2 · 即得a v

= r

²

= ω

²

r (4)

（二）极限法。图（２）中，做匀速圆周运动的质点在 Ａ 点时即时速度为 ｖ_Ａ， 在 Ｂ 点时即时速度为 ｖ_Ｂ，二者大小相等。将 ｖ_Ａ、ｖ_Ｂ 两速度矢量平移于

一起点 ＇，做出速度矢量三角形。在矢量三角形中，

° △ O a = 180 −

2 ϕ 1

( )

当△ → 时，△ → ，α→ °，△ 的极限方向垂直 并指向 圆心。 t 0 ϕ 0 90 v v

_A

比较矢量三角形及△ＡＢＯ，由相似关系知

△ v 弦 v

AB

= r ( ) 2

由（２）式得

△v =弦AB·v (3) r

用△ｔ 除（３）式两端，得

△

△ 弦

△ · v

t = ABt v

r (4)

当△ → 时， 式左端即为向心加速度的大小， 弦

△ 即为线速

t 0 (4) AB

t 度大小，故有

a v

r r

=

²

= ω

²

( ) 5

需要指出，向心加速度公式 a = v ω 虽然从匀速圆周运动推

r = r

2 2

出，但也适用于非匀速圆周运动。对非匀速圆周运动，公式中的 ｖ 应为 即时线速度的大小，求得的 ａ 则是即时加速度的大小。

向心力　　做圆周运动的质点受到指向圆心的作用力。由牛顿第二定 律及向心加速度的公式可得

F = ma = m ω

²

r = mv

2

r

同向心加速度公式的适用范围一样，该公式对做匀速圆周运动和非 匀速圆周运动的质点都适用，公式中的 ｖ 和ω应为即时值。

向心力是根据力的作用效果命名的力。它实际上是做圆周运动的质 点受到的径向合力。该合力的方向不断变化但始终指向圆心。在实际问 题中，向心力可以是一个力，如地球绕太阳做圆周运动的向心力是太阳 对地球的吸引力；向心力也可以是某一个力的分力，如地面上的物体随 地球自转而绕地轴做匀速圆周运动的向心力是地球对物体吸引力的一个 分力；图（１）中，质量为 ｍ 的小球在光滑的倒锥形桶壁上做匀速圆周运动，

它所需的向心力就是重力 Ｇ 与桶壁支持力 Ｎ 的合力。该合力的方向指向 圆心 Ｏ＇（不要误认为是 Ｏ），若桶壁与竖直方向的夹角为θ，则向心力 为

F = mgctg = m r = m v

²

θ ω

²

r

由上式知，当小球速率增大时，做圆周运动的半径随之增大，小球 将沿桶壁上升。

向心力公式把做圆周运动质点的运动情况与受力情况联系了起来，

如果知道受力情况当然可以确定运动情况；反之，如果知道运动情况也 可确定受力情况。例如，在图（２）中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴 ＯＯ＇

旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为 ｍ 的物块 Ａ，设弹簧倔强系数为 ｋ，弹簧原长为 ｌ。将物块置于离圆心 Ｒ 处，

Ｒ＞ｌ，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速 ω逐渐增大，物块 Ａ 相对圆盘始终未滑动，当ω增大到ω＝

5 4 k R t

mR

( − ) 时，物块 是否受到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力， A

试确定其方向。

对物块 Ａ，设其所受静摩擦力为零时的临界角度为ω_０，此时向心力 仅为弹簧弹力；若ω＞ω_０，则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的 静摩擦力；若ω＜ω_０，则需要较小的向心力，物块受到的静摩擦力必背 离圆心。

依据向心力公式，有

mω2R = k（ — ）R l 0

所以ω 因已知ω

0

5 4

= k(R - l) mR

= k R l mR ( − ) 得ω＞ω_０

可见物块 Ａ 所受静摩擦力指向圆心。

从此题可以看出，圆周运动问题仍然是物理基本定律（如牛顿定律）

的运用问题，受力分析仍然是解题的关键。

圆锥摆　　在长为 ｌ 的细绳下端拴一个质量为 ｍ 的小物体，绳子上端 固定，设法使小物体在水平圆周上以大小恒定的速度旋转，细绳就掠过 圆锥表面，这就是圆锥摆，如图所示。

从图可知，小球做圆周运动的圆心是 Ｏ＇，做圆周运动的半径是 ｌｓｉｎ θ，小球所需的向心力实际是绳子拉力 Ｆ 与重力 Ｇ 的合力。并有 Ｆ_合＝ｍｇｔｇ θ＝ｍω^２ｌｓｉｎθ。由此式可得

cosθ= g ω²l

这说明做圆锥运动的小球的摆线与竖直方向的夹角与摆球质量无 关，与摆线长度及角速度有关。当摆长一定时，角速度越大，θ越大。

由于绳子拉力F = mg / cosθ= mg = mω 。可见绳子拉力随角速度l g/ω²l

2

的增加而增大。

小物体旋转一周所经历的时间叫做一个周期，若用 Ｔ 表示，则

Ｔ＝^{2π 2}

ω 。从该式及cosθ= g /ω 中消去ω可得l T = 2π lcos / gθ

该式称为圆锥摆的周期公式。在地球表面同一地点，圆锥摆的周期

与 l cosθ 成正比，而与小球质量无关。若摆线 为定长，则ω越大，θ l

越大，周期越小。

离心现象　　做匀速圆周运动的质点受到指向圆心且大小不变的向心 力作用，其向心力大小为 Ｆ＝ｍω^２Ｒ，当质点受到的向心力减小时，质点将 做逐渐远离圆心的运动，若将向心力突然消失，质点将沿圆周切线方向 飞出并做匀速直线运动，这种现象叫离心现象。

离心现象是由于向心力不足或向心力消失引起的。不能说是由于质 点受到背离圆心的所谓“离心力”而引起的。离心力是做圆周运动的物 体对迫使它做圆周运动的另一个（或几个）物体所施加的作用力，它与 向心力大小相等、方向相反，相互对应。由于向心力是根据力的作用效 果命名的力，它常常是几个力的合力或某一个力的分力，所以不能简单 地说离心力就是向心力的反作用力。

离心现象在日常生活中随处可见，自行车或汽车转弯时若车速较大 而拐弯又太猛（即圆周运动的半径太小）由于地面给轮胎的摩擦力不足 以提供所需的向心力，就可能造成交通事故。利用离心现象人们制成了 各种离心机械，如离心脱水机、离心水泵、离心转速计等。

开 普 勒 三 定 律 　　德国天文学家开普勒在哥白尼地动学说的影响

下，在前人收集的大量关于行星运动的资料的基础上，经过仔细分析、

整理和推算，总结出行星运动的三条运动学规律，即开普勒三定律。

第一定律（轨道定律）：一切行星都沿各自的椭圆轨道运行，太阳 在该椭圆的一个焦点上。

第二定律（面积定律）：对任何一个行星，它和太阳连线在相等的 时间内总是扫过相等的面积。

第三定律（周期定律）：每个行星的椭圆轨道的半长轴的立方跟公

转周期的平方的比值都相等，即 a ，比值 是一个与行星无关的

T

3

2

= k k

恒量。行星运行的椭圆轨道与圆轨道相近，当把行星轨道近似当做圆时，

公式中的 ａ 即为圆半径。

开普勒确立的三定律为牛顿创立他的天体动力学理论奠定了实验基 础，同时，开普勒也是最早用数学公式表达物理规律并获得成功的人之 一，从他所在的时代开始，数学方程就成为表达物理规律的基本方式。

万有引力定律　　任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个 物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，即

F Gm m

= r¹₂ ²

式中的 Ｇ 叫做万有引力恒量，Ｇ＝６．６７３２×１０^１１牛·米^２／千克^２。 对该定律的理解和应用应注意：

①定律适用于计算可视为质点的二个物体之间的相互引力，ｒ 指两个 质点间的距离。若两物体是质量均匀分布的球体或各层质量均匀分布的 球体，ｒ 就是两个球心间的距离。

②地球可视为各层质量均匀分布的球体，所以地面上质量为 ｍ 的物 体所受地球的吸引力可表示为F =FMm，式中 和 分别表示地球质M R

R² 量和半径。

③在地球表面，Ｒ 可视为定值，物体的质量不同，所受地球引力也不 同，且 Ｆ∝ｍ。从这个意义上说，质量可以作为万有引力大小的量度。所 以万有引力定律涉及的质量称为引力质量。而牛顿定律中的质量称为惯 性质量。实验证明，惯性质量与引力质量成正比，若选取适当的单位，

惯性质量与引力质量在数值上相等。

④天体的质量是巨大的，所以天体之间的万有引力很大，因此万有 引力定律是研究天体运动的基本定律，一般质量很小的物体之间的引力 十分微小，特别在研究微观粒子时，万有引力一般忽略不计。

万有引力定律的推导　　地球及其它行星的公转轨道近似于圆，行星 的运动可看成以太阳为中心的匀速圆周运动。设想行星做圆周运动的向 心力就是太阳对行星的吸引力，若行星质量为 ｍ，公转周期为 Ｔ，轨道半 径为 ｒ，由牛顿第二定律可得

F = ma = m

_n

ω

²

r = (1)

2 2

m 4 r T

π

从开普勒第三定律 r 求出 并代入 式，则有 T

3

3

= k T (1)

F km

= 4 r

²

2

π (2)

令μ＝４π^２ｋ，（２）式变为

F= µ m

r₂ (3)

此式说明太阳对行星的引力与它们间的距离成反比，与该行星的质 量成正比，式中的μ，各个行星都相等，它是一个与行星无关，只与太 阳性质有关的常量。

进一步研究发现，卫星绕行星的运动也遵从同样的规律，这时，（３）

式中的 ｍ 为卫星的质量，ｒ 是卫星的轨道半径，μ则是仅由该行星决定的 常量。这说明，太阳对行星（如地球）的作用力与行星对卫星（如地球 对月球）的作用力属同一性质的力。

牛顿设想地球作用于地面上物体的重力也是这一性质的力。他巧妙 地把地面上的重力推广到月球轨道上。月球绕地球的运动可近似看成匀 速圆周运动，设月球运转周期为 Ｔ_月，月地距离为 Ｒ，则月球的向心加速 度为

a

^月

= 4 T

²

2

π R (4)

若重力也遵从平方反比规律，则月球轨道处的重力加速度 ｇ 月与地 面重力加速度 ｇ 的比值为

g

g R

月 月

= R

(5)

2

2 0

牛顿时代人们已测知 Ｒ_月≈６０Ｒ。地球半径 Ｒ_０≈６３７０ 公里，Ｔ≈２．３６

×１０^６秒。将这些数据代入（４）、（５）两式，可得 ａ_月≈ｇ_月≈２．７×１０^－３米／秒^２

这说明，地球对地面物体及月球的作用力均遵从平方反比规律，牛 顿设想，地球对太阳的作用力也应如此，即

F M

'= µ'r₂ （ ）6

式中，Ｍ 为太阳质量，μ＇是仅由地球决定的常量。比较（３）、（６）

两式，并运用牛顿第三定律，可知 µ'M µ

r² = m

r₂ (7) 即 µ' µ

m = M ( )8

（８）式说明该比值是一个与地球及太阳质量均无关的恒量，设该比值 为 Ｇ，则有μ＝ＧＭ。将μ＝ＧＭ 代入（３）式，可得

F GMm

= r₂ (9)

由于太阳对行星、行星对卫星、地球对地面物体的作用力都遵从（９）

式所表达的规律，牛顿将它做了合理的推广，即任何两个物体间都存在 相互作用的吸引力，力的方向沿两物体的联线方向，力的大小与两物体 质量的乘积成正比，与两物体之间的距离的平方成反比，其数学表达式

仍如（９）式所示。

天体质量的测定　　地球及其它天体的质量很大，牛顿发现的万有引 力定律为计算天体质量提供了可能性。

假定某天体的质量为 Ｍ，有一质量为 ｍ 的行星（或卫星）绕该天体做 圆周运动，圆周半径为 ｒ，运行周期为 Ｔ，由于万有引力就是该星体做圆 周运动的向心力，故有

G Mm

r m

T r

2

2 2

= 4 π

由此式得 M = 4 r ，若测知 和 则可计算出天体质量 。

T r M

2 3

π GT

²

例如：测知月球到地球平均距离为 ｒ＝３．８４×１０^８米，月球绕地球转动 周期 Ｔ＝２７．３ 日＝２．３６×１０^６秒，万有引力恒量 Ｇ＝６．６７×１０^－１１牛·米^２／千 克^３，将数据代入上式可求得地球质量约为 ５．９８×１０^２４千克。由于地球表 面物体的重力近似等于万有引力，所以地球质量还可用下式粗算

mg ＝ G M m

^地

R

²

由此式可得 M

_地

≈ R g ≈ 6.0 × 10

²⁴

千克

G

2

天体密度的测定 　　应用万有引力定律测出某天体质量又能测知该 天体的半径或直径，就可求出该天体的密度，即

ρ

π

= M = V

M 4 R 3

3

例如某登月密封舱在离月球表面 １１２ 千米的空中沿圆形轨道绕月球 运行，运行周期为 １２０．５ 分钟，月球半径为 １７４０ 千米，应用万有引力 公式算出月球质量为

M = 4 r

=

= 7 19 10

2 3 月

× × × ×

× × ×

． × （千克）

π GT

²

2 6 6 3

11 2

22

4 314 0 112 10 174 10 6 67 10 120 5 60

. ( . . )

. ( . )

+

−

月球平均密度为

ρ

π

= M = 4 R

3

7 19 10 4

3 314 174 10

3

22 6 3

.

. ( . )

×

× × ×

≈３．２６×１０^３（千克／米^３）

如果不易测知天体半径，也可用人造飞行器沿该天体的表面匀速率

绕行，设其绕行周期为 ，公式 T M = 4

^{2 3}

中的 恰为天体半径，由此可 r

2

π r GT

得天体密度为

ρ π

π

= m = = π

v

r GT

r GT

4 3

4 3

2 2

3

3 2

/