Pada subbab ini akan diberikan definisi tentang graf serta notasi-notasi yang akan dipergunakan dalam pembahasan selanjutnya.
Secara sederhana, graf dinotasikan dengan G merupakan himpunan tak kosong dari titik-titik selanjutnya disebut vertex yang dihubungkan oleh garis selanjutnya disebut edge dari graf G tersebut. Secara matematika, sebuah graf G terdiri dari dua himpunan, yaitu:
1. Himpunan vertex yang dinotasikan dengan V = {v1, v2, · · · , vn} dengan i ada-lah bilangan bulat positif dan vi adalah elemen dari himpunan V dan n(V ) 6= 0. 2. Himpunan edge dari graf G yang dinotasikan dengan E merupakan himpunan
bagian dari pasangan tak berurut dari elemen-elemen di V .
Jika diberikan notasi e = (v1, v2) adalah sebuah edge dari graf G, maka v1 disebut sebagai vertex awal dan v2 sebagai vertex akhir.
Gambar 2.1 : Graf dengan 5 vertex dan 6 edge
Andaikan G sebuah graf. Misalkan u dan v adalah vertex di G. Sebuah jalan dengan panjang m dari u ke v adalah sebuag barisan m edge dalam bentuk
u = v0 ↔ v1 ↔ · · · ↔ vm−1 ↔ vm = v
Dengan m ≥ 0, v0 = u dan vm = v. Jika u = v maka jalan tersebut dikatakan jalan tertutup dan jika u 6= v maka jalan tersebut dikatakan jalan terbuka. Sebuah lintasan adalah sebuah jalan tanpa perulangan vertex kecuali mungkin kedua vertex ujungnya. Jika kedua vertex ujungnya sama maka dinamakan lintasan tertutup atau lebih dikenal dengan sebuah lingkaran. Loop adalah lingkarang yang panjangnya satu. Dengan menggunakan graf pada Contoh 2.1 akan dijelaskan beberapa definisi diatas.
1. Barisan edge v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ v1 ↔ v4 ↔ v5 adalah sebuah jalan yang menghubungkan v1 dengan v5, tetapi bukan sebuah lintasan karena ada peru-langan vertex v1.
2. Barisan edge v3 ↔ v1 ↔ v4 adalah sebuah lintasan dari v3 ke v4. 3. Barisan edege v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ v1 adalah sebuah lingkaran.
2.2 Matriks Ketetanggan dari Graf
Gambar 2.2 : Graf dengan 6 vertex dan 7 edge
Matriks ketetanggaan dari graf di atas adalah sebagai berikut.
A(D) = 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0
2.3 Primitifitas dari Graf Terhubung
terhubung jika terdapat sebarang satu vertex atau lebih sehingga tidak terdapat jalan dari u dan v.
Contoh 2.3 Berikut contoh graf terhubung dan tidak terhubung.
Gambar 2.3 : (a) Graf terhubung dan (b) graf tidak terhubung
Gambar 2.3(a) menunjukan graf terhubung karena terdapat jalan dari setiap pasang-an vertex di G, dpasang-an gambar 2.3(b) menunjukpasang-an graf ypasang-ang tidak terhubung karena tidak terdapat jalan yang menghubungkan v5 dengan vertex lainnya.
Berikut diberikan syarat perlu dan cukup agar satu graf terhubung G adalah graf primitif.
Teorema 2.1 Andaikan G adalah suatu graf. Graf G dikatakan primitif jika dan hanya jika terhubung dan mengandung lingkaran ganjil.
Gambar 2.4 : Contoh graf primitif
Graf diatas merupakan graf primitif karena memuat lingkaran dengan panjang ganjil yakni lingkaran v1 → v2 → v3 → v1 dengan panjang 3.
Contoh 2.5 Berikut contoh graf primitif jarang
Gambar 2.5 : Graf dengan 5 vertex dan 6 edge
Gambar 2.6 : Graf dengan 5 vertex dan 7 edge
Kedua graf diatas merupakan graf dengan 5 vertex dan scrambling index 1. Gambar 2.5 dibentuk dengan 6 edge, sedangkan Gambar 2.6 dibentuk dengan 7 edge sehing-ga graf pada Gambar 2.5 merupakan graf primitif jarang karena dibentuk densehing-gan jumlah edge yang minimum dibandingkan dengan graf pada Gambar 2.6.
2.4 Matriks Tak Negatif
Q = 17 5 1 9 11 10 matriks positif
2.5 Scrambling Index Graf Primitif
2.5.1 Scrambling Index Lokal Graf Primitif
Untuk u, v ∈ V (G)(u 6= v), scrambling index lokal dari setiap pasangan dua vertex berbeda di G didefinisikan sebagai,
ku,v(G) =min{k : u k
↔ w dan v ↔ w untuk semua w ∈ V (G)}k
2.5.2 Scrambling Index Graf Primitif
Scrambling index dari sebuah graf primitif G, dinotasikan dengan k(G), adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan dua vertex u dan v yang berbeda terdapat sebuah vertex w dengan sifat terdapat sebuah jalan dari u ke w dan sebuah jalan dari v ke w dengan panjang k,
atau
k(G) = max u,v∈V (G)
{ku,v(G)}
Contoh 2.6 Perhatikan Contoh 2.2 Menurut definisi, diperoleh scrambling index
lokal dari graf primitif di atas sebagai berikut, kv1,v2(G) =min{2, 2, 1, 2, 3, 2} = 1 kv1,v3(G) =min{2, 1, 2, 3, 4, 3} = 1 kv1,v4(G) =min{2, 2, 1, 2, 3, 2} = 1 kv1,v5(G) =min{3, 3, 2, 3, 4, 3} = 2 kv1,v6(G) =min{2, 2, 1, 2, 3, 2} = 1 kv2,v3(G) =min{1, 2, 2, 4, 4, 3} = 1 kv2,v4(G) =min{2, 2, 1, 2, 3, 2} = 1 kv2,v5(G) =min{3, 3, 2, 3, 4, 3} = 2 kv2,v6(G) =min{2, 2, 1, 2, 3, 2} = 1 kv3,v4(G) =min{2, 2, 3, 4, 4, 4} = 2 kv3,v5(G) =min{3, 3, 2, 1, 2, 1} = 1 kv3,v6(G) =min{2, 2, 3, 4, 5, 4} = 2 kv4,v5(G) =min{3, 3, 4, 5, 6, 5} = 3 kv4,v6(G) =min{2, 2, 1, 2, 1, 2} = 1 kv5,v6(G) =min{3, 3, 4, 5, 6, 5} = 3
Dari definisi diperoleh k(G) = max
u,v∈V (G){ku,v(G)} = 3
0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0
Graf pada Contoh 2.2 tidak memiliki scrambling index 1, karena setidaknya ada dua baris pada matriks A1, yaitu baris pertama dan baris kelima tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
2. Untuk k = 2, diperoleh A2 = 2 1 1 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1 1 4 0 2 0 1 1 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 1 1 0 2 0 2
Graf pada Contoh 2.2 tidak memiliki scrambling index 2, karena setidaknya ada 2 baris pada matriks A2, yaitu baris keempat dan baris kelima tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama.
