東工大本番レベル模試 解答・解説・採点基準

1

東工大本番レベル模試 解答・解説・採点基準

全５問 １８０分 ３００点満点 １ （６０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 30 点

放物線 の方程式は, を実数として

とおける。これと は における 座標の値が一致する から, より

・・・①

である。また, , を微分するとそれぞれ

, となり, におけるこれらの微分係数が 一致するから

・・・② となる。①, ②より

と求まる。したがって, より, 曲線 と放物線 の位 置関係は下図のようになる。

放物線の方程式を とおい て‥5 点

①の導出‥5 点

②の導出‥5 点

を正しく求め て‥5 点

C2 a b,

( )

2 0

y ax= +bx a¹

1

: 1_n

C y=x

x t =

y 0

t¹

2 1

at bt n

+ =t

1

1 at b n

t ⁺

\ + =

2 1:

C y=ax +bx ₂ 1

: _n

C y

=x

1 n

y n x ⁺

¢=- y¢=2ax b+

x t =

2 _nn1

at b+ =-t ⁺

2 1

1 2

n , n

n n

a b

t ⁺ t ⁺

+ +

=- =

0, 0

a< b> C₁ C2

y=ax2+bx

, a b

2 よって, 上図より求める面積 は

・・・(答) である。

‥5 点 ( 最 初 か ら を

で表していて も可)

答‥5 点

(2)

(1)の結果より

となる。したがって, かつ より

≦

≦

(2) 30 点 x

y

O

Sn

( )

( )

( )

( )

( )

2 0

0

3

3 2

3 2 2

3 1 2

1 6

6 1 2

6 1

b n a

b a

n n

S ax bx dx

a x x b dx a a b

a b

a

n t

t n

-

-

+ +

= +

æ ö

= çè + ÷ø

æ ö æ ö

= × -çè ÷ çø è× - ÷ø

=

= × + × +

ò ò

( )

( )

3

2 1

2

6 1 ⁿ

n

n t ^-

= + +

3

6 2 n

S b

= a

, a b ,

n t

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

3 2 1

1

2 3

2 3

5

3 6 1

6 2 2

1 3

2

n n

n n

n n t

S

S n t n

n n

n t

-

+ + +

= ×

+ +

+ +

= +

n 0

S > t>0

1

Sn+ Sn

Û

ⁿ¹

n

S S

+

1

2 2:

C y ax= +bx

1

: 1_n C y= x

t b -a

3

≦ ・・・③

である。③が全ての正の整数 で成り立つような の最小値を求め れば良い。以下では③の左辺の最大値を求める。

( ≧ )

とおく。常に であるから, 両辺の自然対数を取ると

となる。両辺を で微分して

を得るから, の増減表は以下のようになる。

したがって, は のとき最大値をとり, は正の整数であ るから, ③の左辺の最大値も に等しくなる。よって,

≧

となればよいから, 求める最小値は

・・・(答) である。

③の導出‥5 点

正の整数 を実数 に置き替えた関数

の 最 大 値 を 求める方針‥5 点

を 因 数 分 解 された形で正しく 求めて‥5 点

増減表‥5 点

③ の 左 辺 は で最大値を取るこ とを述べて‥5 点

答‥5 点

（既約分数で表せ ていれば可）

(2)[別解]

（③を導出するところまでは同じ）

(2)[別解] 30 点

③の導出‥5 点

Û ( ) ( )

( )

2 3

5

1 3

2

n n

n

+ +

+

t

n t

( ) ( ) ( )

( )

2 3

5

1 3

2

x x

f x x

+ +

= +

x 1

( )

⁰

f x >

( ) ( ) ( ) ( )

logf x =2log x+ +1 3log x+3 5log- x+2

x

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )

2 3 5

1 3 2

2 3 2 3 1 2 5 1 3

1 3 2

3

1 3 2

f x

f x x x x

x x x x x x

x x x

x

x x x

¢ = + -

+ + +

+ + + + + - + +

= + + +

= -

+ + +

( ) ( )( ) ( )

( )

2 6

1 3 3

2

x x x

f x x

+ + -

\ ¢ =

+

( )

f x

x ₁

^! 3 ^!

( )

f x¢

+

^{0 -}

( )

f x _! ^f

( )

³ !

( )

f x x=3 3

( )

³

f

t

_{( )}3 ^{4 62} ₅ ^{3 2 37}₅ ³

5 5

f = × = ×

7 3

5

2 3 3456 3125

t= 5× æç= ö÷

è ø

n x

( )

f x

( )

f x¢

3 n=

4

である。 とおくと ≧ より ≦ であり, ③は

≦ ・・・④ となる。以下では④の左辺の最大値を求める。

( ≦ )

とおくと

を得るから, の増減表は以下のようになる。

したがって, は より のときに最大値をとるから,

③の左辺の最大値も に等しくなる。よって,

≧

となればよいから, 求める最小値は

・・・(答)

と置き換 え た 関 数 の 最大値を求める方 針‥5 点

を 因 数 分 解 された形で正しく 求めて‥5 点

の増減表

‥5 点

③ の 左 辺 は で最大値を取るこ とを述べて‥5 点

答‥5 点

（既約分数で表せ ていれば可）

である。

( ) ( )

( )

2 3 2 3

5

2 3

1 3 1 3

2 2

2

1 1

1 1

2 2

n n n n

n n

n

n n

+ + + =æçè ++ ö æ÷ çø è ++ ö÷ø

æ ö æ ö

=çè - + ÷ çø è + + ÷ø

1 2 q =n

+

n 1

0<q ¹

3

(

^1-q

) (

^{2 1+q}

)

³

^t ( ) (

¹

) (

^{2 1}

)

³

g q = -q +q 0<q ¹

3

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) { ( ) ( ) }

( )( ) ( )

3 2 2

2 2

2 1 1 3 1 1

1 1 2 1 3 1

1 1 1 5

g q q q q q

q q q q

q q q

¢ =- - + + - +

= - + - + + -

= - + -

( )

g

q

q 0 ^{! 1}

5 ^!

1 3

( )

g¢

q +

^{0 -}

( )

g

q

_! ¹

gæ ö5 ç ÷è ø !

( )

g

q

¹

q =5 n=3

1 gæ ö5

ç ÷è ø

t

2 3 7 3

5

1 4 6 2 3

5 5 5 5

gæ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø= × = ×

7 3

5

2 3 3456 3125

t= 5× æç= ö÷

è ø

1 2 q =n

+

( )

g

q

( )

g¢

q

( )

g

q

3 n=

5

２ (６０点)

【解答・採点基準】

(1) (1) 30 点

を の関数とみなして整理すると,

となり, について高々 次関数となる。 ≧ かつ ≧ より,

≧ かつ ≧ であるから, ≦ であり,

に を代入した式の最大値を求めればよい。

このとき,

となり, ≧ かつ ≧ より ≧ であるから, または のときに最大値 をとる。以上より,

の最大値は である。 ・・・(答)

文 字 に つ い て 整 理 し , 次 関 数 に なることを示す‥

10 点

傾 き が 以 下 で あ ることを示し, 最 大 値 を と る の 値 を求める‥5 点

残 り の 文 字 に つ いて最大値をとる 値を求める‥10 点

答‥5 点

(1)[別解1]

とおく。このとき, は 以上の整 数であるから は 以上の整数となり,

となるから,

となる。 ≧ であり, 等号は のうち つ以上が であるときに成立する。このとき

であるから, 最大値は である。 ・・・(答)

(1)[別解 1] 30 点 の 定 義 ‥ 10 点

与 式 を で 表す‥5 点

不等式で最大値を 示し、等号が成立す る条件を示す‥10 点

答‥5 点 ab bc ca abc+ + -

a

( )

( )

{ }

( )( )

{ }

1 1

1 1 1

ab bc ca abc bc b c a bc

bc b c a bc b c a bc + + - = - + + +

= - - - + + +

= - - - +

a 1

b

2 c 2

b-1

1

c-1

1

^{1- -}

( )( )

^{b 1 c-1 0}

ab bc ca abc+ + - a=2

( )

( )( )

2 2 2

2 2

2 2 4 4

4 2 2

ab bc ca abc b bc c bc bc b c

bc b c

b c

+ + - = + + -

=- + +

=- - - + +

= - - -

b

2 c 2 (

^b-2

)(

^c-2

)

⁰ b=2

2

c=

4

ab bc ca abc+ + -

4

1

1

0

a

2

2, 2, 2

X =a- Y =b- Z=c- a b c, ,

2

, , X Y Z 0

2, 2, 2

a=X + b= +Y c=Z+

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2

4 4 ab bc ca abc

X Y Y Z

Z X X Y Z

XYZ XY YZ ZX XYZ XY YZ ZX

+ + -

= + + + + +

+ + + - + + +

=- - - - +

=- + + + +

XYZ XY YZ ZX + + +

0 X Y Z, ,

2

0 ab bc ca abc+ + - =4

4

, , X Y Z

, , X Y Z

6

(1)[別解2]

のとき である。以下, ≧ に対 し, 任意の ≧ , ≧ について ≦ となることを

についての数学的帰納法で示す。

[1] のとき

であり, ≧ かつ ≧ より ≧ であるから,

≦ となる。よって ≦ が成 立する。

[2] ( は 以上の整数)のとき

≦

と仮定する。 のときを考えると,

≦

である。 ≧ かつ ≧ より, ≧ かつ ≧ であるか ら, ≦ である。よって, のときも

≦ が成立する。

以上[1], [2]より, ≦ が示された。求める最大値は である。 ・・・(答)

(1)[別解 2] 30 点 最 大 値 が で あ る 予 想 を 立 て る ‥5 点

文 字 に つ い て 数 学的帰納法を立て る方針‥5 点

の と き 成 立 することを示す‥

10 点

の と き 成 立 することを示す‥

10 点

(1)[別解3]

のとき である。ここで, 対称性よ り ≦ ≦ としても一般性を失わない。このとき,

であり, ≧ のとき

(1)[別解 3] 30 点 最 大 値 が で あ る 予 想 を 立 て る ‥5 点

に 大 小 関 係 を設定する‥5 点 2

a b c= = = ab bc ca abc+ + - =4

a 2

b

2 c 2

ab bc ca abc+ + -

4 a

2 a=

( )

( )( )

2 2 2

2 2

2 2 4 4

4 2 2

ab bc ca abc b bc c bc bc b c

bc b c

b c

+ + - = + + -

=- + +

=- - - + +

= - - -

b

2 c 2 (

^b-2

)(

^c-2

)

⁰

( )( )

4- -b 2 c-2

4

ab bc ca abc+ + -

4

a=k k

2

kb bc ck kbc+ + -

4

1 a= +k

( ) ( ) ( )

( )

1 1 1

k b bc c k k bc kb b bc ck c kbc bc

kb bc ck kbc bc b c + + + + - +

= + + + + - -

= + + - - + +

4-bc b c+ +

( )

( )( )

1 1 4

5 1 1

bc b c

b c

=- - - + + +

= - - -

b

2 c 2

b-1

1

c-1

1

( )( )

5- -b 1 c-1

4

a= +k 1

ab bc ca abc+ + -

4

ab bc ca abc+ + -

4 4

4

1

2 a=

a=k

2

a b c= = = ab bc ca abc+ + - =4

a

b

c

1 1 1 1 ab bc ca abc abc

c a b

æ ö

+ + - = çè + + - ÷ø

a

3

4

, , a b c

7

≦ ≦

と より ≦ となり, 最大値をとらない。よ って となる。このとき,

となり, ≦ ≦ より ≧ であるから, のとき に最大値 をとる。以上より, の最大値は であ る。 ・・・(答)

で 与 式 が 最 大値を取らないこ とを示す‥5 点

最 大 値 を と る の 値を求める‥5 点

残 り の 文 字 に つ いて最大値をとる 値を求める‥10 点 (2)

与えられた等式

・・・① について, とすると

となるが, これを満たす正の整数 の組は存在しない。また,

①について とすると,

となるが, これは が正の整数であることに反する。同様に①につ いて とすると となり, が正の整数であることに反す る。よって, 正の整数 が等式①を満たすとき, は全て 以上である。このとき(1)より ≦ であるから, ① より のとりうる値は に限られる。以下, それぞれの の 値について等式①を満たす 以上の整数 の組を求める。

[1] のとき

等式①は

となる。 ≧ かつ ≧ より, これを満たす の組は

(2) 30 点

の場合に与式 が成立しないこと を示す‥5 点

の 場 合 に与式が成立しな い こ と を 示 す ‥5 点

(1)の結果を利用し の候補を絞る‥5 点

の と き 条 件 を満たす組を求め る‥5 点(完答) 1 1 1

a+ +b c-1 3 a-1 0 0

abc> ab bc ca abc+ + - 0 2

a=

( )

( )( )

2 2 2

2 2

2 2 4 4

4 2 2

ab bc ca abc b bc c bc bc b c

bc b c

b c

+ + - = + + -

=- + +

=- - - + +

= - - -

2

b

c (

^b-2

)(

^c-2

)

⁰ b=2

4

ab bc ca abc+ + -

4

3 a

a

2

ab bc ca abc a+ + - = 1

a=

1 1 b bc c bc

b c + + - = Û + =

( )

^{b c,}

1 b=

0

a c ac ac a c

+ + - = Û =

c

1

c= b=0 b

, ,

a b c a b c, ,

2

ab bc ca abc+ + -

4

a

a=2, 3, 4

a

2 ( )

^{b c,}

2 a=

( )( )

2 2 2 2

2 2 4 2 4

2 2 2

b bc c bc bc b c

b c

+ + - =

Û - - + =- +

Û - - =

2

b- 0 c-2 0 _{b c,}

1 a=

1, 1

b= c=

a

2 a=

8 と求まる。

[2] のとき

等式①は

となる。 ≧ かつ ≧ より, これを満たす の組 は

と求まる。

[3] のとき

等式①は

となる。 ≧ かつ ≧ より, これを満たす の組 は

と求まる。

以上[1], [2], [3]より, 求める正の整数 の組は,

の と き 条 件 を満たす組を求め る‥5 点(完答)

の と き 条 件 を満たす組を求め る‥5 点

※ 左 辺 が 最 大 値 を 取 る 条 件 が

の う ち 少 な くとも 個が であ ることに言及し,

を 求 める解法も可) で全てである。 ・・・(答)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2, 2 1, 2 , 2, 1 , 3, 4 , 4, 3

b c

b c - - =

Û =

3 a=

( )( )

3 3 3 3

2 3 3 3 0 4 6 6 6 0 2 3 2 3 3 b bc c bc

bc b c bc b c

b c

+ + - = Û - - + = Û - - + =

Û - - =

2b-3

1

2c-3

1

b c,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 3, 2 3 1, 3 , 3, 1 , 2, 3 , 3, 2

b c

b c

- - =

Û =

4 a=

( )( )

4 4 4 4

3 4 4 4 0

9 12 12 12 0 3 4 3 4 4 b bc c bc

bc b c

bc b c

b c

+ + - =

Û - - + =

Û - - + =

Û - - =

3b-4

2

3c-4

2

b c,

( ) ( )

( ) ( )

3 4, 3 4 2, 2

, 2, 2

b c

b c

- - =

Û =

(

^{a b c, ,}

)

(

a b c^{, ,}

) (

= 2, 3, 4 , 2, 4, 3 , 3, 2, 3 , 3, 3, 2 , 4, 2, 2

) ( ) ( ) ( ) ( )

3 a=

4 a=

4

, , a b c

2 2

( ) ( )

^{b c, = 2, 2}

9

３ （６０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 15 点

の選び方は 通り存在し, 同様に確からしい。四角形 ができる条件は, がすべて異なり, 時計回りまたは反時 計回りに順に並ぶことである。異なる 頂点の選び方は 通り存 在し, 各々について の配置は時計回りが 通り, 反時計回 りが 通り存在するから,

となる。したがって,

・・・(答) である。

四角形ができるた めの条件を正しく 述べて‥5 点

の立式‥5 点

答‥5 点

(不定形を解消して いないものは不可)

(2)

の選び方は 通り存在し, 同様に確からしい。台形が できる条件は をつなぐ四角形ができ, 組の対辺のみが 平行になることである。この対辺の位置関係で場合分けする。以 下, 正 角形の外接円の中心を点 とおく。対辺の組が平行なら ば, 外接円の弦とみて, 対辺の中点同士を結ぶ直線に関して対称 であることに注意する。

[1] 対辺の組が正 角形の辺に平行なとき

(2) 30 点

※長方形を除かな い方針で解いた場 合, 最大 15 点

対辺の組の向きで 場合分けして解く 方針‥5 点

1 4

A !A

( )

^{4n 4}

1 4

A !A

4

_4nC₄

1 4

A !A

4

4

( )

( )

( )( )( )

( )

4 4

4

4

C 4 4 4

4 4 1 4 2 4 3 8

24 4

1 1 2 3

1 1 1

3 4 4 4

n

pn

n

n n n n

n

n n n

× +

=

- - -

= ×

æ öæ öæ ö

= çè - ÷çøè - ÷çøè - ÷ø

lim 1

n 3

n p

®¥ =

pn

1 4

A !A

( )

^{4n 4}

1 4

A !A

1

4n O

4n

10

正 角形のどの辺に平行になるかで 通り, その各々につ いて対辺の組の選び方が 通り存在する。ただし, 上図の 点線に関して対称な対辺の組は長方形をなし, その組は 通 り存在する。 の配置は時計回りが 通り, 反時計回り が 通り存在するから, 合計で

(通り) 存在する。

[2] 対辺の組が正 角形の辺に平行でないとき

辺の向きの選び方が 通り, その各々について対辺の組の選 び方が 通り存在する。ただし, 上図の点線に関して対称 な対辺の組は長方形をなし, このような組は 通り存在す る。 の配置は時計回りが 通り, 反時計回りが 通り

[1]で正しく立式し て‥5 点

( 長 方 形 を 除 か ず 通 りとした場合, 点 数を与えない)

[2]で正しく立式し て‥5 点

( 長 方 形 を 除 か ず

4n 2n

2nC2

n

1 4

A !A

4

4

(

2 2

) ( )

²

( )

2n× _nC - ×n 4 4+ =32n n-1

4n

2n

2n-1C2

1 n-

1 4

A !A

4 4

( )

2 2

2n× _nC × 4 4+

( )

2 1 2

2n× _n-C × 4 4+

O

O

11 存在するから, 合計で

(通り) 存在する。

[1], [2]は排反な場合分けだから, 求める確率は

・・・(答) である。したがって,

・・・① となる。ここで,

かつ

≧ より,

≧

となる。したがって, ①は分子, 分母ともに正であるから,

が示された。また, かつ より,

である。よって, 題意は示された。

(証明終)

通 り と し た 場 合 , 点数を与えない)

‥5 点

(長方形を除かず と し た場合は部分点と して 5 点)

を示して‥5 点

を示して‥

5 点

(長方形を除かず

を正しく示した場 合は部分点として 5 点)

(2)[別解] (2)[別解] 30 点

( )

{

2 1 2

} ( ) ( )

²

2n× _n-C - n-1 × 4 4+ =32n n-1

( ) ( )

( )

( ) { ( ) }

2 2

4

4

32 1 32 1

4

1 1

8

n

n n n n

q n

n n n n

n

- + -

=

- + -

=

( )( )

3

1 2 1 8

n n

n

- -

=

( ) ( )( )( )

( )

3 3

4 1 2 1 2

1

4 4 8 4

n

n n n n

q n n n

+ - - -

- =

+ +

( )

2 3

5 11 4

8 4

n n

n n

- +

= +

2

2 11 41

5 11 4 5

10 20 n - n+ = æçèn- ö÷ø -

n

2 ¹¹

>10

5n2-11n+4 5 2× ²- ×11 2 4 2 0+ = >

(

¹

)

⁰

(

¹

)

4 4 4 4

n n

q q

n n

- > Û >

+ +

0<n-1<n 0 2< n-1 2< n

3

2 1

4

n 8 q n n

n n

< × =

( )( )

3

1 2 1

n 8

n n

q n

- -

=

( )

²

3

2 1

n 16 q n

n

= -

(

¹

)

4 4

qn

> n +

1

n 4 q < n

(

¹

)

¹

4 4 qⁿ 4

n < < n +

12

の選び方は 通り存在し, 同様に確からしい。台形が できる条件は をつなぐ四角形ができ, 組の対辺のみが 平行になることである。以下, 正 角形の外接円の中心を点 と おく。

点 の選び方は 通り存在し, 各々について の配置は 時計回り, 反時計回りで 通り存在し, 平行になる対辺の組は

と の 通り存在する。

以下, 点 を固定し, 反時計回りで の条件下で台形 をなす場合の数を求める。点 の対称性より

が成り立つ。ここで, を自然数, として

と定義すると, 位置関係は下図のようになる。

上図において

であり, が決まると の配置も 通りに定まる。 の取 り得る範囲は

※長方形を除かな い方針で解いた場 合, 最大 15 点

点 を固定し, 残 りの頂点の位置を 数え上げる方針‥5 点

1 4

A !A

( )

^{4n 4}

1 4

A !A

1

4n O

A1 4n _A1!A4

2

1 2 3 4

A A // A A A A // A A_{1 4 2 3}

2

A1 A A // A A1 4 2 3

O

1 4 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4

A A // A A A A A A

A OA A OA

Û =

Û Ð =Ð

a b, 2

4n q = p

1 2 3 4

2 3

A OA A OA A OA

aq bq

Ð =Ð =

Ð =

( )

4 1

A OA 4n

a b q

Ð = -2 -

a b, A₁!A₄

1 a

A1

O A1

A2

A3 A₄

aq aq bq

13

である。長方形になる場合を除く必要があるから, を固定して 考えると,

である。 より であるから, を

つ決めるとそれに対応する は (通り)あることが分 かる。したがって, これらを数え上げると

(通り) 存在する。よって, 求める確率は

・・・(答) である。したがって,

・・・① となる。ここで,

かつ

≧ より,

中心角に関する条 件を全て列挙して

‥5 点

( の条件

を除いた場合, 点 数を与えない)

通り

‥5 点

( 長 方 形 を 除 か ず 通 り と し た場合, 点数を与 えない)

‥5 点

(長方形を除かず と し た場合は部分点と して 5 点)

を示して‥5 点 1, 2, , 2n 1

a= ! -

a

2 3

4 1

2 3 4 1

A OA A OA

A OA A OA 1

4 2 1

4 2

1 4 2 1

2 n

n n n

q q

b

a b

b a b

b a

b a

ìÐ ïÐí

ïÐ ¹ Ð î

ìï

Ûí - - ï ¹ - - î

- - Û íìî ¹ -

2n 1

a - 1 2n-a 4n-2a-1

a 1

b 4n-2a-2

( ) ( ) (

{

)

}

2 1 1

4 2 2 1 2 1 4 4 0

2

n

n n n

a - a

=

- - = × - × - +

å

( )( )

2 n 1 2 1n

= - -

( )( )

( )

⁴

4 2 2 2 1 2 1

n 4

n n n

q n

× × × - -

=

( )( )

3

1 2 1 8

n n

n

- -

=

( ) ( )( )( )

( )

3 3

4 1 2 1 2

1

4 4 8 4

n

n n n n

q n n n

+ - - -

- =

+ +

( )

2 3

5 11 4

8 4

n n

n n

- +

= +

2

2 11 41

5 11 4 5

10 20 n - n+ = æçèn- ö÷ø -

n

2 ¹¹

>10

b ¹2n-a

( )( )

2 n-1 2n-1

(

^2n-1

)

²

( )( )

3

1 2 1

n 8

n n

q n

- -

=

( )

²

3

2 1

n 16 q n

n

= -

(

¹

)

4 4

qn

> n +

14

≧

となる。したがって, ①は分子, 分母ともに正であるから,

が示された。また, かつ より,

である。よって, 題意は示された。

(証明終)

を示して‥

5 点

(長方形を除かず

を正しく示した場 合は部分点として 5 点)

(3)

図形 を1つ作ったときに, 台形とならない確率は である から,

となる。よって,

である。ここで,

となる。よって, はさみうちの原理より,

・・・(答) と求まる。

(3) 15 点

に関する不等式 を導出して‥5 点

各辺の極限に

‥5 点(完答)

答‥5 点

(3)[別解]

図形 を1つ作ったときに, 台形とならない確率は である から,

(3)[別解] 15 点 5n2-11n+4 5 2× ²- ×11 2 4 2 0+ = >

(

¹

)

⁰

(

¹

)

4 4 4 4

n n

q q

n n

- > Û >

+ +

0<n-1<n 0 2< n-1 2< n

3

2 1

4

n 8 q n n

n n

< × =

1

n 4 q < n

(

¹

)

¹

4 4 qⁿ 4

n < < n +

S ₁-_qn

(

¹

)

ⁿ

n n

r = -q

( )

( )

1 1

1 1 1

4 4 4

1 1

1 1

4 4 4

n

n n n

n q n

n r n

- < - < - +

æ ö

æ ö

\ -çè ÷ø < <ççè - + ÷÷ø

( ) ( )

( )

1

4 4 1

4

1 1

4 4 41 4 1

4

1 1

lim 1 lim 1

4 4

1 1

lim 1 lim 1

4 4 4 4

n n

n n

n n

n

n n

n n e

n n e

- -

-

®¥ ®¥

- + - ×

+ -

®¥ ®¥

ì ü

ï ï

æ - ö = íæ - ö ý =

ç ÷ ç ÷

è ø ïîè ø ïþ

ì ü

æ - ö = ïæ - ö ï =

ç ÷ íç ÷ ý

ç + ÷ ïç + ÷ ï

è ø îè ø þ

1

lim _n 4

n r e^-

®¥ =

rn

S ₁-_qn

(

¹

)

ⁿ

n n

r = -q

15 となる。ここで, (2)の結果より

である。よって,

・・・(答)

‥5 点

‥5 点

答‥5 点 と求まる。

1 1 1

lim lim 1 2 0

8

1 1 1 1

lim lim 1 2

8 4

n n n

n n n

q n n n

nq n n

®¥ ®¥

®¥ ®¥

æ öæ ö

= çè - ÷çøè - ÷ø=

æ öæ ö

= ç - ÷ç - ÷=

è øè ø

( )

( )

¹

lim lim 1 lim 1

n n n

n n

n n

nq n q n

r q

q

®¥ ®¥

- -

®¥

= -

ì ü

= í - ý

î þ

1

e^-4

=

lim _n

n q

®¥

lim _n

n nq

®¥

16

４ （６０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 20 点

方程式 と方程式 の共通解を とする。このと き,

であるから,

である。また,

となる。よって, のとき, 方程式 と方程式 の共通解は方程式 である。また, 方程式 が を解に持つとき, 次方程式 が を解に持つから,

であり,

となる。したがって, 求める解は, である。

(答) ,

‥5 点

と表す‥5 点

‥5 点

‥5 点(完答) (2)

方程式 が実数解 を持つと仮定する。このとき,

(2) 10 点

が

( )

⁰

f x = ^{g x}

( )

⁼⁰ g

( ) ( ( ) )

{ ( ) } ( )

( ( ) )

2

0 0

0

0 0

g f f

f af b

b f

g g

g g

g

=

Û =

Û + + = Û = ! =

( )

( )

f x x2 ax x x a

= +

= +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

²

)

g x f x f x a x x a x ax a

= +

= + + +

0

b= ^{f x}

( )

⁼⁰

( )

⁰

g x = _x=0,-a

( )

⁰

g x = x=-1+i

2

x²+ax a+ =0 1

x=- +i

( ) ( )

( )

1 2 1 0

2 0

2

i a i a

a i

a

- + + - + + = Û - =

\ =

( ) (

²

) (

^{2 2 2}

)

g x =x x+ x + x+

0, 2, 1

x= - - ±i

( ) ( )

^{a b, = 2, 0} x=0,-2, 1- ±i

0 b=

( )

( ) (

²

)

g x

x x a x ax a

= + + +

2 a=

0, 2, 1

x= - - ±i

( )

⁰

g x = r

( )

⁰

( ( ) )

⁰

g r = Û f f r = ^{f r}

( )

^{= + +r2 ar b}

17

であり, はいずれも実数であるから, も 実数である。よって, は方程式 の実数解である。

以上より, 方程式 が実数解を持つとき, 方程式 も実数解を持つから, 題意は成り立つ。

(証明終)

実数であることの確 認‥5 点

正しく証明できてい て‥5 点

(2)

示すべき命題の対偶は,

方程式 が実数解を持たないとき, 方程式 も実数解を持たない

であるから, これが成立することを示す。方程式 が実 数解を持たないとき, の判別式についての条件から,

である。よって,

についても, が実数値をとるから,

を満たす実数 は存在しえない。したがって, 方程式 が実数解を持たないとき, 方程式 も実数解を 持たない。以上より, 題意が示された。

(証明終)

(2) 10 点

対 偶 を 示 す 方 針 で を導く

‥5 点

正しく証明できてい て‥5 点

(3)

(2)より, 方程式 が実数解を持つとき, 方程式

も実数解を持つから, 与えられた条件を満たすとき, 方程式 は実数解を持つ。ここで, 方程式 が重解を持つ とする。このとき, この重解を とすれば,

と表すことができ,

となる。しかし,

(3) 30 点

方 程 式 が 実 数解を持つこと‥5 点 , ,

a b r ^{f r}

( )

^{= + +r2 ar b}

( )

f r ^{f x}

( )

⁼⁰

( )

⁰

g x =

( )

⁰

f x =

( )

⁰

f x =

( )

⁰

g x =

( )

⁰

f x =

( )

⁰

f x =

2 4 0

a - b<

( )

( )

²

( )

0

0 g x

f x af x b

=

Û + + =

( )

f x

( )

²

( )

⁰

f x +af x + =b

( )

f x

( )

⁰

f x = ^{g x}

( )

⁼⁰

2 4 0

a - b<

( )

⁰

g x = ^{f x}

( )

⁼⁰

( )

⁰

f x = ^{f x}

( )

⁼⁰

r¢

( ) ( )

²

f x = x r¢-

( ) ( ( ) )

( )

{ }

2 2 2

g x f x r

x r r

= - ¢

¢ ¢

= - -

( )

⁰

( )

²

g x = Û x r- ¢ =r¢

( )

⁰

f x =

18

より方程式 の相異なる実数解の個数は 個以下である。

よって, 以下では方程式 が相異なる つの実数解を持 つものとして考える。すなわち, 次方程式 の判別式を

とすれば,

・・・① を満たすとする。このとき, 方程式 の つの実数解を

とおくと,

と表せる。よって,

または または

である。ここで, であることから, 次方程式 の判別式を , 次方程式 の判別式を とすると,

が成立するから, である。 つの 次方程式は定数項だ けが異なるため共通解を持たないことに注意すると, 方程式

が相異なる つの実数解を持つための条件は で ある。

方 程 式 が 重 解を持たないこと

‥5 点

①式‥5 点

方程式

が重解を持つこと

‥10 点

( )

⁰

g x =

2

( )

⁰

f x =

2

2

^{f x}

( )

⁼⁰

D

0 2 4 0

D> Ûa - b>

( )

⁰

f x =

2

( )

a b a b

, <

( ) ( )( )

( ) ( ( ) ) ( ( ) )

f x x x

g x f x f x

a b

a b

= - -

= - -

( )

⁰

g x =

( )

⁰

f x

a

Û - = ^{f x}

( )

^-

^b

⁼⁰

2 0

x ax b a

Û + + - = x²+ax b+ -b =0 a b<

2

2 0

x +ax b+ -a= D_a

2

x²+ax b+ -b =0 D_b

2 2

4 4 4 4 Da a b D_b a b

a b

= - +

= - +

Da <D_b

2 2

( )

⁰

g x = 3 D_a =0

x y

O

( )

⁰

f x =

2 0

x +ax b+ -a=

y=x2+ax b+ -b y=x2+ax b+ -a

2 x=-a

19 よって, 方程式 を解くことで,

となることから,

・・・② が成立する。したがって, ①, ②より, 方程式 が相異な る つの実数解を持つとき, が満たす条件は,

かつ (＊)

である。

(答)

(＊)と同値な式‥5 点

(3)[別解]

が に関して対称な曲線となることを利用して 条件を求めることもできる。この対称性は,

より, が に関して対称な曲線であり, 実数 に ついて,

(3)[別解] 30 点

が に

( )

⁰

f x =

2 4 2 4

2 , 2

a a b a a b

a= ^{- - -} b =^{- + -}

( )

2

2 2

0

4 0

4 4 0

2 D

a b

a a b

a b

a

a

=

Û - - =

æ - - - ö

ç ÷

Û - çè - ÷ø=

2 2 4 2 2 4 0

a a b a b

\ - - - - =

( )

⁰

g x =

3 _{a b,}

2 4 0

a - b> a²- - -2a 4b 2 a²-4b=0

( )

2 2 4 2 2 4 0 2 4 0

a - a- b- a - b = a - b>

( )

y g x=

2 x=-a

( )

^{2 2}

2 4

a a

f x =æçèx+ ö÷ø - +b

( ) ( ( ) )

( )

^{2 2}

2 4

g x f f x

a a

f x b

=

æ ö

=çè + ÷ø - +

( )

y f x=

2

x=-a r

( )

y g x=

2 x=-a

20 が成立することから導くことができる。また,

となる。 の における対称性より, 方程式 が相異なる つの実数解を持つことと, 方程式 が と の範囲に つずつ実数解を持つこ とは同値である。ここで,

≧

≦

のとき, で となるから, は と

の範囲の両方に実数解を持つことはないため,

が必要である。また, のとき, ≦ の範囲で の増減表を書くと以下のようになる。

関して対称な曲線と なることを示す

‥10 点

を求める‥5 点

‥5 点

2 2

2 2

a a

f r f r

a a

g r g r

æ- + ö= æ- - ö

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

æ ö æ ö

\ ç- + ÷= ç- - ÷

è ø è ø

( ) ( ( ) ) ( )

( )

{ } ^{( )}

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

4 2 2 4 2

g x f f x f x

x ax b a x a x ax a b x a

a a a a

x b x

¢ = ¢ × ¢

= + + + +

= + + + +

ì ü

ïæ ö ïæ ö

= íïîçè + ÷ø + + - ýïþçè + ÷ø

( )

y g x=

2 x=-a

( )

⁰

g x = 3

( )

⁰

g x =

2 x=-a

2 a x

- <

1

2

2 4 a a

b+ - 0

2 2 4

a a b

Û - - 0

2 a x

- < ^{g x¢}

( )

^{>0 g x}

( )

⁼⁰

2 x=-a

2 a x - <

2 2 4 0

a - a- b>

2 2 4 0

a - a- b>

2 -a

x

( )

g x

x

2

-a ^{! 2}

2 4 2

a a a

- + - -b ^!

( )

g x¢ ^- 0

+

( )

g x¢

2 2 4 0

a - a- b>

21 極小

これと より, のとき, 方程式

は と の範囲に つずつ実数解を持つ。以上より, 方程式 が相異なる つの実数解を持つことと,

かつ は同値である。よって,

から, 求める条件は,

かつ (＊)

である。

‥5 点

(＊)と同値な式‥5 点

(答) かつ

( )

g x 2

gæçè-aö÷ø ! !

( )

limx g x

®¥ =¥ ₀

2

gæçè-aö÷ø= ^{g x}

( )

⁼⁰

2 x=-a

2 a x

- <

1

( )

⁰

g x = 3

2 2 4 0

a - a- b> 0

2 gæçè-aö÷ø=

2

2 2 2

4 3 2 2

2 2

4

4 4

1 1 1

16 4 2

a a

g f f

f a b

a a

b a b b

a a a b ab b b

æ ö

æ- ö= ç æ- ö÷

ç ÷ ç ÷

è ø è è øø

æ ö

= ç- + ÷

è ø

æ ö æ ö

=ç- + ÷ + ç- + ÷+

è ø è ø

= - - + + +

2 2 4 0

a - a- b>

4 3 2 2

1 1 1

16a -4a -2a b ab b+ + + =b 0

2 0 gæçè-aö÷ø=

2 2 4 0

a - a- b> 1 ⁴ 1 ³ 1 ^{2 2} 16a -4a -2a b ab b+ + + =b 0

22

５ （６０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 10 点

であるから,

・・・(答) と求まる。

‥5 点

答‥5 点

（同値なら可）

(1)[別解]

倍角の公式より

であるから,

・・・(答) と求まる。

(1)[別解] 10 点

を と

の 式 で 表 す

‥5 点

答‥5 点

（同値なら可）

2

2

2 tan tan 2

1 tan 2 1

s s g g

= g -

= -

( )

2

2

tan 3 tan 2 tan 2 tan 1 tan 2 tan

2 1 2 1 1

s s

ss s s

g g g

g g

g g

= +

= + -

- +

=

- ×

-

3 2

3 1 3

s s s

= - -

tan 2g

3

3 3

sin 3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos

g g g

g g g

= -

= -

( )

( )

3 3

3 2

2

2 3

2

sin 3 tan 3

cos 3 3sin 4sin 4cos 3cos 3tan 1 4 tan

cos 4 3 1

cos

3tan 1 tan 4 tan 4 3 1 tan g g

g

g g

g g

g g

g g

g g g

g

=

= -

-

× -

=

- ×

+ -

= - +

3 2

3 1 3

s s s

= - -

tan 3g sing

cosg

23 (2)

放物線 と直線 を連立した式

が異なる つの実数解 を持つから, 判別式が正となり

が成り立つ。また, 解と係数の関係より

・・・①

であり, より だと分かる。放物線 よ り であるから, 直線 の傾きはそれぞれ である。

つまり の傾きは全て正であるから, 上図より である。したがって, 実数

を用いて

とおくと, 軸の正方向と直線 がなす角がそれぞれ となるため, 上図より

(2) 35 点

の立式 の根拠となる図ま たは説明‥5 点

①‥5 点

‥5 点 x

y

O

C _L0

2 0

x -sx t+ =

2

a b,

2 4 0

s - t>

,

s t

a b+ = ab=

0, 0

s> t> a>0,b >0 C y: =x²

2

y¢= x L L₁, ₂ 2 , 2a b

0, 1, 2

L L L

1 2

0 , 0

2 2

p p

q q

< < < < q qa, b

0 , 0

2 2

a b

p p

q q

æ < < < < ö

ç ÷

è ø

tanq_a =2 , tana q_b =2b

x

_{L L L0, 1, 2}

, _a, _b g q q

1 2

tan , tanq q

tan 2

tan 2

a b

q a

q b

=

= q2

: 2

C y=x

L1

L2

a b

q1

0:

L y sx t= -

24 となる。よって, ①より

・・・(答) と求まる。

を で 表 す‥5 点

を で 表 す‥5 点

を で表す

‥5 点

答‥5 点

（同値なら可）

(2)[別解] (2)[別解] 35 点

の立式 の根拠となる図ま たは説明‥5 点

( )

( )

1

2

tan tan tan tan 1 tan tan

2 1 2 tan tan

tan tan 1 tan tan

2 1 2

s s

s s

a a

a

b b

b

q g q

g q

g q a

a

q q g

q g

q g

b b

= -

= - +

= - +

= -

= - +

= - +

( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

1 2

2

2 2

2

2 2

tan tan tan 1 tan tan

2 2

1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2

2 1 2 2 1 2

1 2 1 2 2 2

2 2 2 8

1 2 4 2 4

2 2 2 8

1 2 4 2 4

s s

s s

s s

s s

s s s s

s s s s

s s s

s s s s

s s s s s t

s s s t s s s t

q q

q q q q

a b

a b

a b

a b

a b b a

a b a b

a b a b ab

a b ab a b ab

- = - +

- - -

+ +

= + - × -

+ +

- + + - +

= + + - - -

- + + + -

= + + + - + + -

- + × - ×

= + × + × - + × - ×

3

2 2

2 8 1 3 4 4

s st

s t s t

= -

+ - +

tanq1 s,a

tanq2 s,b

(

1 2

)

tan

q q

-

, , s a b

x y

O

1 2

tan , tanq q q2

: 2

C y=x

L1

L2

a b

q1

0:

L y sx t= -