SLIDE TENTANG VEKTOR

Rudi Susanto, M.Si

VEKTOR

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR

 Besaran Skalar

Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).

Contoh Catatan

: waktu, suhu, volume, laju, energi

: skalar tidak tergantung sistem koordinat

 Besaran Vektor

Besaran yang dicirikan oleh besar dan arah.

Contoh Catatan

: kecepatan, percepatan, gaya

: vektor tergantung sistem koordinat

Sistem Koordinat

z

y x

kartesius polar

a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama

A B

b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika : 1. Besar sama, arah berbeda

A = B

A B

A



^B

2. Besar tidak sama, arah sama

A B

3. Besar dan arahnya berbeda

A B A



^B

A



^B

Catatan!

1.JUMLAH DAN SELISIH VEKTOR

Metode :

1. Jajaran Genjang 2. Segitiga

3. Poligon 4. Uraian 1. Jajaran Genjang

R = A + B

+ =

A

A

Besarnya vektor R = | R | =

A

²

 B

²

 2 A B cos 

Besarnya vektor A+B = R = |R| =

Besarnya vektor A-B = S = |S| = - 2 AB cos θ A ²+ B ² + 2 AB cos θ A ² + B ²

OPERASI MATEMATIK VEKTOR

2. Segitiga

3. Poligon (Segi Banyak)

 Jika vektor A dan B searah  θ = 0^o : R = A + B

 Jika vektor A dan B berlawanan arah  θ = 180^o : R = A - B

 Jika vektor A dan B Saling tegak lurus  θ = 90^o : R = 0

Catatan : Untuk Selisih (-) arah Vektor di balik

+ =

A

A

B

+ + + =

A

D ^A+B+C+D

A B

C D

A_y B _y

A

B

Vektor diuraikan atas komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y) Y

A = A_x.i + A_y.j ; B = B_x.i + B_y.j A = A cos θ x ; B = B cos _x θ A_y = A sin θ ; B_y = B sin θ A_x B_x X

Besar vektor A + B = |A+B| = |R|

R

_x ²

 R

_y ²

|R| = |A + B| =

Arah Vektor R (terhadap sb.x positif) = tg θ =

x

R

_y

R

R

_x

R

_y

θ = arc tg

R_y = A_y + B_y R_x = A_x + B_x

Uraian!

Contoh Soal

A^y A^x

pembahasan

Contoh soal

pembahasan

pembahasan

2. PERKALIAN VEKTOR

1. Perkalian Skalar dengan Vektor 2. Perkalian vektor dengan Vektor

a. Perkalian Titik (Dot Product) b. Perkalian Silang (Cross Product)

1. Perkalian Skalar dengan Vektor Hasilnya vektor

C = k A k : Skalar A : Vektor

Vektor C merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor A Catatan :  Jika k positif arah C searah dengan A

 Jika k negatif arah C berlawanan dengan A

k = 3, A C = 3A

2. Perkalian Vektor dengan Vektor

a. Perkalian Titik (Dot Product)

A  B= C C = skalar

Hasilnya skalar

θ B

A cos θ

Besarnya : C = |A||B| Cos θ A = |A| = besar vektor A B = |B| = besar vektor B

Θ = sudut antara vektor A dan B

1. Komutatif : A  B = B  A

2. Distributif : A  (B+C) = (A  B) + (A  C)

Catatan :

1. Jika A dan B saling tegak lurus 2. Jika A dan B searah

3. Jika A dan B berlawanan arah

 A  B = 0

 A  B = A  B

 A  B = - A  B

Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product)

b. Perkalian Silang (Cross Product) C = A x B

B θ

A

Hasilnya vektor

B θ

A

C = B x A

Catatan :

Arah vektor C sesuai aturan tangan kanan Besarnya vektor C = A x B = A B sin θ

Sifat-sifat :

1. Tidak komunikatif  A x B = B x A

2. Jika A dan B saling tegak lurus  A x B = B x A

3. Jika A dan B searah atau berlawan arah  A x B = 0

2.11

Vektor yang besarnya satu satuan

A ˆ  A A

Dalam koordinat Cartesian (koordinat tegak) Z

Y

X

j

i

k A

Arah sumbu y : Arah sumbu z : Arah sumbu x :

i ˆ

ˆ j

k ˆ

Notasi

ˆ ˆ A

A  A   1 A

Besar Vektor

A  A

_x

i ˆ  A

_y

ˆ j  A

_z

k ˆ

VEKTOR SATUAN

Penulisan dalam vektor satuan :

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z x y z

a x b  (a i  a j  a k ) x ( b i  b j  b k )

a x i ˆ x b x i ˆ  a x b x ( i ˆ x i ˆ)  0

a

_x

i ˆ x b

_y

ˆ j  a

_x

b

_y

( i ˆ x ˆ j )  a

_x

b

_y

k ˆ

Hasil akhir :

ˆ ˆ ˆ

y z y z z x z x x y x y

a x b  ( a b  b a ) i  ( a b  b a ) j  ( a b  b a ) k

j

2.13 i

k

 Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) Vektor Satuan

=

= =

= 1 0 i  i

i  j

j  j = j  k

k  k k  i =

 Sifat-sifat Perkalian silang (Cross Product) Vektor Satuan

i x i = j x j = k x k = 0 i x j =

k x i = k

j j x k = i

Latihan soal :

vektor

saling mengapit dengan sudut  . Jika besar a

 Dua buah vektor a dan b bertitik tangkap sama

b 3 a  b

dua kali vektor dan a  b  , hitun  g ! Jawab : a  b  a

²

 b

²

 2 ab cos 

a  b  a

²

 b

²

 2 ab cos 

a

²

 b

²

 2 a b c o s   3 a

²

 b

²

 2 a b c o s 

1 6 b

²

c o s   1 0 b

²

  51,32

⁰

• Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling

mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan sudut antara resultan dengan vektor pertama.

Jawab :

Dalil Sinus :

v

1 ²

 v

²

 2 v v c o s 4 5

⁰

2 1 2

r 

r  4 5 8 , 7

r  21, 4 s a t u a n

Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus

2 1 1

Dalil Cosinus :

v

²

 v

²

 r

²

 2v r cos 

297, 7  342, 4 cos    =29,6

⁰

21, 4

v

₂

r

sin   sin 135

⁰

sin   15(0, 707)   =29,7

⁰

A 2 ² + (-3)² + 4 ²

2. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa besar vektornya ?

Jawab :

Vektor A = 2i – 3j + 4k

A = = = 29 satuan

3. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini : A = 2i – 2j + 4k

B = i – 3j + 2k Jawab :

Perkalian titik :

A . B = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2

= 16

Perkalian silang :

A x B =

i j k 2 - 2 4 1 - 3 2

= { (-2).2 – 4.(-3)} i – {2.2 – 4.1} j + {2.(-3) – (-2).1} k

= (-4+12) i – (4-4) j + (-6+4) k

= 8i – 0j – 2j

= 8i – 2k

Contoh Soal

Kerjakan!

Terim K sih