h
t
t
p
:
/
/
m
a
t
e
m
a
t
r
i
c
k
.
b
l
o
g
s
p
o
t
.
c
o
m
Ringkasan Materi :
Kasus I : x → a x e dekati bila ga terte tu ada 2 be tuk Bentuk I :
lim
f
(
x
)
f
(
a
)
a
x
Contoh :
( 1 ).
lim
(
2
24
)
2
.(
2
)
24
2
.
4
4
8
4
4
2
x
x
( 2 ).
0
1
0
1
9
9
2
3
9
3
2
9
lim
2 2
3
x
x
x
Secara singkat kita katakan bahwa limit - limit pada bentuk I adalah limit yang selesai cukup dengan disubtitusikan Bentuk II :
lim
f
(
x
)
f
(
a
)
a
x
Dalam bentuk ini
lim
f
(
x
)
a x
tidak dapat dicari dengan
mengganti ( mensubtitusi ) x dengan a, sebab nilai
)
(
a
f
akan berupa bilangan tak tentu ( yaitu0 0)
Ingat ! bahwa
0
0
adalah bilangan taktentu/ tak terdefinisi
Untuk menyelesaikan langkahnya adalah dengan menyederhanakan baik melalui faktorisasi atau mengalikan dengan sekawannya
Contoh :
3
9
lim
2
3
x
x
x
Pada soal ini apabila x diganti 3, maka hasilnya adalah :
0
0
0
9
9
3
3
9
3
2
yang merupakan bilangan tak tentu
sebab
0
0
hasilnya bisa 1, bisa 2, 3, dll, dan ini bukan
jawaban, maka perlu diadakan penyederhanaan yaitu dengan proses faktorisasi
6 3 3 ) 3 ( lim 3
) 3 ).( 3 ( lim 3
9 lim
3 3
2
3
x x
x x x
x
x x
x
Jadi
3
9
lim
2
3
x
x
x
= 6
Kasus II : x → ∞ x e dekati tak hi gga ada 2 be tuk
Bentuk I :
lim
(
ax
2bx
c
px
2qx
r
)
x
Untuk bentuk ini kita pakai saja cara praktis ,
( i ). Jika pa,lim( 2 2 )
r qx ax c bx ax
x
= a
q b
2
( ii ). pa,
lim
(
ax
2bx
c
px
2qx
r
)
x
= ∞( iii ). pa,
lim
(
ax
2bx
c
px
2qx
r
)
x
= - ∞
Bentuk II :
...
...
lim
1 1
n n
m m
x
px
qx
bx
ax
Cara Praktis :
( i ). Jika m = n, maka hasilnya =
p
a
( ii ). Jika m < n, maka hasilnya = 0 ( iii ). Jika m > n, maka hasilnya = ∞
Contoh Soal :
1.
3
15
2
lim
2
3
x
x
x
x
= ....
a. -8 d. 2
b. -2 e. 8
Tips Pe elesaia li it u tuk → a :
i. setiap soal li it u tuk → a la gkah perta a selalu ganti saja x dengan a, apabila hasilnya
ada ( bukan
0
0
) maka itulah hasilnya, dan jika
hasilnya
0
0
, maka adakan penyederhanaan.
ii. Cara singkatyang dapat ditempuh jika
f(a) =
0
0
adalah dengan cara menurunkan
Jadi
lim
f
(
x
)
lim
f
1(
x
)
f
1(
a
)
a x a
x
dst
Contoh :
3
9
lim
2
3
x
x
x
=
lim
2
2
.
3
6
1
2
lim
3
3
x
x
x x
iii. Bedakan antara bentuk – bentuk
6 0 , 9 0 , 1 0
dengan bentuk
0 6 , 0 9 , 0 1
Bentuk 0
6 0 9 0 1
0
, tetapi
Bentuk 0
6 , 0 9 0 1
h
t
t
p
:
/
/
m
a
t
e
m
a
t
r
i
c
k
.
b
l
o
g
s
p
o
t
.
c
o
m
c. 0
Penyelesaian :
Jelas jika x diganti -3 maka hasilnya =
3 3
15 ) 3 .( 2 ) 3 ( 2
=
0 0 0
15 15 0
15 6
9
Maka harus disederhanakan atau turunkan saja :
3
15 2 lim
2
3 x
x x
x
= 2.( 3) 2 6 2 8
1 2 2 lim
3
x
x
Jadi jawabannya A.
2. Nilai
lim
(
2
)
2
2
....
x
x
x
x
a. ∞
b. 2 c. 1
d. 0 e. -1
Penyelesaian :
Jelas i i kasus →∞ be tuk I.
Ubah soal menjadi :
(
2
)
2
lim
2
x
x
x
x
=
lim
2
2
2
2
x
x
x
x
3.
....
2
5
17
5
3
8
lim
3 2 3
x
x
x
x
x
a. -4 d. 4
b. -2 e. ∞
c. 0
Penyelesaian :
Ubah bentuk soal agar susunan suku – suku pada penyebut dari x yang pangkatnya tertinggi :
3 2 32
5
17
5
3
8
lim
x
x
x
x
x
=
2
5
17
5
3
8
lim
32 3
x
x
x
x
x
Paket Soal 18 : Kelo pok → a
1.
....
2
8
2
lim
2
2
x
x
x
a. -8 d. 4
b. -4 e. 8 c. -2
2.
4
6
5
2 2
2
x
x
x
Lim
x
= …
a.
2
1
d.4
1
b.
4
1
e.2
1
c. 0
3. Nilai dari
x
x
x
x
x
x
2
15
3
lim
2 3
2
3
....
a.
3
1
d.
8
1
b.
6
1
e.
9
1
c.
7
1
4.
4
8
2
lim
2
4
x
x
x
x
= ....
a. -6 d. 2 b. -2 e. 6
c. 0
5.
1
6
5
2
1
x
x
x
Lim
x
= ....
a. 5 d. 15
b. 7 e. 18 c. 9
6. Nilai
12
3
lim
23
x
x
x
x
= ....
a. 4 d.
7
3
b. 3 e. 7 1
c. 2
7.
5
4
4
)
1
3
(
2 2
1
x
x
x
Lim
x = ….
Berarti ini kasus a = p, dengan b = 2 dan q = 0, dan a = p = 1 maka hasilnya
adalah
a
q
b
2
=
1
2
2
1
2
0
2
Jadi jawabannya C
Tampak bahwa ini kasus
→∞ be tuk II de ga
= n = 3, maka hasilnya
p
a
=
4
2
8
h
t
t
p
:
/
/
m
a
t
e
m
a
t
r
i
c
k
.
b
l
o
g
s
p
o
t
.
c
o
m
a. 0 d. 4
b. ∞ e. 8
c. 2
8. Nilai
6
5
9
lim
22
3
x
x
x
x
= .... ( UN 2010 )
a. – 6 d.
2 3
b. - 2
3 e. 6
c. 0
9. Nilai
4
3
8
14
3
lim
22
4
x
x
x
x
x
= .... ( UN 2011 )
a. 4 d. – 2 b. 2 e. – 4
c. 2 1
Catatan : soal – soal nomor 1 s.d 7 dapat ditentukan dengan
model penurunan.
Kelo pok →∞
10.Nilai
lim
2
2
1
2
3
2
x
x
x
x
x
adalah ....
a. -6
2
1 d. -2
2 1
b. -4
2
1 e. -2
c. -321
11. 2
2
5
2
2
11
x
x
x
x
Lim
x
= ....
a. -2 d. 2
b. 0 e. ∞
c. 1
12.
2
2
5
8
2
2
2
1
x
x
x
x
Lim
x = ….
a.
2
3
2
d.2
4
3
b.
4
3
2
e.2
3
4
c.
-2
3
13.
3
2
5
3
2
3
x
x
x
Lim
x =…
a.
5
3
d.3
4
5
b.
3
2
5
e.
3
6
5
c.
3
3
5
14.
x
limit
2
22
2
5
2
4
x
x
x
= ....a. –2
b.
2
3
c. 2 1
d.
2
1
e.
2
3
15. Nilai
lim
2
2
3
(
3
)
x
x
x
x = ….
a. –8 d. 2
b. –4 e. 4
c. –2
16. Nilai
3
2
3
4
3
2
2
x
x
x
x
Lim
x
= ....
a. -1 d. 0
b. 3 1
e. 1
c.
3
1
17. Nilai
2
3
1
2
4
2 2
x
x
x
Lim
x
= .... ( UN 2010 )
a. 3
4 d.
2 1
b. 4
3 e. 0
c. 5 3
18. Nilai
lim
(
5
1
)
25
2
5
7
x
x
x
x = …. UN
a. 2
3 d. -
2 1
b. 3
2 e. -
2 3
