Ｆｔ＝△ｐ
取 ｔ＝１ 秒，由上式得
F = = mv - 0
t = mv
△p t
所以传送带功率 Ｐ＝Ｆｖ＝ｍｖ２＝５０ 瓦
这两种解法后者是正确的，前者是错误的，错误原因是忽略了传送 带与煤之间在初始阶段有相对位移。传送带所做的功并非全部用来增加 煤的动能。其中有一部分摩擦力做功转化为煤和传送带的内能。其产生 的内能为 Ｑ＝ｆ·△ｓ，式中△ｓ 表示煤块与传送带间的相对位移。
在确定了条件符合可用动量定理之后，除了“动量定理”条目中提 及的注意点之外，还需考虑研究对象的选取，总动量的计算技巧以及初 末状态的合理确定等。动量守恒的条件当系统不受外力或所受合外力为 零时，系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。图（１）中，Ａ、Ｂ 两物体在光滑的水平面上匀速相向运动，两物体的动量大小分别为 ＰＡ和 ＰＢ，某时刻两物体相互碰撞，碰撞后运动方向仍在一直线上，其动量分 别变为 ＰＡ′和 ＰＢ′。设其相互作用力分别为 Ｆ 和 Ｆ′，作用时间为△ｔ，
由于
Ｆ＝－Ｆ′所以 Ｆ△ｔ＝Ｆ′△ｔ（１）
由动量定理可得
Ｆ△ｔ＝ｐＡ′－ＰＢ′、Ｆ′△ｔ＝ＰＢ′－ｐＢ，代入（１）式则 ｐＡ′－ｐＡ＝－（ｐＡ′－ｐＢ） （２）
即 ＰＡ′＋ＰＢ′＝ＰＡ＋ＰＢ
等式右边碰撞前系统的总动量，等式左边为碰撞后系统的总动量。
此式说明，碰撞前后系统内两物体的动量都发生了变化，但系统的总动 量保持不变，即动量守恒。在这一碰撞过程中，Ａ、Ｂ 间的作用力属于内 力，系统所受合外力为零。
动量守恒定律虽然可以从牛顿定律推出。但是大量实验事实证明，
它是独立于牛顿定律之外的，具有更加广泛意义的物理规律。
动量守恒的条件是系统不受外力或所受合外力为零。但在解决实际 问题时，如果外力远小于内力，且外力作用时间极短，也可忽略外力作 用而运用动量守恒定律，例如在列车编组中，用一节运动的车箱去碰撞 另一节静止的车厢并结合为一体，在二车箱碰撞并结合的短暂时间内，
车箱与路轨间的摩擦力比两车箱相互碰撞的作用力小很多，故可在碰撞 过程中运用动量守恒定律。
与机械能守恒定律不同，动量守恒定律的显著特点是它的矢量性，
这可能给初学者运用该规律带来较多的麻烦，但是，正是它所具有的矢 量性，使我们可以在某一方向上单独使用它。例如在图（２）中，小车 Ｍ 置 于水平光滑的轨道上。小球用不可伸长的绳子系于车上。当将小球从悬 线水平的位置由静止释放后，小球和小车组成的物体系机械能守恒，但 系统动量不守恒，因为系统所受合外力不等于零。但在水平方向上，系 统所受合外力为零。所以可在水平方向上对系统运用动量守恒定律。如 若在小车的左侧立一挡板，如图（３）所示，则在小球 ｍ 摆至最低位置前系 统水平方向动量不守恒。但当小球从最低位置继续向右摆动时，挡板与 小车 Ｍ 间无相互作用力，故可对系统从小球由最低点向右摆动的过程运 用水平方向动量守恒的规律。当小球摆至右侧最高位置时，小球和小车 具有共同的水平向右的速度 Ｖ，如图（４）所示。由动量守恒规律得
ｍｖ＝（ｍ＋Ｍ）Ｖ
式中 ｖ 为小球在最低位置时的速度，由于机械能守恒，所以 ｖ＝
2gl m 2
m M V m
m M gl
，将 代入上式， 可求得 ＝v V V
+ =
+
小球从最低点摆至右侧最高位置的过程，系统机械能仍守恒。所以 有
mgl = 1
2mv2 =1
2（m + M）v + mg2 （l - lcosθ）
由此式可求得小球向右摆动的最大偏角θ，即θ= cos－ m 。 m + M
1
碰撞两个物体相互作用的时间极短，作用力又很大，其它作用力相 对很小，这就是常见的碰撞现象。在碰撞现象中，把参与碰撞的物体作 为一个系统。可以认为系统仅有内力作用。故系统动量守恒。相互碰撞 的物体，若接触面的法线通过两物体的重心，碰撞前后两物体的速度均 在一条直线上，这样的碰撞叫正碰，否则叫斜碰。对于正碰的两个物体，
动量守恒的矢量运算可以简化为用正负号表达的代数运算，若碰撞前两 物体动量分别为 Ｐ１和 Ｐ２，碰撞后其动量分别为 Ｐ′１和 Ｐ′２，则有
ｐ′１＋ｐ′２＝ｐ１＋ｐ２
从碰撞开始到碰撞结束，系统初末两态动能若无损失，则称为弹性 碰撞；若有动能损失，则为非弹性碰撞。在非弹性碰撞中，若碰撞后二 物体结合在一起，这时系统动能损失最大，这种碰撞叫完全非弹性碰撞。
在处理实际问题时，若碰撞中损失的动能很小（如钢球、玻璃球间的碰 撞）则可视为弹性碰撞。
弹性碰撞 图中 ｍ１、ｍ２为大小相等的两钢性球。两球置于光滑水平 面上。ｍ１的速度为 ｖ１，ｍ２的速度为零。设两球发生弹性正碰。
第一阶段，两球接触后均被压缩而发生形变，形变产生的弹力使 ｍ１ 减速，ｍ２则被加速，直到两球速度相等（即相对速度为零）时压缩量达 到最大，这一阶段称为压缩阶段。在压缩阶段系统动能逐渐减少，而系 统势能逐渐增大。两球速度相等时，系统势能达到最大，而系统动能减
至最小。但是整个过程的任一时刻，系统的机械能保持不变。
第二阶段，由于两球间弹力作用，ｍ１继续减速，ｍ２继续加速。从而 使 ｍ２的速度大于 ｍ１的速度，两球形变逐渐减小，当两球即将分离的瞬间，
形变完全消失。这一阶段称为恢复阶段。在恢复阶段，系统的弹性势能 逐渐减小，系统的动能逐渐增大。当形变完全消失时，系统势能为零，
而系统动能重新达到最大。
若取两球开始接触的瞬间为初态，两球分离时为末态，系统的总动 能应等于初态时的总动能，故有
1
2m v + 1
2m v = 1 2m
1v + 0 (1)
1 2
2 1
2 2
2
′ ′ 1
由于系统无外力作用，故系统动量守恒，从而可得 ｍ１ｖ１＋０＝ｍ１ｖ′１＋ｍ２ｖ′２ （２）
由（１）、（２）两式解得
v 1 = m m v 2 =
1 2
′
′
− + +
m m v
m
m m v
1 2
1 1
1 2
1
2
从上面两式可知，ｖ′２ 的方向始终与 ｖ１ 相同。当 ｍ１＞ｍ２时，ｖ′１ 与 ｖ１方向相同，当 ｍ１＜ｍ２时，ｖ′１与 ｖ１反向。
若 ｍ１＝ｍ２，则 ｖ′１＝０，ｖ′２＝ｖ１，即碰撞后两球交换速度。
若 ｍ２》ｍ１，则 ｖ′１≈－ｖ１。即碰撞后 ｍ１等速反向运动。
机械振动 物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧做往复运 动，就叫做机械振动，简称为振动。
振动是物体运动的基本形式之一，它在自然界广泛存在。例如机械 钟摆的摆动，发动机活塞的往复运动等都是机械振动。自然界中一切具 有弹性的物体都可产生振动。振动既可以造福于人类，例如振动打桩机、
按摩器、共振筛等，又可能造成不良的后果，消耗不应消耗的能量，甚 至会引起机器上机器零件的“疲劳”发生事故。
振动是产生波的根源，只有有了振源的振动，才会发生振动在媒质 中的传播，即波的传播。
简谐振动 简谐振动是最简单、最基本的机械振动。物体在跟位移 成正比，并且方向总是指向平衡位置的回复力的作用下所作的振动叫简 谐振动，也就是当物体在 Ｆ＝－ｋｘ 的回复力作用下的运动，式中 ｋ 为常数，
ｘ 为以平衡位置为原点物体的位移。
简谐振动还可以表示为：位移随时间按正弦（或余弦）规律变化的 振动，记作
ｘ＝Ａｓｉｎωｔ
式中 Ａ 是振幅，ω为角频率，ｔ 为时间。做简谐振动的物体的加速度为 a = k
mx
－
加速度的大小也和物体相对平衡位置的位移大小成正比。在振动物 体的最大位移处，物体的速度为零，加速度最大，在位移为零处加速度 为零，速度最大。从功和能的角度观察简谐振动，因物体没有受到摩擦
或其它介质的阻力，所以只有动能和势能之间的相互转化，物体的机械 能守恒。
例如，一个质量为 １ 千克，摆长为 １０ 米的单摆在平衡位置的速度是 ５ 米／秒。当它摆到速度为 ２ 米／秒时，摆球的重力势能为
Ｅ１＝Ｅ２
1
2 E = 1
2
Ep = 1 5 - 2
P
2 2
mv mv E
m v v
Ep
P 2
1
2 2 2 1
2 2
1 2 1 2 8
= +
−
=
( )
) ( )
× ×（
焦
简谐振动又称“谐振动”，一切复杂的振动都可以看成是若干个不 同的简谐振动的合成。
简谐振动是一种理想化模型。在忽略阻力的条件下，有许多振动现 象可以看作是简谐振动。
弹簧振子 无摩擦的水平杆上穿有一个小球，小球与一只一端固定 的轻质（质量可忽略不计）的弹簧水平穿过杆连接，构成了一个弹簧振 子。小球受到的重力和杆的支持力相互平衡，对振子（小球）的振动没 有影响。在弹性限度内振子离开平衡位置时受到的弹力为 ｆ＝－ｋｘ。这个弹 簧的弹力的方向总跟振子偏离平衡位置的位移方向相反。在这个回复力 的作用下，弹簧振子做简谐振动。
弹簧振子做简谐振动的周期为 T = 2 π m ，式中 表示周期，其 T k
单位是秒，ｍ 表示振子的质量，单位是千克，ｋ 是轻质弹簧的倔弹系数。
如图（１）所示。
若竖直悬挂的轻质弹簧下端挂一质量为 ｍ 的物体（视其为质点），
弹簧的伸长为△ｌ 时，物体静止于 Ｏ 点。把物体竖直向下拉一段距离 ｘ 到达 Ａ 点（弹簧的弹性形变范围之内），然后释放物体，物体在 Ｏ 点附 近做往复运动。取 Ｏ 点为坐标原点并定竖直向下为 ｘ 轴的正方向，则此 时物体受到的合力为∑Ｆ＝ｍｇ－ｋ（ｘ＋△ｌ）由于 ｍｇ＝ｋ△ｌ，∑Ｆ＝－ｋｘ 同样地，
振动物体在 Ｂ 点（物体在竖直方向所能达到的最高点）受到的合力的大 小为∑Ｆ′＝ｍｇ＋ｋ（－ｘ－△ｌ）＝－ｋｘ，∑Ｆ 的方向与位移的方向相反。
可见竖直悬挂的弹簧振子，在弹性限度内，无论在何位置其所受到 的合力都可记作
∑Ｆ＝－ｋｘ
满足物体做简谐振动的条件。所以竖直方向上悬挂的弹簧振子做的是简 谐振动。
简谐振动的周期公式 振动的物体完成一次全振动需要的时间叫 周期。它表示物体振动的快慢程度。我们利用简谐振动与匀速圆周运动 的联系可以推出简谐振动的周期公式。在图（１）中，质量为 ｍ 的质点在半 径为 Ａ 的圆周上从 Ｍ 点出发做匀速圆周运动，其角速度为ω，则质点到 达 Ｎ 点时在 ｘ 轴上的射影为 ｘ＝Ａｃｏｓωｔ。
可见匀速圆周运动的质点在 ｘ 轴上的射影点 Ｑ 是在平衡位置（圆心）
Ｏ 点附近作简谐振动。已知做匀速圆周运动质点的向心加速度为ω２Ａ，其 在 ｘ 轴上的射影的加速度为
ａ＝－ω２Ａｃｏｓωｔ＝－ω２ｘ
方向指向平衡位置（圆心）。则根据牛顿第二定律
a = F
m = − ω m
2x
于是有 ω2 = km
对比匀速圆周运动，质点沿圆周每转一圈射影点完成一次全振动，
则匀速圆周运动的周期恰好就是其射影的简谐振动的周期，则 T =
T = 2 2π 2
ω = π m k m π k
是简谐振动的周期公式。式中 ｍ 是反映了质点的固有属性——惯性的大 小的物理量，ｋ 是系统自身特性的物理量。所以简谐振动的周期是由构成 振动的自身条件所决定的，又被称做固有周期。故做简谐振动的物体具 有等时性，常被用作计时的工具，其周期可作为计时的基准周期。
单摆 用一根不能伸长的而且质量可以忽略不计的细绳，一端拴着 一个小球，绳长远大于小球的直径，绳的另一端固定在悬点上，这样的 装置叫做单摆。如图所示。
使单摆的摆球在一竖直平面内，在平衡位置 Ｏ（单摆不振动时的静止 位置）附近做振动。摆球受到的回复力为
Ｆ＝ｍｇｓｉｎα
当摆角α≯ °时， 5 sin α = ，回复力的大小
F = x
x mg l
l
再考虑到回复力的方向总与位移方向相反（以平衡位置 Ｏ 为原点），
则有
F = －mgx，令k = ，则F =－kx l
mg l 所以当α≯５°时，单摆作简谐振动。
将 代入简谐动的周期公式 k T = 2 π m ，得到单摆的周期公式 k
T = 2π l g
从单摆的周期公式可知，在摆角很小的情况下，单摆的周期与振幅（摆 球离开平衡位置的最大距离）、摆球的质量无关。
单摆的周期公式由荷兰学者惠更斯首先得到，并于 １６５７ 年首先利用 单摆的等时性发明了带摆的计时器。由于单摆的周期可以通过调节摆长 来实现，计时很方便。例如，在北京造一个周期为 ２ 秒的秒摆的摆长为