Medan Skalar dan Medan Vektor 91 Jadi, gradien temperatur di ruangan itu adalah

Uji Ketajaman 3.4 ?

3.7 Medan Skalar dan Medan Vektor 91 Jadi, gradien temperatur di ruangan itu adalah

∇𝑇(𝐫) = 𝜕𝑇

𝜕𝑥 ̂𝐢+ 𝜕𝑇𝜕𝑦 ̂𝐣+ 𝜕𝑇𝜕𝑧 ̂𝐤 = −2𝛼𝑥𝑇 ̂𝐢− 2𝛼𝑦𝑇 ̂𝐣− 2𝛼𝑧𝑇 ̂𝐤 = −2𝛼𝑇(𝐫)𝐫. Andaikan𝐕(𝐫) = 𝑉 (𝐫) ̂𝐢+𝑉 (𝐫) ̂𝐣+𝑉 (𝐫) ̂𝐤sebuah medan vektor. Medan skalar ∇ ⋅ 𝐕(𝐫)adalah medan skalar yang diperoleh dari medan vektor𝐕(𝐫)melalui

∇ ⋅ 𝐕(𝐫) = 𝜕𝑉_𝜕𝑥 + 𝜕𝑉_𝜕𝑦 + 𝜕𝑉_𝜕𝑧 . (3.39) Medan skalar ∇ ⋅ 𝐕(𝐫)disebut medan divergensimedan 𝐕. Dari medan vektor 𝐕(𝐫)diperoleh juga medan vektor lain yang dituliskan sebagai∇×𝐕(𝐫)dan disebut rotasimedan𝐕(𝐫). Medan vektor ini diperoleh melalui

∇×𝐕(𝐫) = 𝜕𝑉_𝜕𝑧 − 𝜕𝑉_𝜕𝑦 ̂𝐢+ 𝜕𝑉_𝜕𝑥 − 𝜕𝑉_𝜕𝑧 ̂𝐣+ 𝜕𝑉_𝜕𝑦 − 𝜕𝑉_𝜕𝑥 ̂𝐤. (3.40) Hal penting lain yang terkait dengan sebuah medan vektor𝐕(𝐫)adalah kurva integral milik medan vektor itu. Setiap medan vektor selalu memiliki kurva integral. Kurva integralsebuah medan vektor adalah kurva-kurva yang mengisi ruang (yak- ni melalui titik-titik dalam ruang itu) sehingga di tiap titik dalam ruang itu, med- an vektor merupakan vektor singgung pada kurva-kurva itu. Sebuah kurva dalam ruang dapat ditulis sebagai rentetan kontinyu titik-titik dalam ruang. Oleh karena itu sebuah kurva dapat dituliskan sebagai vektor posisi atau koordinat yang bergan- tung pada sebuah parameter riil 𝑡. Sebuah kurva, oleh karena itu, ditulis sebagai 𝐫(𝑡) = 𝑥(𝑡) ̂𝐢 + 𝑦(𝑡) ̂𝐣 + 𝑧(𝑡) ̂𝐤, dengan𝑡adalah bilangan riil yang bervariasi secara kontinyu dalam sebuah interval. Vektor 'kecepatan' pada kurva tersebut di titik𝐫(𝑡) relatif terhadap parameter𝑡, adalah 'kecepatan' terhadap parameter𝑡itu, yakni

𝑑𝐫

𝑑𝑡 =

𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡 ̂𝐢+ 𝑑𝑦(𝑡)𝑑𝑡 ̂𝐣+ 𝑑𝑧(𝑡)𝑑𝑡 ̂𝐤.

Gambar 3.16:Kurva integral bagi sebuah medan vektor.

Vektor ini merupakan vektor singgung pada kurva di setiap titiknya (lihat Gam- bar 3.16). Berdasarkan de nisi kurva integral di atas, medan vektor di tiap titik pa- da kurva-kurva itu haruslah menyinggung kurva di titik-titik itu. Oleh karena itu,

vektor 'kecepatan'𝑑𝐫/𝑑𝑡dan medan vektor𝐕(𝐫)di titik itu sama-sama merupakan vektor singgung pada kurva di titik itu. Jadi, berlaku kaitan

𝐕(𝐫) = 𝛼(𝑡)𝑑𝐫_𝑑𝑡, (3.41) dengan𝛼(𝑡)sebuah skalar yang bergantung pada parameter𝑡. Persamaan terakhir ini setara dengan

𝑉 = 𝛼(𝑡)𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 , 𝑉 = 𝛼(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 , dan 𝑉 = 𝛼(𝑡) 𝑑𝑧(𝑡) 𝑑𝑡 . (3.42)

Dari persamaan ini diperoleh persamaan kurva integral untuk medan vektor𝐕(𝐫) sebagai 𝑉 𝑉 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦, 𝑉 𝑉 = 𝑑𝑥 𝑑𝑧, dan 𝑉 𝑉 = 𝑑𝑦 𝑑𝑧. (3.43)

Contoh 3.4

Kurva Integral Medan Vektor Tetap

Sebuah medan vektor konstan diberikan oleh ungkapan𝐕 = 𝑉 ̂𝐢, dengan𝑉 sebuah tetapan. Ten- tukan kurva integral yang melalui titik(1, 1, 0).

Dalam hal ini,𝑉 = 𝑉 ,𝑉 = 𝑉 = 0. Persamaan (3.43) menghasilkan 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 0, 𝑑𝑧

𝑑𝑥 = 0.

Hal ini menunjukkan bahwa𝑦(𝑥) = 𝐶dan𝑧(𝑥) = 𝐶 , dengan𝐶dan𝐶 tetapan-tetapan. Sementara 𝑥sembarang. Jika sebuah kurva melalui titik(1, 1, 1), maka𝑦(1) = 𝐶 = 1dan𝑧(1) = 𝐶 = 0. Jadi, 𝐶 = 1dan𝐶 = 0. Kurva integral yang melalui titik(1, 1, 0)ditentukan oleh persamaan

𝑦(𝑥) = 1, dan 𝑧(𝑥) = 0.

Persamaan terakhir ini dibaca sebagai himpunan titik-titik(𝑥, 𝑦, 𝑧)dengan𝑦 = 1dan𝑧 = 0. Him- punan ini berupa garis yang melalui titik(1, 1, 0)dan sejajar dengan sumbu-x sebagaimana terlihat pada Gambar 3.17(a).

Contoh 3.5

Kurva Integral Kwadrat

Sebuah medan vektor konstan diberikan oleh ungkapan𝐕 = 3 ̂𝐢+2𝑥 ̂𝐣. Tentukan kurva integral yang melalui titik(1, 1, 0).

Dalam hal ini,𝑉 = 3,𝑉 = 2𝑥 𝑉 = 0. Persamaan (3.43) menghasilkan 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 3 , 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 0.

Hal ini menunjukkan bahwa𝑦(𝑥) = (1/3)𝑥 +𝐶dan𝑧(𝑥) = 𝐶 , dengan𝐶dan𝐶 tetapan-tetapan. Sementara𝑥sembarang. Jika sebuah kurva melalui titik(1, 1, 0), maka𝑦(1) = (1/3)(1 ) + 𝐶 = 1

3.7

Medan Skalar dan Medan Vektor

93

Gambar 3.17: (a)Kurva integral yang melalui titik(1, 1, 0)bagi medan vektor𝐕 = 𝑉 ̂𝐢.(b) Kurva integral yang melalui titik(1, 1, 0)bagi𝐕 = 3 ̂𝐢+ 2𝑥 ̂𝐣

dan𝑧(1) = 𝐶 = 0. Jadi,𝐶 = 2/3dan𝐶 = 0. Kurva integral yang melalui titik(1, 1, 0)ditentukan oleh persamaan

𝑦(𝑥) = 1

3𝑥 +

2

3, dan 𝑧(𝑥) = 0.

Persamaan terakhir ini dibaca sebagai himpunan titik-titik(𝑥, 𝑦, 𝑧)dengan𝑦 = (1/3)𝑥 +(2/3)dan 𝑧 = 0. Himpunan ini berupa parabola yang melalui titik(1, 1, 0)yang diperlihatkan oleh Gambar 3.17(b).

Gerak dapat ditemukan di berbagai gejala alam, dari yang sederhana sam- pai dengan yang kompleks dan acak: gerak kereta api di sepanjang rel yang lu- rus, gerak amoeba, gerak saling menjauh di antara galaksi-galaksi, pergerakan bintang-bintang di langit, gerak planet dalam tata surya, gerak ikan di dalam air, gerak serbuk sari di dalam air (Gerak Brown), dll. Dari sekian banyak ge- rak tersebut, gerak amoeba barangkali gerak yang paling sulit untuk dipahami. Gerak amoeba tidak hanya meliputi gerak translasi dan rotasi melainkan ju- ga gerak deformasi yakni melibatkan perubahan bentuk geometri tubuhnya. Gerak acak (gerak Brown) sejauh ini secara matematis sudah dapat dirumus- kan. Perumusan pertama kali dirumuskan oleh orvald N. iele tahun 1880 dan dilanjutkan oleh Louis Bachelier pada tahun 1900. Secara sis gejala gerak Brown dijelaskan oleh Einstein pada tahun 1905 sebagai akibat dorongan dari molekul-molekul air. Hal ini menunjukkan bahwa molekul-molekul air juga mengalami gerak acak. Sementara itu, gerak ikan di dalam air tergolong gerak hayati. Meskipun tidak sekompleks gerak amoeba, gerak ikan juga melibatkan deformasi yakni deformasi tubuh ikan. Meskipun demikian, gerak ikan dapat dimodelkan dengan beberapa gerak benda tegar yang tersambung. Pembica- raan gerak amoeba, gerak Brown, dan gerak ikan memerlukan peranti mate- matika yang tidak sederhana. Oleh karena itu, ketiga jenis gerak tersebut tidak akan dibicarakan di buku ini. Gerak saling menjauh di antara galaksi-galaksi merupakan akibat adanya pengembangan ruang alam semesta. Selain gerak sistematik akibat pengembangan alam semesta, galaksi-galaksi juga mengala- mi gerak sendiri, semisal rotasi. Gerak galaksi akan dibicarakan secukupnya di bab Astro sika buku jilid 3. Sementara, pergerakan bintang-bintang dan gerak planet dalam tata surya akan dibicarakan lebih jauh pada Bab Gravita- si.

Fisika Dasar Jilid I

Rosyid, Firmansah, Prabowo

Kinematika

Sebuah benda dikatakan ber- gerak apabila posisi benda tersebut berubah. Posisi ben- da bergantung pada kerangka acuan yang dipilih. Gambar di samping memperlihatkan tiga orang yang sedang me- ngendarai sepeda secara ber- jajar bersamaan. Posisi ke- tiganya berubah jika dilihat oleh orang yang diam di ta- nah. Akan tetapi, setiap orang yang bersepeda itu akan meli- hat posisi dua temannya tidak mengalami perubahan. Oleh karena itu, gerak bersifat rela- tif, yakni bergantung pada ke- sepakatan cara menentukan posisi (kerangka acuan).

4.1 Kerangka Acuan dan Vektor Posisi 4.2 Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat 4.3 Percepatan Rata-Rata dan Percepatan Sesaat 4.4 Gerak Lurus

Gambar 4.1: Tiga gambar terurut oleh waktu ini (dari atas ke bawah) mem- perlihatkan posisi dan bentuk Amoe- ba dalam gerakannya. Amoeba terma- suk genus Protozoa. Untuk melakukan perpindahan, Amoeba akan mengge- rakkanPseudopodia. Pseudopodia di- bentuk oleh Amoeba dengan mengelu- arkanCytoplasmdan diikuti olehEndo- plasm.

Gerak (translasi) sebuah benda titik dipahami sebagai perubahan posisi benda itu. Sebuah benda dikatakan sebagai benda titik apabila ukuran benda itu dapat diabaikan, yakni ketika ukuran benda itu jauh lebih kecil daripada jarak pergeseran yang ditempuhnya. Jarak Bumi dari Matahari sekitar 150 juta kilometer. Hal ini berarti bahwa Bu- mi menempuh jarak 942,5 juta kilometer dalam satu kali periode jika orbitnya dianggap lingkaran. Sementara jari-jari Bumi sekitar 6370 ki- lometer. Terlihat bahwa ukuran Bumi jauh lebih kecil jika dibanding- kan dengan jarak yang ditempuh olehnya selama satu periode. Oleh karena itu, Bumi dapat dipandang sebagai benda titik. Beberapa ben- da titik membentuk sistem benda titik. Gerakan benda-benda titik sebagai keseluruhan disebut sebagai gerak sistem benda titik. Gerak sistem benda titik disebut gerak benda tegar apabila jarak antar benda titik tidak berubah. Sementara, jika jarak antara benda titik di dalam sistem benda titik yang bergerak mengalami perubahan, gerak sistem benda titik tersebut disebut gerak dengan deformasi. Tentang gerak benda tegar dan gerak benda dengan deformasi lebih rinci dapat di- baca pada bab Gerak Benda Tegar dan dalam buku ini. Sementara pada bagian ini, kita hanya akan mempelajari gerak benda titik.

Gerak translasi benda titik dinamakan berdasarkan bentuk lintas- an yang dilaluinya. Oleh karena itu, orang mengenal adanya gerak lurus, gerak melingkar, dan gerak parabola yang keseluruhannya me- rupakan gerak elips. Gerak elips merupakan gerak pada bidang karena lintasannya berada pada satu bidang. Adapula gerak dengan lintasan berupa spiral. Gerak ini bukan merupakan gerak pada bidang, mela- inkan merupakan gerak dalam ruang.

Dalam bagian ini, kita akan membicarakan gerak tanpa meninjau penyebabnya. Cabang mekanika yang membicarakan gerak transla- si tanpa meninjau penyebabnya disebut kinematika. Pembicaraan ki- nematika translasi hendak dimulai dengan pembicaraan tentang ke- rangka acuan dan vektor posisi. Kerangka acuan merupakan hal yang paling penting untuk disepakati sebelum pembicaraan tentang gerak. Selanjutnya akan dibicarakan konsep kecepatan (yakni, laju perubah- an posisi) dan percepatan (yakni, konsep kecepatan). Berikutnya yang hendak dibicarakan adalah gerak lurus dan gerak pada bidang. Dalam pembicaraan tentang gerak pada bidang yang hendak diketengahkan adalah gerak parabola dan gerak melingkar.