Kerja Sepanjang Lintasan
6.3 Medan Gaya Lestari dan Tenaga Potensial
5. Andaikan lintasan 𝐿 adalah lintasan yang berawal di titik A dan berakhir di titik B, sedangkan
𝐿 adalah lintasan yang berawal di titik B dan berakhir di titik𝐶. Andaikan pula bahwa lintasan 𝐿adalah lintasan yang berawal dari titik A dan berakhir di titik C yang diperoleh dengan me- nyambung lintasan 𝐿 dan 𝐿 . Tunjukkan bahwa kerja oleh suatu medan gaya 𝐅sepanjang 𝐿 memenuhi
𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 = 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 + 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫. (6.31) 6. Jika −𝐿 adalah lintasan yang diperoleh dari𝐿 dengan jalan membalikkan arahnya, tunjukkan
bahwa
−
𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 = − 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫. (6.32)
6.3
Medan Gaya Lestari dan Tenaga Potensial
Sebuah benda bergerak di atas tanah dengan lintasan berupa persegi panjang. Pa- da awalnya, benda itu berada di atas titik A (berada di tanah) dengan ketinggian ℎ meter di atas permukaan tanah. Benda bergerak ke atas secara vertikal sehingga ketinggiannya mencapaiℎ meter di atas titik A. Berikutnya, benda bergerak men- datar sehingga akhirnya sampai di titik dengan ketinggianℎ meter di atas titik B (juga berada di tanah) yang berjarak𝑙dari titik A. Selanjutnya benda bergerak turun sehingga ketinggiannya dari tanah tinggalℎ meter. Pada akhirnya benda bergerak mendatar menuju titik awalnya, yakni di atas titik A dengan ketinggianℎ . Akan sa- ngat mudah bagi Anda untuk membuktikan bahwa kerja yang dilakukan oleh gaya gravitasi Bumi sama dengan nol, meskipun diandaikan bahwa percepatan gravitasi tetap di sekitar permukaan tanah. Dalam bab tentang gravitasi akan diperlihatkan bahwa kerja oleh gaya gravitasi selalu nol untuk lintasantertutupapapun. Sifat ini mengakibatkan medan gaya gravitasi digolongkan sebagai medan gaya lestari.
Secara umum, suatu medan gaya dikatakan sebagai medan gaya lestari(kon- servatif) jika kerja oleh medan gaya itu selalunol untuk lintasan tertutup apapun. Secara matematis, suatu medan gaya dikatakan lestari jika
𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 = 0, (6.33) untuk lintasan tertutup𝐿apapun (Gambar 6.5 (a)). Integral lintasan tertutup lazim diberi lambang tersendiri yakni dengan dibubuhi lingkaran pada tanda integralnya, yakni
. Jadi, sebuah medan gaya𝐅dikatakan lestari jika
𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 = 0 (6.34) untuk semua lintasan tertutup𝐿.
Gambar 6.5: (a) Lintasan tertutup𝐿sembarang. (b) Lintasan tertutup𝐿merupakan ga- bungan (sambungan) antara dua lintasan𝐿 dan lintasan𝐿 untuk sembarang dua titik A dan B pada lintasan𝐿. Lintasan𝐿 sama dengan lintasan𝐿 dengan arah berlawanan.
Sekarang ambil sembarang dua titik A dan B pada lintasan tertutup𝐿. Andai- kan lintasan𝐿 adalah lintasan yang berawal dari titik A dan berakhir di titik B sebagaimana diperlihatkan oleh Gambar 6.5(b), sedangkan lintasan 𝐿 lintasan yang berawal dari titik B menuju ke titik A. Terlihat bahwa lintasan tertutup𝐿me- rupakan lintasan𝐿 dilanjutkan dengan lintasan𝐿 . Jika lintasan𝐿 adalah lintasan dari A menuju B melalui jalur yang sama dengan lintasan𝐿 dengan arah berlawanan, maka lintasan𝐿 sama dengan lintasan−𝐿 . Oleh karena itu, kerja yang dilakukan oleh sebuah medan gaya𝐅sepanjang lintasan tertutup𝐿sama de- ngan kerja oleh medan gaya itu sepanjang lintasan𝐿 dilanjutkan kerja sepanjang lintasan𝐿 , yakni 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 = 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 + 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 = 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 + − 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫. (6.35) Karena − 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 = − 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫, (6.36) maka kerja yang dilakukan oleh medan gaya𝐅sepanjang lintasan tertutup𝐿dapat ditulis sebagai
𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 = 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 − 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫. (6.37) Jika medan gaya itu merupakan medan gaya lestari, maka dari persamaan terakhir didapat
6.3
Medan Gaya Lestari dan Tenaga Potensial
171
𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 − 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 = 0 (6.38) atau
𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 = 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫. (6.39) Persamaan terakhir mengungkapkan bahwa kerja yang dilakukan oleh medan gaya lestari sepanjang lintasan𝐿 sama dengan kerja oleh medan gaya itu melalui lin- tasan𝐿 . Karena lintasan𝐿sembarang, maka persamaan (6.39) juga menegaskan kenyataan penting tentang medan gaya lestari, yakni bahwakerja yang dilakukan oleh medan gaya lestari tidak bergantung pada lintasan yang dilalui, melainkan hanya bergantung pada titik pangkal dan titik ujung lintasan.
Oleh karena itu, sudah semestinya terdapat sebuah medan skalar, yakni sebuah besaran skalar yang bergantung pada posisi, katakanlah𝑈(𝐫), sedemikian rupa se- hingga kerja oleh medan gaya lestari𝐅dari titik A menuju titik B (melalui lintasan yang manapun) diberikan oleh
𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 = 𝑈(𝐫 ) − 𝑈(𝐫 ). (6.40) Besaran (medan) skalar𝑈 disebuttenaga potensialterkait dengan medan gaya les- tari𝐅. Perlu ditegaskan di sini, tenaga potensial hanya terkait dengan medan gaya lestari. Persamaan (6.40) dapat ditulis sebagai
𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 = 𝑊 → = −Δ𝑈(𝐫). (6.41) Jadi, kerja oleh medan gaya lestari sama dengan minus perubahan tenaga potensial. Jika yang kita tinjau adalah pergeseran kecil𝑑𝐫, maka usaha oleh medan gaya terse- but adalah𝑑𝑊 = 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫dan perubahan tenaga potensialnya pun juga sangat kecil, 𝑑𝑈. Oleh karena itu,
𝑑𝑊 = 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 = −𝑑𝑈. (6.42) Berdasarkan hitung kalkulus untuk vektor, persamaan terakhir ini setara dengan ungkapan
𝐅 = −∇𝑈 = − 𝜕𝑈𝜕𝑥 ̂𝐢+ 𝜕𝑈𝜕𝑦 ̂𝐣+ 𝜕𝑈𝜕𝑧 ̂𝐤 . (6.43) Jika pada medan gaya lestari𝐅itu dikenai operator rotasi, maka didapatkan
∇ × 𝐅 = −∇ × ∇𝑈 = 0. (6.44) Jadi, jika𝐅medan gaya lestari, maka∇ × 𝐅 = 0. Apakah akan berlaku sebaliknya? Apakah jika ∇ × 𝐅 = 0berlaku, maka dapat disimpulkan bahwa 𝐅 merupakan medan gaya lestari? Tidak harus. Semuanya kembali padatopologiruang yang kita tinjau. Tetapi, jika kita membatasi peninjauan pada ruang-ruang dengan topologi
sederhana, maka jawabnya positif, yakni bahwa medan gaya𝐅dengan∇ × 𝐅 = 0 adalah medan gaya yang lestari.
Contoh 6.6
Perhatikan medan gaya𝐅dengan𝐅(𝐫) = −𝜅𝐫dan𝜅sebuah tetapan. Tentukan apakah medan gaya tersebut lestari atau tidak? Tentukan tenaga potensial yang sesuai untuk medan gaya itu.
Jika medan gaya tersebut dikenai operator rotasi, maka didapatkan∇ × 𝐅 = −𝜅∇ × 𝐫. Jika dihitung berdasarkan persamaan (??) di Bab??, didapat∇×𝐫 = 0. Jadi,∇×𝐅 = 0. Ini berarti bahwa medan gaya tersebut adalah medan gaya lestari seandainya medan gaya tersebut dide nisikan di seluruh ruang, misalnya.
Selanjutnya, hendak dicari medan skalar 𝑈 yang bergantung pada𝑥,𝑦, dan𝑧 sedemikian rupa se- hingga persamaan (6.43) dipenuhi. Jika kita pilih𝑈 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜅(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )/2, maka persamaan (6.43) terpenuhi. Jika𝐶sebuah tetapan, maka𝑈 + 𝐶 pun juga memenuhi persamaan (6.43). Jadi, untuk sebuah medan gaya lestari, medan tenaga potensial yang bersesuaian tidak tunggal.
Contoh yang baru saja dibahas tersebut menyiratkan bahwa energi potensial yang terkait dengan medan gaya lestari tidak tunggal. Nilai tenaga potensial yang satu berbeda dari yang lain karena adanya sebuah tetapan. Hal ini terkait dengan kebebasan pengambilan titik acuan tempat energi potensial bernilai nol. Jadi, pe- ngambilan titik dengan nilai tenaga potensial nol merupakan kebebasan. Inilah yang menyebabkan bahwa nilai energi potensial tidak memiliki arti sis, melainkan beda energi potensiallah yang memiliki arti sis.
Persamaan (6.43) mengatakan kepada kita cara mendapatkan medan gaya apa- bila tenaga potensial benda yang kita tinjau diketahui. Pertama kali kita lihat cermati contoh sederhana berikut.
Contoh 6.7
Sebuah benda berada pada pengaruh sebuah medan gaya sehingga tenaga potensialnya dapat diten- tukan dari persamaan
𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 12𝜅𝑥 ,
dengan𝜅sebuah tetapan positif. Tentukan medan gaya yang memengaruhi benda itu. Penerapan persamaan (6.43) secara langsung menghasilkan
𝐅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −∇𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑑𝑥𝑑 12𝜅𝑥 ̂𝐢 = −𝜅𝑥 ̂𝐢.
Jadi,𝐹 = −𝜅𝑥. Medan gaya ini adalah medan gaya pemulih semisal yang diakibatkan oleh pegas ideal dengan tetapan pegas𝜅.
Secara umum, jika tenaga potensial hanya bergantung pada sebuah koordinat, semisal 𝑥 saja, maka medan gaya lestari yang terkait dengan tenaga potensial itu merupakan minus kemiringan atau gradien gra k tenaga potensial terhadap koor- dinat itu. Dengan melihat gra k tenaga potensial itu, kita dapat melihat keberadaan dan sifat-sifat medan gaya lestari yang terkait dengan tenaga potensial itu. Sebagai contoh perhatikan tenaga potensial efektif sebuah benda angkasa dengan momen-
