができ, ①に代入すると,

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2 1 2 1

a b c

a b c

+ =

 

 − + − =

(

^{2 2}

)

²

4 a a b  b 2 c

 − + − + = …②

が成立する。ここで, cは整数かつ左辺が偶数であることから, ②が 成立するためにはcが偶数となることが必要である。一方, cが偶数 のとき, ②の左辺と右辺を4で割った余りが一致しないため, 矛盾 する。したがって, 仮定は誤りであり, ,a bのいずれかは偶数とな

る。以上より, 直角三角形の面積1

2abは整数となり, 題意が示され た。

(証明終)

仮定の三角形の3辺 の い ず れ か が 必 ず 偶数となること

‥5点

背 理 法 を 用 い る 方 針‥5点

正しい証明‥5点

2 (2)

以下では, ^{x y z x, ,}

(

^≦y≦z

)

は自然数として考える。3辺の長さが , ,

x y zである三角形の最大の内角がとなるとき, この内角の対辺 の長さはzである。よって, 余弦定理より, , ,x y zは

2 2 2 2 cos

z =x +y − xy  …③ を満たす自然数である。ここで,

( )

4 3

sin cos 0

5 5

=  =    

について, 3

cos= −5 のときは

  2   より, は常に三角形の最 大の内角となる。一方, 3

cos=5のとき,

1 3

2 5

cos cos

3

0 3

 

 



 

  

が成立し, 三角形の残りの2角のいずれかは 3

 よりも大きくなるこ

とから, は常に三角形の最大の内角にならない。したがって, が 三角形の最大角となるとき, 3

cos= −5 である。このもとで, 三角 形の面積と周長が等しいとき,

1 sin

x y z+ + =2xy  …④

が成立するから, ④の両辺が自然数となる

(

^{x y z, ,}

)

^{であって, ③を}

満たすものを求めればよい。ここで, ③, ④のいずれもが成立する とき,

( )

( )

1 sin 2 2 5

5 2 5

x y z xy z xy x y

z xy x y

 + + =

 = − +

 = − +

となり, 両辺を2乗すると

(2) 45点

③に‥10点 (③が導出できてい ないとき、の対辺 の長さがzであるこ と が わ か っ て い れ ば5点)

cos 3

 = −5 ‥10点

( 3

cos=5の場合も 含んでいたら5点)

④に‥5点

3

( ) ( )

( ) ^{( ) ( )}

( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

25 4 20 25

25 2 cos 4 20 25

4 20 20 0

5 5 0 0

z x y xy x y x y

x y xy x y xy x y x y

x y xy x y xy

xy x y xy



= − + + +

 + − = − + + +

 − + + =

 − + + = 

(

^{x 5}

)(

^{y 5}

)

²⁰

 − − = …⑤

であるから, ⑤を満たす

(

^{x y,}

)

^{を求める。1≦x≦yに注意すると,}

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5, 5 1, 20 , 2, 10 , 4, 5 , 6, 25 , 7, 15 , 9, 10

x y

x y

− − =

 =

と求まる。このとき, ²

( )

z=5xy− +x y より,

(

x y z^{, ,}

) (

= 6, 25, 29 , 7, 15, 20 , 9, 10, 17

) ( ) ( )

を得る。いずれも③を満たしかつ, ④の両辺が自然数となるため, これらを辺長にもつ三角形はヘロンの三角形である。したがって,

(

x y z^{, ,}

) (

= 6, 25, 29 , 7, 15, 20 , 9, 10, 17

) ( ) ( )

……(答) の3種類が求める組合せである。

⑤に‥10点

(答)

(

x y z^{, ,}

) (

= 6, 25, 29 , 7, 15, 20 , 9, 10, 17

) ( ) ( )

答‥10 点(過不足が ある場合は5点)

1

第２問 （６０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 10点

0 2

 よりsin 0であるから,

( )

2 2

2

sin 1 cos 1 1

1 1

t

t t

t

= − 

= −    

= −

となる。したがって, 1 t cos

= がの逆関数となることから,

2

sin cos dt d



 = 

2

2 2

2

1

cos sin 1

1 1

1 d

dt dt d

t

t t

t t









=

=

= 

−

= −

と求まる。

(答) 2

1 1 d

dt t t

 ₌

−

2

sin cos dt d



 ⁼  ^‥5点

答‥5点

(2)

[1] 0t 1のとき

( )

S t は下図斜線部の面積に等しい。

(2) 50点



2

x y

O

したがって,

( )

^{2 2 2}

2 2 S t =  −  t   t  =t

( )

⁰

S t t

 = 

となり, ^{S t}

( )

^{は0t 1で単調に増加する。}

[2] 1 t 2のとき

を下図のように定義する。このとき, ^{S t}

( )

^{は下図斜線部の面}

積に等しい。

x y

O

上図より

0t 1で ^{S t}

( )

^が

単調に増加するこ とを示して‥5点 1

1

−1

−1 2 t

1 1

−1

−1



t t2−1

2 t

t

3 cos 1 0

4 t

   

=  

 

であり, はtに関して単調に増加する。このとき,

( )

^{2 2 2}

2 2

1 1 1 2 1 2 4

2 2 2 2

4 1 4

2

S t t t t

t t

  

 

     

=   −  +  −   −  

 

= − + − 

であるから, (1)の結果より

( )

( )

( )

2 2

2

2 2

4 2 4 4 2

2 1 2

4 4 1 8

1 1

8

t d

S t t t

t dt

t t t

t t t

t

  

 

 

 

 =  − −   + − 

= −   + −

− −

= −

となる。^{S t}

( )

^=0のとき

8

 = であり, 0

4

  を満たす。こ

のとき,

( )

2

1 cos8

1 cos 8

2 1 cos

4 2 1 2

2 2 1 2

2

2 2

1 1

2 2

2 2 2

t 





=

=

= +

= +

 

 − 

 

 

=   

+ −

  

  

  

= −

である。以下, ^{ = 2 2}

(

^{− 2}

)

^{とおく。1 t 2 におけるS t}

^{( )}

の増減表は以下のようになる。

cos 1

 =t の定義

‥5点

( )

S t をt と の式 で表して‥5点 (同値な形なら可)

( ) (

⁸

)

S t = −  t

‥5点

(同値な形なら可)

( )

⁰

S t = の解が

8

 =  または

1 cos8

t⁼  ^であるこ

とを示して‥5点

4

t 1  ₂

( )

S t + 0 −

( )

S t S

( )



したがって, ^{S t}

( )

^はt=のときに最大値をとり

( )

( )

( )

( )

2 2

2

4 1 4

2 8

4 2 2 2 1 4 3 2 2 4 2 1 4 2 1

S  =  − + − 

= − −

= −

= −

= −

である。

[3] 2 t 2のとき

( )

S t は下図斜線部の面積に等しい。

x y

O

半径tの円の内部に領域D₂が完全に含まれているから, ^{S t}

( )

は 2 t 2で単調に減少する。

[4] t 2のとき

領域D₁と領域D₂は共有点を持たないから, ^{S t}

( )

^{=0である。}

以上, [1] ~ [4]より, 求める最大値は

( )

4 2 1−

増減表‥5点

極大値が⁴

(

^{2 1−}

)

‥5点

(二 重 根 号 を 外 し ていないものには 点を与えない)

2 t 2 で ^{S t}

( )

が単調に減少する ことを示して

‥5点 2

t で^{S t}

( )

^{= 0を}

示して‥5点

4 通り（または[3]

と[4]をまとめた3 1

1

−1

−1

t 2

t

2 t

5 である。

(答) ⁴

(

^{2 1−}

)

通り）を正しく場 合分けした上で答 えを求めて‥5点

(2)[別解] (t 1,t 2のときは同様)

[2] 1t 2のとき

を下図のように定義する。このとき, ^{S t}

( )

^{は下図斜線部の面}

積に等しい。

x y

O

上図より cos 1 0

4 t

   

=  

 

であり, はtに関して単調に増加する。このとき,

( )

²

2

2

1 1 tan 2 1 2 1 4

2 2 2 cos

1 2 cos

4 tan 4 1

2 cos

S t   



 

  



 

     

=    +  −     

 

−  

 

 

= + − 

 

であるから,

( )

^{4 tan 4 1}₂ ⁰

2 cos 4

f      



   

= + −   

   

とおくと

(2)[別解] 50点 ([2]の30点分)

cos 1

 =t の定義

‥5点

( )

S t をの式で表

して‥5点 1

1

−1

−1



1

cos tan

1 2 cos

6

( ) ( )

( )

2 2 3

3

4 1 2

4 4 sin

cos cos 2 cos

sin 8

cos

f    

  

  



   

 = −  + −    −  −

= −

となる。 ^f

( )

^{ =0のとき}

8

 = であり, 0

4

  を満たす。

このとき, ^f

( )

^ の増減表は以下のようになる。

 0

8



4



( )

f + 0 −

( )

f 

f 8

  

したがって, ^f

( )

^{ は}

8

 = のときに最大値をとり

2

4 tan 4 1 4 tan

8 8 2 8 cos 8

8

f     

 = + −    =

   

   

である。ここで,

( )

2 2 2

1 1 1

1 cos 1

2 2

tan 4 2 1

8 1 cos 1 1 1 1 1 1

4 2 2 2

 



 − 

− −  

= = = = −

  

+ +  +  − 

  

よりtan 2 1 8

 _{= −}

であるから, 求める最大値は

( )

4 2 1

f_{  =}8 ₋

  

( )

( )

3

sin 8

cos

f 

  





= −

‥5点

(同値な形なら可)

( )

⁰

f  = の解が

8

 =  であること

を示して‥5点

増減表‥5点

極大値が⁴

(

^{2 1−}

)

‥5点

( tan 8

 を 計 算 し

ていないもの, 二 重根号を外してい ないものには点を 与えない)

である。

1

第３問 （６０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 20点

3点O, A, Bは相異なり, またiが表す点を中心とし, Oを通る円の 円周上には1は含まれないため, 4点O, A, B, Cは相異なる。さら に,

3点O, A, Bが, iが表す点を中心とした円の円周上に存 在する。

0 i  i  i

 − = − = − 1

i i

 

 − = − =

である。また, 複素数zに対して, その虚部をImzと表すこととす ると,

( )( )

( ) ( )

( )

2

2

1 2 Im 1

i i i

i i

i

  

 

  

 

− = − −

= − +

= + − +

= − +

となる。 についても同様で ある。よって

3点O, A, Bが, iが表す点を中心とした円の円周上に存 在する。

2 2 Im 1 1

 

 − + = かつ ²−2 Im+ =1 1

2 2 Im

 

 = かつ ² =2 Im となる。ここで,

直線ABと直線OCが平行である。

 0

 



−

− が実数である。

であるが,

条 件1の 複 素 数 で の言い換え‥5点

直線が平行である ことの複素数での 言い換え‥5点

2

2 2

1 1 1 1

1 1 1 1

2 Im 2 Im 0

i i

   

     

   

   

  

 

 

 

 

− −

− = − − − 

   

= − − +

− −

= −

= −

=

であるから, 直線ABと直線OCは平行である。

平行であることの 確認‥10点

(2)

複素数平面上に点O, A, B, C, Dを図示すると以下のようになる。

x y

O

A B C

D

以下では複素数zの偏角argzを0≦argz2 を満たすものとして 表す。ここで0 arg arg

2

  

   であるから, arg=arg+arg となる。よって0 arg  arg arg  となるから, O, A, B, C は上図のように反時計回りに並んでいる。また

D, A, Bがこの順番で同一直線にある。

実数k1により, ^{− =1 k}

(

^−1

)

^{とかける。}

( )

1 1 1

1

 



 −  

− である。ここで

(2) 20点

条件2の複素数で の言い換え‥5点 1

3 AOB arg

ACB arg arg 1

1 arg





 

 

 

 





 =

 = −

−

 − 

=   − 

=

である。よってAOB= ACBである。したがって, 円周角の定理 の逆より, O, A, B, Cが同一円周上に存在することが示された。

x y

O

A B C

D

AOB ACB

 = 

‥5点

円周角の定理の逆 などにより同一円 周上に存在するこ とを示して‥10点

(3)

複素数平面上に点O, A, B, C, Dを図示すると以下のようになる。た だし, iが表す点を中心とした半径1の円を円Pとする。

(3) 20点

4

x y

O

A C B

D

このとき点Bの動く範囲を考えると, D, A, Bがこの順番で同一直 線上にあり, 点A, Bは第一象限上の相異なる2点であることから, 以下の太線の範囲である。ただし白丸は含まない。

x y

O

点Cは, 直線DBに平行な点Oを通る直線と, 円Pの交点であっ て, 点Oでない点である。よって, 点Cの存在する範囲は, 以下の 太線の範囲である。ただし白丸は含まない。

点Bの動く範囲

‥5点

点Cの位置が点B によってどのよう に定まるか‥5点

2i

P

i

i

2i

1

5

x y

O

ただし, 左の端点を表す複素数をx yi+ とおくと,

( )

( )

( ) ( )

2 2

2 2

2

1 1

2

2 1 1

2

5 4 0

2

, 0, 0 , 4 8, 5 5

x y

y x

x x

y x

x x

y x

x y

 + − =



 = −

 + − − =

 

 = −

 + =

  = −

 

 = − 

となるから, 左の端点を表す複素数は 4 8 5 5i

− + である。

左端を正しく求め て‥5点

(答) 上図 答‥5点

4 8 5 5i

− +

2i

1 i

1

第４問 （６０点）

【解答・採点基準】

2点A, Bの位置関係は以下の3通りである。つまり, 60点

・2点A, Bが同じ頂点にある

・2点A, Bが同じ頂点にはないが, 同じ面上にある

・2点A, Bが異なる面上にある

となる。n秒後にそれぞれの位置関係となる事象を上から順に

, ,

n n n

A B C とおき, A B C_n, _n, _nが起こる確率をそれぞれa b c_n, _n, _n とする。このとき, 初期条件よりa₀=0,b₀ =0,c₀ =1である。ま た,

1 1 1

2 2 2

0, 1, 0

1 1 1

, ,

4 2 4

a b c

a b c

= = =

= = =

である。A B C_n, _n, _n間の状態遷移図は下図となる。

位置関係の場合分け

‥10点

A A

A B

B B

2 求める確率はb_n+c_nである。上図より

1

1

n n 4 n

a₊ =a + b ・・・①

1

1

n 2 n n

b₊ = b +c ・・・②

1

1

n 4 n

c₊ = b ・・・③ となる。②, ③より

2 1

1 1

2 4

n n n

b₊ = b₊ + b ・・・④

である。ここで, ² 1 1

2 4

x = x+ を解くと, ^{1 5} x 4

= である

（ ^{1 5}, ^{1 5}

4 4

 = ⁻  = ⁺ とおく）。④を変形すると

( )

2 1 1

n n n n

b₊ −b₊ = b₊ −b ・・・⑤

( )

2 1 1

n n n n

b₊ −b₊ = b₊ −b ・・・⑥ となる。ここで, 解と係数の関係より

1 1

2, 4

 + = = − であるから,

2 1

1 b −b = − =2  

2 1

1 b −b = − =2  

となる。⑤について, 数列



bn₊1−bn



は初項 , 公比 の等比数 列であり, ⑥について, 数列



bn₊1−bn



は初項, 公比 の等 比数列であるから

漸化式の立式‥15点

（各5点×3）

bnについての3項間漸 化式の立式‥5点

A

n

C

n

B

n

1

1 4 1 1 4

1 2

















3

1 n

n n

b₊ −b = ・・・⑦

1 n

n n

b₊ −b = ・・・⑧ となる。⑦−⑧より

( )

n ^{n n}

n n

n

b b

   

 

 

− = −

 = −

−

となる。ここで, ③より, n≧2のとき

1

1 1

1 4 1 4

n n

n n

c b

 

 

−

− −

=

=  −

−

であり, n=1のときもc₁=0となり一致する。したがって,

( ) ( )

( )  ( ) ( ) 

1 1

1 1

1 1

1 4

1 4 4

4

1 4 1 4 1

4

n n n n

n n

n n n n

n n

b c    

   

   

 

   

 

− −

− −

− −

− −

+ = + 

− −

=  + − −

−

=  + − +

−

である。ここで,  , は ² 1 1 ²

4 2 1

2 4

 = +   = + を満たすの で

( )

( )

2

3

4 1 2 2 1

2 4

2 2 1

8

  

 

 



+ = + +

= +

= +

=

である。同様にして4+ =1 8³であるから,

( )  ( ) ( ) 

( ) ( )

( )

1 1

1 3 3 3

2 2

2 2

2 2

1 4 1 4 1

4

1 8 8

4 2

2 1 5 1 5

4 4

1 5 1 5

4 4

4 1 5 1 5

4 4

5

n n

n n

n

n n

n n

n n

b c    

 

   

 

 

 

− −

−

+ +

+ +

+ +

+ =  + − +

−

=  − 

−

= −

−

 +   −  

 

= + − −   −  

 +   −  

 

=   −  

n n

bn  

 

= −

− ‥10点

1 1

1 4

n n

cn  

 

− − −

=  −

‥5点

n n

b +c が求める確率

‥5点





4 である。

(答)

2 2

4 1 5 1 5

4 4

5

n+ n+

 +   −  

  −  

    

    

 

（_{2 5}^{1 }

(

^{3+ 5}

)

^_¹⁺₄^5_^{n− −}

(

^{3 5}

)

^_¹⁻₄ ^5_^n

     

 

,

( )

¹

( )

¹

1 1 5 1 5

2 5 2 5

4 4

2 5

n− n−

  +   −  

 +   − −   

     

     

 

,

(

^{7 3 5}

)

¹ ₄ ^{5 2}

(

^{7 3 5}

)

¹ ₄^{5 2}

8 5

n− n−

 +   − 

+   − −   ,

(

^{11 5 5}

)

¹ ₄ ^{5 3}

(

^{11 5 5}

)

¹ ₄^{5 3}

16 5

n− n−

 +   − 

+   − −  

といった同値解答も可とする）

答‥10点

[別解1]（余事象として解く方法, b_nを求めるまでは同様）

余事象の確率より, 求める確率は1−a_nである。ここで, ①より, n≧2のとき

( )

( )

1 1

1 1

1 1

0

1 4

1 1

4

1 1

4

1 1 1 1

4 1 1

1 5 1 5

1 1

4 4

1 1

4 1 5 1 5 1 1 5 1 1 5

4 4 4 4

1 5 1 5

1 1

4 4

1 2

4 5 3 5

4

n n

k k

n k k

k

n k k

k

n n

n n

n

a

a b

 

 

 

 

 

   

−

=

−

=

−

=

= +

=  −

−

=  −

−

 − − 

=  −  − − − 

  +   −  

 −  −  

     

=   − 

+ − −  − + − − 

 

 +   − 

−  − 

=   −

−







3 5

4

 n

 

 

 

 + 

 

 

[別解1] 60点(20点分) 1−a_nが求める確率

‥5点

1 1

1

1 4

n

n k

k

a a ⁻ b

=

= +



の立式‥5点

5

2 2

2 2 2 2

2 2

2

1 5 1 5

1 1

4 4

1 2

4 5 1 5 1 5

2 2

4 4

1 5 1 5 1 5 1 5

4 4 4 4

1

4 5 1 5 1 5

4 4

4 5 1 5 1 5

4 4 4

5

n n

n n

n

+ +

+

  +   −  

 −  −  

     

=   − 

   

 − + 

   

     

   

 

 +   +   −   − 

− − +

       

       

       

= 

 −   + 

   

   

   

 −   +

= +  −

  

2

2 2

4 1 5 1 5

1 5 4 4

n

n n

+

+ +

  

 

  

  

 

 +   −  

 

= −   −  

となり, n=1のときはa₁ =0となり一致する。したがって, 余事 象の確率を考えて

2 2

4 1 5 1 5

1 5 4 4

n n

an

+ +

 +   −  

 

− =   −  

である。

(答)

2 2

4 1 5 1 5

4 4

5

n+ n+

 +   −  

  −  

    

    

 

答‥10点

[別解2]（b_n+c_nの別の求め方）

求める確率をp_n =b_n+c_nとおく。④より

2 1

1 1

2 4

n n n

b₊ = b₊ + b である。n≧1のとき

1 1

1 1

1 1

2 4

1 1 1 1 1

4 2 4 4 4

n n n

n n n

b b b

b b b

+ −

+ −

= +

 =  + 

2 1

1 1

2 4

n n n

c₊ c₊ c

 = + ・・・⑨

である。④+⑨より

( ) ( )

2 2 1 1

1 1

2 4

n n n n n n

b₊ +c₊ = b₊ +c₊ + b +c

2 1

1 1

2 4

n n n

p₊ p₊ p

 = + ・・・⑩

[別解2] 60点(35点分)

n n n

p =b +c が求める確 率‥5点

bnについての3項間漸 化式の立式‥5点

cnについての3項間漸 化式の立式‥5点

pnについての3項間漸 化式の立式‥5点

6 となる。ここで,

0 0 0

1 1 1

2 2 2

0, 0, 1

0, 1, 0

1 1 1

, ,

4 2 4

a b c

a b c

a b c

= = =

= = =

= = =

より, _{0 1 2} 3

1, 1,

p = p = p =4であるから, ⑩はn≧0で成り立つ。

ここで, ² 1 1

2 4

x = x+ を解くと, ^{1 5} x 4

= である

（ ^{1 5}, ^{1 5}

4 4

 = ⁻  = ⁺ とおく）。⑩を変形すると

( )

2 1 1

n n n n

p₊ −p₊ = p₊ −p ・・・⑪

( )

2 1 1

n n n n

p₊ −p₊ = p₊ −p ・・・⑫ となる。ここで, 解と係数の関係より

1 1

2, 4

 + = = − であるから,

2 1

2 2

2 2

3

3 4

3 1

4 2

1 4

1 1 1

2 2 4

1 2

2 2 1

2 2

p p 





    

 

   



− = −

 

= − − 

 

= +

   

= + −   = + 

   

 

=  + 

 

=   = + 

 

=





7

2 1

2 2

2 2

3

3 4

3 1

4 2

1 4

1 1 1

2 2 4

1 2

2 2 1

2 2

p p 





    

 

   



− = −

 

= − − 

 

= +

   

= + −   = + 

   

 

=  + 

 

=   = + 

 

=

となる。⑪について数列



pn₊1−pn



は初項2³, 公比 の等比 数列であり, ⑫について, 数列



pn₊1−pn



は初項2³, 公比 の等比数列であるから

2

1 2 ⁿ

n n

p₊ −p =  ⁺ ・・・⑬

2

1 2 ⁿ

n n

p₊ −p =  ⁺ ・・・⑭ となる。⑬−⑭より

( )

( )

2 2

2 2

2 2

2

n n

n

n n

n

p p

   

 

 

+ +

+ +

− = −

 = −

−

2 2

4 1 5 1 5

4 4

5

n+ n+

 +   −  

 

=   −   である。

(

^{2 2}

)

2 _{n n}

pn  

 

+ +

= −

−

‥5点 (答)

2 2

4 1 5 1 5

4 4

5

n+ n+

 +   −  

  −  

    

    

 

答‥10点





1

第５問 （６０点）

【解答・採点基準】

三角形OACにおいて三平方の定理よりAC= a²+b² である。ま た, 頂点Oから対角線ACにおろした垂線の足をHとおくと, 三角 形OACの面積に関して

60点

2 2

2 2

1 1

2 2 OH OH

ab a b

ab a b

= + 

 =

+ が成り立つ。したがって,

2 2

OP 2OH 2ab a b

= =

+ である。ここで,

( )

2 2

OB 2

2 OB AC

a b

 + =

2 2 4

a b

 +

であり, a0,b0より 4 2

b −a ・・・① となる。また,

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

OP 3

2 3

2 3 0

4 3 0, 3 0

4 3 3

ab a b

ab a b a b

a b a b ab a b

a b a

 +

 + + 

 

 +   +  

 −

となる。4a²−3 0, すなわち0 3 a 2

 _{のときは,}

(

^4a2−3

)

^{b2 0}

かつ3a² 0より不等式が成立しない。 3

a 2 のとき

2 2

OP 2ab

a b

= + ‥5点

2 2 4

a +b ‥5点

0 3 a 2

 のとき成

立しないことの確認

‥5点

2

(

²

)

^{2 2}

2 2 2

4 3 3

3

4 3

a b a

b a a

−

 −

2

3

4 3

b a a

 − ・・・②

となる。よって, 第1象限において①かつ②を満たす領域の面積を 求めればよい。①かつ②を満たすbが存在するようなaの範囲は,

3 a 2 より

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ^{( )} ( )

2 2

2 2

2 2 2

4 2

2 2

3 4

4 3

3 4 4 3

3 4 4 3

4 3 0

1 3 0

1 3 1 3 0

1 3

a a

a

a a a

a a a

a a

a a

a a a a

a

− −

 − −

 − −

 − +

 − −

 + +  − −



となる。また, 関数

2

3

4 3

b a a

= − は

( )

2

2

2 3

2 2

1 4 3 8

2 4 3 3 3

3 0

4 3

4 3

a a a

db a

da a

a

 − − 

=  − = − 

− −

より, 3

a 2 で単調に減少する。さらに,

3 0 2

2

lim

3 3

lim lim

3 2 4

a

a a

b

b

a

→ +

→ →

= 

= =

−

より, 直線 3

a= 2 _と直線 3

b= 2 が漸近線である。したがって,

①かつ②を満たす領域は下図の斜線部である。ただし, 境界 線を含む。

3

a 2 のとき

2

3

4 3

b a

a − ^‥5点

①かつ②を満たすb が存在するようなa の範囲が1 a 3

‥5点

2

3

4 3

b a a

= − ^{は 単 調} に減少する‥5点

3

a b

O

よって, 求める面積をSとおくと

3 2

1 2

4 3

4 3

S a a da

a

 

=



 − − − 

である。ここで, ^{3 2}

1 4−a da



は下図の斜線部の面積に等しく,

3 2 2 2

1

1 1 1 1

4 2 1 3 2 3 1

2 3 2 2 6 2

3

a da  



   

− =   −     −   −   

=



である。

a b

O

図‥10点

（端点の座標が示さ れていない場合は 5点）

（漸近線は示さなく ても良い）

面積の立式‥5点

3 2

1 4−a da



^を

「円の面積の一部と して求める方針」

または

「a= 2sin と置換 して求める方針」

‥5点

1 3 2

2

2 2 4

a +b =

2

3

4 3

b a

= a

−

1 3 2

2 a²+b² =4

1 3

3

 6

 3 a= 2 3

b= 2

(

^{1, 3}

)

(

^{3, 1}

)

4 また,

( ) ( )

( )

( )

3 3 2 12 2

1 2 1

1 3

2 2

1

3 3

4 3 4 3

4 3 8

2 3 4 3

8

3 9 1

4 3 2

a da a a da

a

a

 − 

 

=  −  − 

−  

 

=  − 

 

 

= −

=

 

である。よって, 3 3 2 S= − と求まる。

(答) 3

3 2

 −

( )

2

1

2 2

3

4 3

2 3 4 3

8 a a

a

−

 

 

=  − 

 

 

‥5点

答‥5点

[別解]

点Oを原点とし, OA方向にx軸, OC方向にy軸をとる。

( ) ( ) ( )

A , 0 , B ,a a b , C 0,b と表されるから

2 2

OB= a +b

である。また, 直線ACは2点

(

^{a, 0 , 0,}

) (

^b

)

^{を通ることから, その方}

程式は

1 0 x y

a b bx ay ab + =

 + − =

である。線分OPの長さは直線ACと原点の距離の2倍であるから,

( )

^{2 2 2}

2

0 0 2

OP 2 ab ab

a b

b a

=  + − =

+ − +

である。 cos , sin 0, 0

a r=  b r=  ^r   2^

 とおくと

2

OB

2 sin cos

OP sin 2

r

r r

r

  

=

= =

である。したがって, 0 2   よりsin 2 0であるから, 与えら れた条件は

[別解] 60点

2 2

OP 2ab

a b

= + ‥5点

cos sin a r b r





 =

 = ^の置換

‥5点 OB=r‥5点 OP=rsin 2‥5点

5

OB 2かつOP 3

 r 2かつrsin 2 3

 3

sin 2 r 2



と表せる。この不等式が成り立つの範囲は, 0 2   より

3 2

sin 2 sin 2 3

2 2 2

3 3

6 3





  

  







となる。また, 曲線 3 sin 2

r= 上の点を

(

^{X Y,}

)

^とおくと

cos 3

2sin sin 3

2cos X r

Y r

 

 

= =

= =

である。0 2

 

  においてX 0,Y 0であり, Xは単調に減少, Yは単調に増加する。また,

0 0

0 0

2 2

lim , lim 3

2

lim 3, lim

2

X Y

X Y

 

 

 

→+ →+

→ − → −

=  =

= = 

より, 直線 3

a= 2 と直線 3

b= 2 が漸近線である。よって, 求める領 域は下図の斜線部である。ただし, 境界線を含む。

3 2

sin 2 r

 ^‥5点

6 3

   ‥5点

曲 線 3 sin 2 r=  の グ ラフ推移‥5点

6

a b

O

よって, 斜線部の面積をSとおくと,

2 3 2

6

3 2

6

3

6

1 2 3

2 sin 2

2 3

2sin 2 2 3

4 tan 2

3 1 1

2 3 6 4 tan2 tan

3 3

S d

d













 

 

 

 

 

   

 

=  −   

   

 

 

=  − 

 

 

= + 

 

 

 

=  − +  − 





3

3 2

= −

と求まる。

図‥10点

（端点の座標が示さ れていない場合は 5点）

（漸近線は示さなく ても良い）

面積の立式‥5点

2

1 sin 2

1 2 tan 2





 

= − 

 

‥5点

(答) 3

3 2

 − 答‥5点

2 2

6

 2

r=

3 sin 2 r= 

3



3 a= 2 3

b= 2

(

^{1, 3}

)

(

^{3, 1}

)