BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
AndaikanG = (V, E)notasi graf dengan himpunan titikV =V(G) dan himpunan sisiE =E(G). Jikaudan v adalah titik di G, maka sebuah jalan dengan panjang t yang menghubungkan titik u dan v di G adalah barisan t sisi dalam bentuk {u = v0, v1},{v1, v2},{v2, v3}, ...,{vt−1, vt = v}, juga dapat dinotasikan dengan
u=v0 ↔v1 ↔v2 ↔ · · · ↔vt−1 ↔vt=v. Secara sederhana, sebuah jalan dengan panjangt yang menghubungkan titiku danv dinotasikan dengan u←→t v. Dalam sebuah jalan, titik dan sisi tidak harus berbeda. Sebuah jalan dikatakan terbuka bilau 6=v dan dikatakan tertutup bilau=v. Jalan tanpa perulangan titik, kecuali u = v disebut sebagai lintasan. Sebuah lintasan tertutup disebut sebagai cycle. Jarak u dan v, d(u, v), adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan u dan v. Untuk sembarang himpunan X ⊆ V dan sebuah titik u /∈ X, jarak antara u dan X didefinisikan sebagai d(u, X) = min{d(u, x) : x∈X}. Jikau∈X didefinisikan d(u, X) = 0.
Sebuah graf G dikatakan terhubung, jika untuk setiap pasangan titik u dan v diG terdapat jalan yang menghubungkan titiku dan v. Sebuah graf terhubung G merupakan primitif, jika terdapat bilangan bulat positif k sedemikian hingga untuk setiap pasangan titiku dan v di G terdapat jalanu ←→k v. Bilangan bulat positif terkecilkdikatakan sebagai eksponen dariG, dinotasikan exp(G). Jadi, graf Gprimitif jika dan hanya jika G memilikicycle dengan panjang ganjil. Beberapa hasil eksponen dari graf primitifG dapat ditemukan di Fuyi et al. (1999), Kim et al. (2006), Kimet al. (2007).
Akelbek dan Kirkland (2009a) memperkenalkan gagasan Scrambling index dari graf. Scrambling index dari graf primitif G, dinotasikan k(G) merupakan bilangan bulat positif terkecilk, sehingga untuk setiap pasangan titik yang berbeda u dan v di G terdapat titik w sedemikian sehingga terdapat jalan u ←→k w dan v ←→k w. Untuk pasangan titik berbeda u dan v di G, scrambling index lokal u dan v adalah ku,v(G) = minw∈V{k :u
k
←→w, v ←→k w}.
2
Karena scrambling index lokalu dan v dari graf primitifG adalah ku,v(G),
maka untuk bilangan bulat positifℓ ≥ku,v(G) terdapat w′ sedemikian hingga ada
jalan u←→ℓ w′
dan v ←→ℓ w′
, yang dapat dinyatakan dengan
k(G) = maxu,v∈G{ku,v(G)}.
Chen dan Liu (2010) memperlihatkan bahwa untuk graf primitif G pada n titik dengancycle sepanjang s, k(G)≤(s−1)/2 + (n−s). Batas ini hanya dapat dicapai satu tipe graf primitif, yaitu graf primitif G dengan cycle ganjil Cs, dan
maxv∈V{d(v, Cs)}=n−s, seperti Gambar 1.1.
Gambar 1.1 Contoh graf dengan maxv∈V{d(v, Cs)}=n−s
Namun, untuk tipe graf primitif lainnya, dengan maxv∈V{d(v, Cs)}< n−s,
maka batask(G)≤(s−1)/2 + (n−s) tidak dapat dicapai. Tujuan dari tulisan ini adalah menemukan batas atas scrambling index dari graf primitifG dengan cycle ganjil Cs sepanjang s dan maxv∈V{d(v, Cs)} ≤ n−s. Tulisan ini juga membahas
family dari graf primitif yang scrambling index mencapai batas atas yang telah ditemukan.
1.2 Perumusan Masalah
Untuk graf primitif, batas atas scrambling index k(G)≤(s−1)/2 + (n−s) hanya dapat dicapai satu tipe graf, tetapi tidak dapat dicapai tipe graf lainnya.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk menemukan batas atas yang tidak hanya dapat dicapai satu tipe graf, tetapi juga dapat dicapai tipe graf lainnya.
3
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah ditemukannya batas atas baru yang tidak hanya dapat dicapai satu tipe graf, tetapi juga dapat dicapai tipe graf lainnya, sehingga penerapan batas atas scrambling index dapat diperluas untuk graf-graf primitif tertentu lainnya. Penelitian ini juga bermamfaat bagi peneliti lain yang ingin meneliti dengan masalah dan konsep yang sama dan untuk memperkaya literatur dibidang graf.
1.5 Metode Penelitian
Batas atas baru untuk scrambling index dari graf primitif diperoleh dengan me-ngaitkan pada parameter maxv∈V{d(v, Cs)}dengan Cs adalah cycle ganjil terkecil
diG yaitu:
1. Untuk setiapu, v ∈V diperlihatkan terdapat lintasan dengan panjang (s−1) + 2 maxv∈V{d(v, Cs)}.
2. Untuk graf primitifGcukup adanya jalan genap≤(s−1) + 2 maxv∈V{d(v, Cs)}.
