Euclid 空間の直積位相についての補足
幾何学 AI/ 幾何学 I ( 担当 : 新國 )
2013
年7
月3
日(水)
以下で,講義における
§ 4.2
の例4
で時間の都合上述べなかった,2
次元Euclid
空間R 2
において,R × R
としての直積位相O e
と, 標準的な位相O ( R 2 )
が一致することの証明を述べる.
まず, 直積位相
O e
による位相空間( R 2 , O e )
において,
B = { O 1 × O 2 | O 1 , O 2 ∈ O ( R ) }
は( R 2 , O e )
の基底である. そこで
R
の開区間全体の集合はO ( R )
の基底であった から( § 2.4
の例4
でn = 1
の場合),O 1 = ∪
λ ∈ Λ
(a λ , b λ ), O 2 = ∪
µ ∈ M
(a µ , b µ )
と表せる. このとき
O 1 × O 2 = ( ∪
λ ∈ Λ
(a λ , b λ ) )
× ( ∪
µ ∈ M
(a µ , b µ ) )
= ∪
(λ,µ) ∈ Λ × M
((a λ , b λ ) × (a µ , b µ ))
であるから,故に
R
の開区間の直積全体の集合B e = { (a 1 , b 1 ) × (a 2 , b 2 ) | a i , b i ∈ R , a i < b i } (i)
もまた( R 2 , O e )
の基底である. 即ち,標準的な位相による位相空間
( R 2 , O ( R 2 ))
が, 平面R 2
に対し“
開円板”
全体の集合を基底とする位相を入れた空間であったのに 対し,直積空間( R 2 , O e )
は, 平面
R 2
に対し“開長方形”
全体の集合を基底とする位相を入れた空間である.
次に,改めて標準的な位相
O ( R 2 )
による位相空間( R 2 , O ( R 2 ))
を考える. まず,講 義の§ 2.4
において,以下の定理を証明したことを思い出す:1
定理
2.4.4.
位相空間(X, O )
及びO
の部分集合B
に対し,B
が(X, O )
の基底 であることと, 任意のO ∈ O
に対し,∀ x ∈ O, ∃ W ∈ B , s.t. x ∈ W
かつW ⊂ O
が成り立つことは互いに必要十分条件である.
この定理
2.4.4.
を用いて, (i)の集合族B e
が, 実は( R 2 , O ( R 2 ))
の基底でもあるこ とを以下で示そう. いま, (R 2 , O ( R 2 ))
の任意の開集合O ∈ O ( R 2 )
において,∀ a = (a 1 , a 2 ) ∈ O, ∃ ε > 0, s.t. B(a; ε) ⊂ O (ii)
が成り立つ. 更にここでε ′ = ε/ √
2
とし,B e
に属するR 2
の部分集合W = (a 1 − ε ′ , a 1 + ε ′ ) × (a 2 − ε ′ , a 2 + ε ′ )
を考える. これは
( R 2 , O ( R 2 ))
の開集合でもあることに注意しよう1 .
このとき,x = (x 1 , x 2 ) ∈ W ⇐⇒ a 1 − ε ′ < x 1 < a 1 + ε ′
かつa 2 − ε ′ < x 2 < a 2 + ε ′
⇐⇒ | x 1 − a 1 | < ε ′
かつ| x 2 − a 2 | < ε ′
= ⇒ (x 1 − a 1 ) 2 + (x 2 − a 2 ) 2 < 2ε ′ 2 = ε 2
⇐⇒ x = (x 1 , x 2 ) ∈ B(a; ε)
より,
W ⊂ B(a; ε)
である(幾何的な意味は図 1
を見よ). 故に(ii)
と合わせてa ∈ W
かつW ⊂ O
が成り立つ. 従って定理
2.4.4
により,B e
は( R 2 , O ( R 2 ))
の基底である.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x 2
x 1
a ε
1
' ε ' ε '
ε ' a 2
W
ε a
図
1: W = (a 1 − ε ′ , a 1 + ε ′ ) × (a 2 − ε ′ , a 2 + ε ′ ) ⊂ B(a; ε)
1
実際,任意のb ∈ W
に対し,b
を中心とするR 2
の開球体でW
に含まれるものが存在する.詳細は各自確かめよ.2
以上により,
O ∈ O ⇐⇒ e O = ∪
λ ∈ Λ
W λ (
W λ ∈ B e )
⇐⇒ O ∈ O ( R 2 )
となるので,
O e = O ( R 2 )
が得られる. 即ち,直積位相O e
による位相空間( R 2 , O e )
と,標準的な位相
O ( R 2 )
に よる位相空間( R 2 , O ( R 2 ))
は全く同じものである.より一般に
n
次元Euclid
空間R n
については, 次の定理が成り立つ.定理
. n
次元Euclid
空間R n
において,R
のn
個の直積R × R × · · · × R
として の直積位相O e
と,標準的な位相O ( R n )
は一致する. 即ち,直積位相O e
による位 相空間( R n , O e )
と,標準的な位相
O ( R n )
による位相空間( R n , O ( R n ))
は全く同じものである.
実際,
R
の開区間のn
個の直積全体の集合B e = { (a 1 , b 1 ) × (a 2 , b 2 ) × · · · × (a n , b n ) | a i , b i ∈ R , a i < b i }
が,( R n , O e )
及び
( R n , O ( R n ))
の基底であることを示せば良い. 詳細は演習問題と する.3
