Pendugaan hipotesis satu rata rata

STATISTIKA

“PENDUGAAN DAN PENGUJIAN HIPOTESIS

RATA-RATA SATU POPULASI”

Kelompok 1

Anggota :

Febrianto 14303241039 Anisa Riyani 14303241044 Ariviani Devi A 14303241054 Sri Sariyati 14303244003 Yunita Febrianis 14303244005 Dwi Aristiawan 14303244008

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

PENDUGAAN RATA-RATA SATU POPULASI

Pendugaan rata-rata populasi (µ) dilakukkan dengn menggunakan rata-rata sampel (

´

x ) dan memperhatikan simpangan baku populasinya (σ). Selang kepercayaan (1-α) 100% untuk µ jika simpangan baku populasi (σ) diketahui adalah

´ x−Z_α

2

σ

√

n<μ< ´x+Zα2

σ

√

n

Apabila simpangan baku populasi (σ) tidak diketahui, maka selang kepercayaan (1-α) 100% untuk µ adalah

´ x−tα

2;n−1

s

√

n<μ< ´x+tα2;n−1

s

√

n

Apabila simpangan baku populasi (σ) tidak diketahui tetapi n ≥30 , maka selang kepercayaan (1-α) 100% untuk µ adalah

´ x−Z_α

2

s

√

n<μ<´x+Zα2

s

√

n

Lihat tabel A.4baris terakhir nilai t akan sma dengan nilai z Contoh

1. Rata-rata hasil ujian akhir dari 40 siswa SMA ‘X’ yang diambil secara acak adalah 7,5 dengan simpangan baku 1,4. Tentukan selang kepercayaan 95% dari nilai rata-rata seluruh siswa SMA ‘X’ tersebut!

Jawab:

Dalam hal ini simpangan baku populasi (σ) tidak diketahui tetapi n ≥30 . Selang kepercayaan 95% untuk µ adalah

´ x−Z_α

2

s

√

n<μ<´x+Zα2

s

√

n

7,5−Z_0,025 1,4

√

40<μ<7,5+Z0,025 1,4

√

40

7,5−1,96 1,4

√

40<μ<7,5+1,96 1,4

√

40 7,066<μ<7,934

2. Suatu mesin minuman diatur sedemikian rupa sehingga banyaknya minuman yang dikeluarkan berdistribusi normal dengan simpangan baku 1,5 desiliter. Hitunglah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata semua minuman yang dikeluarkan mesin tersebut bila sampel acak 36 cangkir minuman berisi rata-rata 22,5 desiliter. Jawab :

Dalam soal ini simpangan baku populasinya (σ) diketahui yaitu 1,5 desiliter. Selang kepercayaan 95% untuk µ adalah

´ x−Z_α

2

σ

√

n<μ< ´x+Zα2

σ

√

n=¿

22,5−Z_0,025 1,5

√

36<μ<22,5+Z0,025 1,5

√

36=¿ 22,5−1,96 1,5

√

36<μ<22,5+1,96 1,5

√

36=¿

22,01<μ<22,99

Jadi, selang kepercayaan 95% bagi µ adalah 22,01<μ<22,99 .

3. Sampel aak 8 batang rokok merek tertentu mempunyai kadar tar rata-rata 18,6 mg dengan simpangan baku 2,4 ml buatlah selang kepercayaan 98% untuk rata-rata sesungguhnya kadar tar rokok merek tersebut dengan menganggap bahwa distribusinya normal.

Jawab:

Dalam hal ini simpangan baku populasi (σ) tidak diketahui. Selang kepercayaan 98% untuk µ adalah

´ x−t_α

2;n−1

s

√

n<μ< ´x+tα2;n−1

s

√

n

18,6−t_0,02

2 ;7 2,4

√

8<μ<18,6+t0,022 ;7 2,4

√

8

18,6−t_0.012,4

√

8<μ<18,6+t0.01 2,4

√

8

18,6−2,9982,4

√

8<μ<18,6+2,998 2,4

√

8 14,7535<μ<22,4465

Jadi, selang kepercayaan 98% bagi µ adalah 14,7535<μ<22,4465

Hipotesis statistik, yang lazim dinyatakan secara singkat hipotesis saja adalah

pernyataan tentang sifat populasi atau pernyataan tentang parameter populasi atau pernyataan tentang distribusi populasi yang tidak diketahui kebenarannya karena informasi atau data yang terkumpul atau akan dikumpulkan hanya dari sampel.

Dalam pengujian hipotesis kita sering menggunakan istilah “menerima” atau

“menolak” suatu hipotesis. Namun demikian perlu disadari bahwa dalam pengujian hipotesis kita tidak mencari atau menemukan bukti benar salahnya hipotesis. Dengan kata lain , kita tidak akan menyimpulkan bahwa hipotesis dapat diterima atau ditolak berdasarkan apa yang kita peroleh dari sampel.

Secara garis besar, hipotesis dibedakan atas hipotesis nol atau hipotesis nihil dan hipotesis tandingan atau hipotesis alternatif. Hipotesis nol atau hipotesis nihil biasanya dilambangkan dengan H0 dan hipotesis tandingan atau hipotesis alterntif dilambangkan

dengan Ha atau H1.

Secara umum, langkah-langkah pengujian hipotesis adalah sebagai berikut : 1. Menentukan hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatifnya (H1).

2. Menentukan taraf signifikansi (α). 3. Memilih sttistik uji yang sesuai. 4. Menentukan kriteria keputusan. 5. Melakukan perhitungan.

6. Menarik kesimpulan.

Untuk pengujian hipotesis rata-rata populasi dapat ditentukan sebagai berikut : Hipotesis Statistik Uji Kriteria Keputusan H0; µ = µ0

Ha; µ ≠ µ0

Jika σ diketahui,

Jika σ tidak diketahui, H0 ditolak jika t←tα

Jika σ tidak diketahui,

t=x´−μ0 s

√

n

Jika σ diketahui, H0 ditolak jika Z >Zα Jika σ tidak diketahui, H0 ditolak jika t> tα;n-1 H0; µ = µ0 atau H0; µ ≥ µ0

Ha; µ < µ0 H0; µ< µ0

Keterangan :

Yang dimaksud Zα adalah bilangan Z sedemikian sehingga luas daerah dibawah kurva normal baku di atas sumbu Z dari Zα ke kenan adalah α atau P( Z >Zα ) =α.

Contoh

1. Pengusaha lampu pijar A mengatakn bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar 800 jam. Akhir- akhir ini timbul dugaan bahwa masa pakai lampu itu telah berubah. Untuk menentukan hal ini. Dilakukan penelitian dengn jalan menguji 50 lampu. Ternyata rata-ratany 792 jam. Dari pengalaman, diketahui bahwa simpangan baku masa hidup lampu 60 jam. Selidiki dengan taraf signifikansi 0,05 apakah kualitas lampu sudah berubah atau belum!

Jawab:

Diketahui: µ0 =800 jam, n= 50, ´x = 792 jam, σ=60 jam Hipotesis H0; µ = 800 jam

Ha; µ ≠ 800 jam Taraf signifikansi: α=0,05 Statistik uji

:

Z=´x−μ0 σ

√

n

Kriteria keputusan: H0 ditolak jika Z←Zα

2 atau

α

2

¿

Z>Z¿

yaitu z < -1,96 tau z >1,96

Hitungan: Z=

´ x−μ₀

σ

√

n

= Z=

792−800 60

√

50

= -0,94

Kesimpulan:

Karena z=-0,94 yang berarti -1,94<z<1,96 maka H0 diterima.

Jadi: pada taraf signifikansi 0,05 cukup alasan untuk mengnggap bahwa kualitas lampu belum berubah.

menghasilkan 16,9 unit. Pengusaha bermaksud untuk menggunakan metode baru apabia metode ini memang menghasilkan rata-rata lebih dari 16 unit. Dari data yang diperoleh, apakah cukup alasan bagi pengusha tersebut untuk mengganti metode yang baru? Gunakan taraf signifikansi 0,05.

Jawab:

Diketahui : µ0 = 16 unit, σ2= 2,3 , n=20, ´x =16,9 unit

 Hipotesis : H0; µ ≤ 16 unit Ha; µ > 16 unit

 Taraf signifikansi: α = 0,05

 Statistik Uji:

z=´x−μ0 σ

√

n

 Kriteria keputusan : H0 ditolak jika z > z0,05 yaitu z > 1,645

 Hitungan:

z=16,9−16

√

2,3

√

20

=

2,65

 Kesimpulan:

Karenaz= 2,65 yang berarti z> 1,645

maka

H0 ditolak.

Jadi: pada taraf signifikansi 0,05 cukup alasan bagi pengusaha tersebut untuk menggunakan metode yang baru.

3. Dikatakan bahwa dengan menyuntikkan semacam hormon tertentu kepada ayam akan menambah berat telurnya menjadi rata-rata seberat 4,5 gram. Sampel acak yang terdiri atas 30 butir dari ayam yang telah diberi suntikan hormon tersebut memberikan rata-rata bert 4,4 gram dan simpangan baku 0,8 gram. Cukup beralasankah untuk

menerima pernyataan bahwa rata-rat berat telur paling sedikit 4,5 gram? Gunakan taraf signifikansi 0,01.

Jawab:

Diketahui: µ0 = 4,5 gram, s= 0,8 , n=30, ´x = 4,4 gram Hipotesis: H0; µ ≥ 4,5 gram

Ha; µ < 4,5 gram Taraf signifikansi: α= 0,01 Statistik uji :

t=x´−μ0 s

√

n

Kriteria keputusan: H0 ditolak jika t < -t0,01;29 yaitu t < -2,462 Hitungan:

t=x´−μ0 s

√

n

=

t=

4,4−4,5 0,8

√

30

= -0,69

Kesimpulan:

Karena t=-0,69 yang berarti t> -2,462 maka H0 diterima.