习题课 空间解析几何

习题课

一、内容小结

二、实例分析

空间解析几何

第八章

一、内容小结

空间平面 一般式

点法式 截距式

 0





 By Cz D

Ax ( A²  B²  C ²  0)

1



 c

z b

y a

x

三点式 0

1 3

1 3

1 3

1 2

1 2

1 2

1 1

1 





  



z z

y y

x x

z z

y y

x x

z z

y y

x x

1. 空间直线与平面的方程

) ,

, (

: x₀ y₀ z₀ 点

0 )

( )

( )

(x  x₀  B y  y₀  C z  z₀  A

) ,

, (

: n  A B C 法向量

空间直线 一般式

对称式

参数式



     0 0

2 2

2 2

1 1

1

1x B y C z D A

D z

C y

B x

A









 



t p z

z

t n y

y

t m x

x

0 0 0

p z z

n y y

m x

x _{0 0}  ₀

 

 

) ,

,

(x₀ y₀ z_{0 为直线上一点 ;}

面与面的关系

2 0

1 2

1 2

1A  B B  C C  A

2 1 2

1 2

1

C C B

B A

A  

平面 平面

垂直 : 平行 :

夹角公式 :

2. 线面之间的相互关系

) ,

, (

, 0

: _{1 1 1 1 1 1 1 1}

1 A x  B y  C z  D  n  A B C



) ,

, (

, 0

: _{2 2 2 2 2 2 2 2}

2 A x  B y  C z  D  n  A B C



2 0

1  n  n

2 0

1  n  n

2 1

2

cos 1

n n

n n 

 

,

1 1 1

1 1

1 1

p z z

n y y

m x

L x      直线 ：

2 0

1 2

1 2

1m  n n  p p  m

,

2 2 2

2 2

2 2 p

z z

n y y

m x

L x     

：

2 1 2

1 2

1

p p n

n m

m  

线与线的关系

直线

垂直 : 平行 :

夹角公式 :

) ,

,

( _{1 1 1}

1 m n p

s 

) ,

,

( _{2 2 2}

2 m n p

s 

2 0

1  s  s

2 0

1  s  s

2

cos s1  s

 

C p B

n A

m   平面 :

垂直： 平行：

夹角公式：

 0



 n B pC A

m 面与线间的关系

直线 :

) ,

, ( ,

0 n A B C

D Cz

By

Ax     

) ,

, (

, s m n p

p z z

n y y

m x

x      

 0

 n s

 0

 n s

n s

n s 

  sin

3. 相关的几个问题

(1) 过直线





















0 : 0

2 2

2 2

1 1

1 1

D z

C y

B x

A

D z

C y

B x

L A

的平面束

) (A₁x  B₁y  C₁z  D₁

0 )

( ₂  ₂  ₂  ₂ 

 A x B y C z D 方程



 ₁ ^, ₂ 不全为⁰



1

2



M

0

(2) 点 的距离为

D z

C y

B x

A ₀  ₀  ₀ 

 A2  B2  C2

到平面  ： A x+B y+C z+D = 0 )

, ,

( _{0 0 0}

0 x y z M

d

n 

n

n M

d M 

 ^{1 0}

M

1

) , ,

( _{1 1 1}

1 x y z

M

n M

M_{1 0}   A(x₀  x₁)  B(y₀  y₁)  C(z₀  z₁) D

z C y

B x

A   

 _{0 0 0}

k j

i )

, ,

( _{0 0 0}

0 x y z

M _到直线

的距离 p

z z

n y y

m x

L : x  ¹   ¹   ¹ 为

(3) 点

2 2

2

1

p n

m  

 x₁  x₀ y₁  y₀ z₁  z₀ p n

m d

 s

s M

d M 

 ^{0 1} s  (m,n, p)

) ,

,

( _{1 1 1}

1 x y z M

) ,

,

( _{0 0 0}

0 x y z

M L

二、实例分析

例 1. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交 线

提示 : 所求直线的方向向量可取为

利用点向式可得方程 4

 3 x

) 1 ,

3 ,

4

(   4 

0

1 

5 1

2  

3

 2

 y

1

 5

 z

平行 , 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程 .

k j

i

2 

1 n

n s  

2 4 1

3 1

2    

 y z

例 2. 求直线 x 与平面 0

6 2x  y  z   的交点 .

提示 : 化直线方程为参数方程

代入平面方程得 t  1



















t z

t y

t x

2 4

3 2

 t

例 3. 求过点 ( 2 , 1 , 3 ) 且与直线

1 2

1 3

1

 

 

 y z

x 垂直相交的直线方程 .

提示 : 先求二直线交点 P.

0 )

3 (

) 1 (

2 )

2 (

3 x   y   z  

化已知直线方程为参数方程 , 代入 ①式 , 可得交 点 P( ₇²,¹³₇ , ^₇³)

最后利用两点式得所求直线方程 4

3 1

1 2

2  



 

 y z

x

的平面的法向量为 故其方程为

①

) , , (2 1 3

) , ,

((31,21,01)

 s

过已知点且垂直于已知直线 ,

) 1 ,

2 , 3

( 

P

例 4. 求直

线 







   



0 1

0 1

z y

x

z y

x _在平面

上的投影直线方程 .

提示：过已知直线的平面束方程

从中选择 使其与已知平面垂直 ,

0 1

) 1

( 1

) 1

( 1

) 1

(              得

 y  z 1  0 _{这是投影平面}

0 )

1 ( )

1 ( )

1 ( )

1

(   x    y     z      0

) 1 (

1    





 y z x y z

x 

即

 0



 y z x

从而得投影直线方程 ,

1

 

故应有：

例 5. 设一平面平行于已知直线







  

0 50

2

z y

x x z

且垂直于已知平面7x  y  4z  3  0,_{求该平面法线的} 的方向余弦 .

提示 : 已知平面的法向量 求出已知直线的方向向量 取所求平面的法向量

50 , cos  3

50 cos 4

50 ,

cos   5   

n1

s n  

) 4 , 1 ,

7

1  (  n

) 2 , 1 , 1

 ( s

4 1 7

2 1

1





k j

i

) 4 ,

5 , 3 (

2 



所求为

n 例 6. 求过直线

















0 4

0 : 5

z x

z y

L x _且与平面 x  4y 8z

4

夹成 角的平面方程π . 提示 : 过直线 L 的平面束方程

0 4

) 1

( 5

) 1

(   x  y    z    其法向量为

已知平面的法向量为 选择 使

4

 3

 

4 0 π

12 



1 1

4 cos π

n n

n n



).

1 , 5 , 1

1  (     n

L

) 8 ,

4 ,

1

(  

 n

n1

思路 : 先求交点

例 7. 求过点 M₀(1,1,1) , 1 : 2

1 



 x z

x L y

且与两直线



   1 2

4 : 3

2 z x

x

L y _{都相交的直线 L.}

提示 :

2 1 , L

将 L 的方程化为参数方程









 











1 23 4 :

1, 2

: ₂

1 zxy t tt

t L zy t t L x

L

L1 L² M0

M1

M2

设 L 与它们的交点分别为

. ) 1 2

, 4 3

,

( _{2 2 2}

2 t t  t 

M 再写直线方程 .

; , ₂

1 M M

), 1 ,

2 ,

( _{1 1 1}

1 t t t  M

2 ,

0 ₂

1  t  t

) 3 , 2 , 2 ( ,

) 1 ,

0 , 0

( ₂

1   M 

M

2 1 1

1 1

: x 1  y   z  L

2 1

0 , M , M M

1 )

1 2

(

1 )

1 (

1 )

4 3

(

1 2

1 1

2 1 2

1 2

1  



 





 





t t t

t t

t

三点共线

2 0

1

0M // M M M

L

L1 L² M0

M1

M2

r 例 8. 直线

1 1

0

: x 1 y z

L   

绕 z 轴旋转一周 , 求此旋 曲面的方程 . 转

提示 : 在 L 上任取一 点

) ,

, 1

( _{0 0}

0 y z

M 轴

绕 为

设 M (x, y, z) M ₀ z _{旋转轨迹上任一点} ,

L

x O

z

y M0

M

则有 z0

z   y₀

2

2 y

x   1 y₀²

得旋转曲面方程

2 1

2

2  y  z  x

， r 代入第二方程 将 y₀  z

1

思考与练习

, 2

) 1

( 抛物柱面 y²  x 平面 z  0 1;

2 2

4x  y  z  及

P50 题 21 画出下列各曲面所围图形 :

, 1

) 2

( 抛物柱面 x²   z 平面 y  0, z  0 及 x  y 1; ,

, )

4

( 旋转抛物面 x²  y²  z 柱面 y²  x 平面 z  0 .

 1 及 x

P50 题 21 (1)

解答 :

x y

z O

x y²  2

 0 z

2 1 2

4x  y  z 

) 0 , 1 , 2 ) (

0 , 2 ,

8

(  4

x y

z

O 2

1

1

x y

z P50 21 (2)

1

z x² 1

1

 y x

 0 y

 0 z O

1

z

1

1

1

1

O

面 xOz

面 xOy

1 (1,1) )

1 , 1 ( 

z

x O y

z y

x²  ²  x

y²  z  0

 1 x

P50 21

(4)

作业

P48 11; 13; 15

P50 15; 16; 17; 18