５ . K - ベクトル空間
科目： 線形代数学IB及び演習（１‐１組）
担当： 相木
このプリント内では有理数体Q，実数体R，複素数体Cをスカラーとするような「ベ クトル空間」というものを定義する．スカラーが３つのうちどれでも定義は同じなので，
これらをKと表すことにする．つまり，Kを含むような文章においてはQ,R,Cのうち １つ選び，文内に現れるKは全てその選んだ１つであるとして読めばよい．
これまで，Rnという数ベクトル空間を扱ってきたが，数ベクトル空間の最も本質的 な性質は，x,y∈Rnとスカラーcに対して
和 x+y と スカラー倍 cx
が定義されており，x+yとcxは共に新たなRnの元を定めていることである．これを抽 象化し，一般的なベクトル空間を導入することが目的である．
そこでまず一般に，集合V に対して「和が定義されている」，「スカラー倍が定義され ている」，とはどういうことか定義する．
集合における和
V を集合とする．集合V において和が定義されているとは，V ×V →V なる写像が 定義されていることである．
この写像のことを「和」とよび，u,v,w∈V に対して(u,v)∈V ×V がこの写像に よってw ∈V に写されるとき，つまり
(u,v)7→w
のとき，このことを
u+v =w
と書く．また，写った先を明示せず，「(u,v)の像」を表すために u+v
とも書く．これは，写像f によるxの像をf(x)と記述したことに対応する．
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集合におけるスカラー倍
V を集合とする．集合V においてKをスカラーとするスカラー倍が定義されている とは，K×V →V なる写像が定義されていることである．
この写像を「スカラー倍」とよび，c∈Kとu,w ∈V に対して(c,u)∈ K×V がこ の写像によってw ∈V に写されるとき，つまり
(c,u)7→w
のとき，このことを
cu=w
と書く．また，写った先を明示せず，「(c,u)の像」を表すために cu
とも書く．
もう少し平たく言うと，V において和とスカラー倍が定義されているということは，∀c∈K と∀u,v ∈V に対してu+vとcu がV の元として定まっている，ということである．
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和とスカラー倍が定義された集合V がさらに特定の条件を満たすとき，ベクトル空間 であるという．
K-ベクトル空間
V を集合とし，V において和とKをスカラーとするスカラー倍が定義されていると する．以下が成り立つとき，V はK-ベクトル空間（スカラーが何であるか明かなと きは単にベクトル空間）であるという．
(i) (和の結合法則） ∀u,v,w ∈V, u+ (v+w) = (u+v) +w (ii) （和の可換性） ∀u,v ∈V, u+v =v+u
(iii) （0の存在） ∃0∈V, ∀u ∈V, u+0=0+u=u
この0を零ベクトルとよぶ
(iv) （逆ベクトルの存在） ∀u∈V, ∃u′ ∈V, u+u′ =u′+u=0
このu′を−uと書き，uの逆ベクトルとよぶ (v) （1によるスカラー倍） ∀u ∈V, 1u=u
(vi) （スカラー倍の結合法則） ∀u∈V, ∀α, β ∈K, α(βu) = (αβ)u
(vii) （スカラー倍の分配法則） ∀u,v ∈V, ∀α, β ∈Kに対して α(u+v) =αu+αv かつ (α+β)u=αu+βu
また，V がK-ベクトル空間であるとき，V の要素のことをベクトルとよぶ．
例えば，スカラーがCであるときは，C-ベクトル空間，などという．この語法を用いる と，「RnはR-ベクトル空間である」と言える．また，RnはQ-ベクトル空間でもあるが，
C-ベクトル空間ではない（演習問題）．
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予約制問題
(5-1) RnはQ-ベクトル空間であることを示せ．
(5-2) 実m×n行列全体の集合Mm×n(R)はR-ベクトル空間であることを示せ．
(5-3) K-ベクトル空間V においてベクトル空間の定義(iii)を満たすベクトルは唯一つで あることを示せ．
(5-4) V をK-ベクトル空間とする．∀u ∈V に対してベクトル空間の定義(iv)を満たす 逆ベクトルu′は唯一つであることを示せ．
早いもの勝ち制問題
(5-5) RnはC-ベクトル空間ではないことを示せ．
(5-6) 区間Iで定義された実数値連続関数全体の集合C(I)においてf, g∈C(I)とc∈R に対して
(f+g)(x) =f(x) +g(x) (cf)(x) = cf(x)
によって和とスカラー倍を定義すると，C(I)はR-ベクトル空間でることを示せ．
(5-7) V をK-ベクトル空間とする．∀u ∈V に対して0u=0を示せ．
(5-8) V をK-ベクトル空間とする．∀α ∈Kに対してα0=0を示せ．
(5-9) V をK-ベクトル空間とする．∀u ∈V に対して
−u= (−1)u
が成り立つことを示せ．（注意：−uはベクトル空間の定義(iv)から定まるV の要 素であり，(−1)uは−1∈Kとuの積である）なお，(5-4)の結果は認めてよい．
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