Ciri-ciri Himpunan 1. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.
Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.
2. Cara Menyatakan Himpunan dan Keanggotaanya
Seperti telah disebutkan di atas himpunan diberi nama atau dinyatakan dengan huruf kapital. Sedangkan anggotanya dinyatakan dengan huruf kecil. Anggota himpunan ditulis di antara kurung kurawal, anggota satu dengan yang lainya dipisahkan dengan tanda koma. Dengan kata lain dituliskan dengan cara pendaftaran (roster method).
Selain itu himpunan dapat pula dinyatakan dengan sifat keanggotaan (ruler method).
A. Dengan Cara Pendaftaran (Roster Method)
Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan semua anggotanya selain disebut pendaftaran juga disebut cara tabulasi.
Objek yang tidak didaftar berarti objek bukan anggota himpunan tersebut. Apabila anggota himpunan tersebut tidak banyak, semua anggotanya dapat ditulis. Namun, bila himpunan itu mempunyai anggota yang banyak dan anggotanya memiliki keteraturan, untuk menuliskanya dapat diwakili dengan tiga titik”...”.
Contoh 1 : Nyatakan himpunan berikut dengan Cara Pendaftaran. A = himpunan bilangan asli
B = himpunan bilangan ganjil kurang dari 30. C = himpunan bilangan bulat.
E = himpunan hari dalam sepekan.
Jawab:
A =
1,2,3,...
B =
1,3,5,...,29
C =
...,3,2,1,0,1,2,...
D =
2,3,5,7
E =
Senin,Selasa,Rabu,Kamis,Jumat,Sabtu,Minggu.
Keterangan:
1) Himpunan A, B, dan C adalah himpunan yang anggotanya banyak, dan penulisanya dua kali tiga titik “…”.
B. Dengan Sifat keanggotaan (Ruler Method)
Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan sifat keanggotaanya, cara ini juga disebut pencirian. Cara ini dengan menuliskan syarat yang harus dipenuhi oleh anggota himpunan itu. Objek atau elemen yang memenuhi syarat himpunan itu adalah anggotanya.
Dalam penulisan cara ini anggota himpunan menggunakan variabel, misalnya x dan syarat keanggotanya misalnya P(x). P(x) berarti himpunan tersebut bersifat P. Himpunan tersebut ditulis A=
xP(x) ;” ” garis tegak dibaca ”sedemikian sehingga”. Cara membacahimpunan tersebut adalah A himpunan semua x sedekian sehingga x mempunyai sifat P. A =
xP(x) selain disebut cara menyatakan himpunan dengan sifat keanggotaan juga disebut notasi pembentuk himpunan.Contoh 2: Nyatakan himpunan berikut dengan notasi pembentukan himpunan.
A =
a,e,i,o,u
B =
Senin,Selasa,Rabu,Kamis,Jumat,Sabtu,Minggu.
C =
3,2,1,0,1,2
D. =
2,3,5,7
Jawab:
A =
huruf hidupalfabet
B =
xxnama haridalamseminggu C =
x 4x 3,xbilanganbulat D =
xx 10, xbilangan prima Dalam matematika lambang anggota adalah ”
”, sedangkan bukan anggota dilambangkan dengan ””. Anggota himpunan A =
a,e,i,o,u
adalah a, i, u, e, o dan b, c, d bukan anggota A. Dengan demikian penulisan di atas dapat dinyatakan dengan a
A, e
A, i
A, o
A, u
A.Tetapi b A, c A, dan d A.Himpunan B =
x x 10, xbilangan prima
.Jadi 2
B, 5
B, 7
B. Tetapi 1 B, 9 B. Dan bila anda menemukan statu himpunan P =
a,
b
berarti a
P dan
b
P.
b anggota P yang berbentuk himpunan.4. Banyaknya Anggota Statu Himpunan
Banyaknya anggota suatu himpunan dinamakan juga bilangan kardinal dan diberi lambang “n”. Jika A adalah suatu himpunan, maka banyaknya anggota dari himpunan A ditulis n(A).
Contoh 3: Berapakah bilangan kardinal dari himpunan di bawah ini?
A =
a,b,c,d,e, f
B =
x x15,xbilangan ganjil
C =
x x bilanganasli
D =
x x bilangan prima
Jawab:
A =
a,b,c,d,e, f
, maka kardinal A adalah n(A) = 6B =
x x15, xbilangan ganjil
=
1,3,5,7,9,11,13
maka bilangan kardinal B adalah n(B) = 7C =
x x bilanganasli
, berarti juga C =
1,2,3,...
, maka bilangan kardinal C adalah n(C)D =
x x bilangan prima
, berarti juga D =
2,3,5,7,...
, maka bilangan kardinal D adalahn(D) = ~.
Himpunan C dan D adalah himpunan yang tidak dapat ditentukan banyak anggotanya. ”~” melambangkan bilangan kardinal tak terhingga.
5. Macam-macam Himpunan
5.1 Himpunan Kosong
Himpunan A dikatakan himpunan kosong bila bilangan kardinal dari himpunan A = 0 atau n(A) = 0. Himpunan kosong dinotasikan dengan (phi) atau
. Jadi apabila A =
xx1,bilanganasli
, maka A = atau A = dan n(A) = 0.Perhatikan contoh di bawah ini!
1. B =
xx2 0,xbilanganbulat
2. C =
x1 x2, xbilanganasli
3. D =
xxbilangannegatif dan x1
4. E = dan F =
Contoh 1, 2 dan 3 merupakan contoh himpunan yang tidak memiliki anggota atau n(B) = n(C) = n(D) = 0. Tetapi contoh 4, himpunan E dan F bukan contoh himpunan kosong, karena E memiliki anggota yaitu “0” dan F juga memiliki anggota yaitu .
5.2 Himpunan Semesta
membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.
Contoh 5:
a. Apabila kita membicarakan himpunan A
2,3,5,7
maka yang dapat menjadihimpunan semesta adalah: U =
x xbilangancacah
,U =
x xbilangan prima
,U =
x xbilanganbulat positif
atau himpunan lain yang memuat A.b. Apabila kita membicarakn himpunan B =
x xmahasiswawanitaS1Matematikakelas AFMIPA UNG
, maka yang menjadihimpunan semestanya adalah :
U =
x x Mahasiswawanita S1Matematika FMIPA UNG
U =
x xMahasiswa MatematikaFMIPA UNG
U =
x x MahasiswaUNG
6. Himpunan Berhingga
Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a
bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.Contoh 6:
a. A = karena n(A) = 0, 0
bilangan cacah.b. B =
1,2,3,...75
n(B) = 75, 75
bilangan cacah.7. Himpunan Tak Berhingga
Contoh 7:
Q=
1,2,3,4,...
Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q)=~.
8. Himpunan Terbilang
Himpunan A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpunan A tersebut dapat ditunjukkan atau dihitung satu persatu.
Contoh 8:
a. A =
1,2,3
Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang sebab dapat dihitung satu persatu, sekaligus contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3.
b. B =
1,2,3...
Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan tak hingga sebab n(B) = ~.
9. Himpunan Tak Terbilang
Himpunan A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A tersebut tidak dapat dihitung satu persatu.
Contoh 9:
R =
x 2x3,xbilanganreal
10. Himpunan Terbatas
Himpunan A dikatakan himpunan terbatas bila himpunan A mempunyai batas di sebelah kiri saja disebut himpunan terbatas kiri. Dan jika himpunan tersebut hanya mempunyai batas sebelah kanan disebut himpunan terbatas kanan. Batas sebelah kiri juga disebut batas bawah sedangkan batas sebelah kanan disebut batas atas.
Contoh 10:
a. P =
0,1,2,3
, mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 4.b. Q =
x 0 x3,xR
, mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 3. Tetapi 0
R dan 3 Q.Khusus untuk himpunan tak terbatas yang semesta pembicaraanya bilangan real penulisan himpunanya dapat menggunakan notasi interval.
Contoh
a. A =
x 0x5
dapat ditulis
0,5
b. B =
x 0x5
dapat ditulis 0,5
c. C =
x 0x 5
dapat ditulis
0,5
d. D =
x 0 x5
dapat ditulis (0,5)11. Himpunan Tak Terbatas
Himpunan A dikatakan himpunan tak terbatas bila himpunan tersebut tidak memiliki batas.
Contoh 12
12. Relasi Antar-Himpunan
Diagram Venn
Istilah diagram Venn berasal dari seorang ahli bangsa Inggris yang menjadi tokoh logika matematika, yaitu John Venn (1834-1923). Ia menulis buku simbolik logic dalam analisisnya menggunakan banyak diagram khususnya diagram lingkaran, diagram tersebut kini dikenal nama diagram Venn.
Biasanya himpunan semesta digambarkan sebagai daerah persegi panjang dan suatu himpunan bagian dari himpunan semesta ditunjukkan dengan daerah kurva tertutup sederhana. Anggota-anggota suatu himpunan ditunjukkan dengan noktah-noktah sedangkan anggotanya cukup banyak maka noktah sebagai wakil-wakil anggota himpunan tidak perlu ditulis.
Contoh 1
a. Apabila U =
x 1 x6, xbilanganasli
dan A =
3,4
, maka diagramVennnya ádalah
U
A
.6 .3
Apabila U =
x x bilangancacah
, A =
x 1 x6, xbilanganasli
Diagram vennnya adalah
U
Menyelesaikan Operasi Himpunan A. Irisan Dua Himpunan
Misalkan A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {2, 3, 5, 7}
Anggota impunan A dan B adalah anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B= {3, 5, 7}.
A B
.1
.3
.2
.4 .6
Anggota himpunan A yang sekaligus menjadi anggota himpunan B disebut anggota persekutuan dari A dan B. Anggota persekutuan dua himpunan disebut irisan dua
himpunan, dinotasikan dengan ( dibaca : irisan atau interseksi). Jadi, A ∩ B = {3, 5, 7}.
Atau dapat dikatakan :
Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut.
Menentukan irisan dua himpunan
a. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain. Misalkan A = {1, 3, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Irisan dari himpunan A dan B adalah A B = {1, 3, 5} = A.
Jika A B, semua anggota A menjadi anggota B. Oleh karena itu, anggota persekutuan dari A dan B adalah semua anggota dari A.
Jika A B maka A B = A. b. Kedua himpunan sama.
Dua himpunan A dan B dikatakan sama apabila semua anggota A jyga menjadi anggota B begitupun sebaliknya. Oleh karena itu anggota sekutu dari A dan B adalah semua anggota A atau anggota B.
Jika A = B maka A ∩ B = A atau A B = B. c. Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan).
Himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A dan B mempunyai sekutu, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B dad ada anggota B yang bukan anggota A.
B. Gabungan Dua Himpunan
Jika A dan B adalah dua buah himpunan, gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggota-anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan, gabungan A dan B dituliskan sebagai berikut:
A B = { .
(A B dibaca A gabungan B atau A union B.)
Menentukan gabungan dua himpunan
Perhatikan bahwa A = {3, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5}, sehingga A B = {1, 2, 3, 4, 5} = B.
Jika A B maka A B = B. b. Kedua himpunan sama.
Misalkan P = {2, 3, 4, 5, 11} dan Q = bilangan prima kurang dari 12}. Dengan mendaftar anggotanya, diperoleh
P = {2, 3,5, 7, 11} Q = {2, 3, 5, 7, 11}
P Q = {2, 3, 5, 7, 11} = P = Q. Jika A = B maka A B = A = B.
c. Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan)
Misalkan A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Menentukan banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan.
Banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan dirumuskan sebagai beikut. .
Rumus di atas dapat digunakan untuk menentukan banyak anggota dari gabungan dua himpenan. Perhatikan contoh berikut.
Diketahui : K = {faktor dari 6} dan L = {bilangan cacah kurang dari 6}. Dengan memdaftar anggotanya, tentukan:
a. Anggota K L b. Anggota K L c. n(K L)
Penyelesaian :
K = {faktor dari 6} = {1, 2, 3, 6}, n(K) =4.
L = {bilangan cacah kurang dari 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, n(L) = 6 a. K L = {1, 2, 3}
b. K L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
c. n(K L) = 7. Atau dapat diperoleh dengan menggunakan rumus brikut. n(K L) = n(K) + n(L) – n(K L) = 4 + 6 – 3 = 7.
C. Selisih (Difference) Dua Himpunan
Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.
Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut. A – B = {
B – A = {
Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {a, c, f, g}.
Selisih A dan B adalah A – B = {a, b, c, d} – {a, c, f, g} = {b, d}, sedangkan selisih B dan A adalah B – A = {a, c, f,g} – {a, b, c, d} = {f, g}.
D. Komplemen Suatu Himpunan
Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A.
Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut. AC =
Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} adalah himpunan semesta dan A = {3, 4, 5}. Komplemen himpunan A adalah AC = {1, 2, 6, 7}.
