KERJA INDIVIDUAL: PERSAMAAN KUADRAT

(1)

tu?%ma

Tim Penulis

I

A. Saepul Hamdani

-

IAIN Sunan Ampel Surabaya

Kusaeri

-

IAIN

Sunan AmDel Surabava

IJzani

-

IAIN

l4ataram

(2)

(3)

e"&

/.7

KERJA

INDIVIDUAL:

PERSAMAAN

KUADRAT

Petunjuk

1.

Lembar kerja ini terdiri atas dua bagian. Soal nomor 1 merupakan LK terbimbing dan akan membimbing Anda dalam memahami prinsip penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara faktorisasi.

2.

Soal nomor 2 untuk melatih keterampilan Anda dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat dan menggunakan rumus.

3. lkuti langkah-langkah yang sudah ada, dan isilah titik-titik yang masih kosong. Kerjakan secara individual, bila belum jelas tanyakan kepada dosen.

Pertonyoon

'1

.

_Tentukanlah_penyelesaian _setiap_{persamaan kuadrat di bawah ini dengan}

memfaktorkan.

a.

f-4=o

b.*-x=20

c.2t'-5x-3=o

Jawao.

a.x'-4=O

e(x+....X...+2)=0

e

X + ...

:0

atau .

.

+2=0

ex

₌

_...

_atau....

_{= -2}

Jadi penyelesaian dari

persamaanx2-4=

0 adalah

x=...

atau

x=...

b.

y!

-x=

2O €

x2-x-20=0

e

(x

...

....Xx

..

. . .) _{= 0}

eX=....atauX=...

Jadi penyelesaian dari persamaan

x2-x=20adalah

x=...

atau x=...

c.2x2-5x-3=0

e(2x....

1Xx....3)

₌₀

(tanda....isi

dengan tanda + atau -)

2x'-5x

-3 = oadalah x = ... atau x

=

.

'L

_{Gunakan cara}_melengkapkan

_kuadrat

_dan_{rumus untuk menyelesaikan persamaan}

kuadrat berikut.

a.x'-8x+16=0

h.4x'z+25=20x

Jawao.

a. Dengan melengkapkan kuadrat

t'-8x+16=0

c.4(x-5)=5(x-4)

Dengan rumus

(4)

t'

- 8x

+

l 6 = 0 adalah x = ... atau x =...

b. Dengan melengkapkan kuadrat

4x'z+25=2Ox

Dengan rumus

4f+25=20x

(5)

Mal€$atika 1

Lembor Keqiqtqn

l?.L.B

w

KERJA

INDIVIDUAL:

PERSAMAAN

KUADRAT DAN

DISKRIMINAN

Petunjuk

'I

.

_Kerjakan_{soal-soal berikul}_{secara individual selama 20 menit.}

2.

Tanyakan kepada dosen bila menjumpai kesulitan.

Pertonyoon

1. Tentukan jenis penyelesaian dari persamaan kuadrat di bawah ini. b.

9x'-

6x = -1

c.2x-1=3x'

o.

Persamaanx'+5x-3=0

mempunyai a

_{=... b=....c=}

a.x'+5x-3=0

JawaD_

Dengan demikian persamaan

kuodrqi

x'+

5x - 3 = 0 mempunyai ... penyelesaran

Persamaan

9x'

6x=-1

mempunyai

a=....b=

.

c=

kuodroi 9x'-

6x = -1 mempunyai ... penyelesaran.

c.

Persamaanc.2x-1,3x

mempunyaia=....b=....c=

kuodrqt

c. 2x - 1 ₌3x'mempunyai ... penyelesaian

2.

Carilah nilai k pada persamaan

kuadratdi

bawah ini agar: (i) mempunyaidua penyelesaian real berbeda, (ii) satu penyelesaian bilangan real, dan

(iii)dua

penyelesaian imajiner.

a.x'z+3x+k=0

b.

lca+1=4x

c.3x'+4X=k-5

kuodrot

9x

-6x=-l

mempunyai ... penyelesalan.

(6)

Lembor

Uroion

Msteri

t2.2

PERSAMAAN KUADRAT

Pada handout

iniakan

dibahas mengenai:

'

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara kuadrat. dan (3) l\renggunakan rumus.

.

Jenis penyelesaian persamaan kuadrat.

(1) Memfaktorkan, (2) lvlelengkapkan

A. Menyelesoikon Persomoon Kuadrat

Persamaan dalam bentuk ax'z + bx +

c:

0 dengan a, b, dan c konstan dan

a

+ 0

merupakan

bentuk baku daripersamaan kuadrat. Contoh-contoh persamaan kuadrat di antaranya 2x2 + 3x = O, x2 - 4 = O, 3x2 + 2x + 5 = O. Bentuk dua persamaan pertama merupakan bentuk persamaan tidak lengkap, sedangkan bentuk ketiga merupakan bentuk persamaan kuadrat tidak lengkap.

Terdapat

berbagaicara

untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, namun pada handout ini hanya akan dibahas cara faktorisasi, melengkapkan kuadrat dan rumus. Selanjutnya berikut ini akan diuraikan satu persatu ketiga cara tersebut.

Menyelesoikon Persomoon

Kuodrat

dengon

Faktorisosi

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan, perlu diingat kembali prinsip _{perkalian 0 yakni a x b = 0. Bentuk perkalian a x b = 0 akan memiliki} penyelesaian a = 0 atau b = 0. Sebagai contoh, bila diberikan persamaan kuadrat ax2

+ bx + c = 0, setelah difaktorkan diperoleh

a(x-x1)(x-xr)

=

0.

Dengan demikian, diperoleh

x-xr

₌0 atau

x-x2

= 0. Akibatnya, X = Xi atau x

₌

x2.

Contoh

12.1 : Selesaikanlah 3x2 + 5x = 0.

Jawab.

Bentuk ini merupakan bentuk persamaan ax2 + bx + _{c =}0 _{dengan c = 0. Persamaan}

kuadrat dalam _{bentuk baku dengan c = 0 dengan mudah diselesaikan dengan} memfaktorkan.

3x2+

5x=0

₌

x(3x+5)

=O

=

x=0atau3x+5=0

(faktorkan)

(gunakan prinsip perkalian dengan 0)

+

x=oatau

x=

5

3

(7)

Contoh

12,2 : Selesaikanlah (x-1)(x+1) = 5(x-1).

Jawab.

(x-1xx+1) ₌

5(x-1)

> x'?-1=5x-5

(kalikan)

=

(x-4)(x-

1) ₌

0

(faktorkan)

>

x=4ataux=

1

(gunakan prinsip perkalian dengan 0) Dengan demikian penyelesaian dari persamaan di aias adalah 4 dan 1.

Menyelesoikon

Personoan Kuodrof

dehgon /t^€lengkdpkdlr

Kuodrot

Trinomial x2 +1Ox + 25 merupakan kuadrat dari sebuah binomial, karena x'z

+

1Ox +

25 = (x + 5)'z. Bila diberikan dua suku pertama darisuatu trinomial, kita dapat mencari suku ketiga sedemikian hingga membuat bentuk ini menjadi bentuk kuadrat. Proses yang demikian disebut melengkapkan kuadrat.

contoh

12.3 : Lengkapkan kuadrat untuk x'z+ 12x.

Jawab.

Berapakah bilangan yang harus kita tambahkan pada x2 + 12x untuk membuat

bentuk

ini menjadisuatu trinomial kuadrat. Kila ambilsetengah dari koefisien x dan kita kuadratkan.

x'

+

12x

J

setengah dari 12 adalah 6 dan 6'? _{= 36. Kita tambah 36.}

x'z+ 12x + 36 merupakan trinomial kuadrat dan dapat ditulis menjadi (x + 6)'?.

Diagram berikut kiranya dapat berguna untuk mengilustrasikan bagaimana melengkapkan kuadrat. Pada diagram ini bagaimana kita akan melengkapkan kuadrat pada x'z+ 12x.

Contoh

12.4 : Selesaikanlah x2 _{- 2x - 5 =}O dengan melengkapkan kuadrat. Jawab. 6x 6x

=

x-1=

'6

ataux-1=-J6

6)

=x2-2x+1

=S+1

(tambahkan 5 pada kedua ruas)

(8)

Jadi penyelesaiannya adalah x

₌

1*

G

dun ,, ₌1 -

\,6

. Penyelesaian ini dapat

disingkatmenjadix

=

1 t

G. Menyelesoikon Persqtnqon

Kucdrol

dengon

Rumus

Beberapa persamaan kuadrat kadang-kadang tidak dapat diselesaikan dengan faktorisasi. Oleh karena itu, berikut ini diberikan sebuah rumus untuk mencari penyelesaian sebarang persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. yakni

2a

Berikut disajikan bukti dari rumus di atas.

lvlisalkan sebarang persamaan kuadrat dalam bentuk ax2 + bx + c = 0 (a>0). Misalkan kita akan selesaikan dengan melengkapkan kuadrat.

h.

1

12+

414 i

₌

g

(kalikan dengan

l)

Setengah

dari

b

adalah

bo dan kuadratnya adalah

-t

. Kita melengkapkan

A

Al

_-

L2

kuadrat,x2+

:lx

+

!

_^

_=-l

a

L

a

4a'

a

1a'

b,+acD-(x+

-r=-

2a

4a'

+

_-

4a'

.

O..

O

_-4aC

\x+ f=

_4i

,bc

2d b 2a a (tamban

-9

_i

atau

x+

]1

=-2a

_atau

_x+

2a

Gr*

2a

2d

b

,l

_b'

_-4ac

bt

4ac

4i

b' -4ac

4i

Jb'4*

+

_

ataux=

2a

(9)

Contoh

12.5:

Selesaikanlah

3f

+

5x

= -1.

Jawab

Pertama kita ubah dalam bentuk baku dan tentukan a, b,

0

dan

kita dapatkan _{nilai a = 3, b = 5, dan c}₌1.

Selanjutnya gunakan rumus kuadrat;

dan c, yakni: 3x2 + 5x + 1 ₌

Contoh

12.6 : Selesaikanlahx'? +

x+

1 _{= 0.}

Jawab

Dari persamaan kuadrat di atas, diperoleh nilai a

-

1, b ₌1, dan c ₌1. Dengan demikian:

66

Jadi penyelesaiannya adalah 2.3

-sr.Ds-D

-5r.fiJ

2.1 11.v/1- 4 2 2

lLi15

s+\,4i

5-./lr

66

2

Jadi penyelesaian persamaan kuadrat x2 + x + 1

l+r.r5 -I

rv6

= U

aOalan

Oan

-22

l'1

4.1.1

B. Jenis

Penyelesoian poda Persomoon

Kuadrot

Pernyataan b2 - 4ac

pada

rumus kuadrat disebut sebagai diskriminan. Dari bilangan ini, kita dapat menentukan jenis penyelesaian suatu persamaan kuadrat.

(10)

Persamaan kuadrat ax2 +

bx+s=

66sngsna

+0dan

semua koefisiennya bilangan

realakan

mempunyai:

a.

penyelesaian bilangan real yang tunggal jika b2 - 4ac = 0

b.

dua penyelesaian bilangan real be.beda jika b'z - 4ac > 0

c.

dua penyelesaian bukan bilangan real jika b2 - 4ac < O

Contoh

12.7

:

Tentukan jenis penyelesaian dari persamaan kuadrat gx'z-'12x _{+ 4 = 0.}

Jawab

Dari persamaan kuadrat gx'z -1 _{2x + 4 =}0 didapat nilai a = 9, b = -12, _{dan c = 4.} Dengan demikian, bila kita hitung diskriminannya,

b, _

_4ac=

\-12) 2 _ 4.9.4 = 144

-144

Karena b2

-

4ac

_{= 0,}

maka persamaan

kuadrat

9x2

-l2x

+

4

=

0

hanya mempunyai penyelesaian bilangan real tunggal.

Contoh

12.8

:

Tentukan jenis penyelesaian dari persamaan kuadrat x2 + 5x + 8 = 0.

Jawab

Dari

persamaankuadratx2

+5x+ 8=0didapatnilaia=

1,

b=5, danc=8.

Dengan

demilian.

bila kita hitung diskriminannya,

b2_4ac=(s)2_4.1.8

Karena

b2-

4ac

₌

-7,

maka persamaan

kuadrat x2+ 5x + 8 = 0

mempunyai dua penyelesaian bilangan yang tidak real.

(11)

g

A. Lembor

Peniloian

12.4 Peniloian

Proses

Penilaian ini digunakan melihat aktivitas mahasiswa dan mahasiswi selama proses pembelajaran, baik pada saat kerja individual, kerja berpasangan maupun kerja kelompok. Aspek yang termasuk komponen penilaian disajikan sebagaimana tabel berikut.

B. Peniloion

Hasil

Belajor

1.

Carilah penyelesaian persamaan kuadrat r2

+n

6=0

dengan cara mernfaktorkan.

2.

Carilah penyelesaian persamaan kuadrat ;ru

+5n-14=0

dengan cara melengkapkan kuadrat

3.

Carilah selesaian persamaan kuadrat

,r'?+3r+2=0

dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat

4.

Tentukan jenis penyelesaian dari persamaan kuadrat di bawah (apakah mempunyaidua penyelesaian, satu penyelesaian, atau tidak mempunyai npenyelesaian), jika dilihat dari diskriminannya

a.

x'

+'7

x+10=O

tt.

x2

-

4r'+4=0

5.

Carilah penyelesaian

darisetiap

persamaan

dibawah

ini.

3.

x (x- 1) ₌Y

4. x(x-1)=x(x+1)

5. x.x=x

6.

Gunakan metode faktorisasi, melengkapkan kuadrat untuk menyelesaikan persamaan kuadrat di bawah ini.

3.

x2

-7x=

-12

c. x2 _{+ 9 = 6x}

4. x(x+9x)

+18=0

7.

Pasangan suami islri, kuadrat usia suam; adalah 25 tahun dari pada 24 kali usia istri. Bila usia suamisama dengan usia istri, berapakah usia pasangan suami isteritersebut?

8.

Tunjukkan secara geometris cara melengkapkan kuadrat x'z+ ax dengan mengisi bagian

tabelyang

masih

dibei

tanda "?"

(12)

x

2

x

x2 ?

2 2

9.

a.

Buatlah persamaan kuadrat yang memiliki penyelesaian tidak real.

b.

Untuk nilai c berapakah persamaan kuadrat

1

+ c _{= 0}mempunyai penyelesaian tidak real?

c.

Untuk nilai c berapakah persamaan kuadrat

t'

_{+ 2x + c = 0 mempunyai} penyelesaian tidak real?

Salah satu penyelesaian dari

kx

+ 3x - k = 0 adalah 2. Carilah penyelesaian yang lain dari persamaan tersebut.

(13)

ffi

Adjie, Nahrowidan Rostika,

Deti,2006. Korsep Dasar

Matematika. Bandung: FIP

lJniversitas Pendidikan lndonesia.

Bellman, Allan dkk, 1998. Algebra. New Jersey USA: Prentice Hall.

Djumanta, Wahyudin, 1999. Matematika untuk SLTP Kelas

lll.

Bandung: Multi Trust. Haese, Robert & Sandra, and Kappelle, Detk, 2005. Core Ski s Mathematcs

L

Adelaide

South Australia: Raksar Nominees, Pty Ltd.

Hudyo, Herman dan Sutawidjaya, Akbar, 1996. Matematika. Jakarta: Depanemen

Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Bagian Proyek Pengembangan Pendidikan Guru Sekolah Dasar.