Praktikum Metode Komputasi (Matriks dalam Scilab)

(1)

Praktikum Metode Komputasi (Matriks dalam Scilab)

Vina Apriliani December 17, 2015

Soal Latihan MATLAB Bab 2 Buku Leon ’Aljabar Linear’

Berikut 1 Soal Latihan MATLAB Bab 2 Buku Leon ’Aljabar Linear’

yang saya ambil untuk ditulis dengan LaTeX dan harus dikerjakan (2 digit terakhir NRP modulo jumlah soal di Latihan) yaitu Soal Nomor (6):

Gunakan MATLAB untuk membuat matriks A dengan mendefinisikan A = vander(1:6); A = A - diag(sum(A’))

a Dengan konstruksi di atas entri-entri dalam setiap baris dari A semuanya harus memiliki jumlah nol. Untuk memeriksa hal ini, definisikan x = ones(6,1) dan gunakan MATLAB untuk menghitung hasil kali Ax. Ma- triks A pasti singular. Mengapa? Terangkan. Gunakan fungsi-fungsi MATLAB det dan inv untuk menghitung nilai-nilai dari det(A) dan A⁻¹. Fungsi MATLAB yang mana yang merupakan petunjuk yang dapat lebih diandalkan untuk singularitas?

Jawaban:

MATLAB: A = vander(1:6)

A =







1 1 1 1 1 1

32 16 8 4 2 1

243 81 27 9 3 1

1024 256 64 16 4 1 3125 625 125 25 5 1 7776 1296 216 36 6 1





 MATLAB: A = A - diag(sum(A’))

A =







−5 1 1 1 1 1

32 −47 8 4 2 1

243 81 −337 9 3 1

1024 256 64 −1349 4 1

3125 625 125 25 −3901 1

7776 1296 216 36 6 −9330







(2)

MATLAB: x = ones(6,1)

x =





 1 1 1 1 1 1







Ax =





 0 0 0 0 0 0







Matriks A pasti singular karena setiap baris dari matriks A memiliki jumlah nol. Jika menggunakan fungsi invers pada MATLAB, maka hasil out- putnya Warning (close to singular or badly scaled).

MATLAB: det(A) = 10.2645 MATLAB: A⁻¹ = inv(A) =

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.

Results may be inaccurate. RCOND = 1.940578e-019.

1.0e+013∗







−7.0369 −0.2840 −0.0301 −0.0063 −0.0020 −0.0008





 Fungsi MATLAB yang merupakan petunjuk yang dapat lebih diandalkan untuk singularitas adalah invers (inv) karena suatu matriks A dikatakan singular jika tidak memiliki invers atau det(A) = 0. Dari soal di atas, terlihat bahwa walaupun det(A) tidak sama dengan nol, namun inversnya tidak ada, sehingga A adalah matriks singular (jadi jangan hanya melihat dari determinannya saja). Selain itu, dapat juga dengan cara menghitung bentuk eselon baris tereduksi dari matriks tersebut untuk memeriksa sin- gularitasnya.

b Gunakan MATLAB untuk menghitung det(A^T). Apakah nilai-nilai yang dihitung untuk det(A) dan det(A^T) sama? satu cara lain untuk memeriksa apakah suatu matriks adalah singular ialah menghitung bentuk eselon baris tereduksinya. Gunakan MATLAB untuk menghitung bentuk-bentuk eselon baris tereduksi dari A dan A^T.

Jawaban:

MATLAB: det(A^T) = -0.0736

(3)

Nilai-nilai yang dihitung untuk det(A) dan det(A^T) tidak sama.

MATLAB: Bentuk eselon baris tereduksi dari A:

eselonA = rref (A) =







1 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0





 MATLAB: Bentuk eselon baris tereduksi dari A^T:

eselonAT = rref (A⁰) = 1.0e+003∗







0.0010 0 0 0 0 −8.9213

0 0.0010 0 0 0 −0.3601

0 0 0.0010 0 0 −0.0381

0 0 0 0.0010 0 −0.0080

0 0 0 0 0.0010 −0.0025

0 0 0 0 0 0







c Definisikan B = A*A’. Nilai eksak dari det(B) harus sama dengan 0. Men- gapa? Terangkan. Gunakan MATLAB untuk menghitung det(B). Apakah nilai yang dihitung untuk determinan sama atau hampir sama dengan nilai eksak? Hitunglah bentuk eselon baris tereduksi dari B untuk memeriksa bahwa matriks B adalah memang betul singular.

Jawaban:

B = A*A’

B =







30 −192 −1458 −6144 −18750 −46656

−192 3318 1316 15861 63924 180474

−1458 1316 179270 235872 756398 1912764

−6144 15861 235872 2938026 3318672 8250354

−18750 63924 756398 3318672 25390302 25105164

−46656 180474 1912764 8250354 25105164 149242680





 Nilai eksak dari det(B) harus sama dengan 0 karena matriks B diperoleh dari perkalian matriks A dengan transposenya.

MATLAB: det(B) = 0

Nilai yang dihitung untuk determinan sama dengan nilai eksak.

Bentuk eselon baris tereduksi dari B:

eselonB = rref (B) = 1.0e+003∗







0.0010 0 0 0 0 −8.9213

0 0.0010 0 0 0 −0.3601

0 0 0.0010 0 0 −0.0381

0 0 0 0.0010 0 −0.0080

0 0 0 0 0.0010 −0.0025

0 0 0 0 0 0





 MATLAB: rank(rref(B)) = 5

Terlihat bahwa eselon baris tereduksi dari matriks B memiliki rank(rref(B))

(4)

= 5, lebih kecil dari ukurannya (n = 6) sehingga matriks B adalah memang betul matriks singular.

Berikut Modifikasi Soal Nomor (6) menjadi soal untuk dikerjakan dalam Scilab:

Gunakan SCILAB untuk membuat matriks A dengan mendefinisikan A = [1:6]’; A = [A.⁵A.⁴A.³A.²A.¹A.⁰]; A = A − diag(sum(A⁰, ”r”)) a Dengan konstruksi di atas entri-entri dalam setiap baris dari A semuanya

harus memiliki jumlah nol. Untuk memeriksa hal ini, definisikan x = ones(6,1) dan gunakan SCILAB untuk menghitung hasil kali Ax. Matriks A pasti singular. Mengapa? Terangkan. Gunakan fungsi-fungsi SCILAB det dan inv untuk menghitung nilai-nilai dari det(A) dan A⁻¹. Fungsi SCILAB yang mana yang merupakan petunjuk yang dapat lebih diandalkan untuk singularitas?

Jawaban:

SCILAB: A = [1:6]’

A =





 1 2 3 4 5 6







SCILAB: A = [A.⁵A.⁴A.³A.²A.¹A.⁰]

A =







1 1 1 1 1 1

32 16 8 4 2 1

243 81 27 9 3 1

1024 256 64 16 4 1 3125 625 125 25 5 1 7776 1296 216 36 6 1







SCILAB : A = A − diag(sum(A⁰, ”r”))

A =







−5 1 1 1 1 1

32 −47 8 4 2 1

243 81 −337 9 3 1

1024 256 64 −1349 4 1

3125 625 125 25 −3901 1

7776 1296 216 36 6 −9330







(5)

SCILAB : x = ones(6, 1)

x =





 1 1 1 1 1 1







Ax =





 0 0 0 0 0 0







Matriks A pasti singular karena setiap baris dari matriks A memiliki jumlah nol. Jika menggunakan fungsi invers pada SCILAB, maka hasil out- putnya Warning (close to singular or badly scaled).

SCILAB: det(A) = 10.264473 SCILAB: A⁻¹ = inv(A) =

Warning: matrix is close to singular or badly scaled. rcond = 1.9406D-19.

10¹¹∗







−703.68744 −28.402179 −3.0063022 −0.6316851 −0.1980289 −0.0788773





 Fungsi SCILAB yang merupakan petunjuk yang dapat lebih diandalkan

untuk singularitas adalah invers (inv) karena suatu matriks A dikatakan singular jika tidak memiliki invers atau det(A) = 0. Dari soal di atas, terlihat bahwa walaupun det(A) tidak sama dengan nol, namun inversnya tidak ada, sehingga A adalah matriks singular (jadi jangan hanya melihat dari determinannya saja). Selain itu, dapat juga dengan cara menghitung bentuk eselon baris tereduksi dari matriks tersebut untuk memeriksa sin- gularitasnya.

b Gunakan SCILAB untuk menghitung det(A^T). Apakah nilai-nilai yang dihitung untuk det(A) dan det(A^T) sama? satu cara lain untuk memeriksa apakah suatu matriks adalah singular ialah menghitung bentuk eselon baris tereduksinya. Gunakan SCILAB untuk menghitung bentuk-bentuk eselon baris tereduksi dari A dan A^T.

Jawaban:

SCILAB: det(A^T) = -0.0736358

Nilai-nilai yang dihitung untuk det(A) dan det(A^T) tidak sama.

(6)

SCILAB: Bentuk eselon baris tereduksi dari A:

eselonA = rref (A) =







1 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0





 SCILAB: Bentuk eselon baris tereduksi dari A^T:

eselonAT = rref (A⁰) =







1 0 0 0 0 −8921.287 0 1 0 0 0 −360.0803 0 0 1 0 0 −38.113633 0 0 0 1 0 −8.0084476 0 0 0 0 1 −2.5105928

0 0 0 0 0 0







c Definisikan B = A*A’. Nilai eksak dari det(B) harus sama dengan 0. Men- gapa? Terangkan. Gunakan SCILAB untuk menghitung det(B). Apakah nilai yang dihitung untuk determinan sama atau hampir sama dengan nilai eksak? Hitunglah bentuk eselon baris tereduksi dari B untuk memeriksa bahwa matriks B adalah memang betul singular.

Jawaban:

B = A*A’

B =







30 −192 −1458 −6144 −18750 −46656

−192 3318 1316 15861 63924 180474

−1458 1316 179270 235872 756398 1912764

−6144 15861 235872 2938026 3318672 8250354

−18750 63924 756398 3318672 25390302 25105164

−46656 180474 1912764 8250354 25105164 1.492D + 08





 Nilai eksak dari det(B) harus sama dengan 0 karena matriks B diperoleh dari perkalian matriks A dengan transposenya.

SCILAB: det(B) = 0

Nilai yang dihitung untuk determinan sama dengan nilai eksak.

Bentuk eselon baris tereduksi dari B:

eselonB = rref (B) =







1 0 0 0 0 −8921.287 0 1 0 0 0 −360.0803 0 0 1 0 0 −38.113633 0 0 0 1 0 −8.0084476 0 0 0 0 1 −2.5105928

0 0 0 0 0 0





 SCILAB: rank(rref(B)) = 5

Terlihat bahwa eselon baris tereduksi dari matriks B memiliki rank(rref(B))

(7)

= 5, lebih kecil dari ukurannya (n = 6) sehingga matriks B adalah memang betul matriks singular.