Limit Fungsi dan Teorema-teorema Limit

Limit Fungsi dan Teorema-teorema Limit

1. Misal 𝐴 ⊆ ℝ. Sebuah titik 𝑐 ∈ ℝ adalah titik klaster dari 𝐴 jika untuk setiap 𝛿 > 0 ada paling sedikit satu titik 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ≠ 𝑐 sehingga |𝑥 − 𝑐| < 𝛿.

2. Sebuah titik 𝑐 adalah titik klaster dari himpunan 𝐴 jika untuk setiap 𝛿 − neighborhood 𝑉𝛿 (𝑐)

= (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿) dari 𝑐 memuat paling sedikit satu titik dari 𝐴 yang berbeda dengan 𝑐.

3. Sebuah titik 𝑐 adalah titik klaster dari himpunan 𝐴 jika untuk setiap 𝛿 − neighborhood 𝑉𝛿 (𝑐)

= (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿) dari 𝑐 sehingga 𝑉𝛿 (𝑐)∩ (𝐴\{𝑐}) ≠ ∅.

4. Sebuah bilangan 𝑐 ∈ ℝ adalah titik klaster dari himpunan bagian 𝐴 dari ℝ jika dan hanya jika ada sebuah barisan (𝑎𝑛 ) dalam 𝐴 sehingga lim(𝑎𝑛 ) = 𝑐 dan (𝑎𝑛 ) ≠ 𝑐 untuk semua 𝑛 ∈ ℕ.

5. Misal 𝐴 ⊆ ℝ, dan misal 𝑐 adalah titik klaster dari 𝐴. Untuk sebuah fungsi 𝑓: 𝐴 → ℝ, bilangan real 𝐿 dikatakan limit dari 𝑓 pada 𝑐 jika, diberikan sebarang 𝜀 > 0, ada 𝛿 > 0 sehingga jika 𝑥 ∈ 𝐴 dan 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿, maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀.

6. Misal 𝑓: 𝐴 → ℝ dan misal 𝑐 adalah titik klaster dari 𝐴. Maka pernyataan berikut ini ekivalen.

1) lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿,

2) Diberikan 𝜀 − neighborhoood 𝑉𝜀 (𝐿) dari 𝐿, ada 𝛿 − neighborhoood 𝑉𝛿 (𝑐) dari 𝑐 sehingga jika 𝑥 ≠ 𝑐 adalah sebarang titik dalam 𝑉𝛿 (𝑐) ∩ 𝐴, maka 𝑓(𝑥) anggota 𝑉𝜀 (𝐿).

7. (Kriteria Barisan) Misal 𝑓: 𝐴 → ℝ dan misal 𝑐 adalah titik klaster dari 𝐴. Maka pernyataan berikut adalah ekivalen.

1) lim𝑥→𝑐 𝑓 = 𝐿.

2) Untuk setiap barisan (𝑥𝑛 ) dalam 𝐴 yang konvergen ke 𝑐 sehingga 𝑥𝑛 ≠ 𝑐 untuk semua 𝑛

∈ ℕ, barisan 𝑓(𝑥𝑛 )) konvergen ke 𝐿 atau lim(𝑓(𝑥𝑛 )) = 𝐿.

8. Misal 𝐴 ⊆ ℝ, misal 𝑓: 𝐴 → ℝ, dan misal 𝑐 ∈ ℝ adalah titik klaster dari 𝐴. Anda katakan bahwan 𝑓 terbatas pada neighborhood dari 𝑐 jika ada sebuah 𝛿 −neighborhood 𝑉𝛿 (𝑐) dari 𝑐 dan konstanta 𝑀 > 0 sehingga |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑀 untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝑉𝛿 (𝑐).

9. Jika 𝐴 ⊆ ℝ, 𝑓: 𝐴 → ℝ mempunyai limit pada 𝑐 ∈ ℝ, maka 𝑓 terbatas pada suatu neighborhood dari 𝑐.

10. Misal 𝐴 ⊆ ℝ dan misal 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada 𝐴 ke ℝ. Anda definisikan jumlah 𝑓 + 𝑔, selisih 𝑓 − 𝑔, perkalian 𝑓𝑔 pada 𝐴 ke ℝ sebagai fungsi yang diberikan oleh

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) ∶= 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), (𝑓 − 𝑔)(𝑥) ∶= 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), (𝑓𝑔)(𝑥) ∶= 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴. Selanjutnya, jika 𝑏 ∈ ℝ, Anda mempunyai kelipatan 𝑏𝑓 merupakan fungsi yang diberikan oleh

(𝑏𝑓)(𝑥) ∶= 𝑏𝑓(𝑥)

untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴. Akhirnya, jika ℎ(𝑥) ≠ 0 ∈ 𝐴, Anda definisikan pembagian 𝑓/𝑔 sebagai fungsi yang diberikan oleh

( 𝑓 𝑔 ) (𝑥) ∶= 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴.

11. Misal 𝐴 ⊆ ℝ, misal 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada 𝐴 ke ℝ, dan misal 𝑐 ∈ ℝ merupakan titik klaster dari 𝐴. Selanjutnya, misal 𝑏 ∈ ℝ.

a. Jika lim𝑥→𝑐 𝑓 = 𝐿 dan lim𝑥 →𝑐 𝑔 = 𝑀, maka:

1) lim𝑥→𝑐(𝑓 + 𝑔) = 𝐿 + 𝑀, 2) lim𝑥→𝑐 𝑓 − 𝑔 = 𝐿 − 𝑀,

3) lim𝑥→𝑐 (𝑓𝑔) = 𝐿𝑀, 4) lim𝑥→𝑐 𝑏𝑓 = 𝑏𝐿

b. Jika ℎ: 𝐴 → ℝ, jika ℎ(𝑥) ≠ 0 untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴, dan jika lim𝑥→𝑐 ℎ = 𝐻 ≠ 0, maka lim𝑥→𝑐 ( 𝑓/ℎ ) = 𝐿/𝐻 .

12. Misal 𝐴 ⊆ ℝ, misal 𝑓: 𝐴 → ℝ, dan misal 𝑐 ∈ ℝ adalah titik klaster dari 𝐴. Jika 𝑎 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑏 untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ≠ 𝑐,

dan jika lim𝑥→𝑐 𝑓 ada, maka 𝑎 ≤ lim𝑥→𝑐 𝑓 ≤ 𝑏.

13. (Teorema Apit) Misal 𝐴 ⊆ ℝ, misal 𝑓, 𝑔, ℎ: 𝐴 → ℝ, dan misal 𝑐 ∈ ℝ adalah titik klaster dari 𝐴.

Jika

𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ≠ 𝑐, dan jika lim𝑥→𝑐 𝑓 = 𝐿 = lim𝑥→𝑐 ℎ ada, maka l

Perluasan Konsep Limit

1. Kriteria Divergensi Misal 𝐴 ⊆ ℝ, misal 𝑓: 𝐴 → ℝ dan misal 𝑐 ∈ ℝ adalah titik klaster dari 𝐴.

a. Jika 𝐿 ∈ ℝ, maka 𝑓 tidak mempunyai limit 𝐿 pada 𝑐 jika dan hanya jika ada barisan (𝑥𝑛 ) dalam 𝐴 dengan 𝑥𝑛 ≠ 𝑐 untuk semua 𝑛 ∈ ℕ sehingga barisan (𝑥𝑛 ) konvergen ke 𝑐 tetapi barisan (𝑓(𝑥𝑛 )) tidak konvergen ke 𝐿.

b. Fungsi 𝑓 tidak mempunyai limit 𝐿 pada 𝑐 jika dan hanya ada barisan (𝑥𝑛 ) dalam 𝐴 dengan 𝑥𝑛 ≠ 𝑐 untuk semua 𝑛 ∈ ℕ sehingga barisan (𝑥𝑛 ) konvergen ke 𝑐 tetapi barisan (𝑓(𝑥𝑛 )) tidak konvergen dalam ℝ.

2. Misal 𝐴 ∈ ℝ dan misal 𝑓:𝐴 → ℝ.

a. Jika 𝑐 ∈ ℝ adalah titik klaster dari himpunan 𝐴 ∩ (𝑐, ∞) = {𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥 > 𝑐}, maka Anda katakan bahwa 𝐿 ∈ ℝ adalah limit kanan dari 𝑓 pada 𝑐 dan Anda tulis

lim𝑥→𝑐 + 𝑓 = 𝐿 atau lim𝑥→𝑐+ 𝑓(𝑥) = 𝐿

jika diberikan sebarang 𝜀 > 0 ada 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0 sehingga untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴 dengan 0 < 𝑥

− 𝑐 < 𝛿, maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀.

b. Jika 𝑐 ∈ ℝ adalah titik klaster dari himpunan 𝐴 ∩ (−∞, 𝑐) = {𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥 < 𝑐}, maka Anda katakan bahwa 𝐿 ∈ ℝ adalah limit kiri dari 𝑓 pada 𝑐 dan Anda tulis

lim𝑥→𝑐 − 𝑓 = 𝐿 atau lim𝑥→𝑐− 𝑓(𝑥) = 𝐿

jika diberikan sebarang 𝜀 > 0 ada 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0 sehingga untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴 dengan 0 < 𝑐 − 𝑥 < 𝛿, maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀.

3. Misal 𝐴 ⊆ ℝ, misal 𝑓: 𝐴 → ℝ, dan misal 𝑐 ∈ ℝ adalah titik klaster dari (𝐴, ∞). Maka pernyataan berikut ekivalen.

a. lim𝑥→𝑐+ 𝑓 = 𝐿

b. Untuk setiap barisan (𝑥𝑛 ) yang konvergen ke 𝑐 sehingga 𝑥𝑛 ∈ 𝐴 dan 𝑥𝑛 > 𝑐 untuk semua 𝑛 ∈ ℕ, barisan (𝑓(𝑥𝑛 )) konvergen ke 𝐿.

4. Misal 𝐴 ⊆ ℝ, misal 𝑓: 𝐴 → ℝ, dan misal 𝑐 ∈ ℝ adalah titik klaster dari (𝐴, ∞). Maka pernyataan berikut ekivalen.

a. lim𝑥→𝑐− 𝑓 = 𝐿

b. Untuk setiap barisan (𝑥𝑛 ) yang konvergen ke 𝑐 sehingga 𝑥𝑛 ∈ 𝐴 dan 𝑥𝑛 < 𝑐 untuk semua 𝑛 ∈ ℕ, barisan (𝑓(𝑥𝑛 )) konvergen ke 𝐿. (iii) Misal 𝐴 ⊆ ℝ, misal 𝑓: 𝐴 → ℝ, dan misal 𝑐 ∈ ℝ adalah titik klaster dari kedua himpunan 𝐴 ∩ (𝑐, ∞) dan 𝐴 ∩ (−∞, 𝑐). Maka lim𝑥→𝑐 𝑓 = 𝐿 jika dan hanya jika lim𝑥→𝑐+ 𝑓 = 𝐿 = lim𝑥→𝑐 − 𝑓.

5. Misal 𝐴 ⊆ ℝ, misal 𝑓: 𝐴 → ℝ, dan misal 𝑐 ∈ ℝ adalah titik klaster dari kedua himpunan 𝐴 ∩ (𝑐, ∞) dan 𝐴 ∩ (−∞, 𝑐). Maka lim𝑥 →𝑐 𝑓 = 𝐿 jika dan hanya jika lim𝑥→𝑐 + 𝑓 = 𝐿 = lim𝑥→𝑐− 𝑓.

6. Misal 𝐴 ⊆ ℝ, misal 𝑓: 𝐴 → ℝ, dan misal 𝑐 ∈ ℝ adalah titik klaster dari 𝐴.

a. Anda katakan bahwa 𝑓 menuju ke ∞ jika 𝑥 → 𝑐, dan Anda tulis lim𝑥→𝑐 𝑓 = ∞,

jika untuk setiap 𝛼 ∈ ℝ ada 𝛿 = 𝛿(𝛼) > 0 sehingga untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴 berlaku 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝛼.

b. Anda katakan bahwa 𝑓 menuju ke −∞ jika 𝑥 → 𝑐, dan Anda tulis lim 𝑥→𝑐 𝑓 = −∞,

jika untuk setiap 𝛽 ∈ ℝ ada 𝛿 = 𝛿(𝛽) > 0 sehingga untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴 berlaku 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) < 𝛽.

7. Misal 𝐴 ⊆ ℝ, misal 𝑓, 𝑔: 𝐴 → ℝ, dan misal 𝑐 ∈ ℝ adalah titik klaster dari 𝐴. Anggap bahwa 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ≠ 𝑐.

a. Jika lim𝑥→𝑐 𝑓 = ∞, maka Jika lim𝑥→𝑐 𝑔 = ∞.

b. Jika lim𝑥→𝑐 𝑔 = −∞, maka Jika lim𝑥→𝑐 𝑓 = −∞.

8. Misal 𝐴 ⊆ ℝ dan misal 𝑓:𝐴 → ℝ. Jika 𝑐 ∈ ℝ adalah titik klaster dari 𝐴 ∩ (𝑐, ∞) = {𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥 > 𝑐}, maka Anda katakan bahwa 𝑓 menuju ke ∞ [berturut-turut, −∞] sebagai 𝑥 → 𝑐+, dan Anda tulis

lim𝑥→𝑐+ 𝑓 = ∞ [berturut-turut, lim𝑥 →𝑐+ 𝑓 − ∞],

jika untuk setiap 𝛼 ∈ ℝ ada 𝛿 = 𝛿(𝛼) > 0 sehingga untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴 dengan 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿, maka 𝑓(𝑥) > 𝛼 [berturut-turut, 𝑓(𝑥) < 𝛼].

9. Misal 𝐴 ⊆ ℝ dan misal 𝑓:𝐴 → ℝ. Anggap bahwa (𝑎, ∞) ⊆ 𝐴 untuk suatu 𝑎 ∈ ℝ. Anda katakan bahwa 𝐿 ∈ ℝ adalah limit dari 𝑓 asalkan 𝑥 → ∞, dan Anda tulis

lim𝑥→∞ 𝑓 = 𝐿 atau lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿,

jika diberikan sebarang 𝜀 > 0 ada 𝐾 = 𝐾(𝜀) > 𝑎 sehingga untuk sebarang 𝑥 > 𝐾, maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀. 10.

10. Misal 𝐴 ⊆ ℝ, misal 𝑓: 𝐴 → ℝ dan anggap bahwa (𝑎, ∞) ⊆ 𝐴 untuk suatu 𝑎 ∈ ℝ. Maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekivalen.

a. 𝐿 = lim𝑥 𝑓.

b. Untuk setiap barisan (𝑥𝑛 ) dalam 𝐴 ∩ (𝑎,∞) sehingga lim(𝑥𝑛 ) = ∞, barisan (𝑓(𝑥𝑛 )) konvergen ke 𝐿.

11. Misal 𝐴 ⊆ ℝ dan misal 𝑓:𝐴 → ℝ. Anggap bahwa (𝑎, ∞) ⊆ 𝐴 untuk suatu 𝑎 ∈ ℝ. Anda katakan bahwa 𝑓 menuju ∞ [berturut-turut, −∞] asalkan 𝑥 → ∞, dan Anda tulis

lim𝑥→∞. 𝑓 = ∞ [berturut-turut, lim𝑥→∞. 𝑓 = −∞]

jika diberikan sebarang 𝛼 ∈ ℝ ada 𝐾 = 𝐾(𝛼) > 𝛼 sehingga untuk sebarang 𝑥 > 𝐾, maka 𝑓(𝑥) >

𝛼 [berturut-turut, 𝑓(𝑥) < 𝛼.

12. Misal 𝐴 ⊆ ℝ, misal 𝑓: 𝐴 → ℝ, dan anggap bahwa (𝑎, ∞) ⊆ 𝐴 untuk suatu 𝑎 ∈ ℝ. Maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekivalen.

a. lim𝑥 →∞. 𝑓(𝑥) = ∞ [berturut-turut, lim𝑥 →∞. 𝑓(𝑥) = −∞.

b. Untuk setiap barisan (𝑥𝑛 ) dalam (𝑎, ∞) sehingga lim(𝑥𝑛 ) = ∞, maka lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = ∞.

13. Misal 𝐴 ⊆ ℝ, misal 𝑓: 𝐴 → ℝ, dan anggap bahwa (𝑎, ∞) ⊆ 𝐴 untuk suatu 𝑎 ∈ ℝ. Anggap bahwa 𝑔(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 > 𝑎 dan bahwa untuk suatu 𝐿 ∈ ℝ, 𝐿 ≠ 0, Anda mempunyai

lim𝑥→∞ 𝑓 (𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐿.

a. Jika 𝐿 > 0, maka lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = ∞ jika dan hanya jika lim𝑥→∞ 𝑔(𝑥) = ∞.

b. Jika 𝐿 < 0, maka lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = −∞ jika dan hanya jika lim𝑥→∞ 𝑔(𝑥) = ∞.