i
DIKTAT ALJABAR LINIER
Hastri Rosiyanti
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JAKARTA
MARET 2019
ii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah segala kesempurnaan hanya milik ALLAH SWT, berkat RAHMAT dari ALLAH SWT, penulis dapat menyelesaikan diktat Aljabar Linier ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga penulisan diktat ini dapat selesai.
Materi pada diktat ini disusun untuk membantu mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Jakarta mendalami persoalan-persoalan yang berkaitan dengan aljabar linier.
Semoga dengan adanya diktat ini dapat membantu belajar mahasiswa dalam meraih yang terbaik di mata kuliah ini khususnya, serta mata kuliah lain yang terkait. Penulis menyadari bahwa isi diktat ini masih jauh dari kesempurnaan oleh sebab itu kritik dan saran sangat diperlukan.
Jakarta, Maret 2019
Penulis
iii DAFTAR ISI
Halaman
KATA PENGANTAR ... ii
DAFTAR ISI ... iii
BAB 1 INDUKTIF MATEMATIK DAN KOEFISIEN BINOMIAL ... 4
BAB 2 KETERBAGIAN ... 7
BAB 3 KONGRUEN MODULO ... 21
BAB 4 KEKONGRUENAN DAN APLIKASI KEKONGRUENAN ... 24
BAB 5 PERKONGRUENAN LINIER & SISTEM PERKONGRUENAN LINIER ... 30
4 BAB 1
SISTEM PERSAMAAN LINIER
A. Mengapa Harus Belajar Aljabar Linier
• Sub Bagian dari Matematika
• Bid. Ekonomi
• Bid. Sosial dalam hal optimalisasi
• Teori Permainan
• Analisis Input-Output melalui matriksnya
• Engineering
• Hubungan dengan mata kuliah yang lain.
B. Pengenalan Persamaan Linier
Persamaan linier adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Mengapa disebut persamaan linier? Karena dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam sistem koordinat kartesius.
1. Bentuk Umum Persamaan Linier
gradien
titik potong dengan sumbu Contoh:
2. Persamaan linier 2 variabel
dengan Konstanta dan tak nol 3. Persamaan linier dapat mempunyai lebih dari 2 variabel
Dengan:
koefisien variabel
jumlah variabel konstanta
5
Contoh:
Contoh Bukan:
C. Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier atau sistem linier adalah himpunan berhingga dari persamaan- persamaan linier dalam n variabel Bentuk umum SPL yang terdiri dari m persamaan dan n variabel Dapat ditulis sebagai:
Dengan adalah konstanta riil
D. Masalah Utama SPL
1. Bagaimana cara menentukan solusinya?
2. Apakah ada solusinya?
3. Berapa banyak solusinya?
E. SPL Homogen
Jenis SPL homogen yaitu jika konstantanya sama dengan nol.
F. Solusi Masalah
SPL tidak mempunyai penyelesaian disebut tak konsisten (inkosisten). SPL mempunyai paling sedikit satu penyelesaian disebut konsisten. Solusi tunggal Trivial. Solusi Banyak Non Trivial. Tidak semua SPL non homogen mempunyai solusi.
Contoh:
6
SPL homogen selalu mempunyai penyelesaian(Konsisten) yaitu dinamakan penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain, maka penyelesaiannya non trivial. SPL Homogen selalu konsisten. SPL Homogen selalu mempunyai solusi tak trivial jika banyaknya variabel lebih besar dibandingkan banyaknya persamaan.
Tepat satu penyelesaian Tidak terdapat penyelesaian Banyak penyelesaian SPL Nonhomogen disebut konsisten jika mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, jika tidak disebut inkonsisten
G. Latihan Soal
1. Tentukan dari persamaan-persamaan berikut:
2. Tentukan dari persamaan-persamaan berikut:
3. Tentukan solusi dari persamaan-persamaan berikut:
4. Tentukan solusi dari persamaan-persamaan berikut:
7 BAB 2 MATRIKS
A. SPL Ke Matriks
Secara umum SPL dengan persamaan dan n variabel yang tidak diketahui dapat dituliskan dalam bentuk
Dengan adalah konstanta riil
Jika persamaan linier dengan variabel lebih dari 3 dan persamaan lebih dari 3 apakah tetap menggunakan metode eliminasi dan subtitusi? Apakah ada metode lain yang lebih mudah? Jawabannya adalah dengan menggunakan matriks.
Matriks Gandengnya adalah
[
] [ ] [ ]
Dimana adalah matriks ukuran , vektor ukuran dan vektor ukuran
Contoh:
Ubahlah ke matriks gandeng
8 1.
2.
3.
4.
B. Definisi Matriks
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris dan kolom- kolom. Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom. Notasi Matriks dapat gunakan huruf kapital ( dlll).
Jika A adalah matriks berukuran maka terdiri dari baris dan kolom
[
] Baris
Kolom C. Operasi Matriks
Misalkan ] dan 1. Kesamaan Matriks
Dua matriks dan matriks yang berukuran sama (memiliki jumlah baris dan kolom yang sama), dikatakan sama jika dan hanya jika . Contoh:
*
+ * +
[
] [ ]
maka Bukan Contoh:
*
+ *
+
9
2. Jika dengan ukuran sama maka 3. Jika dengan ukuran sama maka
4. Jika dan dan maka :
∑
dan
Syarat: , , Ingat: ,
Latihan : Tentukan dari matriks * + D. Jenis-Jenis Matriks
1. Matriks Persegi
2. Matriks Identitas yaitu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya pada diagonal utama sama dengan 1, sedangkan unsur-unsur yang lain sama dengan nol. Matriks satuan biasanya diberi simbol I. Sebagai contoh, ( ).
3. Matriks Nol yaitu matriks yang unsur-unsurnya sama dengan nol dan biasanya diberi simbol . Untuk matriks yang ukurannya sama dengan berlaku dan
Catatan: (AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol? ) 4. Matriks Diagonal yaitu matriks yang semua unsurnya nol kecuali unsur-unsur yang
terletak pada diagonal utama. Contoh, ( +. Jumlah semua unsur diagonal utama sebuah matriks bujur sangkar dinamakan trace matriks yang bersangkutan.
Catatan : Matriks Identitas merupakan matriks Diagonal(namun tak sebaliknya).
5. Matriks Segitiga yaitu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya terletak di bawah atau di atas diagonal utama sama dengan nol. Jika unsur-unsur nol terletak di bawah diagonal utama, biasanya disebut matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika unsur-unsur nol terletak di atas diagonal utama disebut matriks segitiga bawah.
Catatan : Matriks Diagonal merupakan Matriks Segitiga (namun tak sebaliknya).
Contoh: Matriks Bukan Persegi.
6. Matriks Transpose
10
Untuk matriks A dapat dilakukan operasi transposisi, yaitu mengganti baris dengan kolomnya sehingga diperoleh matriks baru. Matriks baru sebagai hasil transposisi ini dinamakan transpose dari dan dinyatakan dengan Dengan demikian, jika maka ( ) Sebagai contoh, jika (
) maka (
+. Sifat-sifat matriks transpos: , , dan
7. Matriks simetri, yaitu matriks bujur sangkar yang memenuhi sifat Jika disebut matriks taksimetri.
8. Matriks kofaktor, yaitu matriks yang didefinisikan sebagai . Jika (
+ maka (
+, dengan
|
|, |
|, dan seterusnya.
9. Matriks adjoint, yaitu matriks yang diperoleh dari transpose matriks kofaktor. Jadi, . Untuk ( ), (
), dan (
)
10. Jika , matriks A dikatakan self-adjoint.
11. Jika matriks A dikatakan involuntary.
12. Jika ̅, matriks A dinamakan matriks real.
13. Jika matriks A dinamakan matriks orthogonal.
14. Jika ̅ , matriks A dinamakan matriks hermite.
15. Jika matriks A dinamakan matriks uniter.
16. Jika ̅ matriks A dinamakan matriks imajiner murni.
17. Jika matriks A dinamakan matriks idempotent (indepotent matrix).
E. Operasi Elementer
Tipe Simbol arti
I Menukar baris ke dengan baris ke dari matriks II Mengalikan baris ke dengan skalar
III
Mengalikan baris ke dengan skalar , kemudian hasilnya ditambahkan kepada baris ke
11 [
]
[
]
[
]
[
]
Kondisi-kondisi matriks bentuk eselon baris dan eselon baris tereduksi:
1. Elemen pertama yang tidak nol adalah 1 (satu utama) Contoh benar
[ ]
Contoh salah
[
]
2. Satu utama baris berikutnya berada lebih kanan dari baris sebelumnya Contoh benar
[
] Contoh salah
[
]
3. Baris nol berada di paling bawah Contoh benar
[
] Contoh salah
[
]
Jika memenuhi juga syarat keempat maka (Elemen baris tereduksi) 4. Elemen di atas satu utama nol semua
Contoh benar
12 [
]
Contoh salah
[ ]
Latihan
Reduksi matriks berikut!
1. [
]
2. *
+
3. [
]
4. Buku Charles Halaman 11 nomor 5a-5d 5. Halaman 59 nomor 1.
F. Permutasi
Invers Permutasi adalah Jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan permutasi
1. Permutasi Genap Jumlah invers adalah bil. Genap 2. Permutasi Ganjil Jumlah invers adalah bil. Ganjil Contoh :
Jumlah invers pada permutasi dari {1, 2, 3}
genap ganjil ganjil genap genap ganjil
Bagaimana menentukan tanda + dan tanda – tiap suku?
*
+
13 [
] | |
Perhatikan matriks
indeks kolom sudah urut. Tidak ada transposisi
indeks kolom belum urut. Satu kali pindah
indeks kolom belum urut. Dua kali pindah dan
indeks kolom belum urut. Satu kali pindah
indeks kolom belum urut. Dua kali pindah dan
indeks kolom belum urut. Satu kali pindah G. Determinan
Perhatikan, indeks baris sudah dalam urutan natural, indeks kolom belum. Tanda atau – ditentukan banyaknya langkah (transposisi) yg membawa indeks kolom ke urutan natural. Jika genap , jika ganjil negatif; atau tandanya adalah , dengan banyaknya transposisi.
[
] Jumlah dari suku, dengan tiap suku
terdiri dari empat faktor. (Terlalu banyak !!) Gunakan Eselon Baris.
H. Sifat-sifat Determinan
Dengan bantuan sifat determinan, membantu memudahkan menghitung nilai determinan.
1. Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama | | | |
| | |
| | | |
|
Akibatnya : semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom.
2. Matriks persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, determinannya nol (0).
|
| |
|
3. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu baris (kolom) dikalikan dengan skalar maka determinannya berubah menjadi | |
14
| | |
| jika baris kedua dikalikan dengan 7
|
| | | Akibat sifat ini : |
| |
|
Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai faktor yang sama, maka sudah dapat difaktorkan.
|
| | | |
| |
| 4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris
(kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatip determinan semula.
| | Baris pertama ditukar baris kedua |
|
5. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama adalah sama dengan 0 (nol).
|
| |
|
6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya) merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol).
| | |
| karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat | |
7. Determinan dari matriks persegi berdimensi yang baris ke – (kolom ke ) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke (kolom ke ) diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke (kolom ke ) diganti dengan suku yang kedua.
| | |
| | | |
|
| | |
| | | | |
15
Teorema: Misalkan dan adalah matriks persegi berukuran n x n yang berbeda di salah satu barisnya, misal di baris ke yang berbeda. Pada baris ke matriks merupakan penjumlahan dari matriks dan maka:
Begitu juga pada kolomnya
8. Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain.
| | Jika |
| Jika |
| Jika |
|
9. Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen- elemen diagonalnya.
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
Petunjuk Umum: Gunakan sifat ke 8, untuk mereduksi matriks menjadi matriks segitiga; kemudian gunakan sifat ke 9.
Misalkan matriks ukuran . | | tidak memiliki invers matriks singular.
I. Rank
Rank merupakan dimensi ruang kolom (banyaknya vektor yang bebas linear, yaitu kolom yang memuat 1 utama melalui OBE) Atau Nullity merupakan dimensi ruang nol.
Bentuk Eselon
1. Setiap baris yang semua unsurnya nol terletak sesudah baris yang mempunyai unsur tidak nol;
16
2. Pada setiap baris yang mempunyai elemen tidak nol; elemen tidak nol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen tidak nol baris sebelumnya.
Reduksi menjadi bentuk eselon, dan berapa rank nya ?
[
] Jadi bentuk eselon dari adalah [
] Karena bentuk eselon mempunyai tiga barus yang tidak nol, maka , dan tentu juga
*
+ [
]
[
]
[
]
[
]
Matriks persegi, yang determinannya tidak nol dikatakan mempunyai rank penuh, atau matriks nonsingular.
Matriks dan dalam contoh diatas mempunyai rank penuh atau nonsingular.
Latihan-latihan : Tentukan nilai rank, null dan determinan pada matriks berikut:
1. [
]
2. [
]
3. [
]
4. [
]
5. [
]
17 6. [
]
J. Solusi Masalah SPL Menggunakan OBE Selesaikan SPL
Jawab:
Matriks yang diperbesar [
] [
] [
]
[
]
[
] ( * [
] ( *
[
]
Matriks yang terakhir bersesuaian dengan SPL
Dengan melakukan substitusi balik akan diperolej . Sampai langkah ini, matriksnya kita sebut matriks eselon baris (metode eliminasi Gauss).
Jika dilanjutkan [
]
[
]
[ ]
[
] Diperoleh hasil yang asama
Matriks tersebut dinamakan matriks eselon baris tereduksi dan metodenya disebut eliminasi Gauss-Jordan.
18 K. Solusi Masalah SPL Menggunakan Invers
Selesaikan SPL
Jawab:
Matriks yang diperbesar
[
] [ ] [
]
[
|
|
|
]
[
|
|
|
]
[
|
|
|
]
[
|
|
|
]
[
|
|
|
]
[
| |
|
]
[
|
|
|
]
19 [
|
|
|
]
[
|
|
|
]
[ ] [
]
[
]
Catatan: solusi dengan cara invers dapat dilakukan apabila matriksnya merupakan matriks persegi
L. Latihan Soal
Tentukan solusi dengan menggunakan metode matriks.
1.
2.
3.
20 4. [ ] [ ] [ ]
5. Buku Charles Halaman 22 nomor 3 dan 7 6. Buku Charles Halaman 46 nomor 1a,b
7. Buku Charles Halaman 81 nomor 1,5,7, 10, 11, 15 8. Tentukan semua solusi bagi SPL berikut
9. Diketahui SPL berbentuk:
* + * + * +
a. Tentukan nilai dan agar SPL memiliki solusi tunggal, kemudian tulis solusi SPLnya !
b. Tentukan nilai dan agar SPL memiliki solusi banyak, kemudian tulis solusi SPLnya!
21 BAB 3 RUANG VEKTOR
A. Definisi Vektor
Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Atau Vektor adalah matriks yang terdiri dari 1 baris saja atau kolom saja. Jika vektor berada di R2 vektor di bidang. Jika vektor berada di R3 vektor di ruan.
B. Ruang Vektor
Misalkan ̅ ̅ ̅ dan k, l Riil. dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :
1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan untuk setiap 2. ̅ ̅ ̅ ̅
3. ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
4. Terdapat ̅ sehingga untuk setiap ̅ berlaku ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 5. Untuk setiap ̅ terdapat ̅ sehingga ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
6. tertutup terhadap operasi perkalian dengan skalar. Untuk setiap dan Riil maka ̅
7. ̅ ̅ ̅ ̅ 8. ̅ ̅ ̅ 9. ̅ ̅ ̅ 10. ̅ ̅
Contoh:
C. Subruang Vektor
dikatakan subruang vector dari apabila subhimpunan dan memenuhi 10 Aksioma.
Contoh: Matriks segitiga, matriks nol, dan lain-lain.
D. Notasi Ruang Vektor
̅ * +
̅ [ ] E. Operasi Ruang Vektor
Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:
1. Penjumlahan
22 2. Perkalian dengan skalar Riil sebarang ( )
̅
3. Perkalian Titik (Euclidean inner product) ̅ ̅
̅ ̅ { ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
sudut antara ̅ ̅ 4. Panjang vektor didefinisikan oleh:
̅ ̅ ̅ √ 5. Jarak antara dua vector didefinisikan oleh:
̅ ̅ ̅ ̅ √ Contoh
Diketahui ̅ dan ̅ . Tentukan panjang vector dan jarak antara kedua vektor tersebut.
Jawab:
Panjang vektor:
̅ ̅ ̅ √ √ ̅ √ √
Jarak kedua vector
̅ ̅ ̅ ̅ √ √ √
F. Proyeksi Orthogonal
Jika ̅ dan ̅ adalah vektor-vektor tak nol di dalam ruang-2 atau ruang-3. adalah proyeksi orthogonal dari ̅ pada ̅ dan vektor adalah komponen dari ̅ yang orthogonal kepada ̅, maka:
1. ̅̅̅̅ ̅ ̅
̅ ̅ 2. ̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅
̅ ̅
G. Panjang Proyeksi
̅̅̅̅ adalah Panjang proyeksi vektor pada vektor
23 ̅̅̅̅ ̅ ̅
̅ H. Latihan Soal
Misalkan ̅ ̅ dan ̅ 1. Tentukan ̅ sehingga berlaku ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
2. Tentukan sehingga memenuhi 3.
4. Hitung jarak dari ke
5. Tentukan sehingga
6. Tentukan hasil kali titik antara vector ̅ dengan ̅ 7. Tentukan cosinus sudut antara ̅ dan ̅
8. Tentukan jika ̅ dan dengan dan tegak lurus.
9. Diketahui titik – titik ̅ ̅ , dan ̅ . Panjang proyeksi vektor ̅̅̅ pada vektor ̅̅̅ adalah ….
10. Jika ̅ ̅ dan ̅ Hitunglah a. ̅ ̅ ̅ ̅
b. ̅ ̅ c. ̅ ̅ ̅
11. Jika ̅ dan Tentukan a. ̅ ̅
b. sudut antara ̅ dan ̅) c. Proyeksi orthogonal dari ̅ pada ̅
12. Misalkan ̅ ̅ dan ̅ . Carilah a. ̅ ̅
b. ̅ ̅ ̅ c. ̅ ̅
13. Misalkan ̅ ̅ dan ̅ . Carilah :
a. ̅ ̅ b. ̅ ̅ c. ̅ ̅
14. Carilah hasil kali dalam Euclidis ̅ ̅
15. Carilah jarak Euclidis di antara ̅ dan ̅ bila ̅ ̅ .
24 BAB 4
BASIS DAN DIMENSI
A. Basis
Jika adalah sembarang ruang vektor dan ̅ ̅ ̅ merupakan himpunan berhingga dari vektor – vektor di , maka dinamakan basis bagi . Jika kedua syarat berikut dipenuhi :
S membangun V
S bebas linear Contoh
Misalkan suatu ruang vektor atas . Apakah ,( ) ( )- basis bagi Jawab:
1. Adb bebas linear.
Pandang kombinasi linear ( ) ( ) ( ) Maka
Bebas Linier 2. Adb membangun
Ambil ̅ ( ) ( ) ( ) Maka
( *
( * (
) ( + membangun bagi
25 B. Membangun
Himpunan vektor ̅ ̅ ̅ dikatakan membangun suatu ruang vektor , jika setiap vektor pada selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di
Contoh:
Tentukan apakah
̅ ̅ ̅ Membangun
Jawab:
Ambil sembarang vektor di Misalkan ̅ (
̅ ̅ ̅
+ Tulis:
̅ ̅ ̅ ̅ Sehingga dapat ditulis dalam bentuk:
(
+ ( + ( ̅ ̅ ̅
+
Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten). Dengan OBE diperoleh:
(
̅ ̅ ̅
+ (
̅ ̅ ̅ ̅ ̅
+ (
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
+ Baris terakhir pada matriks ini menujukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten.
Atau cara lain, yaitu:
̅ ̅ ̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (masih ada nilai )
Jadi tidak ada nilai yang memenuhi, sehingga vektor-vektor tersebut tidak membangun
26 C. Kombinasi Linear
Sebuah vektor ̅ dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor ̅ ̅ ̅ jika vektor – vektor tersebut dinyatakan dalam bentuk
̅ ̅ ̅ ̅ Dimana adalah skalar riil
Contoh:
Misalkan ̅ dan ̅ adalah vektor-vektor di . Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas.
a. ̅ Jawab:
Tulis ̅ ̅ ̅
Akan diperiksa bahwa ada sehingga kesamaan tersebut dipenuhi ( + ( + ( +
Ini dapat ditulis menjadi:
( + ( * ( + Dengan OBE, diperoleh:
( + ( + ( + (
+
Atau cara lain, yaitu:
Jadi ̅ ̅ ̅
b. ̅ Jawab:
Tulis ̅ ̅ ̅
Akan diperiksa bahwa ada sehingga kesamaan tersebut dipenuhi
27
( + ( + ( + Ini dapat ditulis menjadi:
( + ( * ( + Dengan OBE, diperoleh:
( + ( + (
+ (
, (
,
Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten
Atau cara lain, yaitu:
( *
Jadi tidak ada nilai dan yang memenuhi, sehingga tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari ̅ dan ̅
c. ̅
Dengan memilih dan maka dapat ditulis ̅ ̅ ̅
Artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.
D. Bebas Linier
Misalkan ̅ ̅ ̅ adalah himpunan vektor diruang vektor . dikatakan bebas linear (linearly independent)
Jika kombinasi linear:
̅ ̅ ̅ ̅ Hanya dipenuhi oleh
Contoh:
28
Diketahui ̅ dan ̅ . Apakah saling bebas linear di . Jawab:
Tulis ̅ ̅ ̅ atau (
+ ( * ( + dengan OBE diperoleh:
(
+ (
+ (
+ Dengan demikian diperoleh:
dan . Ini berarti ̅ dan ̅ saling bebas linear.
Contoh:
Misalkan ̅ (
+ ̅ (
+ ̅ (
+ Apakah ketiga vektor di atas saling bebas linear Jawab:
Tulis ̅ ̅ ̅ ̅ ataau (
+ ( + ( + Dengan OBE
diperoleh:
(
+ (
+ Ini menunjukkan bahwa
solusi tidak trivial ( tidak selalu . Karena dan (Artinya nilai bergantung pada nilai . Jadi ̅ ̅ ̅ adalah vektor-vektor bergantung linear.
E. DIMENSI
Tentukan dimensi dan persamaan berikut ini ̅
5 ̅ Jawaban:
( ) ( ) (
) ( ) ( )
29 ( ) ( ) ( )
( ) (
) (
) ( ) (
)
( )
( )
( )
( )
( )
Dimensi 2.
F. Latihan
1. Nyatakan matriks (
) sebagai kombinasi linear dri matriks berikut:
( ) (
) ( )
2. Periksa apakah himpunan berikut bebas linear!
a.
b.
3. Periksa apakah himpunan membangun polinom order 2 4. Periksa apakah himpunan berikut merupakan basis bagi polinom order 2
a.
b.
5. Buku horward anton halaman 163 nomor 7,8,9,10.
30 BAB 5
RUANG HASIL KALI DALAM
Misalkan adalah suatu ruang vektor, dan ̅ ̅ maka notasi ̅ ̅ dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut:
1. ̅ ̅ ̅ ̅ (Simetris)
2. ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (Aditivitas)
3. ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ , untuk suatu di (homogenitas) 4. ̅ ̅
̅ ̅ ̅
Suatu ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam disebut Ruang Hasil Kali Dalam
Jika merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor didefinisikan ̅ ̅ ̅
Contoh:
Misalkan yang dilengkapi dengan operasi hasil kali ̅ ̅ dimana . Buktikan bahwa adalah RHKD!
Jawab:
Misalkan
1. ̅ ̅ 2. ̅ ̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅
3. Untuk suatu
̅ ̅
31 ̅ ̅ ̅ ̅ 4. ̅ ̅
Jelas bahwa ̅ ̅ , untuk setiap dan ̅ ̅ ̅ Latihan
1. Tunjukkan bahwa ̅ ̅ bukan merupakan hasil kali dalam 2. Tunjukkan bahwa HKD pada
3. Hitunlglah dan | | berdasarkan 4. Buku Jimmie Gilbert halaman 301 nomor 1a-c, 3
5. Buku Jimmie Gilbert halaman 302 nomor 11 6. Buku Howard Anton halaman 180 nomor 1 dan 9
