• Tidak ada hasil yang ditemukan

Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "Persamaan Dan Fungsi Kuadrat"

Copied!
17
0
0

Teks penuh

(1)

106 8. 1 Persamaan kuadrat

8.1. 1. Akar dan sifat akar.

Bentuk umum persamaan dibawah ini disebut persamaan kuadrat.

Penyelesaian suatu persamaan disebut juga dengan akar. Ada 3 cara mencari akar persamaan kuadrat, yaitu dengan memfaktorkan, dengan melengkapi kuadrat dan dengan rumus a b c. Persisnya cara rumus adalah …

Sebagai akibat rumus diatas, kita peroleh sifat jumlah dan kali akar-akar x1 dan x2 dari

persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0

Beberapa bentuk rumus yang dinyatakan dengan sifat diatas

1. Jumlah kuadrat akar-akar x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1 x2

2. Jumlah pangkat tiga akar-akar x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1 x2 (x1 + x2)

3. kuadrat selisih akar-akar (x1 − x2)2 = (x1 + x2)2 − 4x1 x2

(x1 − x2)2 = 2 a

D

4. selisih kuadrat akar-akar x12 − x22 = (x1 + x2) (x1 − x2)

5. Jumlah kebalikan akar-akar

1 x 1 + 2 x 1 = 2 1 2 1 x x x x+ Contoh

1. Himpunan penyelesaian dari (2x2 + x) (2x2 + x – 4) + 3 = 0 adalah … (A){1, 3} (B) {– 2 3, 1, 3} (C) {–1, 2 1} (D) {– 2 3, 1} (E) {– 2 3, –1, 2 1, 1} Jawab: E Misalkan p = 2x2 + x ⇒ p (p −4) + 3 = 0 ⇒ p2 − 4p + 3 = 0 ⇒ (p −3)(p −1 ) = 0 ⇒ (2x2 + x − 3) (2x2 + x − 1) = 0 ⇒ (2x + 3)(x − 1) (2x − 1)(x + 1) = 0 ⇒ x = − 2 3 atau x = 1 atau x = 2 1 atau x = −1 a x2 + bx + c = 0 dengan a, b, c real dan a ≠ 0

x1 dan x2 akar ax 2 + bx + c = 0 D = b2− 4ac D disebut diskriminan x1,2 = a 2 D b± − Sifat jumlah x1 + x2 = − a

b Sifat kali akar x1 x2 =

a c

(2)

2. Persamaan kuadrat 6x – (k + 4) x + k + 3 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika 6 x1 + 5 x2 = 1 maka k = … (A) –14 (B) –8 (C) –3 (D) 1 (E) 5 Jawab : C 6 x1 + 5 x2 = 1 ⇒ 6 (x1 + x2) − x2 = 1 ⇒ 6 6 4 k+ − x 2 = 1 ⇒ x2 = k + 3

Karena x2 = k + 3 akar persamaan, maka

6(k+3)2 – (k + 4)(k+3) + k + 3 = 0 (k+3) [ 6 (k + 3) − (k + 4) + 1 ] = 0 (k +3) (5k + 15) = 0

Kedua bentuk faktor ini menghasilkan k = −3

3. Selisih kuadrat akar-akar x2 + 3x + p = 0 adalah −6. maka p =… (A) 41 (B) 21 (C) −5 atau −15 (D) 45

Jawab: D

x12 − x22 = −6 ⇒ (x1 + x2) (x1 − x2) = −6 ⇒ −3 (x1 − x2) = −6 ⇒ x1 − x2 = 2

⇒ (x1 − x2)2 = 4 ⇒ (x1 + x2)2 − 4 x1 x2 = 4 ⇒ (−3)2 − 4p = 4 ⇒ p = 4

5

4. Kuadrat selisih dan jumlah kuadrat akar-akar x2 + ax + b = 0 berturut-turut adalah 3 dan 11, maka b = …. (A) –3 (B) –2 (C) –1 (D) 1 (E) 2 Jawab: A (x1 − x2)2 = 3 ⇒ (x1 + x2)2 − 4x1 x2 = 3 ⇒ a2 − 4b = 3 x12 + x22 = 11 ⇒ (x1 + x2)2 − 2x1 x2 = 11 ⇒ a2 − 2b = 11 −2b = −8 ⇒ b = 4 5. x2 + x + 1 = 0 akar p dan q, maka p33 + q33 = …

(A) –3 (B) –2 (C) –1 (D) 1 (E) 2 Jawab: E

Dari x2 + x + 1 = 0 ⎢kali x ⎢ ⇒ x3 + x2 + x = 0 ⇒ x3 + (x2 + x + 1) − 1 = 0 ⇒ x3 + 0 − 1 = 0 ⇒ x3 = 1 ⇒ x33

= (x3)11 = 1 Karena p & q akar (jawaban x) ⇒ p33

= 1 & q33 = 1 ⇒ p33 + q33 = 2

8.1.2. Jenis akar

1. Jenis akar dibawah ini mudah sekali kita hafalkan dengan memperhatikan rumus dari akar itu sendiri.

− x1,2 = − a 2 D b± D < 0 Kedua akar tidak real

D > 0 Kedua akar real

berbeda D ≥ 0

Kedua akar real

D = 0 Akar kembar

(3)

2. Kedua akarnya real positif, jika 1. D ≥ 0 2. x1 + x2 > 0

3. x1 x2 > 0

3. Kedua akarnya real negatif, jika 1. D ≥ 0 2. x1 + x2 < 0

3. x1 x2 > 0

4. Kedua akar berbeda tanda, jika 1. D > 0 2. x1 x2 < 0

5. Akar berlawanan tanda ( baca x1 = − x2) ⇔ x1 + x2 = 0 x1 + x2 ⇔ b = 0

6. Akar berkebalikan ( baca x1 = 2

x

1 ) ⇔ x

1 x2 = 1 ⇔ c = 1

7. Kedua akar rasional D = k2 dimana a, b, c dan k bilangan rasional. Contoh:

1. Supaya kedua akar persamaan x2 − (m − 1) x + 4 − m = 0 tidak real, maka … (A)−3 < m < 5 (C) m > 3 atau m < −5 (E) m > 5 atau m < −3

(B)−5 < m < 3 (D) m > 5 atau m < 3 Jawab : C

Syarat akar tidak real D < 0 ⇒ (m − 1)2 − 4 (4 − m) < 0 ⇒ m2 + 2m − 15 < 0

⇒ (m + 5) (m − 3) < 0 ⇒ m < −5 atau m > 3

2. Persamaan kuadrat x2 − mx + 2m − 3 = 0 mempunyai akar-akar riel berlainan tanda, jika (A)m < 2 atau m > 6 (C) 2 3 < m < 2 atau m > 6 (E) 2 < m < 6 (B)m < 2 3 (D) m > 6 Jawab B

Syarat agar akar-akar berlainan tanda 1. D > 0 2. x1 x2 < 0 1. D > 0 ⇒ m2 − 4 (2m − 3) > 0 ⇒ m2 − 8m + 12 > 0 ⇒ (m − 2) (m−6) > 0 ⇒ m < 2 atau m > 6 2. x1 x2 < 0 ⇒ 2m − 3 < 0 ⇒ m < 2 3 Dari (1) dan (2), maka diperoleh m <

2

3

3. Supaya kedua akar persaman x2 + mx + m = 0 negatif dan berbeda, maka haruslah…

(A)m < 0 atau m > 4 (C) 0 < m < 4 (E) m < 4 (B)m > 0 (D) m > 4 + − + −5 3 + − + 2 6 2 6 3/2

(4)

Jawab:

Syarat agar kedua akar negatif dan berbeda 1. D > 0 2. x1 + x2 < 0

3. x1 x2 > 0

1. D > 0 ⇒ m2 − 4m > 0 ⇒ m (m − 4) > 0 ⇒ m < 0 atau m > 4 2. x1 + x2 < 0 ⇒ −m < 0 ⇒ m > 0

3. x1 x2 > 0 ⇒ m > 0

Dari (1), (2) dan (3) diperoleh m > 4

8.1.3 Menyusun persamaan kuadrat baru

Contoh :

1. Persamaan kuadrat x2 + x + 2 = 0 mempunyai akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat

dengan akar-akar x12 + x2 dan x1 + x22 adalah …

(A)x2 – 2x – 61 = 0 (C) x2 + 4x + 11 = 0 (E) x2 – 8x – 20 = 0 (B)x2 – 10x – 61 = 0 (D) x2 – 10x – 20 = 0

Jawab C

Misalkan p = x12 + x2 dan q = x1 + x22, maka

• p + q = x12 + x2 + x1 + x22 = x12 + x22 + x1 + x2 = (x1 + x2)2 − 2x1 x2 + x1 + x2 = (−1)2 − 2 (2) + (−1) = −4 • p . q = (x12 + x2) (x1 + x22) = x13 +x23 + x12 x22 + x1 x2 = (x1 + x2)3 − 3(x1 x2) (x1 + x2) + (x1 x2)2 + x1 x2 = (−1)3 − 3 (2) (−1) + 22 + 2 = 11

Persamaan kuadrat yang dicari adalah persamaan kuadrat dengan akar p dan q, yaitu: x2 − (p + q) x + pq =0 ⇒ x2 + 4x + 11 = 0

2. Persamaan kuadrat 5x2 + 7x – 3 = 0 mempunyai akar α dan β, maka persamaan kuadrat dengan akar-akar 5α2 + 7α dan 5α2 β – 3β adalah …

(A)5x2 − 36x + 63 = 0 (C) 5x2 + 12x − 72 = 0 (E) 5x2 − 64x + 147 = 0 (B)x2 − 122x + 67 = 0 (D) x2 + 132x − 17 = 0 Jawab: A Misalkan p = 5α2 + 7α dan q = 5α2 β − 3β Perhatikan, α akar 5x2 + 7x – 3 = 0 ⇒ 5α2 + 7α – 3 = 0 ⇒ 5α2 + 7α = 3. 0 4

Persamaan kuadrat dengan akar-akar α dan β adalah

(5)

Perhatikan, 5α2 β − 3β = (5α2 − 3) β

= − 7 α β = − 7−53 = 521

Jadi p = 3 dan q = 521 ⇒ p + q = 536 dan p q = 563

Persamaan kuadrat yang dicari adalah persamaan kuadrat akar-akar p dan q, yaitu: x2 − 536x + 563 = 0 ⇒ 5x2 − 36x + 63 = 0

8.2. Fungsi kuadrat Bentuk umum 8.2.1. Grafik

Berikut ini beberapa ciri khas grafik fungsi kuadrat 1. Grafik berbentuk

2. Grafik memotong sumbu-y bila x = 0. Untuk x =0, y = a (0)2 + b(0) + c = c. Jadi grafik memotong sumbu-y pada titik (0, c)

3. Grafik memotong sumbu-x bila y = 0. akibatnya, a x2 + b x + c = 0. Dengan memperhatikan absis sebagai penyelesaian persamaan kuadrat, kemungkinan-kemungikan grafik dapat dirinci sebagai berikut …

4. Perhatikan lagi no 1 dan no 3; berarti ada 6 kemungkinan gambar, yaitu

5. Perhatikan lagi no 4

α akar 5x2 + 7x − 3 = 0

⇒ 5α2 + 7α− 3 = 0

⇒ 5α2 − 3 = − 7α

F(x) = ax2 + bx + c; a, b,c ∈ R dan a ≠ 0

Parabola membuka keatas, untuk a > 0 Parabola membuka ke bawah, untuk a < 0

D > 0 ⇒ ada dua titik potong dengan sumbu x

D < 0 ⇒ tidak ada titik potong dengan sumbu x

D = 0 ⇒ ada satu titik potong dengan sumbu x (menyinggung sumbu x) a > 0 D > 0 x a > 0 D = 0 x a > 0 D < 0 x a < 0 D > 0 x a < 0 D = 0 x a < 0 D < 0 x

Keempat kalimat ini pengertiannya sama 1. a > 0 dan D < 0

2. seluruh gambar diatas sumbu x 3. ax2 + bx + c > 0 untuk setiap x 4. ax2 + bx + c definit positif a > 0

D < 0 x

(6)

Amati lagi no. 4

7. Perhatikan lagi no 4

8. Amati lagi no. 4 Contoh

1. Bentuk (2a − 1) x2 − 4(a + 1)x + 2a + 6 > 0 untuk setiap x real, maka (A) a < 2 1 (B) 5 1 < a < 2 1 (C) a > 2 1 (D) a > 5 (E) a < 5 1 Jawab D

(2a − 1) x2 − 4(a + 1)x + 2a + 6 > 0 untuk setiap x real

Syarat 1. 2a − 1 > 0 ⇒ a >

2 1

2. D < 0

⇒ 16 ( a + 1 )2 − 4 (2a − 1) (2a + 6) < 0 ( Bagi 4 )

⇒ 4 ( a2 + 2a + 1 ) − (4a2 + 10 a − 6 ) < 0

⇒ −2 a + 10 < 0 ⇒ −2a < 10 ⇒ a > 5 Dari (1) dan (2) diperoleh a > 5

2. Untuk setiap x real, grafik fungsi y = px2 − 4x + p − 3 memotong sumbu x di dua titik berbeda, jika

(A)p > 4 atau p < −1 (C) −1 < p < 4 (E) 3 < p < 4 (B)p > 3 atau p < 0 (D) −1 < p < 0 Jawab : C Syarat D > 0 ⇒ 16 − 4p (p − 3) > 0 ⇒ −4p2 + 12 p + 16 > 0 | bagi − 4 | ⇒ p2 − 3p − 4 < 0 ⇒ (p −4) (p + 1) < 0 ⇒ −1 < p < 4

8.2.2. Titik Ekstrim dan Sumbu Simetri

Titik ekstrim grafik fungsi kuadrat (parabola) disebut juga titik puncak.

a x2 + bx + c ≥ 0 untuk setiap x ⇔ a > 0 dan D ≤ 0

Keempat kalimat ini pengertiannya sama 1. a < 0 dan D < 0

2. seluruh gambar di bawah sumbu x 3. ax2 + bx + c < 0 untuk setiap x 4. ax2 + bx + c definit negatif a < 0

D < 0 x

a x2 + bx + c ≤ 0 untuk setiap x ⇔ a < 0 dan D ≤ 0

(xp,yp) titik puncak ⇒ 1. xp = − a 2 b 2. yp = a xp2 + b xp + c 3. yp = − a 4 D ax2 + bx + c > 0 untuk setiap x ⇒ 1. a > 0 2. D < 0 + − + −1 4

(7)

Sumbu simetri adalah garis yang membagi dua gambar grafik, dimana gambar yang satu cermin gambar yang lain. Pada parabola sumbu simetri adalah garis melalui puncak parabola dan sejajar sumbu y.

Contoh

1. Fungsi y = x2 − ax + 3a − 4 mempunyai harga minimal 2p untuk x = p, maka (A)a = 1; p = 3 (C) a = 8; p = 4 (E) a = 2; p = 4

(B)a = 4, p = 2 (D) a = 1; p =1 Jawab B

harga minimal 2p untuk x = p ⇒ Titik puncak minimum (p,2p) Perhatikan xp = p ⇒ 2a = p ⇒ a = 2p

⇒ y = x2 − 2px + 6p − 4

Fungsi melalui (p ,2p) ⇒ 2p = p2 − 2p p + 6p − 4

⇒ p2 − 4p + 4 = 0 ⇒ p = 2

Jadi a = 4 dan p = 2

2. Kurva f(x) = x2 − (m + 5)x + 3m + 3 memotong sumbu x di titik A dan B. Jarak A dan B sekecil-kecilnya jika m sama dengan …

(A) 0 (B) 2 1 (C) 1 (D) 2 3 (E) 2 Jawab C Misalkan A (x1,0) dan B(x2,0)

Notasi d(A,B) = jarak A ke B = | x2 − x1 |

Perhatikan d2(A,B) = | x2 − x1 |2 = (x2 − x1)2 = (x1 + x2)2 − 4 x1 x2

d2(A,B) = (m + 5)2 − 4 (3m + 3) ⇒ d2(A ,B) = m2 − 2m + 13 Nilai d2(A,B) akan paling kecil untuk m = −

a 2 b = − 1 . 2 2 − = 1

Pada saat nilai d2(A,B) paling kecil, berakibat nilai d(A ,B) juga paling kecil. Dengan demikian d(A,B) sekecil-kecilnya untuk m = 1

(− a 2 b , a 4 D ) a < 0

Perhatikan gambar, nilai y akan maksimum pada titik puncak. Nilai maksimum dinotasikan dengan ymaks.

a < 0 ⇒ ymaks = − a 4 D untuk x = a 2 b (− a 2 b , a 4 D )

a > 0 Perhatikan gambar, nilai y akan minimum pada titik puncak. Nilai minimum dinotasikan dengan ymin.

a > 0 ⇒ ymin = − a 4 D untuk x = a 2 b g Garis g : sumbu g ≡ y = − a 2 b y = a x2+ bx + c

Ordinat = 0, karena sumbu x y = ax2 + bx + c maka xp = −

a 2

(8)

3. Akar-akar persamaan x + (m+ 2)x − (m + 3) = 0 adalah α dan β. Harga ekstrim dari α2 + β2 + α β adalah … (A) −24 (B) −8 (C) 2 (D) 12 (E) 21 Jawab : A α2 + β2 + α β = [ (α + β)2 − 2 α β ] + α β = (α + β)2 − α β ⇒ α2 + β2 + α β =(m + 2)2 + 4 ( m + 3) ⇒ α2 + β2 + α β =m2 + 8 m − 8 Tulis Z = α2 + β2 + α β ⇒ Z = m2 + 8 m − 8 ⇒ Harga ekstrim α2 + β2 + α β = Z min= − a 4 D= −24

4. Persamaan kurva disamping adalah y = −c x2 − bx + a. Maka …

(A)a c < 0 (D) b c > 0 (B)b2 > 4 a c (E) b2 < 4 a c (C)a b < 0

Jawab : D

Memotong sumbu x di dua titik ⇒ D = (−b)2 − 4 (−c) (a) > 0

⇒ b2 > − 4 a c ……….. (1) Membuka kebawah ⇒ −c < 0 ⇒ c > 0 ………... (2) Memotong sumbu-y pada (0,a) diatas sumbu x ⇒ a > 0 ………… (3) Puncak dikanan sumbu y ⇒ xp < 0 ⇒ −

) c ( 2 b − − < 0 ⇒ c 2 b > 0 Karena 2 c > 0 , maka b > 0 …….. (4) Dari (1), (2), (3) dan (4) diperoleh jawaban yang benar (D) b c > 0

8.2.3. Menentukan Fungsi kuadrat

Contoh :

1. Disamping ini adalah grafik parabola f(x). Nilai f(4) = … Jawab

Puncak (2,−3) ⇒ f(x) = a(x − 2)2 − 3

Melalui (0,9) ⇒ 9 = 4a − 3 ⇒ a = 3

Dengan demikian f(x) = 3 (x − 2)2 − 3 ⇒ f(4) = 9

2. Disamping ini adalah grafik parabola f(x). Titik potong dengan sumbu y adalah Jawab

Memotong sumbu x di (1,0) dan (4,0) ⇒ f(x) = a (x −1) (x − 4) Melalui (5,−2) ⇒ −2 = a (4) (1) ⇒ a = −

2 1

Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat ditulis sebagai … 1. f(x) = a ( x −x1 ) (x − x2 )

dimana (x1,0) dan (x2,0) titik potong dengan sumbu-x

2. f(x) = a (x − xp) 2

+ yp

dimana (xp,yp) adalah titik puncak para bola

(2,−3) 9 1 4 (5,−2 y x

(9)

3. Diketahui f dan g dengan f(x) = 2x2 + x − 5. Apabila g melalui titik (1,10), maka g akan memotong sumbu-y pada ordinat …

(A) −25 (B) −10 (C) −3 (D) 10 (E) 25 Jawab

Misalkan x = x1 dan x = x2 titik potong f(x) dan g(x) dengan sumbu x.

Maka ) x ( f ) x ( g = ) x x ( ) x x ( a ) x x ( ) x (x a 2 1 2 2 1 1 − − − − = 2 1 a a = k ⇒ g(x) = k f(x) ……….. (1) ⇒ g(1) = k f(1) ⇒ 10 = k ( −2) ⇒ k = −5 …………. (2) Dari (1) dan (2) ⇒ g (x) = −10 x2 − 5x + 25

⇒ g memotong sumbu y pada (0,25) ⇒ ordinatnya 25 8.2.4. Parabola dan Garis Lurus

Beberapa masalah mengenai hubungan parabola dan garis lurus dapat kita rumuskan Sebagai berikut

1. Diberikan parabola g : y = ax2 + bx + c Garis f : y = mx + n Dari kedua persamaan ⇒ ax2

+ bx + c = mx + n ⇒ ax2 + (b − m)x + c − n = 0

Tulis Ds = (b − m)2 − 4 a (c −n )

[ Ds adalah diskriminan ax2 + (b − m)x + c − n = 0, dengan kata lain Ds

adalah diskriminan dari hasil subtitusi g dan f ]

Memperhatikan jenis akar (penyelesaian) ax2 + (b − m)x + c − n = 0, mudah bagi kita untuk membuat kesimpulan …

1.1Ds > 0 ⇔ g dan f berpotongan di dua titik berbeda

1.2Ds = 0 ⇔ g dan f berpotongan di satu titik (baca: bersinggungan)

1.3Ds < 0 ⇔ g dan f tidak berpotongan.

2. Diberikan parabola g : y = ax2 + bx + c Garis f : y = mx + n

⇒ g − f : y = ax2 + (b − m) x + c − n Parabola g diatas garis f seluruhnya

⇒ g(x) − f(x) > 0 untuk setiap x ⇒ ax2 + (b − m) x + c − n > 0 untuk setiap x ⇒ a > 0 dan Dg−f = (b −m) 2 4a (c −n) < 0 g f

Parabola g dibawah garis f seluruhnya

⇒ g(x) − f(x) < 0 untuk setiap x ⇒ ax2 + (b − m) x + c − n < 0 untuk setiap x ⇒ a < 0 dan Dg−f = (b −m) 2 4a (c −n) < 0 g f

(10)

Contoh

1. Garis 8x − y − 6 = 0 terletak diatas parabola y = mx2 + m untuk (A)0 < m < 2 (C) m > 2 (E) m < − 2 (B)−8 < m < 0 (D) m < − 8 Jawab : D Garis y = 8x − 6 diatas y = mx2 + m ⇒ 8x − 6 − (mx2 + m ) > 0 ⇒ − mx2 + 8x −6 − m > 0 Syarat : 1. − m > 0 ⇒ m < 0 2. D < 0 ⇒ 64 + 4m(−6 − m) < 0 ⇒ −4m2 −24m + 64 < 0 (Bagi −4) ⇒ m2 + 6 m − 16 > 0 ⇒ (m + 8) (m − 2) > 0 ⇒ m < − 8 atau m > 2 Dari (1) dan (2) diperoleh m < − 8

2. Garis y = mx + 3 dan parabola y = x2 − (m − 1)x + 4 sedikitnya mempunyai satu titik persekutuan, maka

(A)m ≥ 3 2 atau m ≤ −2 (C) m ≥ 2 3 atau m ≤ − 2 1 (E) − 2 3 ≤ m ≤ 2 1 (B)m ≥ 2 1 atau m ≤ − 2 3 (D) − 2 1 ≤ m ≤ 2 3 Jawab: C Subtitusi ⇒ mx + 3 = x2 − (m − 1)x + 4 ⇒ x2 −(2m −1)x + 1 = 0 D subtitusi = Ds = (2m − 1)2 − 4 ⇒ Ds = 4m2 − 4m − 3

Perhatikan, garis dan parabola paling sedikit mempunyai satu titik persekutuan. Ini berarti Ds ≥ 0 ⇒ 4m2 − 4m − 3 ≥ 0 ⇒ (2m + 1) (2m − 3) ≥ 0 ⇒ m ≤ − 2 1 atau m ≥ 2 1

3. Nilai k agar garis y = kx + 2 dan parabola y = kx2 + 2x + k + 2 bersinggungan (A)− 3 2 atau 2 (C) − 2 3 atau 3 2 (E) −2 atau 3 2 (B)− 2 1 atau 3 (D) − 3 atau 2 1 + − + − 2 1 2 3 + − + −7 9

(11)

Jawab E

Subtitusi ⇒ kx2 + 2x + k + 2 = kx + 2 ⇒ kx2 + (2 − k)x + k = 0

Garis dan parabola bersinggungan ⇒ Ds = 0 ⇒ (2 − k)2 − 4k2 = 0

⇒ −3k2 − 4k + 4 = 0 ⇒ 3k2 + 4k − 4 = 0 ⇒ (3k − 2) ( k + 2) = 0 ⇒ k = 3 2 atau k = − 2

(12)

PEMBAHASAN MATEMATIKA IPA

1. Garis y = x − 10 akan memotong parabola y = x2 − (a − 2)x + 6 jika hanya jika a. a ≤ −7 atau a ≥ 8 c. a ≤ −7 atau a ≥ 9 e. −6 ≤ a ≤ 9 b. a ≤ −6 atau a ≥ 8 d. −7 ≤ a ≤ 9 (Matematika ’89 Rayon A) Jawab : C x2 − (a − 2)x + 6 = x − 10 x2 − (a − 1)x + 16 = 0 (a − 1)2 − 4 . 1 . 16 ≥ 0 (a − 1)2 − 64 ≥ 0 (a − 1− 8) (a − 1+ 8) ≥ 0 Jadi a ≤ −7 atau a ≥ 9

2. Garis 4x + y + 5 = 0 tidak memotong parabola y = k(x2− 1) untuk semua nilai k yang memenuhi … a. k < 1 b. k > 4 c. 1 < k < 4 d. 0 < k < 4 e. o < k < 1 (Matematika ’89 Rayon B) Jawab : C Garis : 4x + y + 5 = 0 ⇔ y = −4x − 5 ……….(1) Parabola : y = k(x2 − 1) ⇔ y = kx2 − k ……….(2) Dari (1) dan (2) kx2 − k = −4x − 5 kx2 − 4x + 5 − k = 0 16 −4k(5 − k) < 0 16 −20k + 4k2 < 0 k2 − 5k + 4 < 0 (k − 4)(k − 1) < 0 Jadi 1 < k < 4

3. Persamaan x2x−3x2+3 = k mempunyai akar-akar nyata. Nilai k adalah … a. k ≤ −3 atau k ≥ 1 c. −3≤ k ≤ 1 e. −1< k < 3 b. k ≤ −1 atau k ≥ 3 d. −1≤ k ≤ 3 (Matematika ’89 Rayon C) Jawab : B x2 − 3x + 3 = kx − 2k x2 − (3 + k) + 3 + 2k = 0 (3 + k)2 − 4(3 + 2k) ≥ 0 9 + 6k + k2 − 12 − 8k ≥ 0 k2 − 2k − 3 ≥ 0 (k − 3)(k + 1) ≥ 0 k ≤ −1 atau k ≥ 3 syarat memotong D ≥ 0 + − + −7 9

syarat tidak memotong D < 0

+ − + 4 1 + − + −1 3 persamaan kuadrat mempunyai akar-akar

(13)

4. Diketahui persamaan kuadrat x2 + px + q = 0 dengan p dan q bilangan real konstan. Jika x1 dan x2 akar persamaan ini dan x1 , x1 + x2 , x2 merupakan deret

hitung maka …

a. p2 − 4q > 0 c. p2 − 4q = 0 e. q = 0, p ≠ 0 b. p2 − 4q > 0 d. p = 0, q ≠ 0

(Matematika ‘ 90 Rayon A)

Jawab : D

Perhatikan deret hitung diatas; u1 = x1, u2 = x1 + x2, u3 = x2.

⇒ b = u2 − u1 = u3 − u2 ⇒ (x1 + x2) − x1 = x2 − (x1 + x2) ⇒ x2 = − x1 ‘

⇒ x1 + x2 = 0

⇒ −p = 0

⇒ p = 0

persamaan kuadrat yang dimaksud untuk p = 0 adalah x2 + q = 0. Dengan demikian q = 0 atau q ≠ 0

5. Jika grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c seperti

gambar di atas, maka a + b + c = … a.−2 c. 2

b. 0 d. 4 e. 8

(Matematika ’91 Rayon B)

Jawab : B

Kurva memotong sumbu x di (1,0) dan (3,0) ⇒ y = a (x − 1)( x − 3) Kurva melalui titik (2,2) ⇒ 2 = a (2 − 1)(2 − 3) ⇒ a = −2.

Dengan demikian y = −2(x2 − 4x + 3) ⇒ y = −2x2+ 8x − 6

Jadi a + b + c = −2 + 8 − 6 = 0

Cara lain. Karena kurva y = ax2 + bx + c melalui titik (1,0) maka diperoleh 0 = a(1)2 + b(1) + c, sehingga a + b + c = 0.

6. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 2x2 + ax + a = 6 maka minimum

x12 + x22 adalah … (Matematika ‘ 91 Rayon C)

a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 Jawab : A 2x2 + ax + a − 6 = 0 akar x1, x2 Z = x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2(x1 . x2) Z = (− 2 1a)2 − 2 . 2 1(a − 6) Z = 4 1a2 − a + 6 Zmin = ) 4 1 ( 4 6 ) 4 1 ( 4 ) 1 ( 2 ⋅ − ⋅ ⋅ − − = 5

7. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan 4x2 + bx + 4 = 0, b ≠ 0,

maka berlaku x1−1 + x2−1 = 16(x13 + x23) untuk b2 − b sama dengan …

a. 0 atau 2 b. 6 atau 12 c. 20 atau 30 d. 42 atau 56 e. 72 atau 90

(Matematika ’92 Rayon C) Jawab : D ingat sifat x1 + x2 = −ab 1 2 3 2 0 x y ax2 + bx + c = 0, akar α, β ⇒α + β = − a b αβ = a c Rumus α2 + β2 = (α + β)2− 2αβ Fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c. Dengan a, b dan c konstanta Untuk a > 0 ⇒ yminimum = a 4 D − Untuk a < 0 ⇒ ymaximum = a 4 D −

(14)

1 x 1 + 2 x 1 = 16 (x 1 + x2 ) ⇒ 2 1 2 1 x x ⋅ = 16[ (x1 + x2) − 3 x1 x2 (x1 + x2 ) ] ⇒ 14 b − = 16⋅

⎢⎣

( ) ( )

− − ⋅⋅−

⎥⎦

4 b 1 3 3 4 b ⇒ −4b = 4 b3 − + 12 b kedua ruas dikali

b 4

− sehingga didapat 1 = b2 − 48 ⇒ b2 = 49 ⇒ b = ± 7 Untuk b = 7 ⇒ b2 − b = 42

Untuk b = −7 ⇒ b2 − b = 56

8. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat

dengan akar-akarna x1 + x2, dan x1 ⋅ x2 adalah …

a. x2 + bcx + b − c = 0 d. x2 + (b − c)x − bc = 0 b. x2 − bcx − b + c = 0 e. x2 − (b − c)x + bc = 0 c. x2 + (b − c)x + bc = 0 (Matematika ’92 Rayon B) Jawab : D x1 + x2 = −b ; x1.x2 = c Persamaan kuadratnya : x2 − (x1 + x2 + x1.x2)x + (x1 + x2) ⋅ x1.x2 = 0 x2 − (−b + c)x + (−b) ⋅ c = 0 x2 + (b − c)x − bc = 0

9. Akar-akar persamaan kuadrat ax2 − 3a x + 5 (a − 3) = 0 adalah x1 dan x2.

Jika x13 + x23 = 117 maka a2 + a = … a. 4 b. 3 c. 2 d. 1 e. 0 (Matematika ‘ 92 Rayon C) Jawab : C Sifat x1 + x2 = a a 3 = 3 x1 ⋅ x2 = a 15 a 5 a ) 3 a ( 5 − = − x13 + x23 = 117 ⇒ (x1 + x2)3 − 3 x1 ⋅ x2 (x1 + x2) = 117 ⇒ 33 − 3

(

)

) 3 ( a 15 a 5 − = 117 ⇒27 − 9

(

)

a 15 a 5 − = 117 ⇒

(

5aa−15

)

= 909 = −10 ⇒ 5a − 15 = −10a ⇒ 15a = 15 ⇒ a = 1 Jadi a2 + a = 2

10.Jika p ≠ 0 dan akar-akar persamaan x2 + px + q = 0 adalah p dan q, maka p2 + q2 = … a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 (Matematika ’94 Rayon A) Jawab : D Sifat : p ⋅ q = ac = q ⇒ p = 1 p + q = −ab = −p ⇒ q = −2p = −2 Jadi p2 + q2 = 5

(15)

11.Persamaan kuadrat 2x2 − (a + 1)x + (a + 3) = 0 dengan a konstan. Jika selisih kudua akarnya sama dengan 1, maka kuadrat jumlah akar-akarnya adalah … a. 1 atau 25 b. 1 atau 5 c. 3 atau 9 d. 9 atau 81 e. 5 atau 25

(Matematika ’94 Rayon B) Jawab : A Sifat : x1 + x2 = 2 1 a+ dan x1 ⋅ x2 = a2+3

Diketahui selisih akar-akarnya x1 − x2 = 1

⇒ (x1 − x2)2 = 12 ⇒ (x1 + x2)2 − 4 x1 ⋅ x2 = 1⇒

( )

2 2 1 a+ − 4

( )

2 3 a+ = 1 ⇒ a2+42a+1 − 2a − 6 = 1 ⇒ a2 − 6a − 27 = 0 ⇒ a 1 = −3 ; a2 = 9

Dicari kuadrat jumlah akar-akarnya = (x1 + x2)2

untuk a = −3 ⇒ (x1 + x2)2 =

( )

2 2 1 a+ =

( )

2 2 1 3+ − = 1 untuk a = 9 ⇒ (x1 + x2)2 =

( )

2 2 1 a+ =

( )

2 2 1 9 + = 25

12.Agar akar-akar x1 dan x2 dari persamaan kuadrat 2x2 + 8x + m = 0 memenuhi

7x1 − x2 = 20 haruslah m = … a. −24 b. −12 c. 12 d. 18 e. 20 (Matematika ’94 Rayon C) Jawab : A Sifat : x1 + x2 = −4 Diketahui 7x1 − x2 = 20 8x1 = 16 ⇒ x1 = 2

Dengan demikian x1 = 2 salah satu akar persamaan kuadrat 2x2 + 8x + m = 0,

berarti 2 (2)2 + 8 ⋅ 2 + m = 0 ⇒ 8 + 16 + m = 0 ⇒ m = −24

13.Supaya kedua akar persamaan px2 − qx + 1 − p = 0 real dan akar yang satu kebalikan dari akar yang lain. Maka haruslah …

a. q = 0 c. q < −1 atau q > 1 e. pp1 = 1 b. p < 0 atau p > 1 d. q2 − 4p2 − 4p > 0

(Matematika ’97 Rayon A)

Jawab : C

Syarat : 1. Akar real berbeda D > 0 ⇒ q2 − 4p(1 − p) > 0 ⇒ q2

+ 4p2 − 4p > 0 2. Akar berkebalikan x1 ⋅ x2 = 1 atau a = c ⇒ p = 1 − p ⇒ p =

2 1 Dari (1) dan (2) ⇒ q2 + 4( 2 1)2 − 4( 2 1) > 0 ⇒ q2 + 1 − 2 > 0 ⇒ q2 − 1 > 0 ⇒ (q − 1)(q + 1) > 0 ⇒ q < −1 atau q > 1

14.Garis g melalui titik T(1,3) dan memiliki gradien m. Agar g memotong grafik y = −x2

pada dua titik yang berbeda, maka haruslah …

a. m > 2 c. −6 < m < 2 e. m < −6 ∪ m > 2 b. 2 < m < 6 d. m ≤ −2 ∪ m ≥ 2 (Matematika ’97 Rayon B) + + − + −1 1

(16)

Jawab : E

Garis g bergradien m melalui titik T(1,3) : y − 3 = m (x − 1) y = mx + 3 − m ………(1) Parabola y = −x2

………(2) Dari (1) dan (2) diperoleh mx − m + 3 = x2 ⇒ −x2 + mx − m + 3 = 0

syarat memotong di dua titik D > 0 : m2 − 4(−m + 3) > 0 m2 + 4m − 12 > 0

(m+ 6)(m − 2)> 0 m < −6 ∪ m > 2

15.Diketahui persamaan 2x2 − 4x + a = 0 dengan a bilangan real. Supaya didapat dua akar berlainan positif maka haruslah …

a. a > 0 b a < 2 c. 0 < a < 2 d. o < a < 4 e. 2 ≤ a < 4

(Matematika ’97 Rayon C) Jawab : C

Syarat dua akar berlainan positif :

1. D > 0 ⇒ 16 − 4 . 2 . a > 0 ⇒ a < 2 2. x1 + x2 > 0 ⇒ 2 > 0 (memenuhi)

3. x1 ⋅ x2 > 0 ⇒ 2

a > 0 ⇒ a > 0

Dari (1), (2) dan (3) diperoleh 0 < a < 2

16.Jika α dan β merupakan akar-akar real persamaan x2 + x =

1 x x 2 2+ + maka nilai α ⋅ β adalah …

a. 2 atau −1 b. −2 atau 1 c. −2 atau −1 d. −2 e. −1

(Matematika ’98 Rayon A) Jawab : E Misalkan p = x2 + x ⇒ p = 1 p 2 + ⇒ p2 + p = 2 ⇒ p2 + p − 2 = 0 ⇒ (p + 2)(p −1) = 0 ⇒ (x2 + x + 2)(x2 + x − 1) = 0 ⇒ x2 + x + 2 = 0 atau x2 + x − 1 = 0

Perhatikan x2 + x + 2 = 0 mempunyai akar-akar tidak real (karena D < 0) x2 + x − 1 = 0 mempunyai akar-akar real (karena D > 0) Dengan demikian α ⋅dan β akar dari x2 + x − 1 = 0. Jadi α ⋅ β = −1

17.Akar-akar persamaan kuadrat (p − 2)x2 + 4x + (p + 2) = 0 adalah α dan β. Jika αβ2 + βα2 = −20, maka p = ….

(A)−3 atau −56 (C) −3 atau −65 (E) 3 atau 56 (B)−3 atau −65 (D) 3 atau 65 (Matematika ’99 Rayon A) Jawab : E αβ2 + βα2 = −20 ⇒ α β ( α + β ) = −20 ⇒ 2 p 2 p − + 2 p 4 − − = −20 ⇒ p + 2 = 5 (p − 2)2 ⇒ p + 2 = 5 p2 − 20 p + 20 ⇒ 5p2 − 21p + 18 = 0 ⇒ ( 5p − 6 ) ( p − 3 ) = 0 ⇒ p = 56 atau p = 3 + − + −6 2

(17)

18.Garis y = − x − 3 menyinggung parabola y2 − 2y + px = 15. Absis puncak parabola tersebut adalah …

(A) −4 (B) −2 (C) − 1 (D) 1 (E) 2 (Matematika ’99 Rayon B) Jawab : B Subtitusi : (− x − 3)2 − 2 (−x − 3) + px = 15 x2 + 6x + 9 + 2x + 6 + px − 15 = 0 x2 + ( 8 + p ) x = 0 Bersinggungan ⇒ Ds = 0 ⇒ ( 8 + p )2 − 4 . 1. 0 = 0 ⇒ p = −8 Parabola: y2 − 2y −8x = 15 y2 − 2y + 1 = 8x + 16 (y − 1)2 = 8 (x + 2) x = 8 1 (y − 1)2 − 2 puncak: (−2, 1)

Absis titik puncak adalah −2

19.Jika x1 dan x2 akar persamaan kuadrat 2x2 − (2k − 1)x + 2k2 − 4 maka nilai

terbesar x12 + x22 adalah … (A) 2 3 (B) 2 (C) 2 9 (D) 5 (E) 6 (Matematika ’99 Rayon C) Jawab : C 2x2 − (2k − 1)x + 2k2 − 4 = 0 Z = x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2(x1 . x2) = ( 2 1 k 2 − )2 − 2 . 2 4 k 2 2− = 4 1 k 4 k 4 2− + − 2k2 + 4 = −k2 − k + 4 17 x = f(y) = ay2 + by + c x = a (y − yp)2 + xp puncak (xp, yp) a > 0 ⇒ buka kanan a < 0 ⇒buka kiri y = f(x) = ax2 + bx + c y = a (x − xp)2 + yp puncak (xp,yp) a > 0 ⇒ buka atas a < 0 ⇒ buka bawah Fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c. Dengan a, b dan c konstanta Untuk a > 0 ⇒ yminimum = a 4 D − Untuk a < 0 ⇒ ymaximum = a 4 D − Zmax = − 1) ( 4 4 17 ) 1 ( 4 ) 1 ( 2 − ⋅ ⋅ − ⋅ − − = 4 18 = 2 9

Gambar

gambar di atas, maka a + b + c = …  a.  −2             c. 2

Referensi

Dokumen terkait

Salah satu teknik yang dapat dilakukan dalam menggunakan strategi mengikuti permintaan adalah dengan mengatur tenaga kerja, yaitu dengan merekrut dan memberhentikan

The last 30 years have witnessed an unprecedented increase in the prevalence of all allergic disease that includes asthma, allergic rhinoconjunctivitis, drug and food allergy,

Hasil penelitian menunjukkan bahwa semakin tinggi suhu adsorpsi maka mutu minyak goreng bekas semakin baik. Universitas

kanker adalah sebuah penyakit yang ditandai dengan pembagian sel yang tidak teratur dan kemampuan sel-sel ini untuk menyerang jaringan biologis lainnya,

Untuk garis lurus secara horizontal dilakukan pembuatan benang pada salah satu sisi bagian pinggir bata yang akan dipasang, dilakukan dengan penarikan benang dari

pendapatan bunga lebih besar dari pada penurunan biaya bunga yang berarti.. risiko suku bunga atau risiko pasar yang dihadapi

unit VI Balongan dimana kontrak menjamin bahwa mesin akan beroperasi secara normal tanpa kerusakan selama 2125.67 jam dan apabila terjadi kerusakan selama periode tersebut

Dalam penelitian yang sudah dilakukan mengenai pengenalan citra wajah dengan menggunakan metode ekstraksi fitur TDLDA dan klasifikasi SVM, memberikan hasil yang optimal dengan