KERANGKA MODUL PEMBELAJARAN MATA KULIAH: TEORI GRAF

(1)

KERANGKA MODUL PEMBELAJARAN

MATA KULIAH: TEORI GRAF

Nama

: Prof. Dr. Benny Pinontoan, M.Sc

Institusi

: Universitas Sam Ratulangi Manado

Fakultas

: MIPA

Program Studi

: Matematika

2018

(2)

(3)

RANCANGAN PEMBELAJARAN

Mata Kuliah

: Teori Graf

Semester : 3 (tiga) ; Kode : MAT214 ;

SKS: 3 (3-0)

Program Studi

: Matematika

Dosen

: Prof. Dr. Benny Pinontoan, M.Sc

CAPAIAN PEMBELAJARAN:

a. Merekonstruksi, memodifikasi, menganalisis model matematis dari suatu sistem/masalah, mengkaji keakuratan model dan kemanfaatan model dan menarik kesimpulan yang kontekstual.

Sub CP : Merekonstruksi, memodifikasi, menganalisis model matematis dari suatu sistem/masalah, dan menarik kesimpulan yang kontekstual.

b. Mampu merekonstruksi, memodifikasi, menganalisis/berpikir secara terstruktur terhadap permasalahan matematis dari suatu sistem/masalah, mengkaji keakuratan dan menginterpretasikannya.

Sub CP : Mampu merekonstruksi, memodifikasi, menganalisis/berpikir secara terstruktur terhadap permasalahan matematis dari suatu sistem/masalah. c. Mengkaji implikasi pengembangan atau implementasi ilmu pengetahuan, teknologi atau seni sesuai dengan keahliannya berdasarkan kaidah, tata cara

dan etika ilmiah untuk menghasilkan solusi, gagasan, desain, atau kritik seni serta menyusun deskripsi saintifik hasil kajiannya dalam bentuk skripsi atau laporan tugas akhir.

Sub CP : Mengkaji implikasi pengembangan atau implementasi ilmu pengetahuan dan teknologi sesuai dengan keahliannya berdasarkan kaidah, tata cara dan etika ilmiah untuk menghasilkan solusi, gagasan atau desain.

d. Mengambil keputusan secara tepat dalam konteks penyelesaian masalah di bidang keahliannya, berdasarkan hasil analisis terhadap informasi dan data.

Matriks Pembelajaran :

Ming Kemampuan akhir yang diharapkan Bahan Kajian/Materi Pembelajaran Bentuk Pembelajaran Waktu Belajar (Menit)

Deskripsi Tugas Luaran Kriteria Penilaian (Indikator) Bobot Nilai (%) Ref 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 Penjelasan Umum Pelaksanaan Perkuliahan dan Perkuliahan

Diskusi 150 Mahasiswa mendengarkan penjelasan dosen tentang kontrak erkuliahaan Memahami kesepakata n dosen dan Mahasiswa 2 Mampu menjelaskan konsep dasar Graf

Konsep dasar Graf Diskusi Kelompok 150 - Mahasiswa mendiskusikan

permasalahan yang sudah disusun dosen dalam

- Hasil ringkasan diskusi - Keaktifan dalam diskusi kelompok - Kualitas ringkasan hasil 5 1,2,3

(4)

kelompok kecil - Diskusi kelas kajian perorangan 3 Mampu menjelaskan tentang struktur graf dan graf simetri

Struktur Graf dan Graf Simetri

- Diskusi 150 - Mahasiswa mendiskusikan

permasalahan yang sudah disusun dosen dalam kelompok kecil - Diskusi kelas - Hasil tes formatif - Keaktifan dalam diskusi kelompok - Hasil tes formatif

perorangan

15 1,2

4 Mampu

menjelaskan dan mengkonstruksi Graf pohon dan Konektivitas

Graf Pohon dan Konektivitas

permaslahan yang sudah disusun dosen dalam kelompok kecil - Diskusi kelas - Hasil tes formatif - Keaktifan dalam diskusi kelompok - Hasil tes formatif

perorangan

15 1,2

5 Mampu

menjelaskan dan mengkonstruksi Graf Euler dan Graf Hamiltonian

Graf Euler dan graf

Hamiltonian

permasalahan yang sudah disusun dosen dalam kelompok kecil - Diskusi kelas - Hasil tes formatif - Keaktifan dalam diskusi kelompok - Hasil tes formatif

perorangan 15 1,2 6 Mampu menjelaskan dan mengkonstruksi graf berarah

Graf Berarah - diskusi 150 - mahasiswa mendiskusikan

permasalahan yang sudah disusun dosen dalam kelompok kecil - diskusi kelas - hasil tes formatif - Keaktifan dalam diskusi kelompok - Hasil tes formatif

perorangan 15 1,2 7 Mampu menjelaskan dan menggambar graf planar

Graf Planar - Diskusi 150 - Mahasiswa mendiskusikan

permasalahan yang sudah disusun dosen dalam kelompok kecil - Diskusi kelas - Hasil test formatif - Keaktifan dalam diskusi kelompk - Hasil tes formatif

perorangan 15 1,2 8 Mampu menjelaskan Graph embeddings - Diskusi 150 - Mahasiswa mendiskusikan - Hasil tes formatif - Keaktifan dalam diskusi kelompok 15 1,2

(5)

tentang Graph

embeddings

permasalahan yang sudah disusun dosen dalam kelompok kecil - Diskusi kelas

- Hasil tes formatif perorangan

9 Mampu menjelaskan tentang

pewarnaan graf

Pewarnaan Graf - Diskusi 150 - Mahasiswa mendiskusikan permasalahn yang diberikan dosen - Diskusi kelas - Hasil tes formatif - Keaktifan dalam diskusi kelompok - Hasil tes formatif

perorangan

15 1,2

Daftar Referensi:

1. Graphs & Digraphs 3rd ed, G.Chartrand and L.Lesniak; Chapman & Hall/CRC (2000)

(6)

FORMAT RANCANGAN TUGAS

Nama Mata Kuliah : Teori Graf Sks : 3

Program Studi : Matematika Pertemuan ke : 2

Fakultas : MIPA

A. TUJUAN TUGAS:

Mampu menjelaskan konsep dasar Graf B. URAIAN TUGAS:

1. Obyek Garapan: Konsep dasar Graf 2. Batasan yang harus dikerjakan:

a. Definisi Graf secara umum b. Definisi Graf sederhana c. Operasi dalam Graf d. Derajat dalam Graf e. Jarak dalam Graf f. Digraf dan Multigraf

3. Metode/Cara Pengerjaan (acuan cara pengerjaan):

- Mahasiswa mendiskusikan permasalahan yang sudah disusun dosen dalam kelompok kecil - Permasalahan yang didiskusikan:

1) Jelaskan definisi graf secara umum dan definisi graf sederhana menurut beberapa literatur (minimal 3) dan tuliskan kesimpulannya menurut perspektif kelompok Anda!

2) Jelaskan operasi dalam graf!

3) Gambarkan graf untuk graf orde tertentu

4) Gambarkan graf secara aljabar dalam bentuk penyajian himpunan titik dan himpunan sisi. 5) Jelaskan konsep derajat pada masalah persimpangan jalan dan sejenisnya!

6) Jelaskan konsep jarak dalam Graf

7) Jelaskan perbedaan antara digraf dan multigraf! - Hasil diskusi kelompok didiskusikan di kelas - Mahasiswa meringkas hasil diskusi.

4. Deskripsi Luaran tugas yang dihasilkan:

(7)

C. KRITERIA PENILAIAN (10%): - Keaktifan dalam diskusi kelompok - Hasil ringkasan diskusi

RUBRIK PENILAIAN KRITERIA 1:Keaktifan dalam diskusi (20%)

DIMENSI Sangat Memuaskan (≥80) Memuaskan (65-79) Batas (55-64) Kurang Memuaskan (40-54) Di bawah standard (<40) SKOR Keaktifan mencari literatur

Sangat aktif Aktif Cukup aktif Kurang aktif Tidak aktif Keaktifan

berdiskusi

Sangat aktif Aktif Cukup aktif Kurang aktif Tidak aktif TOTAL

KRITERIA 2: Kualitas ringkasan hasil kajian perorangan (80%)

DIMENSI Sangat Memuaskan (≥80) Memuaskan (65-79) Batas (55-64) Kurang Memuaskan (40-54) Di bawah standard (<40) SKOR Kelengkapan konsep Sangat lengkap (mampu mengembangkan konsep secara optimal) Lengkap (melebihi konsep minimal pada modul) Cukup lengkap (sesuai konsep minimal pada modul) Kurang lengkap (dibawah konsep minimal pada modul) Tidak lengkap (konsep tidak sesuai)

Ketepatan konsep Sangat tepat (sesuai dengan

logika ilmiah)

(8)

Nama Mata Kuliah : Teori Graf Sks : 3 (3-0)

Mampu menjelaskan Struktur Graf dan Graf Simetri B. URAIAN TUGAS:

1. Obyek Garapan: Struktur Graf dan Graf Simetri 2. Batasan yang harus dikerjakan:

a. Titik simpul, Jembatan dan blok b. Grup automorfisme graf

c. Pewarnaan Graf Caycley d. Masalah rekonstruksi e. Rekonstruksi konjektur

3. Metode/Cara Pengerjaan (acuan cara pengerjaan): a. Diskusi Kelompok

1) Jelaskan definisi titik simpul, jembatan dan blok!

2) Gambarkan dan tentukan letak titik simpul, jembatan dan blok pada suatu graf! 3) Buktikan Teorema Automorfisma graf!

4) Jelaskan automorfisma Graf warna Caycley yang dibangun oleh suatu grupoid! 5) Gambarkan rekonstruksi dari suatu graf!

6) Gambarkan rekonstruksi konjektur suatu graf! - Hasil diskusi kelompok didiskusikan di kelas

- Mahasiswa mengikuti tes

- Hasil tes formatif yang dilaksanakan selama 30 menit terakhir pada tahap ini - Laporan praktikum berupa coding program dan penjelasannya

C. KRITERIA PENILAIAN (10%): - Keaktifan dalam diskusi kelompok - Hasil tes formatif

(9)

- Kualitas laporan praktikum berupa coding program dan hasil running yang benar dan penjelasannya

berdiskusi

KRITERIA 2: Hasil test formatif (30%)

DIMENSI Sangat Memuaskan (≥80) Memuaskan (65-79) Batas (55-64) Kurang Memuaskan (40-54) Di bawah standard (<40) SKOR

Skor Menjawab benar

≥ 80 % Menjawab benar 65 – 79 % Menjawab benar 55 – 64 % Menjawab benar 40 – 54 % Menjawab benar < 40 %

KRITERIA 3: Kualitas laporan praktikum (50%)

DIMENSI Sangat Memuaskan (≥80) Memuaskan (65-79) Batas (55-64) Kurang Memuaskan (40-54) Di bawah standard (<40) SKOR Kelengkapan laporan Sangat lengkap (min 80% dari Lengkap ( min 65% dari Cukup lengkap ( min 55% dari Kurang lengkap min 40% dari Tidak lengkap ( kurang 40% dari

(10)

seluruh item) seluruh item) seluruh item) seluruh item) seluruhitem) Ketepatan coding program Sangat tepat (min 80% input + output benar) Tepat (min 65% input + output benar) Cukup tepat (min 55% input + output benar) Kurang tepat (min 40% input + output benar) Tidak tepat (kurang 40% input + output benar) Ide baru dan

kreativitas coding Sangat baik (min 80% berbeda dari panduan) Baik (min 65% berbeda dari panduan) Cukup baik (min 55% berbeda dari panduan) Kurang baik (min 40% berbeda dari panduan) Tidak baik (kurang 40% berbeda dari panduan) Total

(11)

Mampu menjelaskan dan mengkonstruksi Graf pohon dan Konektivitas B. URAIAN TUGAS:

1. Obyek Garapan: Graf Pohon dan Konektivitas 2. Batasan yang harus dikerjakan:

a. Defenisi Graf Pohon b. Kelas dari Graf Pohon c. Sifat-sifat dasar graf pohon d. Konektivitas Tiap jenis graf e. Konektivitas tepi

f. Teorema Menger g. Kerentanan suatu graf

3. Metode/Cara Pengerjaan (acuan cara pengerjaan): a. Diskusi Kelompok

1) Jelaskan definisi dari graf pohon! 2) Jelaskan sifat-sifat dasar graf pohon!

3) Sebutkan dan jelaskan kelas dari graf pohon! 4) Buktikan teorema graf pohon!

5) Jelaskan tentang konektivitas tiap jenis pohon! 6) Jelaskan tentang konektivitas tepi!

7) Sebutkan dan Buktikan teorema Menger! 8) Jelaskan tetang kerentanan suatu graf! 9) Jelaskan kerentanan tepi suatu graf!

(12)

- Hasil diskusi kelompok didiskusikan di kelas - Mahasiswa mengikuti tes formatif

- Hasil tes formatif yang dilaksanakan selama 30 menit terakhir pada tahap ini C. KRITERIA PENILAIAN (10%):

- Keaktifan dalam diskusi kelompok - Hasil tes formatif

berdiskusi

KRITERIA 2: Hasil test formatif (30%)

(13)

KRITERIA 3: Kualitas laporan praktikum (50%) DIMENSI Sangat Memuaskan (≥80) Memuaskan (65-79) Batas (55-64) Kurang Memuaskan (40-54) Di bawah standard (<40) SKOR Kelengkapan laporan Sangat lengkap (min 80% dari seluruh item) Lengkap ( min 65% dari seluruh item) Cukup lengkap ( min 55% dari seluruh item) Kurang lengkap min 40% dari seluruh item) Tidak lengkap ( kurang 40% dari seluruhitem) Ketepatan coding program Sangat tepat (min 80% input + output benar) Tepat (min 65% input + output benar) Cukup tepat (min 55% input + output benar) Kurang tepat (min 40% input + output benar) Tidak tepat (kurang 40% input + output benar) Ide baru dan

(14)

Mampu menjelaskan dan mengkonstruksi Graf Euler dan Graf Hamiltonian B. URAIAN TUGAS:

1. Obyek Garapan: Graf Euler dan Graf Hamiltonian 2. Batasan yang harus dikerjakan:

a. Definisi Graf Euler dan digraf

b. Konstruksi graf untuk jembatan Konisberg c. Masalah Exploring dan Traveling

d. Teorema-teorema tentang graf Euler e. Definisi graf Hamoltonian dan digraf f. Sifat-sifat grapf hamiltonian

g. Diagram tracing puzzle

h. Teorema-teorma tentang Graf Hamiltonian i. Graf garis

3. Metode/Cara Pengerjaan (acuan cara pengerjaan): a. Project-based learning

- Mahasiswa mendiskusikan permasalahan yang sudah disusun dosen dalam kelompok kecil

- Mahasiswa melakukan pengamatan dan pengumpulan data untuk membuat program dengan algoritma pengulangan untuk topic yang dipilih yaitu :

o Data mahasiswa baru FMIPA o Data staf dosen FMIPA o Data staf pegawai FMIPA

- Mahasiswa membuat program input data dengan algoritma pengulangan dari topic yang ada - Mahasiswa membuat laporan project.

b. Praktikum

- Mahasiswa melakukan praktikum melalui :

o Membuat program sederhana yang berisi model for-to-do berdasarkan kasus yang diberikan dosen

(15)

- Mahasiswa membuat laporan praktikum 4. Deskripsi Luaran tugas yang dihasilkan:

- Laporan project

- Laporan praktikum berupa coding program dan penjelasannya C. KRITERIA PENILAIAN (10%):

- Kualitas laporan project

RUBRIK PENILAIAN

KRITERIA 1: Kualitas laporan project (50%)

DIMENSI Sangat Memuaskan (≥80) Memuaskan (65-79) Batas (55-64) Kurang Memuaskan (40-54) Di bawah standard (<40) SKOR Kelengkapan laporan Sangat lengkap (min 80% dari seluruh item) Lengkap ( min 65% dari seluruh item) Cukup lengkap ( min 55% dari seluruh item) Kurang lengkap min 40% dari seluruh item) Tidak lengkap ( kurang 40% dari seluruhitem) Ketepatan coding program Sangat tepat (min 80% input + output benar) Tepat (min 65% input + output benar) Cukup tepat (min 55% input + output benar) Kurang tepat (min 40% input + output benar) Tidak tepat (kurang 40% input + output benar) Ide baru dan

(16)

(17)

Mampu menjelaskan dan mengkonstruksi graf berarah B. URAIAN TUGAS:

1. Obyek Garapan: Graf Berarah 2. Batasan yang harus dikerjakan:

a) Definisi grapf berarah b) Prosedur Turnament

c) Beberapa Teorema Turnament d) Turnament Hamiltonian e) Beberapa Teorema Turnament

3. Metode/Cara Pengerjaan (acuan cara pengerjaan): a. Diskusi kelompok

1. Jelaskan definisi graf berarah! 2. Gambarkan contoh graf berarah! 3. Jelaskan definisi turnament!

4. Buktikan teorema-teorema turnament! 5. Jelaskan definisi turnamen hamiltonian!

6. Buktikan teorema-teorema turnament hamiltonian! - Hasil diskusi kelompok didiskusikan di kelas

- Mahasiswa meringkas hasil diskusi. b. Praktikum

o Membuat program sederhana yang berisi prosedur dengan kasus menghitung waktu dengan prosedur hitung jam, hari bulan dan tahun

(18)

- Hasil ringkasan diskusi yang dilaksanakan selama 20 menit terakhir pada tahap ini. - Laporan praktikum berupa coding program dan penjelasannya

C. KRITERIA PENILAIAN (10%): - Keaktifan dalam diskusi kelompok - Kualitas ringkasan diskusi

berdiskusi

(19)

KRITERIA 2: Kualitas ringkasan hasil kajian perorangan (30%) DIMENSI Sangat Memuaskan (≥80) Memuaskan (65-79) Batas (55-64) Kurang Memuaskan (40-54) Di bawah standard (<40) SKOR Kelengkapan konsep Sangat lengkap (mampu mengembangkan konsep secara optimal) Lengkap (melebihi konsep minimal pada modul) Cukup lengkap (sesuai konsep minimal pada modul) Kurang lengkap (dibawah konsep minimal pada modul) Tidak lengkap (konsep tidak sesuai)

logika ilmiah)

Tepat Cukup tepat Kurang tepat Tidak tepat

KRITERIA 3: Kualitas laporan praktikum (50%)

(20)

Mampu menjelaskan dan menggambar graf planar B. URAIAN TUGAS:

1. Obyek Garapan: Graf Planar 2. Batasan yang harus dikerjakan:

a) Formula Euler

b) Teorema Polyhedron Euler c) Karakteristik Graf Planar d) Graf Planar Hamiltonian

e) Crossing number

1. Jelaskan fromula Euler yang anda ketahui!

2. Sebutkan Teorema Polyhedron euler dan buktikan! 3. Jelaskan kaakteristik graf planar!

4. Jelaskan tentang graf planar Hamiltonian! 5. Jelaskan tentang crossing number ! - Hasil diskusi kelompok didiskusikan di kelas - Mahasiswa melakukan tes formatif.

- Hasil tes formatif yang dilaksanakan selama 30 menit terakhir pada tahap ini - Laporan praktikum berupa coding program dan penjelasannya.

C. KRITERIA PENILAIAN (10%): - Keaktifan dalam diskusi kelompok - Hasil tes formatif

(21)

berdiskusi

KRITERIA 2: Hasil Test Formatif (30%)

(22)

Mampu menjelaskan tentang Graph embeddings B. URAIAN TUGAS:

1. Obyek Garapan: Graph embedings 2. Batasan yang harus dikerjakan:

a) Definisi graph embeddings b) The genus of a graph c) Cara mengacu elemen array d) Pemrosesan array

e) Array 2 dimensi f) Bekerja dengan 2 array

1. Jelaskan pengertian array! 2. Jelaskan cara deklarasi array!

3. Jelaskan cara mengacu elemen dari array! 4. Jelaskan bagaimana pemrosesan array! 5. Jelaskan cara membuat array 2 dimensi! 6. Jelaskan bagaiman bekerja dengna 2 array! - Hasil diskusi kelompok didiskusikan di kelas - Mahasiswa meringkas hasil diskusi.

(23)

C. KRITERIA PENILAIAN (10%): - Keaktifan dalam diskusi kelompok - Kualitas ringkasan diskusi

berdiskusi

KRTERIA 2: Kualitas ringkasan hasil kajian perorangan (30%)

DIMENSI Sangat Memuaskan (≥80) Memuaskan (65-79) Batas (55-64) Kurang Memuaskan (40-54) Di bawah standard (<40) SKOR Kelengkapan konsep Sangat lengkap (mampu mengembangkan konsep secara optimal) Lengkap (melebihi konsep minimal pada modul) Cukup lengkap (sesuai konsep minimal pada modul) Kurang lengkap (dibawah konsep minimal pada modul) Tidak lengkap (konsep tidak sesuai)

logika ilmiah)

(24)

(25)

Mampu menjelaskan tentang pewarnaan graf B. URAIAN TUGAS:

1. Obyek Garapan: Pewarnaan Graf 2. Batasan yang harus dikerjakan:

a) Pewarnaan Vertex (simpul) b) Pewarnaan Edge (sisi) c) Peta Pewarnaan dan flows

3. Metode/Cara Pengerjaan (acuan cara pengerjaan): a. Project-based learning

- Mahasiswa mendiskusikan permasalahan yang sudah disusun dosen dalam kelompok kecil

- Mahasiswa melakukan pengamatan dan pengumpulan data untuk membuat program dengan model record untuk topic yang dipilih yaitu:

o Data alumni PS Matematika o Data alumni PS Biologi o Data alumni PS Kimia o Data alumni PS Fisika o Data alumni PS Farmasi

- Mahasiswa membuat program input data dengan model record dari topic yang ada - Mahasiswa membuat laporan project.

b. Praktikum

Membuat program sederhana yang berisi model record berdasarkan kasus mengitung nilai mahasiswa - Mahasiswa membuat laporan praktikum

4. Deskripsi Luaran tugas yang dihasilkan: - Laporan project

(26)

C. KRITERIA PENILAIAN (10%): - Kualitas laporan project

RUBRIK PENILAIAN

KRITERIA 1: Kualitas laporan project (50%)

(27)

(28)

GARIS BESAR MATERI PEMBELAJARAN

No. Pertemuan Materi Pembelajaran Garis Besar Materi Pembelajaran

1. 1 Penjelasan umum pelaksanaan perkuliahan/praktikum

Pertemuan membahas capaian pembelajaran, metode dan strategi dalam pembelajaran, evaluasi, serta tugas-tugas yang akan dicapai selama pembelajaran

2. 2 Introduction to graphs Pertemuan ini akan membahas:  Graphs

 Degree Sequences  Distance in graphs  Digraphs and multigraphs 3. 3 Structure and symmetry of graphs Pertemuan ini akan membahas:

 Cut-vertices, bridges and blocks  The automorphism group of a graph  Cayley color graphs

 The reconstruction Problem 4. 4 Trees and connectivity Pertemuan ini akan membahas:

 Elementary properties of trees  Arboricity and vertex-arboricity  Connectivity and edge-connectivity  Manger’s theorem

 Vulnerability of graphs 5. 5 Eulerian and Hamiltonian graphs

and digraphs

Pertemuan ini akan membahas:  Eulerian graphs and digraphs  Hamiltonian graphs and digraphs  Line graphs and power of graphs 6. 6 Directed graphs Pertemuan ini akan membahas:

 Connectedness of digraphs  Tournaments

 Hamiltonian tournaments 7. 7 Planar Graphs Pertemuan ini akan membahas:

 Euler’s Formula

 Chracterizations of planar graphs  Hamiltonian planar graphs  Crossing number and thickness

(29)

8. 8 Graphs Embeddings Pertemuan ini akan membahas:  The genus of graph

 2-cell embeddings of graphs  The maximum genus of a graph  Voltage graphs

9. 9 Graph Coloring Pertemuan ini akan membahas:  Vertex coloring

 Edge coloring

 Map coloring and flows 10. 10 Matching. Factors and

decompositions

Pertemuan ini akan membahas:

 Matchings and independence in graphs  Fctorization and decompositions  Labelling of graphs

11. 11 Domination in graphs Pertemuan ini akan membahas:

 The domination number of a graph

 The independent domination number of a graph  Other domination parameters

12. 12 Extermal Graph theory Pertemuan ini akan membahas:  Turan’s theorem

 Extermal results on graphs  Cages

13. 13 Teori Ramsey Pertemuan ini akan membahas :  Konsep Bilangan Ramsey  Teori Generalisasi Ramsey  Bilangan Ramsey yang lain 14. 14-16 Crossing Number Theory Pertemuan ini akan membahas :

 Introduction

 What is the crossing number  General bounds

 Application to geometry  Crossing-critical graphs  Other families of graphs  Algorithmic of questions  Drawing in other surfaces