ﺧﻼﺻﻪ ی درس ﭼﻬﺎردﻫﻢ ١ ﻗﺎﻋﺪه ﮐﺮاﻣﺮ ٢ ﺗﺼﻮﯾﺮ ﻫﻨﺪﺳ دﺗﺮﻣﯿﻨﺎ

٩٦ لﺎﺳ ‐ مود مﺮﺗ ‐ (ﻊﯾﺎﻨﺻ ﺳﺪﻨﻬﻣ ﻪﺘﺷر نﺎﯾﻮﺠﺸﻧاد یاﺮﺑ) ﻄﺧ ﺮﺒﺟ ﺳﻮﻃ ﻦﯾﺪﻟاﺮﯿﺼﻧ ﻪﺟاﻮﺧ ﺘﻌﻨﺻ هﺎ ﺸﻧاد ( ﺿﺎﯾر هﺪ ﺸﻧاد) یﺮﻫﻮﺟ ﻦﯿﺴﺣ :ﻂﺳﻮﺗ ﺲﯾرﺪﺗ (ﮓﻧﺮﺘﺳا تﺮﺒﻠﯿﮔ) نآ یﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐ و ﻄﺧ ﺮﺒﺟ :ﻊﺟﺮﻣ بﺎﺘﮐ

ﻢﻫدرﺎﻬﭼ سرد ی ﻪﺻﻼﺧ

ﺮﻣاﺮﮐ هﺪﻋﺎﻗ ١

.ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑAx =bهﺎﮕﺘﺳد ﻞﺣ یاﺮﺑ لﻮﻣﺮﻓ ﯾ ﻪﻄﺑار ﻦﯾا زا .A⁻¹ = _det(A)¹ C^T ﻪﮐ ﻢﯾداد نﺎﺸﻧ ﻞﺒﻗ سرد رد x= 1

det(A)C^Tb

دﻮﺷ ﻣ ﻠﺧاد بﺮﺿbرادﺮﺑ ردC^T لوا ﺮﻄﺳ ،ﻢﯿﻨﮐ ﻒﯿﺻﻮﺗ ﻪﻄﺑار ﻦﯾا ﺎﺑ ارx₁ ﻨﻌﯾxلوا ﻪﻔﻟﻮﻣ ﻢﯿﻫاﻮﺨﺑ ﺮﮔا .دﻮﺷ ﻣdet(A)ﺮﺑ ﻢﯿﺴﻘﺗ ﻞﺻﺎﺣ ﺎﺘﯾﺎﻬﻧ و

x₁ = 1 det(A)

[C₁₁ C₂₁ . . . C_n1]





 b₁ b₂ ...

bn







زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ارAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻪﮐ ﺖﺳا ﻦﯾا ﻞﺜﻣ ﻻﺎﺑ ﻠﺧاد بﺮﺿ .ﺖﺳا C لوا نﻮﺘﺳ نﺎﻤﻫC^T لوا ﺮﻄﺳ زا .ﻢﯿﺷﺎﺑ هداد راﺮﻗ ارbرادﺮﺑ ،لوا نﻮﺘﺳ یﺎﺟ ﻪﺑ ﻪﮐ توﺎﻔﺗ ﻦﯾا ﺎﺑ ﻢﯿﺷﺎﺑ هدﺮﮐ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ لوا نﻮﺘﺳ یﺎﻫ ﻪﯾارد زﺎﺴﻤﻫ .ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ ﺮﻣاﺮﮐ هﺪﻋﺎﻗ هﺪﻫﺎﺸﻣ ﻦﯾا x1 = det(B₁)

det(A)

.ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ لوا نﻮﺘﺳ ردbرادﺮﺑ نداد راﺮﻗ زا ﻪﮐ ﺖﺳا ﺴﯾﺮﺗﺎﻣB₁ﺎﺠﻨﯾا

B₁ =







b₁ a₁₂ . . . a_1n b₂ a₂₂ . . . a_2n

... ...

b_n a_n2 . . . a_nn







ﺖﺳﺪﺑAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ماiنﻮﺘﺳ ردbرادﺮﺑ نداد راﺮﻗ زاB_iﺲﯾﺮﺗﺎﻣ .ﺖﺳا راﺮﻗﺮﺑ ﺮﯾز ﻪﻄﺑارx_iﻪﻔﻟﻮﻣ یاﺮﺑ ﻠﮐ رﻮﻄﺑ .ﺪﯾآ ﻣ x_i = det(B_i)

det(A)

نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺳﺪﻨﻫ ﺮﯾﻮﺼﺗ ٢

ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ یﺎﻫرادﺮﺑ ﻂﺳﻮﺗ ﻪﮐ ﺖﺳا یﺪﻌﺑn حﻮﻄﺴﻟا یزاﻮﺘﻣ ﻢﺠﺣ ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻖﻠﻄﻣ رﺪﻗ :ﻪﯿﻀﻗ .دﻮﺷ ﻣ دﺎﺠﯾاAیﺎﻫﺮﻄﺳ ١

A=



 u₁ u₂ u3





|det(A)|=Aیﺎﻫﺮﻄﺳ ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ دﺎﺠﯾا حﻮﻄﺴﻟا یزاﻮﺘﻣ ﻢﺠﺣ

ﻦﺷور .ﺪﯾﺮﯿ ﺑ ﺮﻈﻧ رد ار3×3 ﻧﺎﻤﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ .ﻢﯾروآ ﻣ نآ درﻮﻣ رد ﺪﻫﺎﺷ ﺪﻨﭼ ﺎﻣا ﻢﯿﻨﮐ ﻤﻧ تﺎﺒﺛا ار ﻻﺎﺑ ﻪﯿﻀﻗ .دراد1ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﻤﺠﺣ ﺎﻫﺮﻄﺳ ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ دﺎﺠﯾا ﺐﻌ ﻣ ﺖﺳا

1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 1

ﻦﯾا ﺎﺑ .ﺪﻨﻨﮐ ﻣ ﺮﯿﯿﻐﺗ نآ هﺪﻧزﺎﺳ یﺎﻫرادﺮﺑ ﺎﻣا ﺪﻨﮐ ﻤﻧ یﺮﯿﯿﻐﺗ نآ ﻢﺠﺣ ﺖﺳا ﻦﺷور ،ﻢﯿﻧﺎﺧﺮﭽﺑ ار ﺐﻌ ﻣ ﺮﮔا .ﺪﻧدﻮﻤﻋ ﻢﻫ ﺮﺑ و ﺖﺳا1نﺎﮐﺎﻤﮐ هﺪﻧزﺎﺳ یﺎﻫرادﺮﺑ لﻮﻃ ﻢﯿﻧاد ﻣ دﻮﺟو

٢

ﺎﺑ یﺪﻌﺑn ﺐﻌ ﻣ ﯾ ﺎﻫرادﺮﺑ ﻦﯾا .ﺪﻧدﻮﻤﻋ ﻢﻫ ﺮﺑ ﻪﻤﻫ و ﺖﺳا1ماﺪﮐ ﺮﻫ لﻮﻃ ﻪﮐ ﻢﯾراد رادﺮﺑnﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ لﻮﻃ و ﺪﻧدﻮﻤﻋ ﻢﻫ ﺮﺑQیﺎﻫﺮﻄﺳ نﻮﭼ .ﺪﻨﺷﺎﺑ Qﺲﯾﺮﺗﺎﻣ یﺎﻫﺮﻄﺳ ﺎﻫرادﺮﺑ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .ﺪﻨﻨﮐ ﻣ دﺎﺠﯾا1ﻢﺠﺣ

ﻢﯾراد ،ﺪﻧراد ﺪﺣاو QQ^T =I

نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺖﯿﺻﺎﺧ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ det(Q)det(Q^T) =det(I) = 1

ﺲﭘdet(Q) = det(Q^T)نﻮﭼ det(Q)² = 1

ﻪﺠﯿﺘﻧ رد

|det(Q)|= 1

.ﺖﺳا هﺪﺷ دﺎﺠﯾا ﺐﻌ ﻣ ﻢﺠﺣ ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد .ﻢﯿﺘﺷاد ﻢﻫ ار رﺎﻈﺘﻧا ﻦﯿﻤﻫ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﻢﻫ ﺳﺪﻨﻫ ﺪﯾد زا .دراﺪﻧ یﺮﯿﺛﺎﺗ ﻖﻠﻄﻣ رﺪﻗ رد و ﺪﻨﮐ ﻣ ضﻮﻋ ار نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺖﻣﻼﻋ ﺎﻬﻨﺗ ﺎﻫﺮﻄﺳ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ

.دراﺪﻧ نآ ﻢﺠﺣ ﺮﺑ ﺮﯿﺛﺎﺗ حﻮﻄﺴﻟا یزاﻮﺘﻣ ﻊﻠﺿ ود حﻮﻄﺴﻟا یزاﻮﺘﻣ زا ﻌﻠﺿ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻦﯾا لدﺎﻌﻣ ﻦﯾا .دﻮﺷ ﻣ بﺮﺿtرد نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ،ﻢﯿﻨﮐ بﺮﺿtرد ار یﺮﻄﺳ ﺮﮔا

.دﻮﺷ ﻣ بﺮﺿtرد ﻢﻫ ﻞﺻﺎﺣ ﻢﺠﺣ ﺖﺳا ﻦﺷور .ﻢﯿﻨﮐ بﺮﺿtرد ار رد ﺎﻫرادﺮﺑ زا ﯾ ،یﺪﻌﺑ ﻪﺳ ﺖﻟﺎﺣ رد .ﺖﺳا ﺮ ﯾد یﺎﻫﺮﻄﺳ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﺎﻫﺮﻄﺳ زا ﯾ ،ﺪﺷﺎﺑ ﺮﻔﺻ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺮﮔا دراﺪﻧ ار یﺪﻌﺑ ﻪﺳ یﺎﻀﻓ ﯾ دﺎﺠﯾا ﯽﯾﺎﻧاﻮﺗ ﺎﻫرادﺮﺑ ﺲﭘ .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻊﻗاو ﺮ ﯾد رادﺮﺑ ود ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ دﺎﺠﯾا ی ﻪﺤﻔﺻ

.ﺪﺷﺎﺑ ﺮﻔﺻ ﺪﯾﺎﺑ ﻞﺻﺎﺣ ﻢﺠﺣ ﺎﺗﺪﻋﺎﻗ و

٣

ﺖﺣﺎﺴﻣ و نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻪﻄﺑار ﺮﯾز ﻞ ﺷ .ﺖﺳا هدوﺪﺤﻣ ﯾ ﺖﺣﺎﺴﻣ ﻢﺠﺣ یﺎﺟ ﻪﺑ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ،یﺪﻌﺑ ود ﺖﻟﺎﺣ رد .ﺪﻫد ﻣ نﺎﺸﻧ ار یﺮﻄﺳ رادﺮﺑ ود ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ ﺪﯿﻟﻮﺗ

a b c d

=ad−bc

۴