SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 2.2 RUMUS JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR AKAR PERSAMAAN KUADRAT)

(1)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

Disusun oleh :

(2)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 11 2. 2. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Persamaan Kuadrat (PK)

� + � + =

Akar-Akar PK

� =− +√ 2− atau � =− −√ 2−

Jumlah Akar-Akar PK

Hasil Kali Akar-Akar PK

� + � = − � � =

Selisih Akar-Akar PK

|� − � | =√ 2− =√�

Bentuk Simetri Akar-Akar PK

� ± � = � ± � ∓ � �

� − � = � + � � − �

� ± � = � ± � ∓ � � � ± �

� ± � = � ± � ∓ � �

� ± � =

� ± � � �

� + � =

� + � � �

� � ±

� � =

(3)

Halaman 12 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ Menyusun bentuk simetri akar-akar PK

Ubah bentuk operasi aljabar dari akar-akar persamaan kuadrat sedemikian sehingga memuat rumus jumlah dan hasil kali akar-akar PK (dan rumus selisih akar-akar PK, kalau diperlukan).

Berikut ini contoh bentuk simetri akar-akar PK yang sering muncul dalam soal:

Jumlah Kuadrat Akar-Akar PK:

� + � = ….

Penyelesaian:

Ingat bentuk � + � = � + � � + � , maka diperoleh:

� + � = � + � − � �

Selisih Kuadrat Akar-Akar PK

� − � = ….

Penyelesaian:

Ingat bentuk � − � = � − � � + � , maka diperoleh:

� − � = � − � + � �

Atau ingat bentuk � + � � − � = � − � , maka diperoleh:

� − � = � + � � − �

Jumlah Pangkat Tiga Akar-Akar PK

� + � = ….

Penyelesaian:

Ingat bentuk � + � = � + � � + � � + �

= � + � � � + � + �

maka diperoleh:

� + � = � + � − � � � + �

Jumlah Pangkat Empat Akar-Akar PK:

� + � = ….

Penyelesaian:

Ingat bentuk � + � = � + � � + � , maka diperoleh:

� + � = (� + � ) − � �

= [ � + � − � � ] − � �

Dan lain-lain ….

Contoh:

Persamaan kuadrat − � + � − = memiliki akar-akar � dan � , maka nilai � + � = ....

Penyelesaian:

Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut:

� + � _{= − = − − =} � � = =−_{− =}

Kedua, cari bentuk identik dari � + � yang memuat bentuk � + � dan � + � .

� + � = � + � − � �

= −

(4)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 13

Menyusun PK Baru

Diketahui:

� + � + = adalah PK Lama

� dan � adalah akar-akar PK Lama dan adalah akar-akar PK Baru

Cek dan perhatikan!

Apakah dan identik atau tidak?

Jika dan

identik

Jika dan tidak identik

Cari invers akar PK Baru, Cari jumlah dan hasil kali akar PK Lama

− _{� + �} _dan_{� �}

Substitusi − k� PK Lama

cari jumlah dan hasil kali akar PK Baru

+ dan

m�n��unakan nilai � + � dan � �

Rumus PK Baru adalah

( − ) + ( − ) + = � − + � + =

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:

Ditambah artinya substitusi pengurangan. Dikurangi artinya substitusi penjumlahan.

Dikalikan artinya pangkat naik. Otomatis kalau dibagi maka pangkat turun. Dibalik artinya juga dibalik.

Dinegatifkan artinya koefisien juga dinegatifkan.

Misal PK Lama adalah � + � + = , maka: 1. PK Baru yang akar-akarnya + � dan + �

�− � + �− � + =

2. PK Baru yang akar-akarnya − � dan − �

�+ � + �+ � + =

3. PK Baru yang akar-akarnya � dan �

� +� � +� =

4. PK Baru yang akar-akarnya dan

� + � + =

5. PK Baru yang akar-akarnya − dan −

(5)

Halaman 14 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ Contoh 1:

Akar-akar persamaan kuadrat � − � + = adalah dan .

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya + dan + adalah ….

Penyelesaian:

Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru + dan + , ternyata simetris. Memiliki pola yang sama, yaitu � + .

Kedua, cari invers dari akar-akar PK Baru, � + . Invers dari � + adalah � − .

Ketiga, Substitusikan � − menggantikan variabel � pada PK Lama:

� − − � − + = ⇔ � − � + − � + + = ⇔ � − � + − � + + =

⇔ � − � + =

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya + dan + adalah � − � + = .

Contoh 2:

Akar-akar persamaan kuadrat � − � + = adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah ….

Penyelesaian:

Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru dan , ternyata tidak simetris. Tidak memiliki pola yang sama.

Kedua, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Lama.

+ = −− = = =

Ketiga, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Baru menggunakan nilai + dan .

+ = +

= + −

= − ∙_� � = −

= − = − =

Keempat, rumus PK Baru adalah:

� − jumlah akar-akar PK baru � +hasil kali akar-akar PK baru= � − − � + = � + � + =

(6)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 15 Contoh 3

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya + dan + adalah ….

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Akar-akar PK Baru adalah penjumlahan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan � − .

Jadi, PK Baru adalah:

� − − � − + = Jabarkan s�ndiri ya…!

Contoh 4

Akar-akar persamaan kuadrat � + � − = adalah dan .

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya − dan − adalah ….

Akar-akar PK Baru adalah pengurangan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan � + .

� + + � + − = Jabarkan s�ndiri ya…!

Contoh 5

Akar-akar persamaan kuadrat − � + � − = adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah ….

Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, maka setiap suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK?

− � + � − =

Jabarkan s�ndiri ya…!

Contoh 6

Akar-akar PK Baru adalah pembagian dengan lima, maka setiap suku dikalikan dengan lima berpangkat turun, sampai pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK?

� − � + =

Jabarkan s�ndiri ya…!

Contoh 6

Akar-akar PK Baru adalah kebalikan dari akar-akar PK Lama, maka Tukar posisi koefisien � dengan konstanta.

(7)

Halaman 16 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ Contoh 7

Akar-akar persamaan kuadrat −� + � + = adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya − dan − adalah ….

Akar-akar PK Baru adalah negatif dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah koefisien � dikalikan − .

−� + � − + = −� − � + =

Contoh 7

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya − dan − adalah ….

Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, dilanjutkan pengurangan dengan tiga dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol,

dilanjutkan dengan substitusi � + .

� − � + =

Dilanjutkan dengan substitusi � + .

(8)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 17

Berlawanan

Berkebalikan

= =

Sifat-Sifat

Akar-Akar PK

Perbandingan

Selisih

= + � =

Keterangan:

Menggunakan sifat-sifat akar-akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui. Inti dari permasalahan ini adalah melengkapkan variabel yang tidak diketahui pada PK dengan menggunakan sifat tertentu dari akar-akarnya.

TRIK SUPERKILAT

Sifat akar-akar persamaan kuadrat � + � + = yang mungkin keluar di soal: 1. Jika akar yang satu kelipatan dari akar yang lain � = � , maka = + 2. Jika selisih akar-akarnya adalah |� − � | = , maka � =

3. Jika akar-akarnya berlawanan � = −� atau � + � = , maka = 4. Jika akar-akarnya berkebalikan � =

�2 atau � � = , maka = Contoh:

Akar-akar persamaan kuadrat � + � + = adalah dan . Jika = dan , positif maka nilai =….

Penyelesaian:

Pertama, lihat ternyata akar-akar PK tersebut adalah memiliki kelipatan tertentu. Karena = , maka jelas nilai = .

Kedua, gunakan sifat perbandingan akar-akar PK.

= +

⇔ = + ∙ ∙

⇔ = ∙

⇔ = ±

Ketiga, karena akar-akarnya positif maka jumlah kedua akar tersebut juga positif, sehingga:

� + � > ⇒ − > ⇔ − > ⇔ <

(9)

Halaman 18 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Akar-akar persamaan kuadrat

x2 ax40

adalah

p

dan

q.

Jika

p2 2pqq2 8a,

maka nilai

a 

....

A.

−8

B.

−4

C.

4

D.

6

E.

8

2.

Persamaan

kuadrat

x2  (m  1) x  5  0

mempunyai

akar-akar

x₁

dan

x₂.

Jika

, 8 2 1 2 2

2 2

1 x xx m

x   

maka nilai

m

....

A.

−3 atau −7

B.

3 atau 7

C.

3 atau −7

D.

6 atau 14

E.

−6 atau −14

3.

Persamaan kuadrat

x2 4px40

mempunyai akar-akar

x₁

dan

x₂.

Jika

2 32,

2 1 2 2

1x x x 

x

maka nilai



p

....

A.

−4

B.

−

2

C.

2

D.

4

E.

8

Jika adik-

adik butuh ’bocoran’

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

.

Semua

soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.

Pak Anang.

� + � − � � = ⇒ � + � − � � = ⇔ − + + = ⇔ − + = ⇔ − − =

⇔ − = atau − =