Kerja dan Tenaga

Mengapa truk yang mengang- kut pisang ini dapat berge- rak? Hampir semua orang dengan mudah dapat menja- wabnya, yakni karena kebe- radaan roda-roda yang ber- putar. Lalu, mengapa roda- roda itu dapat berputar? Ka- rena ada mesin. Mengapa mesin dapat menggerakkan roda-roda truk itu? Jawab- nya, karena piston-piston da- lam mesin itu melakukan tor- ka yang memutar roda mela- lui batang pemutar. Menga- pa piston-piston itu mampu mengerjakan torka?

2.1 Tenaga Kinetik

2.2 Kerja

2.3 Medan Gaya Lestari dan Tenaga Potensial

2.4 Hukum Kelestarian Energi Mekanik

Gambar 6.1:Suhu besi yang dibakar mening- kat karena adanya tenaga yang diterima oleh besi.

Ketika kita memanasi sebuah batang besi di atas kompor, su- hu batang besi itu meningkat. Pemanasan memberikan sesuatu pada batang sehingga suhu batang itu meningkat. Sesuatu itu sering disebutbahangataukalor. Bahang merupakan salah sa- tu bentuk tenaga. Bentuk tenaga ini di antaranya terkait dengan suhu batang besi itu. Selain terkait dengan suhu, secara umum bentuk tenaga ini juga terkait dengan volume dan tekanan. Sela- jutnya, mengapa tangan dan kaki Anda dapat digerakkan? Seti- ap kita telah maum bahwa kontraksi otot menyebabkan terja- dinya gerakan anggota tubuh kita. Akan tetapi, apa yang menye- babkan kontraksi otot itu? Kontraksi otot terjadi karena adanya perubahan yang terkait dengan ikatan kimiawi pada otot-otot kita. Terjadinya perubahan itu terkait dengan suatu bentuk te- naga yang dikenal sebagai tenagakimiawi.

Jadi, ada tenaga kinetik, ada tenaga potensial, ada bahang, dan ada pula tenaga kimiawi. Lalu, apa itu tenaga? Dari ura- ian singkat di atas, terlihat bahwa bentuk-bentuk tenaga terkait dengan keadaan- keadaan (yang diindikasikan oleh besaran-besaran semisal kecepatan, jarak antar benda, temperatur, dan ikatan-ikatan kimiawi) sistem yang dipelajari. Tenaga kine- tik sebuah benda terkait dengan keadaan gerak benda itu. Tenaga potensial terkait dengan kon gurasi benda-benda titik. Bahang terkait dengan keadaan termodina- mik, dan tenaga kimiawi terkait dengan keadaan kimiawi benda. Oleh karenanya, tenaga kita pahami sebagai besaran skalar dengan dimensiML T− _{yang terkait}

dengan keadaan-keadaan benda atau sistem.Satuan untuk tenaga dalam SI adalah kg.m .s− _{atau joule.}

6.1

Tenaga Kinetik

Tenaga kinetik sebuah benda adalah tenaga yang terkait dengan keadaan gerak ben- da itu. Keadaan gerak sebuah benda ditengarai dengan momentum benda itu. Jika massa benda selama pengamatan tidak berubah, maka keadaan gerak benda cukup ditengarai dari kecepatannya. Karenanya, keadaan gerak suatu objek bergantung pa- da tempat pengamatan (kerangka acuan) dan tenaga kinetik bergantung pula pada kerangka acuan. Karena terkait dengan keadaan gerak, maka tenaga kinetik sebu- ah benda dapat dituliskan sebagai selisih antara tenaga keseluruhan benda itu dari tenaga yang diukur dari kerangka tempat benda itu diam. Berdasarkan teori rela- tivitas khusus Einstein, tenaga keseluruhan sebuah benda bermassa𝑚jika diukur dari kerangka sembarang acuan adalah

𝐸 = 𝑚𝑐 1 − ,

dengan𝑐cepat rambat cahaya dalam ruang hampa dan𝑣kecepatan benda jika diu- kur dari kerangka itu. Sementara tenaga benda itu jika diukur dari kerangka diam- nya adalah𝐸 = 𝑚𝑐 . Tenaga kinetik benda itu diberikan oleh

6.1

Tenaga Kinetik

159

𝑇 = 𝐸 − 𝐸 = 𝑚𝑐

1 − − 𝑚𝑐 = 𝑚𝑐 ⎛⎜⎜_⎝ 1

1 − − 1⎞⎟⎟_⎠. (6.1)

Faktor dalam kurung di ruas kanan dapat ditulis dalam bentuk deret Taylor sebagai berikut 1 1 − − 1 = 1 + 1 2 𝑣 𝑐 + ⋯ − 1 = 1 2 𝑣 𝑐 + ⋯ .

Tenaga kinetik benda itu menjadi

𝑇 = 𝑚𝑐 1₂𝑣_𝑐 + ⋯ = 1₂𝑚𝑣 + ⋯ .

Dalam hal kecepatan benda yang cukup rendah jika dibandingkan dengan cepat rambat cahaya dalam ruang hampa (𝑣/𝑐cukup kecil), maka suku-suku setelahnya dapat diabaikan. Jadi, tenaga kinetik benda itu adalah

𝑇 = 1₂𝑚𝑣 . (6.2)

Karena𝑣 = 𝑣 + 𝑣 + 𝑣 = 𝐯 ⋅ 𝐯, maka tenaga kinetik tersebut dapat dituliskan sebagai

𝑇 = 1₂𝑚(𝐯 ⋅ 𝐯). (6.3) Ungkapan ini tentu saja dapat ditulis dalam bentuk lain sebagai

𝑇 = 𝑝 2𝑚 =

𝐩 ⋅ 𝐩

2𝑚 , (6.4)

dengan𝐩adalah momentum benda itu. Momentum sebuah benda adalah perkali- an kecepatan benda itu dengan massanya. Jadi, momentum benda yang kita tinjau adalah𝐩 = 𝑚𝐯.

Sekarang saatnya kita membicarakan pengaruh gaya bagi tenaga kinetik sebu- ah benda. Jika resultan gaya yang bekerja pada sebuah benda tidak nol, maka pe- nyebab perubahan kecepatan tidak nol, akibatnya terjadi perubahan gerakan benda. Jika terjadinya perubahan kecepatan itu hanya menyangkut perubahan arah, maka, menurut ungkapan di atas, tenaga kinetik benda tidak berubah. Jika perubahan ke- cepatan itu menyangkut besarnya kecepatan, maka akan terjadi perubahan tenaga kinetik. Berdasarkan persamaan (6.4), perubahan tenaga kinetik diberikan oleh

𝑑𝑇 = 𝐩 ⋅ 𝑑𝐩_𝑚 = 𝐯 ⋅ 𝑑𝐩 = 𝑑𝐫_𝑑𝑡 ⋅ 𝑑𝐩 = 𝑑𝐫 ⋅ 𝑑𝐩_𝑑𝑡.

Karena perubahan momentum tiap satu satuan waktu sama dengan gaya keseluruh- an yang bekerja pada benda itu, maka

𝑑𝑇 = 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫. (6.5) Laju perubahan tenaga kinetik dapat dituliskan sebagai

𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝐅 ⋅

𝑑𝐫

𝑑𝑡 = 𝐅 ⋅ 𝐯. (6.6)

Tiga contoh berikut memperlihatkan bahwa bekerjanya sebuah gaya pada sebuah benda menyebabkan perubahan tenaga kinetik. Perubahan itu dapat bernilai positif (penambahan) dan dapat pula bernilai negatif (pengurangan). Jadi, bekerjanya gaya pada sebuah benda dapat dimaknai sebagai pemindahan tenaga kinetik dari atau ke dalam benda itu.

Contoh 6.1

Sebuah balok bergerak sepanjang garis lurus (sumbu-x) pada lantai licin dengan kecepatan tetap ke kanan. Mulai titik𝑥 benda itu menderita gaya yang selalu membentuk sudut𝜃 terhadap lintasan benda itu (lihat Gambar 6.2). Besar gaya yang bekerja pada benda itu bertambah secara linier terha- dap koordinat𝑥, yakni𝐹(𝑥) = 𝛽𝑥, dengan𝛽 tetapan positif. Jika pada saat𝑡 = 0balok itu berada di titik𝑥 = 0, tentukan perubahan tenaga kinetik benda itu selama benda bergerak dari 𝑥 ke 𝑥 , dengan menghitung kecepatan di kedua titik itu.

Gambar 6.2: Balok begerak sepanjang garis lurus di bawah pengaruh gaya yang besarnya berubah-ubah.

Penerapan hukum kedua Newton tentang gerak pada arah mendatar (sumbu-x) menghasilkan per- samaan diferensial 𝛽𝑥 cos 𝜃 = 𝑚𝑑 𝑥_𝑑𝑡 , 𝑑 𝑥 𝑑𝑡 − 𝛽 cos 𝜃 𝑚 𝑥 = 0. (6.7)

Jadi, harus dicari𝑥(𝑡)yang memenuhi persamaan di atas. Jawaban umum atas permasalahan ini da- pat dilihat dalam buku-buku yang membahas persamaan diferensial. Jikacos 𝜃 > 0, fungsi𝑥(𝑡)yang memenuhi persamaan diferensial di atas adalah

𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 + 𝐵𝑒− , (6.8)

dengan𝐴dan𝐵sembarang tetapan. Karena saat𝑡 = 0balok berada di𝑥(0) = 0, maka

𝑥(0) = 0 = 𝐴𝑒 + 𝐵𝑒− = 𝐴 + 𝐵

Jadi,𝐴 = −𝐵dan

𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑒 − 𝑒− = 2𝐴 sinh 𝛽 cos 𝜃_𝑚 𝑡

Kecepatan mendatar balok itu adalah

𝑣(𝑡) = 𝑑𝑥(𝑡)_𝑑𝑡 = 2𝐴 cosh 𝛽 cos 𝜃_𝑚 𝑡 Jika pada saat𝑡 balok berada di𝑥 , kecepatan balok di𝑥 adalah

𝑣 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡(𝑡 ) = 2𝐴 cosh

𝛽 cos 𝜃

6.1

Tenaga Kinetik

161

Jika pada saat𝑡 balok berada di𝑥 , kecepatan balok di𝑥 adalah

𝑣 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡(𝑡 ) = 2𝐴 cosh

𝛽 cos 𝜃

𝑚 𝑡 .

Berdasarkan identitas fungsi hiperbolik cosh 𝛼 − sinh 𝛼 = 1untuk sembarang bilangan riil 𝛼, perubahan tenaga kinetik balok itu adalah

Δ𝑇 = 1₂𝑚𝑣 − 1₂𝑚𝑣 = 1₂𝑚(𝑣 − 𝑣 ) = 1₂𝛽(𝑥 − 𝑥 ) cos 𝜃.

Apakah hasil serupa juga didapatkan untukcos 𝜃 > 0? Ya, tentu saja. Pembuktiannya silakan digu- nakan untuk latihan.

Contoh 6.2

Masih terkait dengan contoh sebelumnya. Tentukan perubahan tenaga kinetik benda itu selama ben- da bergerak dari𝑥 ke𝑥 , dengan menggunakan ungkapan perubahan tenaga kinetik yang diberikan oleh persamaan (6.5) di atas.

Pergeseran𝑑𝐫sepanjang lintasan itu selalu tegak lurus terhadap gaya berat𝑚𝐠, maka gaya berat tidak menyebabkan perubahan tenaga kinetik. Oleh karena itu, perubahan tenaga kinetik hanya diakibat- kan oleh gaya luar𝐅saja. Perubahan tenaga kinetik merupakan penjumlahan perubahan-perubahan kecil akibat pergeseran-pergeseran kecil𝑑𝐫yang diberikan oleh

Δ𝑇 = 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 = 𝛽𝑥 cos 𝜃𝑑𝑥 = 𝛽 cos 𝜃 𝑥𝑑𝑥

= 1₂𝛽(𝑥 − 𝑥 ) cos 𝜃. (6.9)

Terlihat bahwa perubahan tenaga kinetik positif. Dalam hal ini, balok mendapatkan tambahan tenaga kinetik oleh bekerjanya gaya luar𝐅itu. Gaya luar itu "menambahkan" tenaga kinetik ke dalam balok.

Contoh 6.3

Sebuah balok bergerak sepanjang garis lurus (sumbu-x) pada lantai dengan kecepatan tetap ke kanan. Mulai titik𝑥 lantai kasar sehingga timbul gesekan antara benda itu dengan lantai. Massa balok itu𝑚, percepatan gravitasi setempat𝐠, dan koe sien gesekan kinetis𝜇. Tentukan perubahan tenaga kinetik benda itu selama benda bergerak dari𝑥 ke𝑥 .

Seperti dalam contoh sebelumnya, pergeseran𝑑𝐫sepanjang lintasan itu selalu tegak lurus terhadap gaya berat𝑚𝐠. Oleh karena itu, gaya berat tidak menyebabkan perubahan tenaga kinetik. Jadi, per- ubahan tenaga kinetik hanya diakibatkan oleh gaya gesek saja. Perubahan tenaga kinetik diberikan oleh

Δ𝑇 = 𝐟 ⋅ 𝑑𝐫 = − 𝑚𝑔𝜇𝑑𝑥 = 𝑚𝑔𝜇 𝑑𝑥

Terlihat bahwa perubahan tenaga kinetik negatif. Hal ini menunjukkan bahwa bekerjanya gaya gesek menyebabkan pengurangan tenaga kinetik balok. Gaya gesek itu "mengambil" tenaga kinetik dari balok itu.