3.3. 3次元ベクトルの外積・3次の行列式

3.3. 3次元ベクトルの外積・3次の行列式 65

が成立することに注意しましょう．

次に(3.5)において61, b2, 63 (またはC1, c2, c3)について整理すると，次の各列に関する余因

Ic(8( 1

子展開が成立することにも注意しよう．

￨ca､8, 1

/ =1C3‑e1I T( l c36, 1"

tl ^−I 帆

l c36, ￨〃

Q1 61 cl

嘱T･｡InF" 園、

Q2 62 c21=q' Q3 b3 c3

(M2 C2 1+62 1 (M] C] ￨‑b3 ^{Ql C1}

＝−6， ＋b2

(z3 c3 1 1 Q3 c3 1 1 a2 c2

a2 62 α1 61 α1 61

=C11 , ￨‑C2 +c3

q3 63 α3 63 α2 62

I

蝸咄

-1

︑

ノ

3次の行列式の基本性質については後に詳細を述べますが，以下ですぐに必要になる性質につい てまとめましょう．

／ 、

5,51EER3に対して以下が成立します．

､

紗で((､ t

ー

→ →

56副＝−'5561

→ →

‑￨56"￨=‑lbad

一

→→ →

￨5661=￨56"￨=￨厨旬司=0

ノ

、

これらは2次の行列式の交代性（定理3.3）と余因子展開を用いて示せます．

IR3',""3 ̲ /c!､ ‑j,

（熟。

3.3.2べｸﾄﾙの外積･行列式の幾何学的な意味穆二

ベクトル；と5の外積（ベクトル積）を右のように定

めました．外積6×5は

I ￨ ::

3̲L5×a 5画×5 (3.7)

6×ざ＝ 6，

を満たすことを(3.4)で直観的に説明してあります．厳 63

密にこのことを示すために公式 6，

（ ，

⑬;副‑,;×旬 ｛凱周

が成立することに注意します． この公式を用いると

ざ＝与りま畏今

(b,6×旬=￨664=0

‐ →‐

匙︑７ＦⅦこし

（

一 一

が従い, 3̲L5×ざが分かります． また5̲Lb×ざも同様です．

fご‑、〉

( ‑‑ I愚ぞご

α‑凸､ −へ一s､

−6−6し

IなぜごI=o

，‑,‑j〉

r

66 第3章座標空間と数ベクトル

次に5×ざの大きさについて注意します. 2本のベクトル6とざが定める平行四辺形の面積sについ l lbl l ･ l l司

' '61 1 . ￨ ￨副

S= sine

､/1‑COS28

＝三二

て考えます.5とざのなす角をβとします．このとき

h棡訓)'

1'‐

→

＝ '61 1 . ￨ ￨副

／ →

V￨ ￨61 12 ￨ ￨副'2−(5,旬2

:＝＝

→

6×5

6

から

82 = ￨ ￨51 12 . ldl2‑(3,旬2

＝ （6f＋6;＋6;)(C3＋C;＋C;)−(61C1＋62C2＋63C3)2

2 2 2

61 cl

el ::: ≠ 63 c3 ＊鯰=￨ ￨3×副￨2

^{b2 c2}

を得議すすなわち↑

→

も白. S=￨ ￨6×副￨ (3.9)

を示しました． 3とざに垂直で大きさがsであるベクトルは2本ありますが， そのどちらが6×ざ

になるのについて軽く説明します．座標系が右手系の場合は， 6から5へ右手の親指以外の4本の 指を揃えて向かうときに親指が向かう方向がb×召です（右ねじの向き） ． また座標系が左手系の 場合は，同じことを左手で行います. （前ページの図は，右手系の場合を考えています.）詳しくは 述べられませんが(3.8)を用いて得られる

det(355×副=￨ ￨5×副￨2>0

が5×ざ≠0であるときに成立することから, 5,a5×cが標準単位ベクトルを用いたa，壷,島

と同じ「向き」を持ちます． このことから以上の事実が示せます．

公式(3.9)を用いて， 3次の行列式の幾何的な性質について説明します． 3本のベクトル旬, 6，5

が定める平行6面体の体積をvとします。 5，5が定める平行四辺形を底面として体積vを考えま

す．すると垂直方向6×Eとぶとのなす角をやとすると，高さ/'は

（厨,6×E) ￨ ￨ (",6×司

自＝二

lal l ・ ' '6×副 '6×副

内積・直交射影

3.4.

と計算されます． これから

67

￨(祷 '一￨価､句￨‑￨釧加

v=sh=￨ ￨;×司l ･

となります．

演習3.1．ベクトルの外積について以下の性質が成立することを示しましょう．

(')厨×6＝−6×厨， 豆×毎＝び (2)(厨十6)×ご＝屋×ご＋6×ざ

(3)(入の×6＝ご×(入6)＝入(旬×あ

演習3.2.a=t(110),;=t(01‑1),5=t(123)に対して，以下を求めましょう．

(')厨と；が張る平行四辺形の面積． (2)厨と；に直交する単位ベクトル．

(3)厨と豆ざが張る平行六面体の体積．

$､4内積・直交射影

(:) Ⅲ〃(:）

^ER",

→

勿二＝

に対して壷とずの内積を

壷･グー(諺,切＝鰯'"'十…+""yn と定めます． さらに諺の大きさ（ノルム）を

' '毎' '=,/夛亨幸言ｴ蕗

と定めます．

ベクトルの内積と大きさについては次の定理が成立します．

定理3.5.露,飢夛ERjzと入ERに対して

（毎＋圦司＝(毎,司十(圦司

（毎,ず＋司＝(壷,ク)＋(諺,動

（入宝,動＝(壷,入切＝入(壷,酌

（曇,，)＝(圦鋤

｜ ￨入諺￨ ￨＝￨入￨ ・ ' '毎' '毎￨ ￨≧0， '毎￨ ￨＝0骨壷＝0

(3.10）

(3.11）

(3.12）

(3.13）

(3.14）

(3.15）

／

１3変数の行列式Nol

NobuyukiTOSE

MSF2019April30,2019 (平成最後の講義）

3変数の行列式Nol 1／四 Nlll5l畠輌dlrTCSf

■■■

復習〔定義）

E

・定義 ^{／Ｊｌｌｌｌ︑} １２３ｃｃｃ

１

一 一

↓ｃ

７

１

１２３６６６

ノー１１︑

↓ｂ

︑ＩＩＪノー２３ａαα

／１１１１１︑

→

α：=＝

行列A=(a5旬に対して

１２３Ｉ

Ｃｃｃ２３ｃＣｌ２３ｂｂｂ２３画︑り

１２３１ ａαａ１

det(A)=|AI=

＝三α1

ユノ19 3変数の行列式No1

I,出,肺T亀5ビ

■■■

復習NO2 (余因子展開）

・2列と3列の展開

１２３６６６

１２３ａαａ １２３ｃｃｃ

１２１

ｃｃ切睦１２αａ１２

１αａ

３６３ｃ＋

１３１

ｃＣｌ３勺︑宙︑１３αａ１３

１αａ

２６２

＋ｃ ２３１

ｃｃ２３口０口︑２３αａ２３

１αａ

１ｂｌｃ

ヨ変数の行列式Nn1 ヨノ19

Fhbq上叩q1冠晒

ﾛ■■■

3つの基本性質

*fa[@ 〈 恥 干

1，

｡(1)各列の

〃・det

（圃珂

（

det

。（Ⅱ）交代性例えば

det(ab可==‑det(aざb)

r3=

det(IS)=1

ぐ＝ 1峰)(:）(;)（

｡(11I)正規性

3>fへ

!§仇'i弧（ ｛

3査敏の行列式ND1 4/四 NnU,, u8， 1

’

3つの基本性質−3重線型性

口

(￨)各列の線型性を示すには以下の定理を用いる．

／ 、

定理 ／ＪｌＩ１１︑ 釦錘鎚 １２３

１

F:K3→K _{信＞α1麺1＋α2 2＋α3錘3}

は

F(入毎十〃ず)=入F(")+"F(') (",'EK3)

を満たします．

ノ

、

§危い〕

5/'9

3変歓⑱行列式Nol ﾄ,' 1動11 ,i,! , ,Ⅱ ｜撒豊E

」

復習Nc4(基本性質から）

偲包で 1

一

一 一

式の値は0となります。例えば

o(Iv)異なる2列が等

4＝0

･(v)j≠jのときj列にz列の入倍を加えても行列式の値は変わりま

せん。例えば

det(a55)=det(a5+入遍置）

【I

ｏ

﹁ハ︺﹁

﹁α α

１ １

１ １

別 枠

幸 Ｉ

輌 副

︾ ︷

も ︲

ｌ

↓瓜

6／四 t咄ﾘmL昨制二

行列の転置N⑥1

・ベクトルの転置

︑１１１Ｊノ

ー２ｎ

ａα︲・・α／Ｊ１１１︑

t(q,cM2…α )=

ｊ

知ａ

２ａ

１αく

︑１１１Ｊノ

ー２泥

ａα・・．α

ｉ︲１

ｔ

T／四 3変数の行列式職o】

I,』flhl , ，dL T−編モ

行列の転置N⑪2

−

Q( qZ

.（ L 6レ

④行列の転置

II:)

t(a,…墨2)=

｡に1

^{!＝＝ (ta,…tam)}

8／'9

3変数の行列式N回I I4l ih ： ILlp F‐ 胃

転置と行列式

蝿免

ＯＬＩ

ＧＥ

｜＝ ｜

q(6{

＆､−6乙 I

■

■

■

■

■ ｐ ｌ ｌ ８ ｑ Ｏ

・転置行列の行列式

det(tA)=det(A)

１２３６６６

１１１α画りｃ ２２２αりｃ ３３３α轡︑ｃ １２３αａａ １２３ｃｃｃ

:＝＝

3変数の行列式Ncl qノ四 NGI,刺,mhT‐5層

｜■ 証明

峨峨坐

１

１ｌ

Ｇ︑名し

ｊＩｌ１Ｉ１Ｉ１ｉＩ

●証明

１１

⑪⑥■３ａ﹄⑰

２１ｃｃ

−ｌ

３３は

姉 一 一

ｃ２α

ｊくｊ 酎恥蛇画

一蛇一峨

力ｌＪ− ｃ３ｃ２

３刃︑３ｃり２甘⑰１

一い一価

３

１３α

必托睦十

ｆｔｆｌ

ｌｌａα

一一一Ａｔ

＝ 二

10／19

3変数の行列式圃岱1 1111｣1ｺ師,』h TpHE

’

列の性質から行の性質

）

＋一命

寺一十 一十一

I

１ １

・行の余因子

儒曾

l c' c2

１２３１１ ｃｃｃ２３３３

ｃｃ誼０Ｃｌ２３

ｂｂｂ２３２２

画︑画りワ○ｃ

１２３１１ １３１１

６６ｂｃ

１２１１

ｂｂｂｃ

１２２２

ｃｃ万○ｃ１３３３ｃｃで︑ｃ

＋α3

−α2

=＝α1

＋α3

−α2 三＝α1

●ここで2次元の公式

（:）

det =det(fatb)

．麦数①行列式N口1 n/]g

旧｣]｡￨]u,,腰岫『踊呂

A!GL 6L6レ

ＩＬｑＡ１１ 〜し

８ｆ

I

I

^＝

I

■■■■■■

2行と3行の余因子展開

が

・行の余因子展開 些

１１１αｚひｃ ２２２α刀⑨ｃ ２２ａＣｌｌａｃ

α2 α3 α1 α3 α1 a2

-C2 +c3

b2 63 bl 63 bl b2

寿簡 しし咄

皿／]且

3変数の行列式Nol f,I吐凹9 ，11p TL･国E

■■■■■

行に関する基本性質

・各行に関する線形性

)‑…《(;)≠"

(;)−" (;）

Ibtcl ‑ ‑‑‑

a

(;）

入α＋似β

C

det

。行に関する交代性

det

いい

mblh+FWwT智矢 E 3変数の行列式N･ ユヨ／'9

＞ ＝ ｜ ､ ．Gα需耶)、 ｜

=rf'ql 入亡似十斗叩冠'パ

ー入￨6QI七収赴I…l tc'FCcc I

11

、

行による性質

、 、

￨ ､外￨ ｜

>、

｡(Iv)異なる2行が等しい場合

｜;' ' 一" (券．

ｰ

o(vI)j≠j のときj行にj行の入倍を加える

det

（;)‑ ･い｡）

一

鴫ギハ ｜

NpI]Ⅵ､伽￨I［ ｜ ‐角モ 3変数の行列式和G1 Ⅲ11

。

'4/'g

■ 証明

。証明（行に関する線形性）

準備 t(入α+"B)=入tα＋〃tβ

侭")‑ "峡｡ ．い…

det

=det(ta入tα＋"tp tc)

＝入det(ta tcM tc)+"det(fa tP tc)

（;)≠… (;）

＝入det

tc)

〃〃００︒ｕ００００日︐

ｴ5／19 列式Np1

］変数の行 Na』i,内･『h駒T●藍

一

今二

１ １

記寺 くし

一十︺

一一１／″科︲﹁﹂

I■■■■

行列の積と行列式

・行列の積と行列式

det(XA)=det(X)･det(A)

・復習（順列の符号による行列式）

det(a"=Eodbjc聡唇(jjk)

（ ん）

注意和は｛1,2,3}の全ての順列を動く。

3変数の行列式Nol ｴE／四

↑!￨ 171,』 1｣k ,mｨ§

巳Ｐ

Ⅱ

2次正方行列(No.1)

NobuyukiTOSE

MSF2019,Apri l 30, 2019 (平成最後の講義）

1／1癌 2次正方行列(ND.1)

F l ‑肌荊IkTご証』

行列の掛け算

1行ベクトル×列ベクトル

（2）=｡"十｡』

(a｣ a2)

③…‑…。

(a, a2 a3)

イxヘ an) ¥2

(x"ノ

(a a2 =alxl+a2x2+･ ･ ･+anxh

2次正方行列IND.1) Z／l岳 1,1.11 ,,,1'Jbい ‐T SE

2行の行列

(::)｡ ；=(:). =(:）

→

a二二

第1列 1,2)成分

l'庁2るI

('6)‑(")12行2列の行列）

(調畠)=(蛾:)(2行3列の行列｝

、

^第2行

2次正方行列(No.1) 3／15 lいIﾛ,ATfhl l ご)5

し側 患,)(可） 11

(q些岫(1

ミニ ／rq

／

一一

凡

田

(も(cl)

行列×列ベクトル

6杢畦〕

(:)＝(鯛:）

(35)(7)=x3+y5=x(2)

^+y

(2)+z(2)=(鯛雛:)

→

（#）

(36E)

→

＝×3+yb+zE=x(:;)+y 連立1次方程式の表現は次のようになる．

｛:鉾:に；−帽+' =( )‑(蕊)(;)=( ） {:期；軽二；−※針"+ま=(;)‑(蝿)(#)=(;

注意(35)(;)=x3+y5, (ﾖ床)(#)=×ﾖ十y5+zでは園,5,EEK"で

定義できる．

2次正方行列（No.1） 4／酉

￨･' 1 11!』､J I1 1 SE

3行の行列

ｌ

ｑの亀

Ｉ

↓ Ｃ

１１ｌｌｌＪノー２３ｂｂｂノー１１︑

↓ｂ

︑１１ｊノー２３ａａａ

ｌ

→

a＝二

に対して

(35) × （,）

^=x3+yb→

I(｡ b,)(#)1 (･,b:)C) (い,蝿)(；)ノ

=×(爵)+,(§)=(灘）

^二二二

5ノ'5 2次正方行列(No.I)

IL￨』,LⅧdh TqE

3行の行列(2)

(罫5ウ ②

ノ

十恥い１１ノ︑１１Ｊノ︑Ｉｌｊノ

︑ＩＩＪノｘｙｚｘｙｚｘｙｚｈめめ／１︐１１︑／１１１︑／ｊⅡ１１︑

ｆｊ１１ １２３ Ｖ望ｃｃＣ 十切比姥 ︑１１ノ−２３ １２３ａａａ ａａａ琴Ｉ︑ｉｔＩ︑

〃

″

．

︐

︐ ｌ

︲

︑

︑

／ ｆ Ｉ Ｉ Ｉ Ｊ １ Ｊ

︲ １

︲ Ｊ １ １ １ １

．

●

︑

．

︑

︑

︑ ｘ↓Ｃ︑１１Ｊノ

Ｚｑ璽亀

ＺｚＺ

十＋＋＋

↓６町比姥

Ｖ望ｙｙｙ

＋＋＋

十２３

瘤率率↓ａＸ／ｊ１１︑

(§）

Z

2次正方行列(No.1) ^E／15

｢l 1LI]1川, i Tに勗愉

2次正方行列の積

(:刈. γ‑(函)‑(餓）

→

x=(3b)=

に対して

１

１２ｂｂ２２１ノｑｑ↓６トト馳正牙十掴頂↓ａα〃ｑｌｑ酎比↓６煙煙弐卯煙十十

腰慨

ｊ↓９

↓ｐＸ

ＹＸ

(･ 』'(:) (｡ j(:;）

(． 蝿)(慨) (｡ｭ"!(::）

︑︑︑９０８０１１１１１０︐〃〃ノ

ﾆーニ

2次正方行列（間口.l}

N叩ⅡⅧ』RlTp胃モ

行列の積の基本性質

線型性

x(6+3)=xp+x3, x(入β)=入(x5)

』

↓ｑ↓６Ｘｊ２＋和布

伽一一↓旭＋↓句陸

泪恥０ｊ 恥十十率 汁娠頒ｊＭ

ｐｆｌｐ↓ｂ一一

十い陸ｊ

一↓句一一Ｍ頭１ノ２

側酔㈱呵瞬 ＸいＸ刈刈 焔妬ＬＬ

塾次正方行列（N口､1） 8ノユ回

N画hﾛⅣⅡHlTD5陛