KERANGKA MODUL PEMBELAJARAN MATA KULIAH : ANALISIS REAL I

(1)

KERANGKA MODUL PEMBELAJARAN

MATA KULIAH : ANALISIS REAL I

Nama

: Mans Lumiu Mananohas, S.Si, M.Si

Institusi

: Universitas Sam Ratulangi Manado

Fakultas

: MIPA

(2)

LEMBAR PENGESAHAN

Judul Modul Ajar

: Logika dan Fungsi

Nama Dosen Penyusun

: Mans Lumiu Mananohas, S.Si, M.Si

Mengetahui dan Menyetujui: Manado, ... 2015

Dekan Penyusun,

(Prof. Dr. Benny Pinontoan, M.Sc) (Mans Lumiu Mananohas, S.Si, M.Si) NIP. 196606041995121001 NIP. 198406112008121002

Menyetujui, Mengesahkan,

Direktur Eksekutif PIU, Ketua LP3,

Prof. Dr. Ir. Dody M.J. Sumajouw, M.Eng, Ph.D Prof. Dr. Ir. Odi R. Pinontoan, MS NIP. 195812171988031002 NIP. 19581007198621002

(3)

RANCANGAN PEMBELAJARAN

Mata Kuliah : Pengantar Analisis Real Semester : 4 (Empat); Kode: MAT 217; sks: 3 (3-0)

Program Studi : Matematika

CAPAIAN PEMBELAJARAN:

a. Menguasai konsep teoretis matematika mengenai subhimpunan bilangan real

Sub: menguasai konsep, prinsip-prinsip dan aplikasi Matematika pada bidang pengantar analisis real;

b. Menguasai dan mampu menggunakan ketrampilan berbahasa Indonessia terutama dalam bidang akademik, seperti penulisan ilmiah dan presentasi lmiah

c. Menguasai dan mampu menggunakan ketrampilan berbahasa Indonessia terutama dalam bidang akademik, seperti penulisan ilmiah dan presentasi lmiah

d. Merekonstruksi, memodifikasi, menganalisis model matematis dari suatu sistem/masalah, mengkaji keakuratan model dan kemanfaatan model dan menarik kesimpulan yang kontekstual.

e. Mampu merekonstruksi, memodifikasi, menganalisis/berpikir secara terstruktur terhadap permasalahan matematis dari suatu sistem/masalah mengkaji keakuratan dan menginterpretasikannya.

(4)

Matriks Pembelajaran : Ming Kemampuan akhir yang diharapkan Bahan Kajian/Materi Pembelajaran Bentuk Pembelajaran Waktu Belajar (Menit)

Deskripsi Tugas Luaran

Kriteria Penilaian (Indikator) Bob ot Nil ai (%) Referensi 1 2 3 4 5 6 7 8 1 Pendahuluan Mahasiswa dapat mengingat kembali tentang konsep logika dan himpunan maupun metode pembuktian sehingga dapat menerapkannya dalam menyelesaikan soal Penjelasan Umum Pelaksanaan Perkuliahan Subhimpunan Bilangan Real Discussion Pre Test Contextual Instruction Small Group Discussion 150

Mahasiswa berdiskusi dan menyelesaikan

permasalahan yang dititik beratkan pada penggunaan logika matematika, himpunan dan metode pembuktian. Kesepakatan Dosen dengan Mahasiswa - Keaktifan dalam Proses Belajar Mengajar - Ketepatan dan Kebenaran dalam menyelesaikan soal latihan 10 5 2-5 Mahasiswa dapat memahami konsep-konsep penting dalam bilangan real , definisi dan sifat-sifatnya serta dapat

menerapkannya dalam

menyelesaikan soal

Bilangan Real Contextual Instruction

Small Group Discussion

600 - Mahasiswa membahas konsep Bilangan real - Diskusi kelas

- Mahasiswa mengikuti tes formatif Hasil Tugas Penyelesaian Soal Ringkasan hasil diskusi kelompok - Keaktifan dalam Proses Belajar Mengajar - Ketepatan dan Kebenaran dalam menyelesaikan soal latihan 25 1, 2, 3, 4 6-7 Mahasiswa dapat memahami teori tentang barisan, definisi dan sifat-sifatnya serta dapat menerapkannya Barisan Contextual Instruction Small Group Discussion 300 - Mahasiswa membahas dasar-dasar barisan, definisi dan sifat-sifatnya serta dapat menerapkannya dalam menyelesaikan soal-Hasil Tugas Penyelesaian Soal Tugas dalam kelompok kecil - Keaktifan dalam Proses Belajar Mengajar - keaktifan dalam diskusi kelompok - Ketepatan dan 15 1, 2, 3, 4

(5)

dalam

menyelesaikan soal

soal latihan yang diberikan dosen. Kebenaran dalam menyelesaikan soal latihan 9-10 Mahasiswa dapat memahami teori tentang sub barisan dan barisan Cauchy, definisi, teorema dan sifat-sifatnya serta dapat menerapkannya dalam

menyelesaikan soal

Sub Barisan dan Barisan Cauchy Contextual Instruction Small Group Discussion 300 - Mahasiswa membahas tentang penentuan sub barisan

- Mahasiswa

mendiskusikan tentang barisan cauchy dalam kelompok kecil dan menyelesaikan soal-soal latihan yang diberikan dosen. Hasil Tugas Penyelesaian Soal Tugas dalam kelompok kecil - Keaktifan dalam Proses Belajar Mengajar - Ketepatan dan Kebenaran dalam menyelesaikan soal latihan 10 1, 2, 3, 4 11-13 Mahasiswa dapat memahami teori dereti, teorema, definisi dan sifat-sifatnya serta dapat menerapkannya dalam menyelesaikan soal Deret Contextual Instruction Small Group Discussion 450 - Mahasiswa membahas teori tentang deret - Mahasiswa

mendiskusikan

teorema-teorema yang berhubungan dengan deret dalam kelompok kecil - Mahasiswa mengikuti tes formatif Hasil Tugas Penyelesaian Soal Tugas dalam kelompok kecil - Keaktifan dalam Proses Belajar Mengajar - Ketepatan dan Kebenaran dalam menyelesaikan soal latihan 20 1, 2, 3, 4 14-16 Mahasiswa dapat memahami tentang limit fungsi dan kekontinuan fungsi, definisi, teorema dan sifat-sifatnya serta dapat menerapkannya dalam menyelesaikan soal

Limit fungsi dan Kekontinuan fungsi Contextual Instruction Small Group Discussion 450 - Mahasiswa membahas konsep limit fungsi - Mahasiswa mendiskusikan kriteria dan teorema-teorema yang berhubungan dengan kekontinuan fungsi - mahasiswa mengikuti tes formatif Hasil Tugas Penyelesaian Soal Tugas dalam kelompok kecil Tes formatif - Keaktifan dalam Proses Belajar Mengajar - Ketepatan dan Kebenaran dalam menyelesaikan soal latihan 20 1, 2, 3, 4

(6)

FORMAT RANCANGAN TUGAS

Nama Mata Kuliah : Pengantar Analisis Real Sks : 3 (3-0)

Program Studi : Matematika Pertemuan ke : 1

Fakultas : MIPA

A. TUJUAN TUGAS:

Menjelaskan Teori Dasar Himpunan B. URAIAN TUGAS:

1. Obyek Garapan: Logika matematika 2. Batasan yang harus dikerjakan:

a) Pernyataan matematika

b) Bukti dan Metode Pembuktian c) Himpunan dan Notasinya

3. Metode/Cara Pengerjaan (acuan cara pengerjaan):

- Mahasiswa mendiskusikan permasalahan yang sudah disusun dosen dalam kelompok kecil - Permasalahan yang didiskusikan:

1) Jelaskan bagaimana menentukan nilai pernyataan matematika! berikan contohnya!

2) Bagaimana membuktikan atau membantah suatu pernyataan matematika dengan menggunakan metode pembuktian! 3) Sebutkan jenis-jenis notasi yang dipakai dalam teori himpunan!

- Hasil diskusi kelompok didiskusikan di kelas - Mahasiswa mengikuti tes formatif

4. Deskripsi Luaran tugas yang dihasilkan:

Hasil tes formatif (perorangan) yang dilaksanakan selama 50 menit terakhir pada tahap ini. C. KRITERIA PENILAIAN (10%):

- Keaktifan dalam diskusi kelompok - Hasil tes formatif perorangan

(7)

RUBRIK PENILAIAN

KRITERIA 1:Keaktifan dalam diskusi (20%) DIMENSI Sangat Memuaskan (≥80) Memuaskan (65-79) Batas (55-64) Kurang Memuaskan (40-54) Di bawah standard (<40) SKOR Keaktifan mencari literatur

Sangat aktif Aktif Cukup aktif Kurang aktif Tidak aktif

Keaktifan berdiskusi

TOTAL

KRITERIA 2: Hasil tes formatif perorangan (80%) DIMENSI Sangat Memuaskan (≥80) Memuaskan (65-79) Batas (55-64) Kurang Memuaskan (40-54) Di bawah standard (<40) SKOR Skor

(8)

Program Studi : Matematika Pertemuan ke : 2-5

Mahasiswa dapat memahami operasi pada himpunan, definisi serta dapat menerapkannya dalam menyelesaikan soal B. URAIAN TUGAS:

1. Obyek Garapan: Bilangan real 2. Batasan yang harus dikerjakan:

a) Sifat aljabar Bilangan Real b) Sifat urutan Bilangan Real c) Ketaksamaan Bernoulli d) Nilai mutlak

e) Ketaksamaan segitiga

f) Sifat Kelengkapan Bilangan Real g) Supremum dan Infimum

h) Kepadatan Bilangan real i) Interval

i) Representasi biner dan Representasi desimal 3. Metode/Cara Pengerjaan (acuan cara pengerjaan):

- Mahasiswa mendiskusikan permasalahan yang sudah disusun dosen dalam kelompok kecil. Permasalahan yang dibahas meliputi:

1) Jelaskan bagaimana sifat aljabar bilangan real! 2) Jelaskan bagaimana sifat urutan bilangan real! 3) Jelaskan bagaimana ketaksamaan Bernoulli! 4) Jelaskan bagaimana nilai mutlak!

5) Jelaskan bagaimana ketaksamaan segitiga!

6) Jelaskan bagaimana sifat kelengkapan bilangan real!

(9)

8) Jelaskan bagaimana kepadatan bilangan real! 9) Jelaskan bagaimana interval!

10) Jelaskan bagaimana representasi biner dan representasi desimal! 4. Deskripsi Luaran tugas yang dihasilkan:

Hasil tes formatif (perorangan) yang dilaksanakan selama 50 menit terakhir pada tahap ini. C. KRITERIA PENILAIAN (10%):

- Keaktifan dalam diskusi kelompok

- Kualitas ringkasan hasil kajian perorangan

Sangat aktif Aktif Cukup aktif Kurang aktif Tidak aktif TOTAL

(10)

Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar logika, definisi dan sifat-sifatnya serta dapat menerapkannya dalam menyelesaikan soal B. URAIAN TUGAS:

1. Obyek Garapan: Barisan 2. Batasan yang harus dikerjakan:

a. Barisan bilangan real b. Kekonvergenan Barisan c. Teorema Limit d. Barisan terbatas e. Barisan Monoton f. Limit superior g. Limit inferior

1) Jelaskan bagaimana barisan bilangan real! Berikan contohnya! 2) Jelaskan bagaimana membuktikan kekonvergenan barisan! 3) Uraikan dan jelaskan kembali bukti dari teorema tentang limit!

4) Jelaskan bagaimana membedakan barisan terbatas! Berikan contohnya! 5) Jelaskan bagaimana membedakan barisan monoton! Berikan contohnya! 6) Jelaskan bagaimana limit superior!

7) Jelaskan bagaimana limit inferior!

8) Jelaskan bagaimana pernyataan tunggal dan negasinya 4. Deskripsi Luaran tugas yang dihasilkan:

(11)

C. KRITERIA PENILAIAN (10%): - Keaktifan dalam diskusi kelompok - Hasil tes formatif perorangan

TOTAL

(12)

Mahasiswa dapat menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk dan sifat-sifat yang berhubungan dengan pernyataan majemuk serta dapat menerapkannya dalam menyelesaikan soal

B. URAIAN TUGAS:

1. Obyek Garapan: Sub barisan dan barisan Cauchy. 2. Batasan yang harus dikerjakan:

a. Sub-Barisan

b. Teorema sub barisan monoton c. Kriteria kedivergenan

d. Teorema Bolzano-Weierstrass e. Kriteria kekonvergenan Cauchy f. Barisan Cauchy

g. Barisan kontraktif

1) Jelaskan bagaimana sub barisan! Berikan contohnya!

2) Jelaskan bagaimana teorema sub barisan monoton! Uraikan dan jelaskan kembali buktinya! Berikan contoh penggunaannya dalam soal!

3) Jelaskan bagaimana kriteria kekonvergenan suatu sub barisan!

4) Jelaskan bagaimana teorema Bolzano-Weierstrass! Uraikan dan jelaskan kembali buktinya! Berikan contoh penggunaannya dalam soal!

5) Jelaskan bagaimana membuktikan kekonvergenan barisan dengan menggunakan kriteria Cauchy! 6) Jelaskan bagaimana barisan Cauchy! Berikan contohnya!

7) Jelaskan bagaimana barisan kontraktif! Berikan contohnya! 4. Deskripsi Luaran tugas yang dihasilkan:

(13)

C. KRITERIA PENILAIAN (10%): - Keaktifan dalam diskusi

- Hasil tes formatif perorangan

(14)

Mahasiswa dapat memahami teori relasi dan fungsi, teorema, definisi dan sifat-sifatnya serta dapat menerapkannya dalam menyelesaikan soal

1. Obyek Garapan: Deret

2. Batasan yang harus dikerjakan: a. Kekonvergenan Deret

b. Deret dengan Suku-suku Positif c. Deret harmonik

d. Sifat-sifat Dasar Deret e. Uji kekonvergenan Deret f. Kriteria Cauchy untuk deret g. Kekonvergenan Mutlak h. Kekonvergenan Bersyarat

- Mahasiswa mendiskusikan permasalahan yang sudah disusun dosen dalam kelompok kecil. Bahan diskusi ialah sebagai berikut:

1) Jelaskan bagaimana kekonvergenan deret! Berikan contoh deret konvergen! 2) Jelaskan bagaimana deret dengan suku-suku positif! Berikan contohnya! 3) Jelaskan bagaimana deret harmonik! Berikan contohnya!

4) Jelaskan bagaimana sifat-sifat dasar deret!

5) Sebutkan uji kekonvergenan deret! Jelaskan masing-masing uji kekonvergenan deret serta berikan contoh penggunaannya dalam soal!

6) Jelaskan bagaimana kriteria Cauchy untuk deret!

(15)

8) Jelaskan bagaimana kekonvergenan bersyarat serta berikan contohnya! 4. Deskripsi Luaran tugas yang dihasilkan:

Hasil tes formatif (perorangan) yang dilaksanakan selama 50 menit terakhir pada tahap ini. C. KRITERIA PENILAIAN (10%):

- Keaktifan dalam diskusi - Hasil tes formatif perorangan

Sangat aktif Aktif Cukup aktif Kurang aktif Tidak aktif Keaktifan

berdiskusi

TOTAL

(16)

Mahasiswa dapat memahami tentang operasi pada fungsi, definisi dan sifat-sifatnya serta dapat menerapkannya dalam menyelesaikan soal.

1. Obyek Garapan: Limit fungsi dan kekontinuan fungsi. 2. Batasan yang harus dikerjakan:

a. Limit Fungsi di Suatu Titik b. Kekontinuan di Suatu Titik c. Sifat-sifat limit fungsi d. Teorema kekontinuan e. Kekontinuan Seragam f. Kekontinuan pada Interval

g. Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 3. Metode/Cara Pengerjaan (acuan cara pengerjaan):

- Mahasiswa mendiskusikan permasalahan yang sudah disusun dosen dalam kelompok kecil. Bahan diskusi ialah sebagai berikut:

a) Jelaskan bagaimana limit fungsi di suatu titik!

b) Jelaskan bagaimana kekontinuan di suatu titik! Berikan contoh fungsi kontinu di suatu titik! c) Jelaskan bagaimana sifat-sifat limit fungsi!

d) Jelaskan bagaimana teorema kekontinuan! Uraikan dan jelaskan kembali buktinya! Berikan contoh penggunaannya! e) Jelaskan bagaimana kekontinuan seragam! Berikan contohnya!

f) Jelaskan bagaimana kekontinuan pada interval! Berikan contohnya! g) Sebutkan dan jelaskan sifat-sifat kekontinuan pada interval!

4. Deskripsi Luaran tugas yang dihasilkan:

(17)

C. KRITERIA PENILAIAN (10%): - Keaktifan dalam diskusi kelompok - Hasil tes formatif perorangan

(18)

GARIS BESAR MATERI PEMBELAJARAN

No. Pertemuan Materi Pembelajaran Garis Besar Materi Pembelajaran

1. 1 Penjelasan Umum

Pelaksanaan Perkuliahan Subhimpunan Bilangan real

Pertemuan membahas capaian pembelajaran, metode dan strategi dalam pembelajaran, evaluasi, serta tugas-tugas yang akan dicapai selama pembelajaran

Pertemuan ini akan membahas: - Subhimpunan Bilangan real - Review kalkulus

2. 2-5 Bilangan Real Pertemuan ini akan membahas: - Sifat aljabar Bilangan Real - Bilangan rasional dan irasional - Sifat urutan Bilangan Real - Ketaksamaan Bernoulli - Nilai mutlak

- Ketaksamaan segitiga

- Sifat Kelengkapan Bilangan Real - Supremum dan Infimum

- Sifat Archimedes

- Kepadatan Bilangan real

3. 6-8 Barisan Pertemuan ini akan membahas:

- Barisan bilangan real - Kekonvergenan Barisan - Teorema Limit

- Barisan terbatas - Barisan Monoton 4. 8-10 Sub barisan dan barisan

Cauchy

Pertemuan ini akan membahas: - Sub-Barisan

- Teorema sub barisan monoton - Kriteria divergen

(19)

- kriteria kekonvergenan Cauchy - Barisan Cauchy

- Barisan kontraktif

5. 11-13 Deret Pertemuan ini akan membahas:

- Kekonvergenan Deret

- Deret dengan Suku-suku Positif - Deret harmonik

- Sifat-sifat Dasar Deret - Uji kekonvergenan Deret - Kriteria Cauchy untuk deret 6. 14-16 Limit dan Kekontinuan Pertemuan ini akan membahas:

- Limit Fungsi di Suatu Titik - Kekontinuan di Suatu Titik - Sifat-sifat Limit fungsi - Teorema kekontinuan - Kekontinuan Seragam - Kekontinuan pada Interval