GARIS IMBAS - DAYA RICEH DAN MOMEN LENTUR

(1)

Objektif Am

Memahami konsep garis imbas di dalam menentukan daya riceh dan momen lentur maksima pada bahagian-bahagian tertentu apabila rasuk dikenakan beban bergerak.

Objektif Khusus

Di akhir unit ini pelajar sepatutnya dapat

a. mengira daya riceh maksima (maksima positif dan negatif) pada bahagian-bahagian tertentu dengan menggunakan gambarajah garis imbas apabila rasuk dikenakan beban bergerak jenis

i. beban tumpu

ii. beban teragih seragam

iii. gabungan beban-beban di atas

b. menentukan momen lentur maksima (maksima positif dan negatif) pada bahagian-bahagian tertentu dengan menggunakan gambarajah garis imbas apabila rasuk dikenakan beban bergerak jenis

i. beban tumpu

iii. gabungan beban-beban di atas.

UNIT

8

GARIS IMBAS -

(2)

Pengenalan

Jika sebelum ini (unit 7) kita telah tahu cara untuk melakar gambarajah garis imbas sama ada untuk daya tindakbalas, daya riceh atau momen lentur bagi rasuk boleh tentu, maka dalam unit ini pula kita akan pelajari cara untuk mengira nilai daya riceh dan momen lentur jika dikenakan beban sebenar .

Takrifan

Nilai daya riceh bagi rasuk boleh tentu bergantung kepada beban yang dikenakan .

Di antaranya ialah :- i. beban tumpu

Beban tumpu

Penyelesaian rasuk akibat dari beban titik untuk daya riceh dan momen lentur berbeza kerana ianya bergantung kepada bentuk gambarajah garis imbas yang dilakar. Kita bincangkan dahulu untuk mendapatkan nilai daya ricih sebenar menggunakan gambarajah garis imbas bagi beban pada kedudukan tertentu.

INPUT 8.1

(3)

o

Pertimbangkan rasuk dalam Rajah 8.1 di bawah:-

Daya riceh di x = W1 y1 + W2 y2 + W3 y3+ …+ Wn yn

Kirakan daya riceh di titik x untuk rasuk di bawah (Rajah 8.2) jika dikenakan beban titik berikut.

W1 W2 W3 Wn

(4)

(5)

o Beban Teragih Seragam

Penyelesaian rasuk akibat dari beban teragih seragam untuk daya riceh dan momen lentur berbeza kerana ianya bergantung kepada bentuk gambarajah garis imbas yang dilakar. Perbincangan akan dimulakan dahulu untuk beban teragih seragam pada kedudukan tertentu.

Pertimbangkan rasuk di bawah (Rajah 8.3) :-

Jumlah beban pada panjang dx = w dx

(6)

Contoh 8.2

Dapatkan daya ricih pada titik C untuk rasuk di bawah (Rajah 8.4) jika ia dikenakan beban teragih seragam.

Penyelesaian :-

Tentukan nilai Y (Gunakan segitiga sebentuk)

5

Daya riceh di titik C = beban x luas di bawah beban

VC = 10 [ ({0.5 0.2}) 3]

(7)

Gabungan Beban Titik dan Beban Teragih Seragam

Bagi rasuk yang mengalami kedua-dua jenis beban iaitu beban titik dan beban teragih, penyelesaiannya adalah gabungan antara kedua-dua kaedah di atas.

Mari kita lihat contoh di bawah sebagai panduan:-

Contoh 8.3

Bagi rasuk di dalam Rajah 8.5 , kirakan i) RB

ii) VC

Penyelesaian :-

i)

RB = 10 (0.5) + 5[ ½ (0.5 + 1.0) 5 ] RB = 23.75 kN

ii)

VC = -10(0.5) – 5[ ½ (0.5 + 0.6) 1] + 5 [½ x 0.4 x 4) VC = -3.75 kN

1.0 0.6

0.5

o

5 kN/m

5 m 1 m 4 m

A B

C 10 kN

0.6 0.4

0.5 (-)

(+)

G.I. RB

G.I. VC

(8)

Untuk memahirkan anda mengira daya riceh dan momen lentur dengan menggunakan konsep gambarajah garis imbas, cuba aktiviti-aktiviti berikut :-

Jawab setiap soalan dan kemudian semak dengan jawapan di halaman berikutnya.

S1 Dapatkan daya riceh untuk titik C bagi rasuk yang disokong mudah di bawah jika ia dibebani dengan beban-beban berikut.

S2 Kirakan daya riceh di tengah rentang apabila ia dikenakan beban seperti di atas. Beban 5 kN dikenakan di tengah rentang. Jarak antara beban ialah 2 m.

AKTIVITI 8.1

5 kN/m

A B

C 20 kN

2 m 2 m 3 m 1 m

A B

RB RA

15 m _{5 m}

5 m

(9)

S3 Untuk rasuk berikut, kirakan nilai daya ricih dan momen lentur pada titik B jika ianya dikenakan beban mati seperti gambarajah di bawah.

S4 Satu rasuk ditupang mudah yang rentangnya 20 m dan berat sendiri rasuk ialah 60 kN/m dikenakan beban-beban mati berikut. Tentukan

a. daya tindakbalas pada A b. daya tindakbalas pada B

c. daya ricihnya pada pertengahan rentang. A

B

C _D

4 m 4 m 4 m

10 kN/m 60 kN

2 m

120 kN 80 kN 150 kN

RA RB

(10)

Sila semak jawapan yang anda perolehi dengan jawapan di bawah.

S1

VC = 5/2 kN (daya ricih negatif)

S2

Vtengah rentang = 5.46 kN

S3

VB = 22 kN (daya ricih negatif)

S4

a. RA = 763 kN b. RB = 787 kN c. Vtengah rentang = 43 kN

(11)

Pengenalan

Jika sebelum ini kita telah tahu cara mengira nilai daya riceh jika dikenakan beban sebenar . Maka dalam bahagian ini kita akan

mempelajari pula cara mengira nilai momen lentur jika dikenakan beban sebenar samada ada beban tumpu atau beban teragih seragam.

Takrifan

Nilai momen bagi rasuk boleh tentu bergantung kepada beban yang dikenakan .

Di antaranya ialah :- i. beban tumpu

Beban tumpu

Penyelesaian rasuk akibat dari beban titik untuk daya riceh dan momen lentur berbeza kerana ianya bergantung kepada bentuk gambarajah garis imbas yang dilakar. Kita bincangkan dahulu untuk mendapatkan momen lentur menggunakan gambarajah garis imbas bagi beban pada kedudukan tertentu.

INPUT 8.2

(12)

o

Pertimbangkan rasuk di dalam Rajah 8.6 di bawah:-

Momen lentur di x = W1 y1 + W2 y2 + W3 y3 + ..+ Wnyn

MX =



n n n y

W

1

Di mana W = beban kenaan y = odinit garis imbas

Contoh 8.4

Kirakan momen lentur di titik x untuk rasuk di bawah (Rajah 8.7) jika dikenakan beban titik berikut.

W1 W2 W3 Wn

x

a b

A B

L ab y1

y2

y3

yn

50 kN 30 kN 30 kN

x

A B

3 m 3 m 5 m 1 m 1 m

Rajah 8.6

G.I. MX

(13)

o

Beban Teragih Seragam

Penyelesaian rasuk akibat dari beban teragih seragam untuk daya riceh dan momen lentur berbeza kerana ianya bergantung kepada bentuk gambaRajah garis imbas yang dilakar. Perbincangan akan dimulakan dahulu untuk beban teragih seragam pada kedudukan tertentu.

Pertimbangkan rasuk (Rajah 8.8) di bawah :-

(14)

Jumlah beban pada panjang dx = w dx

Dapatkan momen lentur pada titik C untuk rasuk di Rajah 8.9, jika ia dikenakan beban teragih seragam.

Penyelesaian :-

Tentukan nilai y (Gunakan segitiga sebentuk)

(15)

5

Gabungan Beban Tumpu dan Beban Teragih Seragam

Bagi rasuk yang mengalami kedua-dua jenis beban iaitu beban titik dan beban teragih, penyelesaiannya adalah gabungan antara kedua-dua kaedah di atas.

Contoh 8.6

Bagi rasuk di dalam Rajah 8.10, kirakan momen lentur pada titik C

(16)

Untuk memahirkan anda mengira daya riceh dan momen lentur dengan menggunakan konsep gambaRajah garis imbas, cuba aktiviti-aktiviti berikut :-

S1 Dapatkan momen lentur untuk titik C bagi rasuk yang disokong mudah di bawah jika ia dibebani dengan beban-beban berikut.

S2 Kirakan momen lentur di tengah rentang apabila ia dikenakan beban seperti di atas. Beban 5 kN dikenakan di tengah rentang. Jarak antara beban ialah 2 m.

AKTIVITI 8.2

5 kN/m

A B

C 20 kN

2 m 2 m 3 m 1 m

A B

RB RA

15 m _{5 m}

5 m

(17)

S3 Untuk rasuk berikut, kirakan nilai momen lentur pada titik B jika ianya dikenakan beban mati seperti gambarajah di bawah.

S4 Satu rasuk ditupang mudah yang rentangnya 20 m dan berat sendiri rasuk ialah 60 kN/m dikenakan beban-beban mati berikut. Tentukan

i. daya tindakbalas pada A ii. daya tindakbalas pada B

iii. momen lentur pada pertengahan rentang. A

B

C _D

4 m 4 m 4 m

10 kN/m 60 kN

2 m

120 kN 80 kN 150 kN

RA RB

(18)

Sila semak jawapan yang anda perolehi dengan jawapan di bawah.

S1

MC = 30 kNm

S2

Mtengah rentang = 101.25 kNm

S3

MB = 168 kNm

S4

a. RA = 763 kN b. RB = 787 kN

c. Mtengah entang = 4270 kNm

(19)

Pengenalan

Kebanyakan struktur seperti rasuk atau jambatan sering ditindaki beban titik yang bergerak sama ada beban satu titik atau beban titik bersiri. Bagi satu beban titik yang bergerak pengiraannya adalah agak mudah kerana kita hanya mempertimbangkan satu beban sahaja dan kita boleh agak dari gambarajah garis imbas pada kedudukan mana yang dapat memberikan nilai daya ricih dan momen lentur yang maksima.

Tetapi untuk beban titik yang bersiri adalah agak sukar kerana kita terpaksa membuat beberapa pertimbangan tentang susunan beban dan pada kedudukan mana yang dapat memberikan nilai daya ricih dan momen lentur yang maksima.

Contoh 8.7

Rajah 8.11 di bawah menunjukkan rasuk tergantung pada satu hujung ditindaki satu beban titik 10 kN yang akan bergerak dari titik C ke B. Lukiskan gambarajah garis imbas bagi daya riceh dan momen lentur di D. Seterusnya tentukan daya riceh maksimum dan momen lentur maksimum pada titik tersebut.

INPUT 8.3

BEBAN TITIK BERGERAK

2 m 2 m 2 m

C

A D B

o

10kN

(20)

Penyelesaian

i) Daya riceh

Menentukan nilai y (guna segitiga sebentuk)

2 Maka daya riceh maksimum di titik D

VD = 10 (0.5) = 10 kN



Nilai maksimun diperolehi jika beban tersebut di letakkan pada odinit yang maksimum.

ii) Momen Lentur

Tentukan nilai y ,

Momen Lentur maksimum di titik D

MD = 10 (1.0) = 10 kNm

(21)

Beban Titik Bersiri dan Beban Teragih Seragam (BTS)

Untuk menentukan nilai daya riceh dan momen lentur maksima pada satu titik rasuk melalui kaedah garis Imbas, langkah-langkah berikut boleh dijadikan panduan:

Langkah 1

Lakarkan G.I. yang berkaitan. Langkah 2

Menyusun kedudukan beban supaya memberikan nilai maksima melalui beberapa percubaan:

(a). Untuk beban tumpu berjujukan (beban titik bersiri), nilai maksima diperolehi apabila salah satu daripada beban tumpu berada dipuncak G.I. (b). Untuk beban teragih seragam (BTS) yang mana cerun G.I. berubah dari +ve ke –ve atau sebaliknya, kedudukan BTS yang memberikan nilai luas maksima adalah apabila mematuhi peraturan di bawah:-

(22)

Contoh 8.8.

Rasuk dalam Rajah 8.12 di bawah dibebani oleh beban titik bersiri berjarak 3 m antara satu sama lain. Kedua-dua beban boleh bergerak samada dari kiri ke kanan atau sebaliknya dengan daya 4kN mendahului. Tentukan:

i) daya ricih maksimum di titik C ii) momen lentur maksimum di titik C

Penyelesaian :-

(i). Vc

Langkah 1 : Lakarkan G.I Vc

Langkah 2

Susun beban dengan meletakkan salah satu beban berada di puncak G.I. i. Beban bergerak dari B ke A

A B

C 3 m

4 kN _{3 kN}

4 m 6 m

3 m

3 kN 4 kN

G.I. Vc

0.6

-0.4

0.6

-0.4

y

Daripada kaedah segitiga sebentuk, y = 0.3

Vc = 4(0.6) + 3(0.3) = 3.30 kN. Vc = 4(-0.4) + 3(0.3) = 0.70 kN.

Percubaan 1

4kN di C

3m

(23)

ii. Beban bergerak dari A ke B

Vcmax = 3.30 kN

Nota: Hasil pengiraan menunjukkan hanya percubaan 1 dan 4 sahaja

yang memberikan nilai VC yang lebih tinggi. Oleh itu, bilangan

percubaan boleh diminimumkan dengan hanya mengambilkira kesan yang

maksima ke atas rasuk apabila dikenakan beban bergerak.

Percubaan 2

3kN di C

3m

3 kN 4 kN

Daripada kaedah segitiga sebentuk, y = -0.1

(24)

ii). Mc

Langkah 1 : Lakarkan G.I Mc Langkah 2

Susun beban dengan meletakkan salah satu beban berada di puncak G.I. i. Beban bergerak dari B ke A

Daripada Percubaan 1:

MC = 4(2.4) + 3(1.2) = 13.2kNm

ii. Beban bergerak dari A ke B

Daripada Percubaan 4:

MC = 3(2.4) + 4(1.2) = 12.0kNm segitiga sebentuk, y = 1.2 dan y1 = 0.6

Nota:

Hasil pengamatan menunjukkan nilai MC

dari percubaan 1 lebih besar. segitiga sebentuk, y = 1.2 dan y1 = 0.6

Nota:

(25)

Contoh 8.9

Tentukan daya ricih dan momen lentur maksima untuk rasuk di bawah (Rajah 8.13) pada titik C jika dikenakan beban seperti yang ditunjukkan.

Penyelesaian :-

(i). Vc

Langkah 1 : Lakarkan G.I Vc Langkah 2

Susun beban dengan meletakkan salah satu beban berada di puncak G.I. Beban bergerak dari B ke A

A C _B

Beban bergerak dari B ke A dengan 1kN segitiga sebentuk: y = 0.625

y1 = 0.5 y2 = 0.125

Nota:

Hasil pengamatan menunjukkan nilai VC

(26)

Dari percubaan 1:

VC = 1(0.75) + 4(y) + 4(y1)

=1(0.75) + 4(0.625) + 4(0.5) = 5.25kN Dari percubaan 2:

VC = 1(y2) + 4(0.75) + 4(y)

Susun beban dengan meletakkan salah satu beban berada di puncak G.I. Beban bergerak dari B ke A

Dari percubaan 1:

MC = 1(3.0) + 4(y) + 4(y1)

=1(3) + 4(2.5) + 4(2.0) = 21.0kNm Dari percubaan 2:

MC = 1(y2) + 4(3) + 4(y) segitiga sebentuk: y = 2.5

y1 = 2.0 y2 = 1.5

Nota:

dari percubaan 3 terkecil (diabaikan).

(27)

Soalan1

Rasuk di bawah dikenakan beban bergerak seperti dalam Rajah . Jika beban bergerak pada sebarang arah, tentukan (dengan menggunakan kaedah garis imbas) :

i. Daya tindakbalas maksima di B ii. Daya ricih maksima di C iii. Momen lentur maksima di C.

Soalan 2

Rasuk di bawah dikenakan beban bergerak seperti dalam Rajah . Jika beban bergerak dari B ke A, tentukan (dengan menggunakan kaedah garis imbas)

i. Daya tindakbalas maksima di A ii. Daya ricih maksima di C iii. Momen lentur maksima di C.

AKTIVITI 8.3

2m 2m

2m

40kN 40kN 40kN 40kN

A

B C

D

4m 4m 2m



A C

B

10m 2m

1m 1m

arah pergerakan



40kN

(28)

Soalan 3

Rasuk selanjar di bawah dikenakan beban titik bersiri seperti dalam Rajah . Jika beban bergerak dari sebarang arah, tentukan (dengan menggunakan kaedah garis imbas):

i. Daya tindakbalas maksima di B

ii. Daya ricih maksima positif dan negatif di D iii. Momen lentur maksima di D

Soalan 4

Sebuah trak melintasi satu rasuk sokong mudah AB yang mempunyai rentang 20m seperti dalam Rajah di bawah. Tentukan (dengan menggunakan kaedah garis imbas):

i. Daya riceh maksima +ve dan –ve pada kedudukan 2.5m dari penyokong A

ii. Momen lentur maksima +ve dan -ve di titik tersebut. D

A 5m 3m C

2m 3m

arah pergerakan



25kN

20kN _30kN

2m B

D 20m B

5m 4m Beban bergerak pada

kedua-dua arah 50kN

50kN 30kN

2m A

(29)

Soalan 1

i. RB = 140 kN ii. VC = -30 kN iii. MD = 80 kNm

Soalan 2

i. RA = 69.17 kN ii. VC = -56.67 kN iii. MC = 113.33 kNm

Soalan 3

i. RB = 71.88 kN (beban bergerak dari A ke C dengan 30kN di A) ii. VD(+ve) = 11.25 kN (beban bergerak dari A ke C dengan 30kN

di D)

iii. VD(-ve) = 25kN (beban bergerak dari C ke A dengan 30kN di D) iv. MD = 78.125kNm (beban bergerak dari A ke C dengan 30kN di

D)

Soalan 4

i. VC(+ve) = 87.75 kN (beban bergerak dari B keD dengan 50kN di C)

ii. VC(-ve) = 6.25kN (beban bergerak dari D ke B dengan 50kN diC)

iii. MC(+ve) = 219.375 kNm (beban bergerak dari B ke D dengan 50kN di C)

iv. MC(-ve) = 87.5 kNm (beban bergerak dari D ke B dengan 50kN di D)

(30)

Bagi rasuk yang ditindaki beban teragih seragam (BTS) , konsep yang sama seperti beban titik digunakan untuk menentukan nilai ricih maksimum dan momen maksima

Daya Ricih

Untuk menghasilkan daya ricih maksima negatif dan positif, kedudukan BTS ditunjukkan seperti dalam Rajah 8.14 di bawah.

BEBAN TERAGIH SERAGAM

L b

L a



y1

q kN/m

C

A _B

L b

L a



A C _B

Kedudukan beban untuk ricih negatif maksima di C

Kedudukan beban untuk ricih positif maksima di C

INPUT 8.4

s1

q kN/m

s1 y

(31)

Momen Lentur Maksima

Untuk menentukan momen lentur maksimum maksima pula, yang mana cerun G.I. berubah dari +ve ke –ve atau sebaliknya, kedudukan BTS yang memberikan nilai luas maksima adalah apabila mematuhi peraturan di bawah:-

Contoh 8.10

Satu rasuk tersokong mudah ditindaki beban teragih seragam 4 kN/m sepanjang 3 m yang bergerak dari A ke B seperti dalam Rajah 8.15. Tentukan daya ricih dan momen lentur maksimum di titik C.

C

(32)

Penyelesaian :-

a). Daya Ricih Maksima

Ricih negatif maksimum di C diperolehi dengan meletakkan hujung kanan beban teragih pada C.

Ricih positif maksimum di C diperolehi dengan meletakkan hujung kiri beban teragih pada C.

Oleh itu daya ricih maksimum ialah nilai terbesar antara dua nilai iaitu

Vmaks @ C = 5.4 kN

b). Momen lentur maksima

Momen lentur maksima di C diperolehi dengan meletakkan beban sehingga odinit garis imbas momen lentur pada hujung kiri dan kanan beban teragih adalah sama seperti yang ditunjukkan di bawah.

(33)

Menentukan a1 :

a1 = a2(s1)/s2 a1 = 4(3)/10 = 1.2m

Mcmax = 4(1/2)(1.2)(y + 2.4) + 4(1/2)(1.8)(y1 + 2.4) = 2(1.2)(1.68+2.4) + 2(1.8)(1.68+2.4) = 24.48 kNm

Contoh 8.11

Satu rasuk tupang mudah yang rentangnya 10 m dan berat beban mati seragamnya 60 kN/m dilalui oleh beban hidup 100 kN/m (lebih panjang dari rentang) seperti dalam Rajah 8.16 di bawah.

Tentukan

a. nilai maksimum daya ricih pada 2.5 m dari tupang A. b. nilai momen maksima pada titik yang sama.

Penyelesaian:-

a. Nilai daya ricih maksima pada titik C.

y y1

2.4

A B

C

2.5 m 7.5 m

Arah pergerakan

100 kN/m 60 kN/m

a2

a1

s1

s2

1.2m 1.8m

2.8m 4.2m

Daripada segitiga sebentuk:

y = 1.68 y1 = 1.68

G.I. Mc

(34)

Nilai daya ricih maksima = [ (100+60) (0.75 x 7.5x 0.5) ] - [60 (0.25 x 2.5 x 0.5)]

= 450 – 18.75 kN = 431.3 kN

b. Nilai momen lentur maksima pada titik C

Momen lentur maksima

= [ (100 + 60) (0.5 x 1.875 x 10) ] = 1500 kNm.

0.75

0.25

G.I. VC

A B

C

2.5 m 7.5 m

Arah pergerakan

100 kN/m 60 kN/m

(2.5)(7.5)/10 = 1.875

G.I. MC

(35)

S1

Berpandukan rasuk seperti di bawah,

a. Kirakan daya ricih maksima positif dan daya ricih maksima negatif di titik C.

b. Kirakan momen maksima pada titik C

S2

Beban teragih seragam 20 kN/m dan panjang 10 m melintasi rasuk seperti gambarajah di bawah. Untuk satu titik di tengah rasuk, tentukan

a. daya ricih maksima positif dan daya ricih maksima negatif apabila beban berada di atas rentang.

b. momen lentur maksima di tengah rentang.

AKTIVITI 8.4

A _B

3 m 20 kN/m

arah pergerakan

C

6m 2m

16 m 4 m

A C _B

(36)

S1

a. i. VC (max) = 5 kN (nilai negatif) ii. VC (max) = 33.75 kN (nilai positif) b. MC (max) = 73.37 kNm

S2

a. i. VC (max) = 40 kN (nilai negatif) ii. VC (max) = 37.5 kN

b. MC (max) = 105.5 kNm MAKLUM BALAS

(37)

Anda telah sampai di penghujung Unit 8. Untuk menguji kefahaman anda di unit 8 cuba selesaikan soalan-soalan dalam ujian kendiri di bawah. Jika terdapat sebarang kemusykilan sila semak semula nota ataupun berjumpa terus dengan pensyarah.

“SELAMAT MENCUBA”

1. Rasuk di bawah dikenakan beban-beban seperti di bawah. Tentukan

a. Kesan riceh maksima di titik D b. Kesan momen maksima di titik D c. Kesan tindakbalas maksima di tupang B

30 kN 30 kN 20 kN 15 kN 30 kN

5 m 6 m 6 m 2 m 2 m

2. Satu rasuk ABCD di tupang mudah di titik A dan B dan terjulur ke D. Rasuk ini menanggung beban bergerak seperti di tunjukkan. Binakan gambarajah garis imbas untuk momen di titik C dan tindakbalas di titik A dan B. Dapatkan momen lentur maksima di titik C akibat beban tersebut yang boleh bergerak kedua-dua arah.

20 kN 30 kN 30 kN 20 kN

2 m 2 m 2 m

PENILAIAN KENDIRI

A C D B E

10 kN/m

A

C

B

D

(38)

3. Satu sistem beban akan melalui satu rasuk jambatan 30 m panjang. Sistem beban ini akan bergerak dari tupang A melalui rasuk tersebut dengan didahului oleh beban 15 kN. Tentukan momen lentur maksima di titik 8 m dari tupang A disebabkan oleh pergerakan beban seperti di bawah.

4.

Berpandukan rasuk di atas, jika beban bergerak dari kedua-dua arah

(Q mendahului) , kirakan

a. daya riceh maksima positif di titik X b. daya ricih maksima negatif di titik X

c. momen lentur maksima di titik X serta tentukan kedudukan beban dan arahnya.

5 kN 20 kN 20 kN 15 kN 10 kN 15 kN

2 m 1 m 2 m 2 m 1 m

A B

30 m

A X B

3 m 5 m

5 kN

2 kN/m

P Q

(39)

Jawapan

1. a. VD (max) = 45 kN b. MD (max) = 87 kNm c. RB (max) = 75 kN

2. MC (max) = 157 kNm

3. MC (max) = 107.6 kNm

4. a. VX (max) = 54.75 kN (nilai positif) b. VX (max) = 64.34 kN (nilai negatif) c. MX (max) = 134.86 kNm