1Г.Ж. Есенбекова, 2Б.А. Жетписбаев, 3Б.А. Мукушев
1«Кайнар» (Семей) университеті, 2Семей қаласындағы мемлекеттік медициналық университет,
3Семей мемлекеттік педагогикалық институты Көптеген ғасырлар бойы адам баласына орасан зор
қайғы-қасірет әкелген факторлар ішіндегі ең бастысы әр түрлі аурулардың (оба, испан грипі) эпидемиясы болды.
Тарихи мәліметтерге үңілсек жүздеген жылдарда эпидемиядан көз жұмған адамдардың саны астрономиялық цифрлармен өлшенетініне көз жеткізуге болады. Тіпті кейбір аймақтарда халықтың барлығы дерлік өлім-жітімге ұшырады.
XIV ғасырда Европада оба эпидемиясынан (черная смерть) халықтың 25% -і көз жұмды. Сол кезде Европада 100 миллиондай адам тұрған. Қазіргі уақытта мұндай масштабтағы катаклизмнен адам баласы құтылғанымен, Африка құрлығында және оңтүстік шығыс Азияның, Латын Америкасының кейбір елдерінде локальді жаппай эпидемия факторлары кездесіп қалады.
Мұндай эпидемиялардың болу факторлары тек сол елдерге ғана зиянын тигізіп қоймайды, жұқпалы аурулардан толықтай құтылған аймақтарға да кауіп төндіреді. Мұндай елдерде денсаулық сақтау ісінің жақсы жолға қойылғандығының арқасында және ондаған жылдар бойы белгілі бір аурулар жоғалып кеткендіктен адамдарда сол ауруларға қарсы иммунитеттері әлсіреген.
Қазіргі дамыған транспорттық коммуникация жағдайында бір елде болған эпиде-мияның өршуі сол эпидемияға қарсы иммунитеті әлсіреген елдерде аз уақыт ішінде пайда болуы мүмкін.
Әр түрлі эпидемиялық аурулармен күресу және оларды жою мәселесі медицина ғылымдарының басты міндеті болып отыр. Қазіргі уақыттағы көптеген ауруларды емдейтін дәрілік заттардың пайда болуы эпиде-миялардың өршуін азайтты. Алайда, денсаулық сақтау мекемелері үшін жұқпалы аурулардың жайылуының динамикасын білу және олардың қандай жағдайда тарайтынын алдын ала болжап отыру аса маңызды міндетке айналып отыр. Сондықтан, эпидемиялық ауруларға қарсы күресуде тек фармецевтикалық индустрияны дамыту және халыққа фармакологиялық көмек көрсету ісі жеткіліксіз. Бұл
мәселені шешуде тек медицина саласы қызметкерлерінің ғана емес, әр түрлі бағытта жұмыс жасайтын көптеген мамандардың көмегі керек.
Қазіргі уақытта медициналық диагностика және клиникалық болжау (прогнозирование) жұмысында көптеген шешілмеген мәселелер пайда болды. Атап айтқанда:
- жаңа дәрілік заттарды фармакология тұрғысынан зерттеу;
- аурудың организмдегі даму және жойылу динамикасының биологиялық механизмі;
- эпидемияның ел ішінде таралу механизмі;
- карантин енгізу, егу, адамдардың контактілерін шектеу, мектептердің және моншаларды жабу және т.б.
сияқты эпидемиямен күресу құралдарының салыстыр- малы артықшылықтарын сандық түрде бағалау.
Аталып кеткен, мәселелердің барлық аспектілерін жүйелі түрде зерттеу жемісті болу үшін математикалық моделдеу әдісін қолданады.
Эпидемиялық аурулардың даму динамикасын математика тұрғысынан сипаттамай тұрып, кейбір медициналық және биологиялық терминдерге тоқтала кетейік. Бұл терминдер микроскопиялық фактор - бактерия клеткалары және вирустардың жай-күйінен бастап, макроскопиялық фактор - эпидемияның адамдар ортасындағы таралуына дейін қамтиды.
Жеке адам белгілі бір жұқпалы ауруды қабылдайтындар, немесе қабылдамайтындар (яғни иммунитеті күшті) болуы мүмкін. Ауруды таратқыш адам – инфекция көзі болады. Қабылдағыштық қасиеті бар жеке адам инфекцияны жұқтырғаннан кейін, біраз уақыт ол ауырғанын сезбейді, өйткені аурудың сырқы белгілері білінбейді. Осы уақыт аралығын – латенттік период деп атайды. Мұнан кейін жұқпалылық периоды басталады, ауырған адам ауруды қабылдайтын адамдарға жұқтыра бастайды, қабылдамайтындарға жұқпайды. Эпидемияны жұқтырған адамда аурудың әр түрлі симптомы пайда болады, сонан кейін ол адамды адамдармен контактіде
болмауы үшін жазылып кеткенше (немесе, мүмкін, қайтыс болғанша) ортадан оқшаулайды. Егер ауырған адам жазылып кетсе ол ауруды қабылдамайтындар қатарына біраз уақытқа дейін қосылады. Адамдар ортасынан оқшаулау ауруды тарату факторын тоқтатады. Ауруды жұқтыру және осы аурудың симптомдары пайда болған уақыт аралығын инкубациялық период дейді. Сонымен қатар, бір адамда аурудың симптомдары пайда болған кезден бастап, ол ауру жұқтырған екінші адамда осы симптомдардың пайда болу аралығы сериальдық интервал деп аталады.
Модель қарапайым болу үшін, адамдар ортасындағы барлық индивидум үздіксіз және бірқалыпты араласу жағдайында деп есептеледі.
Дегенмен, бұл шарт нақты өмірде орындалмайды.
Өйткені кез келген адамдар ортасы немесе биологиялық популяция өте күрделі жүйе болып табылады. Өйткені адамдар ортасының жай – күйіне әлеуметтік жағдайларының әркелкілігі, әр түрлі географиялық жағдайлардың болуы, адамдардың өзара араласуының уақыттық және кеңістіктік схемалары әсер етеді. Осы айтылған факторларды ескере отырып эпидемия динамикасын математикалық модельдеу тұрғысынан зерттеу әлі де болса қарқын алмай отыр.
Эпидемияның математикалық теориясында мынандай екіге бөлу бар: үлкен топты зерттеу және шағын топты зерттеу. Үлкен топтар теориясы эпидемияның пайда болу және таралу динамикасының жалпы сипаттамаларын бүтін адамдар қоғамы үшін жасалған эпидемияның қарапайым математикалық моделдері арқылы зерттейді. Мұндай модельдеу негізінде қоғамдық денсаулық сақтау органдарының жұмыстары жоспарланады және негізгі міндеттері анықталады. Шағын топ теориясы негізінде белгілі бір эпидемияның мысалы, мектептегі оқушылар тобы ішінде немесе семьяда таралуы зерттеледі. Мұндай зерттеулер нәтижесінде нақты клиникалық маңызы бар ақпараттар алынады (мысалы, латенттік және жұқпалылық периоды туралы мәліметтер).
Эпидемияның бірінші математикалық моделі.
Эпидемия тарайтын ортада тек ауруды қабылдайтындар ғана бар жағдайдағы қарапайым модельді қарастырайық. Ал өлім-жітім, аурудың жазылуы, оларды оқшаулау және ауырмайтын адамдардың болу факторларын модельге енгізбейміз. Мұндай қарапайым модельді кейбір жоғары тыныс алу органдарының ауруының бастапқы кезеңі үшін қолдануға болады.
Өйткені мұндай аурудың эпидемиясының бастапқы кезінде адамдар арасында өлім-жітім болмайды деп есептейміз, аурулар бірден жазылып кетпейді және оларды оқшаулағанша көп уақыт өтеді. Мысалы, белгілі бір ауруды қабылдағыш n индивидуум болсын және t = 0 уақыт моментінде топқа бір инфекция ошағы енеді.
Мұндай модель детерминистік болғандықтан топтағы жұқпалы ауру жұқтырғандардың аз санының статистикалық тербелісі тіпті n өте үлкен болса да елерліктей болады.
п индивидуумнан тұратын біртекті араласқан топты қарастырайық. t уақыт моментінде топта инфекция қабылдайтын х сау индивидуум және инфекция ошағы у болсын. Сонда х + у = n +1. Сонда Δt уақыт аралығында жаңадан ауырған адамдар саны Δx жалпы ауру жұқтырғандар санына да, инфекция қабылдайтын сау адамдар санына да тура пропорционал болады. Егер осы топтың мүшелері арасындағы контакт жиілігі болса, Δt уақыт аралығында жаңадан ауырған адамдар санының өзгерісі мына теңдеумен өрнектеледі: Δx = - βxy Δt, ал әлі
де ауырмаған адамдар санының өзгерісі βxy Δt - у Δt өрнегімен сипатталады. Төменде Рунге – Кутты әдісін қолдана отырып Mathcad 14 ортасында жасалған программамен жасалған есептеулер берілген.
Уақыт шкаласын мынандай түрге келтірсек τ =βt, жоғарыдағы теңдеу мына түрге келеді:
) 1 (
x n x d
dx
(1) Бастапқы шарт бойыншаx=n, τ=0 (2)
Шындығында біз ауру жұқтырған индивидуум сол ауруды жұқтыра сала басқа ауру қабылдайтын сау индивидуумдар үшін инфекция ошағына айналып отыр.
Яғни латенттік период нөлге тең.
(2) шарт орындалған жағдайдағы (1) теңдеудің шешімі мынандай болады
x=
(
(1
1)
)
e
nn n
n
Практикада эпидемия кезінде бір сөткеде немесе бір аптада жаңадан ауырған адамдар саны есепке алынады. Сондықтан жаңадан ауырған адамдар санының динамикасын қарастырған дұрыс. Бұл жағдайды эпидемиялық қисық сипаттайды. Оған сәйкес теңдеу мына түрде болады.
( 1)
2) 1 (
)
21 ) (
1
(
nn
e n
e n x n
n d x
dx
n = 999 болған жағдайды қарастырайық. Бұл – өрнектің графигі бір төбесі бар симметриялы қисық болып табылады ( 2 - сурет). Бұл қисықтың максимумы
τ=
1
ln
n
n
= 0,0068 нүктесінде болады.Сонымен, эпидемияға тән қасиеттерді анықтадық:
жаңадан ауырғандардың саны басында тез өседі де бір моментте максимумға жетеді. Сонан кейін нөлге дейін азаяды. Бұл жерде біз вируленттік факторын ескерген жоқпыз.
Эпидемияның екінші математикалық моделі.
Ауру жұқтырған индивидуумдарды коллективтен аластатқан жағдайдағы эпидемияның математикалық моделінің нәтижелерін жалпылаудың практикалық маңызы өте үлкен.
Мысалы, п біртекті араласқан индивидуумдардан тұратын топта t уақыт моментінде х қабылдайтын индивидуумдар, у инфекции ошағы және z аластатылғандар (яғни оқшауландырылғандар, қайтыс болғандар немесе жазылып кеткендер, инфекцияны қабылдамайтындар) болсын. Сөйтіп x+y+z=n өрнегін жаза аламыз. Егер осы топтың мүшелері арасындағы контакт жиілігі болса, Δt уақыт аралығында жаңадан ауырған адамдар орташа саны βxy Δt тең. Енді топтан индивидуумдарды аластату жиілігі енгізіеміз. Сонда Δt уақыт аралығында жаңадан аластатылған индивидуумдар ∙yΔt болады.
Осы процесс үшін теңдеулер жүйесі мына түрде болады:
Сурет 1 – Эпидемияның бірінші моделінің Mathcad 14 ортасында алынған графигі
Сурет 2 - Mathcad 14 ортасында алынған эпидемиялық қисық
Саулар
Ауырғандар
Сурет 3 – эпидемияның екінші моделінің графигі
Сурет 4 - Ауру жұққан индивидуумдардың максимал саны мен пропорционалдық коэффициент арасындағы тәуелділік графигі
Мұнда мынандай бастапқы шарттар орындалу керек: t = 0 уақыт моментінде (x, y, z) = (x0, y0, 0). Егер бастапқы инфекция ошақтарының саны өте аз болса , х0 ≈ n деп есептеуге болады. (3) жүйедегі 2-теңдеуден мынаны көруге болады: егер х0 > ∕ болса ғана эпидемия басталады. ∕ = шаманы аластатудың салыстырмалы жиілігі деп атайды. Бұл шаманың шектілі мәніні = х0 ≈ n. Инфекцияны қабылдайтындардың тығыздығы бұл шамадан төмен жатса, инфекция басқа индивидуумға беріліп үлгергенше инфекция жойылып кетеді. Егер тығыздық шектілі мәннен жоғары жатса, онда бастапқы инфекция ошақтарының саны болымсыз аз болса да эпидемия өрши бастайды.
Жоғарыда айтылғандардан мынандай қорытынды жасаймыз: егер инфекция қабылдайтын индивиду- умдардың тығыздығы үлкен, ал инфекция жұқтыр- ғандарды коллективтен аластатудың салыстырмалы жиілігі аз болса эпидемия тез өршиді. Егер жақсы әлеуметтік жағдай орнап, инфекция қабылдайтын индивидуумдардың тығыздығын азайтса және жақсы ұйымдастырылған денсаулық сақтау жұмысының нәтижесі – инфекция жұқтырғандарды коллективтен аластатудыңсалыстырмалы жиілігі жоғары болса, онда эпидемияның тарауы шектілі болады.
Эпидемияға қарсы алдын алу (профилактика) жұмысының нәтижелілігін Mathcad 14 ортасында программалау. Жоғарыда айтып кеткендей эпидемияның өршу жылдамдығы және оның жойылуы денсаулық сақтау мекемесінің жұмысты ұйымдастыру қарқынына тікілей байланысты. Денсаулық сақтау мекемесінің жұмысы және әрбір адамның денсаулық сақтау мәдениетінің деңгейі жоғарыда айтып кеткен
пропорционалдық коэффициентті анықтайды. Егер, мысал үшін айтсақ, қала тұрғындары марлі байлауышпен тыныс алу органдарын жауып жүрсе және егуден өтіп отырса, бұл коэффициент азаяды.
Төменде эпидемияға қарсы алдын алу жұмысының қарқындылығы мен жұқпалы ауру жұқтырғандар саны арасындағы тәуелділікті Mathcad 14 программалау тілімен көрсетіп отырмыз.
График орналасқан координат өстерінің абциссасында профилактикалық коэффицент берілген.Ал ордината өсі белгілі бір Пр пропорционалдық коэффициентке сәйкес келетін ауру жұққан индивидуумдардың максимал санын көрсетеді.
Сонымен, әр түрлі эпидемиялық процестердің моделін жасап және оны компьютерлік техника көмегімен талдау барысында медицинадағы денсаулық сақтау жұмысын ұйымдастырудың көптеген мәселелері шешіледі. Атап айтқанда, медицинаның диогностика, болжамдар жасау, мониторинг және алдын алу жұмыстарын математикалық моделдеу арқасында қарқынды дамытуға болады.
Әдебиеттер:
1. Есенбекова Г.Ж., Утепбергенов И.Т.
Математическое моделирование экологических систем–
Алматы 2004.–104 б.
2. Белман Р. Математические методы в медицине / Перевод с английского А.Л.Лсаченкова, И.Л.Шалькова, под редакцией Белых. – Мир, 1987. – 200 с.
3. Mathcad 14 для студентов, инженеров и конструкторов. Санкт – Петербург «БХВ -Петербург»
2007- 360с.
Исследование эпидемологических процессов на основе математического моделирования (теоретический аспект)
Г.Ж. Есенбекова, Б.А. Жетписбаев, Б.А. Мукушев
Статья посвящена использованию математического моделирования в исследовании эпидемологических процессов.
Mathematical modeling in epidemiological process research (theoretical aspect) G.Zh.Esenbekova, B.A. Zhetpisbayev, B.A. Mukushev
This article is devoted to using mathematical modeling in epidemiological process research.
УДК 612.79:612.882:612.89.53:612.014.482-55-616.839