Makalah Penjumlahan Dan Perkalian Vektor

BAB I BAB I

PENDAHULUAN PENDAHULUAN

1.1

1.1 Latar BelakangLatar Belakang

Memasuki abad 20, perkembangan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi sangatlah pesat. Memasuki abad 20, perkembangan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi sangatlah pesat. Berbagai piranti sederhana maupun elektronik telah berhasil dibuatuntuk memudahkan pekerjaan Berbagai piranti sederhana maupun elektronik telah berhasil dibuatuntuk memudahkan pekerjaan manusia. Keberhasilan demi keberhasilan yang diraih manusia, tidak lepas atau bahkan sangat manusia. Keberhasilan demi keberhasilan yang diraih manusia, tidak lepas atau bahkan sangat  bergantung dari keberadaan suatu ilmu, yakni ilmu Fisika.

 bergantung dari keberadaan suatu ilmu, yakni ilmu Fisika.

Fisika memiliki kaitan erat dengan matematika. Hal ini karena matematika mampu Fisika memiliki kaitan erat dengan matematika. Hal ini karena matematika mampu menyediakan kerangka logika di mana hukum-hukum fisika dapat diformulasikan secara menyediakan kerangka logika di mana hukum-hukum fisika dapat diformulasikan secara te

tepatpat. . DefDefininisisi, i, teteorori, i, dan dan momodedel l fifisisika ka seselalalu lu didinynyatatakakan an mengmenggugunanakakan n huhubunbungagann matematis.

matematis.

Sebagai ilmu dasar, fisika memiliki pengaruh pada banyak ilmu sains lainnya. Salah Sebagai ilmu dasar, fisika memiliki pengaruh pada banyak ilmu sains lainnya. Salah sat

satu u concontohtohnya nya padpada a ilmilmu u kimkimia. ia. FisFisika ika banyabanyak k memmempelpelajarajari i parpartiktikel el renrenik ik semsemacaacamm elekt

elektron. Bahasan ron. Bahasan terstersebut ternyata juga ebut ternyata juga dipeladipelajari dan jari dan dimanfdimanfaatkaaatkan n pada ilmu pada ilmu kimikimia.a. Bahkan topik mekanika kuantum yang diterapkan pada ilmu kimia telah melahirkan bidang Bahkan topik mekanika kuantum yang diterapkan pada ilmu kimia telah melahirkan bidang baru yang dinamakan kimia kuantum (

baru yang dinamakan kimia kuantum (quantum chemistry quantum chemistry ..

Selain itu, ilmu fisika yang diterapkan pada bidang ilmu lain ikut berperan dalam Selain itu, ilmu fisika yang diterapkan pada bidang ilmu lain ikut berperan dalam melahirkan bidang studi baru yang menarik. Di antaranya adalah biofisika (fisika pada ilmu melahirkan bidang studi baru yang menarik. Di antaranya adalah biofisika (fisika pada ilmu biologi, geofisika (fisika pada ilmu bumi, fisika medis (fisika pada ilmu kedokteran, dan biologi, geofisika (fisika pada ilmu bumi, fisika medis (fisika pada ilmu kedokteran, dan yang lebih baru adalah ekonofisika (fisika pada ilmu

yang lebih baru adalah ekonofisika (fisika pada ilmu ekonomi.ekonomi.

Fisika adalah ilmu yang mempelajari keteraturan alam semesta dan sebisa mungkin Fisika adalah ilmu yang mempelajari keteraturan alam semesta dan sebisa mungkin memanfaatkan keteraturan ini untuk dua hal, yaitu menemukan keteraturan lainnya di alam memanfaatkan keteraturan ini untuk dua hal, yaitu menemukan keteraturan lainnya di alam semes

semesta ta yang belum yang belum ditemditemukan dan ukan dan memanfmemanfaatkaatkan an keteraketeraturan yang turan yang telah ditemukatelah ditemukann un

untutuk k memenjnjadadi i bebermrmanfaanfaat at babagi gi kekehihidudupapan n mamanunusisia. a. !!aanpnpa a ada ada penpenememuauan n tetentntanangg keter

keteraturan lensa, aturan lensa, maka tidak maka tidak mungkmungkin in di di temukan temukan planetplanet-planet-planet, , tanpa ditemukanntanpa ditemukannyaya planet-planet, tidak mungkin ditemukan Hukum-hukum "epler, tanpa ditemukan Hukum planet-planet, tidak mungkin ditemukan Hukum-hukum "epler, tanpa ditemukan Hukum "epler, maka tidak mungkin ditemukan hal-hal penting lainnya di tata surya, dan hal-hal ini "epler, maka tidak mungkin ditemukan hal-hal penting lainnya di tata surya, dan hal-hal ini ma

masisih h teterurus s berberlalanjnjutut, , keketeteraratuturaran n yayang ng telah telah diditetemumukakan n akakan an menjamenjadi di dadasasar r untuntukuk menemukan keteraturan-keteraturan lainnya.

menemukan keteraturan-keteraturan lainnya. engan demikian, !e

engan demikian, !ektor merupakan pengetahuan yang ktor merupakan pengetahuan yang sangat penting. "al sangat penting. "al itulaitulah h yangyang mel

melataatar r belbelakaakangi ngi kamkami i untuntuk uk menmenyusyusun un makamakalah lah iniini, , agaagar r nannantintinya ya dapadapat t memmemahamahami i dandan mengaplikasikannya di kehidupan sehari#hari.

mengaplikasikannya di kehidupan sehari#hari. 1.2

1.2 Rumusan Rumusan MasalahMasalah

Berdasarkan uraian sebelumnya, dapat dirumuskan masalah sebagai berikut $ Berdasarkan uraian sebelumnya, dapat dirumuskan masalah sebagai berikut $

%. &pakah perbedaan dari besaran skalar dan besaran 'ektor( 2. &pakah perbedaan dari 'ektor komponen dan 'ektor satuan( ). Bagaimana menentukan 'ektor resultan(

*. Bagaimana menentukan arah 'ektor(

+. Bagaimana pengaplikasian 'ektor dalam kehidupan sehari  hari( 1.3 Tujuan

&dapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah $

%. -ntuk mengetahui perbedaan dari besaran skalar dan besaran 'ektor. 2. -ntuk mengetahui perbedaan dari 'ektor satuan dan 'ektor komponen. ). -ntuk mengetahui ara menentukan 'ektor resultan.

*. -ntuk mengetahui aramenentukan arah 'ektor.

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Perbedaan Besaran Skalar dan Besaran Vektr

Besaran Skalar adalah besaran yang memiliki besar namun tidak memiliki arah.Besaran#besaran dalam /isika yang sudah kita kenal seperti massa, panjang, aktu , dan yang lainnya dinyatakan dengan sutu angka yang biasanya diikuti dengan suatu satuan. 1ebagai ontoh, massa suatu benda sama dengan * kg. Besaran#besaran seperti itu tidaklah mempunyai arah, sehingga disebut dengan besaran skalar. ikatakan tidak mempunyai arah, karena besaran#  besaran tersebut bernilai sama ke senua arahorientasi. Perhitungan pada besaran skalar meliputi operasi#operai matematik seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan  pembagian.1edangkan besaran Vektr merupakan besaran yang memiliki besar dan arah 3Kamajaya,2004$+05. 1eperti ontoh saat mobil bergerak %00 kmjam ke timur, %00kmjam ke utara, dan lain sebagainya. Keepatan merupakan salah satubesaran 'ektor, jadi harus dinyatakan oleh nilai dan arahnya.

2.2 Perbedaan Vektr !m"nen dan Vektr Satuan

1etiap 'ektor dapat diuraikan menjadi 2 'ektor yang saling tegak lurus 3Kanginan,2002$445. Pada koordinat kartesian, 'ektor dapat diuraikan ke arah sumbu 6, sumbu y dan sumbu 7 jika ) dimensi. !ektor#'ektor hasil penguraian inilah yang disebut dengan#ektr km"nen. !ektor yang terletak di sumbu 6, disebut dengan 'ektor komponen sumbu 6, dan 'ektor yang terletak di sumbu y disebut dengan 'ektor komponen sumbu y. Besar dari 'ektor  komponen tergntung dari 'ektor bersangkutan, tetapi arahnya selalu diketahui dan konstan.

Vektr satuan $unit vector _{% adalah 'ektor yang besarnya satu satuan3Istiyono,200*$)25.} !ektor satuan ber/ungsi untuk menyatakan arah dari 'ektor dalam ruang, dimana 'ektor satuan arahnya sejajar sumbu koordinat, dan pertambahannya juga sejajar sumbu koordinat. alam koordinat kartesian 6y7, 'ektor satuan biasanya dilambangkan dengan 'ektor satuan i untuk  sumbu 6 positi/, 'ektor satuan j untuk sumbu y positi/ dan 'ektor satuan k, untuk ) dimensi. 8ika dituliskan, 'ektor satuan pada koordinat kartesian dinyatakandengan , , atau&, B, 9. engan demikian, jelaslah perbedaan 'ektor komponen dan 'ektor satuan.

2.3 Menentukan Vektr Resultan

"asil penjumlahan ataupun hasil pengurangan dari dua 'ektor atau lebih disebut resultan 'ektor. -ntuk menentukan 'ektor resultan, terdapat 2 metode, yakni metode gra/is dan metode analitis. Metode gra/is dapat dibagi menjadi ) metode yakni metode segitiga, metode jajar genjang dan metode polygon. Metode analitis juga dapat dibagi menjadi ), yakni metode sinus, metode kosinus dan metode 'ektor komponen. Metode 'ektor yang la7im digunakan adalah

metode jajar genjang untuk menentukan resultan 2 buah 'ektor dan metode 'ektor komponen untuk menentukan resultan banyak 'ektor.

2.3.1 Metde &ajar 'enjan(

1eperti yang sudah diulas sebelumnya, metode jajar genjang digunakan untuk  menentukan resultan 2 buah 'ektor. 8adi satu lukisan, yang nantinya akan berbentuk seperti jajar  genjang, hanya dapat melukiskan 2 buah 'ektor. &turan menentukan 'ektor resultan dengan metode jajar genjang adalah sebagai berikut.

%. :ukislah 'ektor F% dan F2 dengan titik tangkap berimpit di titik ;

<ambar. 2.% Metode 8ajar <enjang 2. Buatlah jajar genjang dengan sisi#sisi 'ektor F% dan F2

<ambar. 2.2 Metode 8ajar <enjang

). iagonal jajar genjang merupakan resultan atau hasil penggabungan 'ektor F% dan 'ektor F2

<ambar. 2.) Metode 8ajar <enjang *. 1udut = menunjukkan arah resultan kedua 'ektor terhadap 'ektor F%

2.3.2 Metde Se()t)(a

<ambar. 2.* Metode 1egitiga 2. :ukislah 'ektor F2 dengan titik tangkap di ujung 'ektor F%

<ambar. 2.+ Metode 1egitiga

). 1udut = menunjukkan arah resultan kedua 'ektor terhadap arah 'ektor F% 2.3.3 Metde Pl)(n

8ika ada tiga 'ektor atau lebih, anda tidak mungkin menjumlahkan 'ektor#'ektor tersebut dengan metode jajar genjang atau metode segitiga. ;leh karena itu harus digunakan metode segibanyak 3poligon5. -ntuk lebih jelasnya, perhatikanlah gambar berikut

<ambar. 2.> Metode Poligon

Pada gambar di atas terdapat tiga buah 'ektor yang akan diari resultannya. &dapun resultan ketiga 'ektor tersebut seperti tampak pada gambar 2.4 berikut

<ambar. 2.4 Metode Poligon

Berikut adalah tahap#tahap dalam menentukan resultan 'ektor mengguanakan metode poligon $ %. :ukislah 'ektor F% dengan titik tangkap di ;

). :ukislah 'ektor F) dengan titik tangkap di ujung 'ektor F2

*. "ubungkan titik tangkap di ; dengan ujung 'ektor F). :ukis garis penghubung antara titik tangkap ; dan ujung 'ektor F). <aris penghubung ini merupakan resultan 'ektor F%, F2, dan F). 2.* Menentukan Arah Resultan Vektr

#ntuk menentukan arah resultan $ektor, terhadap salah satu $ektor penyusunnya, dapat digunakan persamaan sisnus.

%erhatikanlah gambar &.'

<ambar. 2.? Menentukan &rah @esultan !ektor  2.*.1 Perkal)an T)t)k $+t Prdu,t%

%erkalian titik dua buah $ektor merupakan perkalian skalar dari dua $ektor tersebut. Hal ini disebabkan karena hasil kali titik dari dua buah $ektor menghasilkan bilangan

skalar . Hasil perkalian titik dari dua buah $ektor  dan B misalnya kita sebut ) dapat dinyatakan dengan suatu persamaan berikut

*ambar. &.+ %erkalian ektor  Berikut adalah simulasi perkalian titik dua buah $ektor

2.4.2 Perkalian Silang (Cross Produt!

%erkalian silang dari dua buah $ektor akan menghasilkan sebuah $ektor baru, sehingga perkalian silang dua buah $ektor juga disebut dengan perkalian $ektor. Hasil perkalian silang $ektor  dan $ektor B (dibaca  cross B menghasilkan $ektor ). ektor ) yang dihasilkan ini selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh $ektor  dan $ektor  B

C " A # B

 dapun arah $ektor ) akan mengikuti aturan putaran skrup, seperti tampak pada gambar berikut

*ambar. &./ %erkalian Silang ektor 

Berikut adalah simulasi perkalian silang dua buah $ektor 

2.- Pen((unaan Vektr +alam !eh)du"an Sehar)  Har)

Berikut adalah beberapa contoh dari kehidupan manusia yang berhubungan dengan vektor.

1. Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesaat, tempat ia jatuh tidak tepat di baah pesaat, tetapi jauh meleneng karena adanya dua 'ektor gaya yaitu gaya gra'itasi dan gaya dorong angin.

<ambar 2.%> penerjun payung

2. 1aat perahu menyebrangi sebuah sungai, makan keepatan gerak perahu yang sebenarnya merupakan keepatan gerak perahu dan keepatan air 

<ambar 2.%4 perahu menyebrangi sungai

). alam suatu kejadian seorang pemanah menarik anak panah dari busunya sebenarnya arah gerak  anak panah merupakan penjumlahan 'ektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut.

<ambar 2.%? Pengaplikasian !ektor 

3. Pesaat terbang yang ingin terbang dan tinggal landas menggunakan metode 'ektor, sehingga ketika turun tidak langsung jatuh kebaah, tapi melalui arah 'ektor yang disesuaikan. engan demikian orang#orang yang berada didalamnya pun tidak jatuh atau terombang#ambing.

<ambar 2.%A pesaat

*. Metode 'ektor juga diaplikasikan terhadap orang yang sedang bermain layang#layang. 1ehingga arah layang#layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali

layangan. engan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada  pengaruh 'ektor.

<ambar 2.20 Pengaplikasian !ektor 

>. Pada saat seorang anak bermain jungkat#jungkit, pada bidang miring menggunakan gaya 'ektor, sehingga anaak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu.

<ambar 2.2% Pengaplikasian !ektor 

4. 1eorang pilotpada pesaat terbang menggunakan komputer na'igasi yang dihubungkan dengan ara 'ektor, sehingga seorang pilot yang mengemudi tidak salah arah atau berpindah di tempat yang tidak diinginkan.

BAB III PEN/T/P

3.1 !es)m"ulan

Berdasarkan uraian di atas, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan, yakni

%. Perbedaan besaran salar dan besaran 'ektor adalah, besaran 'ektor memiliki arah sedangkan  besaran salar tidak memiliki arah.

2. Perbedaan 'ektor satuan dan 'ektor komponen adalah 'ektor satuan merupakan 'ektor yang  bernilai satu satuan pada koordinat kartesian, sedangkan 'ektor komponen adalah 'ektor uraian

atau proyeksi tegak lurus suatu 'ektor pada sumbu 6y7 koordinat kartesian.

). 9ara menetukan 'ektor resultan ada 2 ara, yakni metode jajar genjang untuk 2 'ektor, dan metode 'ektor komponen untuk 2 atau lebih 'ektor.

*. -ntuk menentukan arah resultan 'ektor terhadap salah satu 'ektor penyusunnya dapat

menggunakan persamaan sisnus, Perkalian titik dua bu ah 'ektor jika hasil kali titik dari dua buah 'ektor menghasilkan bilangan skalar, dan Perkalian silang dari dua b uah 'ektor yang akan

menghasilkan sebuah 'ektor baru.

+. !ektor merupakan salah suatu metode yang berman/aat bagi kehidupan sehari  hari, seperti $ Bermain layang # layang, bermain jungkat # jungkit, panahan, terjun payung, perahu