www.ditptksd.go.id
P P P E ED E D DO O O M M M A A A N N N P P P E E E M M M B B B E E E L L L A AJ A J JA A AR R RA A AN N N M M M A AT A T T E E E M M M A A A T T T I IK I K KA A A S S S E E E K K K O O O L L L A AH A H H D D D A AS A S S A AR A R R
COVER LUAR
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN TAMAN KANAK-KANAK DAN SEKOLAH DASAR
JAKARTA, 2009
www.ditptksd.go.id
Pedoman Pembelajaran Matematika Sekolah Dasar
Penyempurnaan dari Bahan Pembinaan Matematika Sekolah Dasar yang diterbitkan oleh Direktorat Pendidikan Dasar, Ditjen Dikdasmen, Depdiknas Jakarta Tahun 1998
Dicetak Oleh
Kegiatan Pengembangan Sistem dan Pengelolaan SD Direktorat Pembinaan TK dan SD
Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Departemen Pendidikan Nasional
Tahun 2009
www.ditptksd.go.id
KATA PENGANTAR EDISI REVISI TAHUN 2009
Peningkatan mutu pengajaran membaca, menulis, dan berhitung di sekolah dasar merupakan salah satu program Direktorat Pembinaan TK dan SD. Program ini sejalan dengan upaya peningkatan kualitas pembelajaran matematika dan bahasa Indonesia di sekolah dasar.
Pemberlakuan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan sebagai amanat dari Peraturan Pemerintah No. 19 Tahun 2005 tentang Standar Nasional Pendidikan, menuntut sekolah untuk secara aktif berperan sebagai subyek pendidikan. Sekolah bukan hanya sebagai pelaksana kurikulum tetapi juga harus mengembangkan kurikulum serta melaksanakannya sesuai dengan kondisi setempat. Tuntutan ini bukanlah sesuatu yang mudah untuk dilaksanakan, karena selama ini kurikulum disusun secara nasional.
Pedoman ini merupakan penyempurnaan dari Buku Pembinaan Matematika Sekolah Dasar yang disesuaikan dengan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 22 Tahun 2006 tentang Standar Isi untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah. Melalui pedoman ini diharapkan dapat membantu dan bermanfaat bagi guru dalam memecahkan beberapa permasalahan pembelajaran Matematika.
Jakarta, 1 Juli 2009
Direktur Pembinaan TK dan SD
Drs. Mudjito AK, M.Si.
NIP
195604151982031002
www.ditptksd.go.id
KATA PENGANTAR
Peningkatan mutu pengajaran membaca, menulis, dan berhitung di sekolah dasar merupakan salah satu program Direktorat Pendidikan Dasar sebagai pelaksanaan dari amanat Garis-garis Besar Haluan Negara. Dalam rangka meningkatkan profesionalitas guru sesuai dengan program tersebut, dilakukan berbagai upaya peningkatan mutu pengajaran matematika dan bahasa Indonesia.
Buku ini disusun sebagai bahan referensi bagi guru baik dalam mengikuti pendidikan dan pelatihan maupun dalam melaksanakan tugas sehari-hari. Isi serta materi yang terkandung dalam buku ini disusun dengan mempertimbangkan hal-hal sebagai berikut.
1. Kurikulum sekolah dasar tahun 2004
2. Rekomendasi hasil lokakarya pengkajian dan perumusan materi penataran baca tulis hitung sekolah dasar, Direktorat Pendidikan Dasar di Yogyakarta tahun 1996.
3. Hasil konsultasi teknis Direktorat Pendidikan Dasar dengan ahli bahasa dan matematika di Jakarta tahun 1997.
4. Hasil tes baca tulis hitung bagi guru dan siswa sekolah dasar yang diselenggarakan sejak tahun 1994/1995.
Mudah-mudahan buku ini dapat berfungsi sebagaimana yang diharapkan.
Jakarta, 31 Agustus 1998 Direktur Pendidikan TK dan SD Ttd.
Drs. Achmad DS NIP. 131 112 700
www.ditptksd.go.id
DAFTAR ISI
BAB I BILANGAN DAN OPERASINYA ... 1
A. Tahap Penguasaan Matematika ... 1
B. Struktur Bilangan ... 2
C. Penjumlahan ... 2
D. Pengurangan ... 5
E. Perkalian ... 7
F. Pembagian ... 13
G. Pengerjaan Hitung Campuran Tanpa Kurung ... 18
H. Hukum Komutatif, Assosiatif, dan Distributif ... 26
I. Bilangan Berpangkat ... 28
J. Penarikan Akar Kuadrat ... 28
K. Penarikan Akar Pangkat Tiga ... 32
BAB II PECAHAN DAN OPERASINYA ... 35
A. Jenis-jenis Pecahan ... 35
B. Pengenalan Pecahan ... 36
C. Pecahan Senilai ... 38
D. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan ... 40
E. Perkalian Pecahan ... 44
F. Pembagian Pecahan ... 46
G. Hitung Campuran pada Pecahan ... 48
H. Pecahan Desimal dan Operasinya ... 49
I. Persen dan Permil ... 54
BAB III GEOMETRI SEKOLAH DASAR ... 58
A. Bidang Datar ... 58
B. Simeteri Lipat dan Putar ... 69
C. Bangun Ruang ... 71
BAB IV PENGUKURAN ... 79
A. Ukuran Panjang ... 79
www.ditptksd.go.id
C. Ukuran Isi (Volume) ... 84
D. Ukuran Berat ... 87
E. Ukuran Waktu ... 90
F. Ukuran Lainnya ... 92
BAB V STATISTIK ... 94
A. Pengertian ... 94
B. Statistika untuk SD ... 94
C. Koleksi Data ... 95
D. Tabulasi Data ... 96
E. Penyajian Data ... 100
F. Ukuran Tendensi Pusat ... 107
BAB VI SOAL CERITA DAN CARA PENGERJAANNYA ... 111
A. Tahap dalam Mengerjakan Soal Cerita... 111
B. Contoh Soal Cerita untuk Kelas IV SD ... 111
C. Contoh Soal Cerita untuk Kelas V SD ... 117
D. Contoh Soal Cerita untuk Kelas VI SD ... 128
Lampiran ... 141
DAFTAR PUSTAKA ... 145
www.ditptksd.go.id
BAB I
BILANGAN DAN OPERASINYA
A. Tahap Penguasaan Matematika
Secara umum terdapat 4 tahapan aktivitas dalam rangka penguasaan materi pelajaran matematka di dalam pembelajaran, yaitu:
1. Penanaman konsep 2. Pemahaman konsep 3. Pembinaan keterampilan 4. Penerapan konsep
Tahap penanaman konsep merupakan tahap pengenalan awal tentang konsep yang akan dipelajari siswa. Pada tahap ini pengajaran memerlukan penggunaan benda konkrit sebagai alat peraga.
Tahap pemahaman konsep merupakan tahap lanjutan setelah konsep ditanamkan. Pada tahap ini penggunaan alat peraga mulai dikurangi dan bentuknya semi konkrit sampai pada akhirnya tidak diperlukan lagi.
Tahap pembinaan keterampilan merupakan tahap yang tidak boleh dilupakan dalam rangka membina pengetahuan siap bagi siswa. Tahap ini diwarnai dengan latihan-latihan seperti mencongak dan berlomba. Pada tahap pengajaran ini alat peraga sudah tidak boleh digunakan lagi.
Tahap penerapan konsep yaitu penerapan konsep yang sudah dipelajari ke dalam bentuk soal-soal terapan (cerita) yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. Tahap ini disebut juga sebagai pembinaan kemampuan memecahkan masalah.
www.ditptksd.go.id
B. Struktur Bilangan
Semesta bilangan yang dipelajari siswa di sekolah dasar meliputi bagian-bagian berikut.
Bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, … Bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4, …
Bilangan bulat adalah …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Bilangan pecah (biasa dan desimal) adalah bilangan yang tidak utuh (bulat) misalnya 1/2; 1/3; 1/4; 0,12; dan sebagainya
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk p/q dengan p&q bilangan bulat dan q≠0.
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dituliskan dalam bentuk p/q, misalnya 3, 5,7, dan sebagainya
Semua bilangan rasional dan irrasional merupakan bilangan real (nyata).
Struktur bilangan real dapat dilihat pada bagan sebagai berikut.
... -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...
Bil. Negatif Nol Bil. Asli Bil. Cacah
Bilangan Bulat Bilangan Pecahan (1/2, 23%, ...) Bil. Rasional Bil. Irrasional (3,5,7,...)
Bil. Real (Nyata)
C. Penjumlahan
Penjumlahan merupakan operasi hitung dasar yang pertama dipelajari siswa. Yang perlu diperhatikan pada pengajaran penjumlahan antara lain:
1. Untuk menanamkan konsep penjumlahan harus menggunakan benda-benda konkrit yang sama atau sejenis
www.ditptksd.go.id
sebagai alat peraga, misalnya buku dijumlahkan dengan buku, meja dengan meja, kambing dengan kambing, dan sebagainya. Misalnya,
3 + 2 = 5
2. Penjumlahan bersusun segera dikenalkan setelah penjumlahan bisa ditanamkan, misal:
7 + 2 = … 7 4 + 3 = … 4
2 + 3 +
… …
12 + 34 = … 12 24 + 53 = … 24
34 + 53 +
… …
3. Penjumlahan tanpa teknik menyimpan harus mendahului pengajaran penjumlahan dengan teknik menyimpan.
Contoh:
a. Tanpa menyimpan
2 + 3 = … 6 + 4 = …
4 + 2 = … 12 + 10 = …
7 + 1 = … 15 + 22 = …
b. Dengan teknik menyimpan
8 + 3 = … 26 + 56 = … 12 + 19 = … 76 + 39 = … 27 + 34 = … 45 + 17 = …
4. Siswa kelas I harus terampil mengerjakan penjumlahan tanpa teknik menyimpan serta penjumlahan yang hasilnya paling besar 10, termasuk terampil melakukan pasangan jumlah sepuluh sebagai berikut:
www.ditptksd.go.id
1 + 9 = 10 satu – sembilan (s-s) 2 + 8 = 10 dua – delapan (d-d) 3 + 7 = 10 tiga – tujuh (t-t) 4 + 6 = 10 empat – enam (e-e) 5 + 5 = 10 lima – lima (l-l)
5. Contoh keterampilan dalam penjumlahan adalah pada soal tentang penjumlahan dari banyak bilangan yang disusun ke bawah. Perhatikan cara mengerjakan penjumlahan dari beberapa bilangan dengan teknik menyimpan pada penjumlahan bersusun sebagai berikut.
3 3 3 4 7. 8. 6 7. 2 1 3 4 5 6 7.
8. 4. 3. 6.
7. 8 9. 9.
6 1. 3 4 + 3 9 0 3 5
Teknik penjumlahan di atas ialah dengan menyimpan puluhan (dengan tanda/noktah) setiap jumlahnya sepuluh atau lebih, sedangkan satuannya dilanjutkan (dijumlahkan) dengan bilangan berikutnya.
Teknik penjumlahan tersebut di atas sudah boleh mulai diajarkan di kelas II, misalnya pada saat menghitung perkalian sebagai penjumlahan berulang.
Contoh:
5x8=8+8+8+8+8=40
8 8 8 8 8 + 40
www.ditptksd.go.id
Penerapan teknik tersebut antara lain untuk menghitung nilai rata-rata kelas, dimana kita harus menjumlahkan seluruh nilai kemudian membaginya dengan jumlah siswa.
Latihan 1.1
1. 2786 2. 7213 3. 4863
473 4567 2138
5768 8634 6134
9213 7895 215
416 6789 613
8476 1346 4128
2386 7880 9862
723 2314 7821
4567 6525 345
8678 + 4726 + 8926 +
4. Hitung jumlah bilangan 1 s.d. 30 dengan cara noktah!
5. 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 47 + 51 + 53 + 59 = …
D. Pengurangan
Penanaman konsep pengurangan menggunakan peragaan yang berbeda dari penjumlahan. Untuk awal pengajaran konsep pengurangan, guru perlu menggunakan kata-kata yang sudah dikenal anak, misal: dimakan, diambil, dijual, hilang, pecah, rusak, dan sebagainya.
www.ditptksd.go.id
Contoh:
ada 7 bola
diambil 3 bola sisa 4 bola 7 – 3 = 4
Contoh peragaan dalam pengenalan operasi pengurangan yang tidak tepat adalah sebagai berikut.
7 - 3 = 4
Cara peragaan dengan gambar seperti di atas tidak tepat, karena yang dilihat oleh anak adalah 7 bola dan 3 bola, sehingga bisa salah pengertian menjadi 10 bola, padahal yang dimaksud adalah 7 bola diambil 3 bola. Bandingkan dengan cara disilang pada gambar bola yang sudah dikurangi.
Pengurangan bersusun dikenalkan bersesuaian dengan pengurangan biasa. Tahap-tahap mengerjakan pengurangan tidak diuraikan dalam buku ini. Dalam hal ini diperlukan peranan guru dalam menjelaskan cara mengerjakannya.
Contoh:
14 - 2 = … 14 26 - 15 = … 26
2 - 15 -
… …
Pengurangan dengan teknik meminjam dikenalkan setelah pengurangan tanpa teknik meminjam dikuasai anak.
www.ditptksd.go.id
Contoh soal pengurangan tanpa meminjam
24 16 78 48 85
12 - 14 - 22 - 36 - 32 -
47 68 82 23 24
28 - 19 - 47 - 18 - 19 -
Latihan 1.2
1. 21347 – 20345 = … 2. 7821 – 4386 = … 3. 7813 – 2496 = … 4. 6827 – 2939 = … 5. 4213 – 2534 = … 6. 7421 – 6213 + 4213 = … 7. 470 – 580 + 270 = … 8. 365 – 475 + 625 = … 9. 814 – 423 + 577 = … 10. 632 – 642 + 858 = …
E. Perkalian
1. Pengenalan Operasi Perkalian
Pengenalan operasi perkalian dapat dilakukan dengan berbagai cara. Beberapa contoh pengenalan operasi perkalian adalah sebagai berikut.
a. Peragaan dengan mengumpulkan benda secara berulang, misal untuk 3 x 4 dikumpulkan/diambil 4 buah benda sebanyak 3 kali, kemudian dihitung seluruhnya.
b. Menghitung berulang, misalnya untuk 3 x 4, siapkan 4 benda kemudian benda tersebut dihitung 3 kali secara
www.ditptksd.go.id
c. Penjumlahan berulang (definisi), misalnya:
3 x 4 = 4 + 4 + 4 (tiga kali empatnya) (bukan 3 + 3 + 3 + 3)
3 x 6 = 6 + 6 + 6 (tiga kali enamnya) (bukan 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3)
2. Pemahaman terhadap Operasi Perkalian
Pada tahap pemahaman terhadap operasi perkalian proses pengajarannya berangsur-angsur mengurangi alat peraga dari benda konkrit sampai akhirnya hanya menggunakan simbol- simbol bilangan dan perkalian dan diberikan latihan-latihan.
Contoh soal latihan untuk kelas II:
2 x 5 = … 7 x 3 = …
4 x 7 = … 4 x 3 = …
5 x 6 = … 8 x 5 = …
3. Pembinaan Keterampilan Perkalian
Pembinaan keterampilan pada perkalian dimaksudkan untuk memberikan bekal pengetahuan siap bagi peserta didik.
Dengan berbekal pengetahuan siap, diharapkan siswa dapat mengerjakan soal-soal dengan cepat dan tepat.
Dalam rangka membantu siswa cepat menghafal perkalian diperlukan kegiatan belajar mengajar yang disajikan secara variatif dan kreatif. Sebagai contoh kreasi dalam mengajar perkalian adalah sebagai berikut.
www.ditptksd.go.id
a. Perkalian 9 dengan menggunakan jari (untuk kelas II)
ibu jari tangan kiri ibu jari tangan kanan Contoh:
1) 9 x 3 = ...?
Jari nomor 3 dijadikan batas untuk jari sebelah kiri dan kanan, yaitu sebelah kiri ada 2 jari dan sebelah kanan ada 7 jari.
2 7
Jadi, 9 x 3 = 27 2) 9 x 4 = ...?
3 6
1 2 3 4
5 6
7 8 9 10
1 2 3 4
5 6
7 8 9 10
1 2 3 4
5 6
7 8 9
www.ditptksd.go.id
103) 9 x 7 = ...?
6 3
Jadi, 9 x 7 = 63
b. Perkalian bilangan 6-9 dengan menggunakan jari
- Pemberian angka simetris dan urut ari jari manis (6) ke ibu jari (10).
- Untuk mewakili 8, jari tangan kiri nomor 6, 7, dan 8 turun. Untuk mewakili 7, jari tangan kanan nomor 6 dan 7 turun.
- yang turun dijumlahkan sebagai puluhan (2+3=5), yang di atas dikalikan sebagai satuan (3x2=6).
- sehingga diperoleh 8x7=56.
- Khusus untuk 6x6 dan 6x7 cara ini sebaiknya tidak dipaksakan karena hasil kali dari jari yang di atas lebih dari 10.
1 2 3 4
5 6
7 8 9
BELUM DIBUAT
www.ditptksd.go.id
c. Perkalian istimewa
Perkalian istimewa adalah perkalian bilangan tertentu dengan bilangan tertentu, sehingga hasilnya pun tertentu.
Contoh:
1) Perkalian dengan 10
Perkalian bilangan bulat dengan 10 dilakukan dengan hanya menuliskan 0 pada bilangan yang dikali.
Contoh:
5 x 10 = 50 12 x 10 = 120 275 x 10 = 2750 2) Perkalian dengan 11
Perkalian dengan 11 dilakukan dengan menempatkan jumlah angka-angka bilangan yang dikali di tengah-tengahnya.
Contoh:
27 x 11 = 297 (9 berasal dari 2+7) 43 x 11 = 473 (7 berasal dari 4+3)
Jika jumlahnya lebih dari 10, maka angka di depan ditambah 1.
Contoh:
76 x 11 = 836 (7+6=13 3 ditengah dan 7+1) 87 x 11 = 957 (8+7=15 5 ditengah dan 8+1) 3) Perkalian dengan 12,5
Perkalian dengan 12,5 terkait dengan 8, kuncinya adalah 8 x 12,5 = 100.
Perhatikan contoh berikut.
16 x 12,5 = 2 x 8 x 12,5
= 2 x 100
= 200
www.ditptksd.go.id
32 x 12,5 = 4 x 8 x 12,5
= 4 x 100
= 400
88 x 12,5 = 11 x 8 x 12,5
= 11 x 100
= 1100
4) Perkalian dengan 111/9, 331/3, 142/7, 162/3
Perkalian dengan bilangan-bilangan ini analog dengan perkalian dengan 12,5 bahwa hasil perkalian ini hasilnya 100. kunci dari perkalian ini adalah sebagai berikut.
9 x 111/9 = 100 3 x 331/3 = 100 7 x 142/7 = 100 6 x 162/3 = 100
5) Perkalian dengan 2, 4, 5, dan 25
Perkalian dengan bilangan-bilangan tersebut juga memiliki ciri khusus yang dihubungkan denga bilangan puluhan seperti 10, 100, 1000, dan sebagainya.silahkan para pembaca mempelajarinya lebih lanjut.
4. Penerapan Operasi Perkalian
Supaya operasi perkalian tidak hanya merupakan pengetahuan semata, maka harus diterapkan ke dalam kehidupan sehari-hari dalam bentuk soal cerita. Misalnya, a. setiap siswa kelas III membawa 5 buku tulis, berapa
banyak buku tulis dalam kelas tersebut jika jumlah siswanya ada 35 anak?
www.ditptksd.go.id
b. sebuah truk memuat 50 buah karung yang setiap karung berisi 125 kg beras. Berapa kwintal beras yang dimuat truk tersebut?
Latihan 1.3
1. 175 x 10 = ...
2. 2634 x 100 = ...
3. 4275 x 11 = ...
4. 2135 x 11 = ...
5. 32 x 12,5 = ...
6. 96 x 12,5 = ...
7. 27 x 331/3 = ...
8. 142/7 x 21 = ...
9. 162/3 x 36 = ...
10. 142/7 x 77 = ...
F. Pembagian
1. Pengenalan operasi Pembagian
Pembigian mulai diajarkan di kelas II. Pengenalan operasi pembigian dilakukan dengan peragaan benda konkrit, sebagai berikut:
a. Membagi secara merata Misal, berapakah 10 : 2?
1) Cara pertama, siapkan 10 benda, kemudian bagilah secara merata kepada 2 anak. Banyaknya benda pada setiap anak merupakan jawaban.
www.ditptksd.go.id
2) Cara kedua, siapkan 2 kotak, kemudian hitunglah 1 s.d. 10 sambil memberi tanda ke kotak-kotak secara bergantian. Banyaknya tanda pada setiap kotak merupakan jawaban.
b. Mengelompokkan
Siapkan 10 benda, kemudian kelompokkan dua-dua, maka banyaknya kelompok merupakan jawaban.
10 : 2 = 5
10 : 2 = 5
10 : 2 = 5
www.ditptksd.go.id
2. Pemahaman Operasi Pembagian
Pembagian merupakan kebalikan (invers) dari perkalian.
3 x 4 = 12 12 : 4 = 3 dan 12 : 3 = 4 4 x 7 = 28 28 : 7 = 4 dan 28 : 4 = 7
Pada tahap pemahaman konsep pembagian pemakaian alat peraga berangsur-angsur dihilangkan, dan mulai memanfaatkan hubungan antara pembagian dan perkalian.
3. Pembinaan Keterampilan dan penerapan Operasi Pembagian
Target keterampilan pada operasi pembagian adalah pembagian bersusun pendek. Proses pengerjaan pembagian bersusun tidak dipaparkan dalam buku ini. Dalam proses belajar mengajar peranan guru sangat menentukan dalam mengajarkan proses pembagian bersusun.
Contoh:
8587 15727
3 25761 5 78635
24 5
17 28
15 25
26 36
24 35
21 13
21 10
0 35
35 0
www.ditptksd.go.id
Penerapan konsep pembagian dilakukan dengan memberikan soal cerita yang menyangkut pembagian.
Sebagai contoh:
a. Sebuah truk mengangkut 50 kwintal beras yang dimasukkan dalam 100 karung. Berapa kg isi setiap karung?
b. Sebuah SD mendapat bantuan 50 pak buku yang setiap pak berisi 12 eksemplar buku tulis. Bantuan tersebut dibagikan kepada murid kelas I dan II yang jumlahnya 60 anak.
Berapa eksemplar buku yang diterima setiap anak?
4. Pembagian Lebih Lanjut
a. Pembagian Bersisa
Pada pembagian bersisa, sisanya tidak boleh ditulis langsung di belakang koma.
Contoh pembagian dengan menuliskan sisanya.
1572
5 7863 7863 : 5 = 1572 sisa 3
5 tidak boleh ditulis langsung 1572,3 28
25 36 35 13 10 3
www.ditptksd.go.id
b. Pembagian dengan Hasil Desimal
Pembagian bersisa bisa diselesaikan dengan hasil desimal, yaitu sampai beberapa angka di belakang koma.
Contoh:
35,5
8 284 284 : 8 = 35,5 24
44 40
40 diberi 0, ditulis koma pada jawaban 40
0
Kadang-kadang hasilnya tidak berhenti sehingga perlu dibulatkan sampai jumlah angka desimal yang dikehendaki.
Cara membulatkan adalah dengan nemperhatikan 1 angka di belakang pembulatan, dengan aturan sebagai berikut.
1) lebih dari 5 dibulatkan ke atas (ditambahkan ke atas) 2) kurang dari 5 dibulatkan ke bawah (atau dihilangkan) Contoh:
7,0833
12 85 85 : 12 = 7,08333 7,08 (dibulatkan) 84
10 diberi 0, ditulis koma pada jawaban 0 10 dibagi 12 tidak bisa, hasilnya = 0 100 diberi 0 lagi, lalu dibagi 12, dst.
96 40
36 4
www.ditptksd.go.id
Contoh pembulatan yang lain:
17 : 3 = 5,66666... = 5,67 (6 dibulatkan ke atas) 56 : 9 = 6,22222... = 5,22 (2 berikutnya dihilangkan) 27 :7 = 3,85714... = 3,86 (7 dibulatkan ke atas) c. Pembagian dengan Nol
Pembagian dengan nol (0) tidak dibicarakan (tidak didefinisikan) dalam matematika. Sebagai contoh, 2:0 = 2/0 tidak ada (tidak didefinisikan), karena diisi dengan bilangan berapa pun selalu salah.
Latihan 1.4
1. 1275 : 5 = ... sisa ...
2. 4756 : 15 = ... sisa ...
3. 3215 : 12 = ... sisa ...
4. 479 : 6 = ... sisa ...
5. 876 : 9 = ... sisa ...
6. (14 x 5) : 10 = ...
7. (150 : 15 ) x 6 = ...
8. 78 : (3 x 12) = ...
9. (37,5 : 3) x 64 = ...
10. (284/7 : 2) x 49 = ...
G. Pengerjaan Hitung Campuran Tanpa Kurung 1. Aturan Pengerjaannya
Pada pengerjaan hitung campuran tanpa kurung dikerjakan dengan aturan kali-bagi lebih kuat dari tambah-kurang, kali dan bagi sama kuat, tambah dan kurang sama kuat.
Pengerjaan hitung campuran dengan mempergunakan aturan kali-bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang dikenal
www.ditptksd.go.id
dengan ”Aturan/Kaidah Matematika”, dikenal juga dengan prinsip ”pipolondo” dengan ketentuan sebagai berikut:
a. Dikerjakan sesuai dengan tingkat/level dari setiap operasi, yaitu:
Pangkat, Akar
Kali,bagi
Tambah,kurang
b. Opersi hitung yang levelnya lebih tinggi dikerjakan dulu pangkat dan akar lebih tinggi daripada kali, bagi, tambah, dan kurang. Kali dan bagi lebih tinggi daripada tambah dan kurang)
c. Operasi hitung yang levelnya sama dikerjakan sesuai urutannya (pangkat dan akar sama kuat, kali dan bagi sama kuat, tambah dan kurang sama kuat)
d. Berlaku untuk kalkulator jenis biasa (dengan catatan ditekan tombol sesuai dengan kaidahnya), dan sesuai dengan kalkulator jenis scientific (cara kerjanya sudah disesuaikan dengan kaidah matematika).
2. Pembahasan tentang Aturan/Kaidah Matematika
Berlakunya pengerjaan hitung campuran sesuai dengan aturan/kaidah Matematika dapat dilihat dengan jelas pada beberapa referensi dan pembahasan sebagai berikut:
a. Studi Referensi/Perpustakaan
1) Kurikulum 1968 Pada kelas III ditulis dengan jelas bahwa jika ada dua operasi yang berlainan tingkat, maka yang mempunyai tingkat lebih tinggi dikerjakan terlebih dahulu, sedangkan yang
www.ditptksd.go.id
urutan penulisan. Walapun secara yuridis Kurikulum 1968 sudah tidak berlaku lagi, namun materi dan konsep yang dibawa akan tetap berlaku sampai kapan pun.
2) Dalam kurikulum Pendidikan Dasar 1994 pada GBPP Kelas IV Cawu 1 pada pokok bahasan perkalian secara implisit tertulis contoh:
7 x 285 = 7 x (200 + 80 + 5)
= 7 x 200 + 7 x 80 + 7 x 5
= 1400 + 560 + 35
= 1995
Dengan demikian secara tidak langsung pengerjaannya menggunakan aturan kali lebih kuat daripada tambah, walapun ditulis di belakang tetap dikerjakan terlebih dahulu.
3) Dalam buku ”Basic Mathematical Skill” oleh Robert A. Carman & Marilyn J. Carman, John & wiley Sons, Inc., Canada, terdaftar dalam Library of Conggress Cataloging in Publication Data, pada halaman 194-195 secara implisit pada bagian
“Decimals” tertulis contoh:
86,42 = 8 x 10 + 6 x 1 + 4 x 1/10 + 2 x 1/100 = 80 + 6+4/10 + 2/100
Dengan demikian buku ini secara tidak langsung juga menggunakan aturan kali lebih kuat daripada tambah, walapun ditulis di belakang tetap di kerjakan terlebih dahulu.
4) Dalam buku Paket kelas IV halaman 38 terbitan Balai Pustaka, sesuai dengan Kurikulum 1994 ditulis dengan jelas:
a) kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang yang lebih kuat dikerjakan dulu
www.ditptksd.go.id
b) kali dan bagi sama kuat, tambah dan kurang sama kuat, yang di depan dikerjakan dulu b. Pembahasan Materi
1) Dari definisi perkalian bahwa perkalian merupakan penjumlahan penjumlahan berulang, diperoleh kali lebih kuat daripada jumlah. Contoh:
3x4 = 4+4+4, maka diperoleh 2+3x4 = 2+4+4+4 = 2+12 = 14 (bukan 20)
2) Rumus keliling persegi panjang biasa digunakan:
Keliling (K) = 2 x p + 2 x l (p = panjang, l = lebar).
Jika panjangnya 5 cm dan lebarnya 4 cm, maka kelilingnya dapat dihitung sebagai berikut:
Keliling = 2 x p + 2 x l
= 2 x 5 + 2 x 4
= 10 + 8
= 18, jadi keliling 18 cm
Tak seorangpun akan mengerjakan seperti berikut:
Keliling = 2 x 5 + 2 x 4
= 10 + 2 x 4
= 12 x 4
= 48, jadi keliling 48 cm
3) Dari definisi bilangan eksponen (pangkat) seperti 42
= 4 x 4, maka diperoleh bahwa 2 + 42 = 2 + 4 x 4 = 2 + 16 = 18 (ternyata secara langsung kali dikerjakan terlebih dahulu)
4) Dalam aljabar terdapat soal: jika a = 3 dan b = 4 berapakah 2a + 5b?
Jawaban yang benar:
2a + 5b = 2x3 + 5x4
= 6 + 20
www.ditptksd.go.id
Jawaban salah:
2a + 5b = 2x3 + 5x4
= 6+5 x 4
= 11 x 4
= 44
5) Pembagian merupakan invers dari perkalian. Tanda bagi (:) dapat ditulis dengan ”/” (garis miring), dan di beberapa kalkulator tertulis ”÷”.
3
3 : 4 = -- atau 3/4, maka
4
3 3 x 5 3 : 4 x 5 = -- x 5 = --- = ...
4 4
Perhatikan bahwa pada soal 3:4x5 pembagian (3:4) dikerjakan dulu menjadi 3/4, baru hasilnya dikalikan dengan 5. Dengan demikian, antara kali dan bagi sama kuat, atau dikerjakan yang depan dulu.
Hal ini dengan perkembangan teknologi, karena sesuai dengan kalkulator jenis apapun, bahasa- bahasa pemrograman komputer (seperti Basic, Pascal, dll.) serta paket-paket program komputer (seperti WordStar, Word Perfect, Lotus 123, Microsoft Word, Microsoft Excel, Dbase, dll.).
Contoh:
Soal Komputer Hasil
8 : 4 x 2 8/4*2 4 (bukan 1)
10 : 2 x 5 10/2*5 25 (bukan 1) 6) Pada pokok bahasan persamaan kuadrat (SLTP)
terdapat fungsi kuadrat sebagai berikut.
www.ditptksd.go.id
f(x) = 2x2 + 3x + 5; jika x = 4 maka:
f(4) = 2.42 + 3.4 + 5
= 2.16 + 3.4 + 5 (pangkat dikerjakan dulu)
= 32 + 12 + 5 (kali dikerjakan dulu)
= 49
c. Pembahasan Lebih Lanjut
1) Dalam bagian-bagian dari disiplin ilmu Matematika seperti Kalkulus, Aljabar, Aritmetika, Trigonometri, Eksponensial, Persamaan Differensial dan Integral, Statistika, Probabilitas, Teori Himpunan, Matematika Terapan, dan lain-lain selalu berlaku prinsip/kaidah Matematika dalam pengerjaannya.
2) Bahasa-bahasa program komputer seperti Basic, Pascal, Fortran, selalu menerapkan aturan/kaidah Matematika.
3) Paket-paket komputer sepeti WordStar, Lotus 123, Word Perfect, Dbase, Microsoft Excel, dan lain-lain selalu memberlakukan kaidah Matematika.
4) Terdapat beberapa jenis kakulator yang cara kerjanya berbeda:
a) Kalkulator biasa (dalam komputerisasi disebut standard)
- bekerja sesuai dengan urutan penulisan/penekanan tombol
- jumlah tombol relatif sedikit dan biasanya tidak tersedia tanda kurung
- harganya relatif murah,
- dipakai untuk sekali pengerjaan hitung seperti tambah, kurang, kali, atau bagi saja. Bila pengerjaannya lebih dari satu maka diperlukan tanda ”=” berkali-kali sesuai dengan masalahnya.
b) Kakulator Scientific
www.ditptksd.go.id
- jumlah tombolnya relatif banyak - harganya relatif mahal
- diprogam untuk kepentingan statistik dan mendukung ilmu karena tersedia tombol- tombol eksponen, sinus, cosinus, tangen, dan lain-lain.
c) Fraction Calculator
Saat ini telah muncul kalkulator yang dapat menuliskan pecahan biasa yang disebut
”fraction calculator”, dan di Jepang dikenal dengan ”Calculator for School” yang prinsip kerjanya sesuai dengan prinsip Matematika sehingga di Jepang tidak terjadi dua pendapat yang berbeda tentang pengerjaan hitung campuran yang tidak menggunakan tanda kurung, karena tersedia kalkulator untuk sekolah. Jenis kalkulator ini walapun jumlah tombolnya tidak selengkap kalkulator scientific, tetapi cara kerjanya sama dengan kalkulator scientific.
d) Hipotesa
- tidak semua orang mengetahui tentang adanya dua jenis kalkulator
- para pengguna kalkultor belum tentu mengetahui secara optimal bagaimana menggunakan kalkulator semaksimal mungkin.
- perlu disediakan waktu tersendiri untuk mempelajari ”bagaimana cara menggunakan kalkulator yang benar”.
d. Contoh Penyelesaian Soal
1. 25 + 3 x 60 = 25 + 180
= 205
www.ditptksd.go.id
2. 43 – 4 x 5 = 43 – 20
= 23 3. 45 x 10 : 5 = 450 : 5
= 90
4. 8 : 4 x 2 = 2 x 2 (bukan 8: 8)
= 4
5. 130 - 30 : 10 x 3 = 130 - 3 x 3
= 130 – 9
= 121
6. 150-50+30x10:20 = 100 +300 :20
= 100 + 15
= 115
7. 75 x 20 + 40 x 5 = 1500 + 200
= 1700 8. 45-25 + 40 x 3 = 45-25 + 120
= 20 +120
= 140 9. 100 : 5x 7 + 6 = 20 x 7 + 6
= 140 + 6
= 146
10. 47 x 65 + 65 x 53 = 65 x (47+ 53)
= 65 x 100
= 6500 Latihan 1.5
1. 48 x 12,5 + 156 = ...
2. 63 x 111/9 – 450 : 5 = ...
3. 121 x 11 + 160 x 12,5 = ...
4. 45 + 63 + 77 x 142/7 = ...
5. 64 x 12,5 + 35 x 142/7 = ...
6. 44 x 25 + 60 x 50 = ...
7. 1750-30 x 331/3+125 = ...
8. 625 + 475 x 10 – 615 = ...
9. 72 x 162/3+215 x 11 = ...
10. 36 x 162/3 + 88 x 12,5 = ...
www.ditptksd.go.id
H. Hukum Komutatif, Assosiatif, dan Distributif
Hukum (sifat) komutatif (pertukaran tempat) yaitu sifat yang dimiliki oleh suatu operasi walapun bilangannya ditukar tempat hasilnya tetap. Hukum komutatif dimiliki oleh penjumlahan dan perkalian, dengan rumus sebagai berikut.
Contoh: Contoh:
23 x 10 = 10 x 23 15 + 58 = 58 + 15 45 x 17 = 17 x 45 49 + 67 = 67 + 49
Hukum (sifat) Assosiatif (pengelompokan) adalah hukum atau sifat yang dimiliki oleh suatu operasi walaupun dilakukan pengelompokan berbeda hasilnya tetap. Hukum assosiatif dimiliki oleh penjumlahan dan perkalian, dengan rumus sebagai berikut.
Contoh: Contoh:
( 9 x 25 ) x 4 = 9 x (25 x 4) ( 15+58 ) + 42 = 18 + (58+42)
= 9 x 100 = 18 + 100
= 900 = 118
(7 x 12,5 ) x 8 = 7 x (12,5 x 8) ( 49 + 86 ) + 14 = 49 + (86+14)
= 7 x 100 = 49 + 100
= 700 = 149
Penjumlahan a + b = b + a
Perkalian a x b = b x a
(a+b) = c = a + (b+c) Penjumlahan
(axb) x c = a x (bxc) Perkalian
www.ditptksd.go.id
Hukum distributif (penyebaran) adalah hukum sifat penyebaran suatu operasi terhadap operasi yang lain. Hukum distributif berlaku pada perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan dengan rumus sebagai berikut.
Contoh:
1. 25 x (400 + 25) = 25 x 400 + 25 x 25
= 10.000 + 625
= 10625
2. 75 x (500 + 10) = 75 x 500 + 75 x 10
= 37500 + 750
= 38250
3. 12,5 x (100) = 12,5 x 100 + 12,5 x 88
= 1250 + 1100
= 2350
4. 48 x (200 – 12,5) = 48 x 100 + 48 x 12,5
= 4800 - 600
= 4200
5. 36 x (500 – 162/3) = 36 x 500 – 36 x 162/3
= 18000 – 600
= 17400
6. 17,5x8,7 + 17,5x1,3 = 17,5 x (8,7 + 1,3)
= 12,7 x 20
= 254
a x (b + c) = a x b + a x c a x (b - c) = a x b - a x c
Catatan: Ketiga hukum (sifat) tersebut digunakan dengan tujuan untuk membuat penyelesaian lebih mudah.
www.ditptksd.go.id
Latihan 1.6
Terapkan hukum distributif pada soal-soal berikut.
1. 47,5 x (200 + 10) = ...
2. 12,5 x (400 + 64) = ...
3. 111/9 x (49 + 18) = ...
4. 37,5 x (200 – 24) = ...
5. 162/3 x (300 – 36) = ...
6. 17 x 86 + 17 x 14 = ...
7. 25 x 73 + 73 x 75 = ...
8. 416 x 213 + 416 x 787 = ...
9. 16,23x4,63 + 83,77x4,63 = ...
10. 112,8x47,9 – 12,8x47,9 = ...
I. Bilangan Berpangkat
Arti dari ab (dibaca a pangkat b) adalah:
ab = a x a x a ... x a b faktor Contoh:
1. 42 = 4 x 4 = 16 2. 33 = 3 x 3 x 3 = 27 3. 22 + 33 = 4 + 9 = 13 4. 52 - 32 = 25 - 9 = 16 5. 23 x 32 = 8 x 9 = 72
J. Penarikan Akar Kuadrat
Penarikan akar kuadrat dengan simbol adalah invers (kebalikan) dari kuadrat atau pangkat 2, dengan hubungan sebagai berikut.
www.ditptksd.go.id
a2 = b b = a (jika a2 = b maka b = a).
Contoh:
4 = 2, karena 22 = 4
9 = 3, karena 32 = 9
144 = 12, karena 122 = 144
25 + 16 = 5 + 4 = 9
9 x 4 = 3 x 2 = 6
Cara menarik akar kuadrat ada beberapa macam antara lain dengan menggunakan cara faktorisasi, bersusun, dan pendekatan tabel.
1. Cara faktorisasi a. Berapakah 625?
625 625 = 54, maka 625 = 54 = 54/2
= 52
5 125 = 25
5 25
5 5
b. Berapakah 144?
144 144 = 24 x 32, maka 144 = 24/2 x 32/2
= 22 x 3
2 72 = 12
2 36
2 18
2 9
3 3
www.ditptksd.go.id
2. Cara bersusun
Cara ini menggunakan bentuk seperti bersusun. Penjelasan rinci tidak dituliskan dalam buku ini dan hanya disajikan dalam bentuk diagram sebagai berikut.
Contoh 1, berapakah 625?
Bilangan yang kuadratnya mendekati 6
625 = 25
2x2 = 4 -
x2 225
4 . x . = 225 - tanda titik (.) harus diisi dengan bilangan 0 yang sama, dalam hal ini 5, supaya 45 x 5 = 225.
Contoh 2, berapakah 289?
Bilangan yang kuadratnya mendekati 3
289 = 17
1x1 = 1 -
x2 189
2 . x . = 189 - tanda titik (.) harus diisi dengan bilangan 0 yang sama, dalam hal ini 7, supaya 27 x 7 = 189.
www.ditptksd.go.id
3. Cara pendekatan tabel Tabel A
Satuan Hasil Kuadrat Bil Satuan CONTOH
0 0 625 = ...
1 1 Potonglah dua angka dari belakang
6.25
2 4
3 9 Perhatikan angka 6, akar 6 adalah 2 lebih 625 = 2...
4 6
5 5 Satuannya adalah 5, yang menghasilkan 5 adalah 5 625 = 25
6 6
7 9
8 4 (Hanya berlaku untuk bilangan kuadrat)
9 1
Tabel B
Puluhan Hasil Kuadrat Bil Hasil
Kuadrat CONTOH 10 100 784 = ...
20 400 Potonglah dua angka dari belakang
7.84 30 900
40 1600 Perhatikan angka 7, akar 7 adalah 2 lebih 784 = 2...
50 2500
60 3600 Satuannya adalah 4, yang menghasilkan 4 adalah 2 atau 8 22 atau 28
70 4900
80 6400 Perhatikan tabel kedua B, 784 terletak di antara 400 dan 900 tetapi dekat ke 900, maka akarnya juga dekat 30 784 = 28
90 8100 100 10000
(Hanya berlaku untuk bilangan kuadrat)
www.ditptksd.go.id
K. Penarikan Akar Pangkat Tiga
Penarikan akar pangkat 3 adalah invers (kebalikan) dari bilangan berpangkat 3, dengan hubungan sebagai berikut.
a3 = b 3b = a (jika a3 = b maka 3b = a).
Cara menarik akar pangkat tiga dapat dilakukan dengan menggunakan cara faktorisasi prima atau dengan pendekatan tabel.
1. Cara faktorisasi Contoh 1. 39261 = ...
Perhatikan cara mencari faktor dari 9261 sebagai berikut.
3
[
3
3
7
7
9 2 6 1 Dengan menggunakan pemfaktoran disamping diperoleh hasil 9261 = 33 x 73, sehingga 39261 = 3(33 x 73) =
333 x 373 = 3 x 7 = 21 3 0 8 7
1 0 2 9 3 4 3 4 9 7 Contoh 2. 313824 = ...
2
[
2
2
2 2
2 [
2
2
2
3 3
1 3 8 2 4 Dari diagram di samping diperoleh hasil 13824 = 29 x 33, sehingga
313824 = 29/3 x 33/3 = 23 x 3 = 24 6 9 1 2
3 4 5 6 1 7 2 8 8 6 4 4 3 2 2 1 6 1 0 8 5 4 2 7 9 3 Catatan:
www.ditptksd.go.id
Mencari akar pangkat tiga dengan cara faktorisasi tidak selalu berhasil karena terdapat bilangan kubik yang berasal dari bilangan prima yang relatif besar pangkat 3. Sebagai contoh 6859 = 193, untuk mendapatkan 19 sebagai faktor dari 6859 merupakan suatu hal yang relatif sulit, karena 19 merupakan bilangan prima yang cukup besar.
2. Cara Pendekatan Tabel Tabel C
Satuan Pangkat 3
Bil Satuan CONTOH 0 0 312.167 = ...
1 1 Potonglah tiga angka dari belakang
12.167
2 8
3 7 Akar pangkat 3 dari 12 adalah 2 lebih
312.167 = 2...
4 4
5 5 Satuannya adalah 7, yang menghasilkan 7 adalah 3 312.167 = 23
6 6
7 3
8 2 (Hanya berlaku untuk bilangan kubik)
9 9
DIAGRAM MENCARI AKAR PANGKAT 3
312.167 = 2 312.167 = 23
2 x 2 x 2 = 8 yang menghasilkan 7 adalah 3
3 x 3 x 3 = 27
350.653 = 3 350.653 = 37
3 x 3 x 3 = 27 yang menghasilkan 3 adalah 7
4 x 4 x 4 = 64
www.ditptksd.go.id
Latihan 1.7 1. 1024 = ...
2. 900 = ...
3. 676 + 576 = ...
4. 121 x 144 = ...
5. 729 : 81 = ...
6. 38000 = ...
7. 313824 = ...
8. 335937 + 321952 = ...
9. 31331 x 319683 = ...
10. 342875 : 3343 = ...
11. 625 + 354872 = ...
12. 1369 + 374.088 = ...
13. 4225 - 324.389 = ...
14. 12,5 x 64 + 162/3 x 34096 = ...
15. 111/9 x 324 + 142/7x 321952 = ...
www.ditptksd.go.id
BAB II
PECAHAN DAN OPERASINYA
A. Jenis-jenis Pecahan
Pecahan terdiri dari beberapa jenis (nama) dan cara penulisan, yaitu:
1. Pecahan biasa, yaitu pecahan yang ditulis dengan pembilang, penyebut, dan garis per mendatar atau miring.
Contoh:
3 1 1
--, --, dan -- yang kadang ditulis 3/4, 1/4, dan 1/2
4 4 2
2. Pecahan campuran, yaitu pecahan yang memiliki bagian bulat dan bagian pecahan.
Contoh:
3 2 1
2--, 3--, dan 4-- (kadang-kadang ditulis 23/4, 31/4, dan 41/2)
4 3 2
Pada bilangan 23/4, 2 adalah bagian bulat dan 3/4 bagian pecah.
Pada bilangan 31/4, 3 adalah bagian bulat dan 1/4 bagian pecah.
Pada bilangan 41/2, 4 adalah bagian bulat dan 1/2 bagian pecah.
3. Pecahan desimal, yaitu pecahan persepuluhan yang ditulis dengan menggunakan tanda koma (dalam bahasa Inggris ditulis dengan tanda titik).
www.ditptksd.go.id
Contoh:
2,5 dua koma lima 1,06 satu koma nol enam 0,7 nol koma tujuh
Perhatikan bahwa dalam penulisan bilangan desimal, tanda koma (,) merupakan tanda desimal, bukan tanda baca.
Perhatikan pada 2,15!
a. 2,15 dibaca dua koma satu lima (bahasa Inggris two point one five) bukan dua lima belas persepuluh, karena 2,15 = 2,150 = 2,1500 = 2,15000, dan seterusnya.
b. Angka 1 pada 2,15 bukan satuan tetapi perseratusan, sehingga tidak bisa dibaca lima belas.
4. Persen, yaitu pecahan perseratus yang dilambangkan dengan notasi %.
Contoh:
10%, 25%, dsb.
5. Permil, yaitu pecahan perseribu yang dilambangkan dengan notasi 0/00.
Contoh:
250/00, 270/00, dsb.
B. Pengenalan Pecahan 1. Membaca Pecahan
1
-- atau 1/2 dibaca satu perdua, seperdua atau setengah
2 1
-- atau 1/4 dibaca satu perempat, seperempat atau seperempat
4 3
-- atau 3/4 dibaca tiga perempat
4
www.ditptksd.go.id
Perhatikan pecahan berikut.
3 disebut pembilang 4 disebut penyebut
Dengan demikian pada pecahan-pecahan:
1 5 , 8 , 9 , 7 , 10 , 12 1,5,8,9,7,10,12 disebut pembilang 2 , 3 5 6 6 11 13 2,3,5,6,6,11,13 disebut penyebut
2. Pecahan dengan Gambar
Pada gambar di atas masing-masing bangun dibagi menjadi 2 bagian yang sama, sehingga setiap bagian besarnya 1/2.
Pada gambar di atas masing-masing bangun dibagi menjadi 3 bagian yang sama, sehingga setiap bagian besarnya 1/3.
Pada gambar di atas masing-masing bangun dibagi menjadi 4 bagian yang sama, sehingga setiap bagian besarnya 1/4.
www.ditptksd.go.id
3. Pecahan pada garis Bilangan
6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
4 4 4 4 - 4 - 4 0 4 4 4 4 4 4
- - - -
0 0
- -
- - - - - -
-
- - -
C. Pecahan Senilai
Jika pembilang dan penyebut dikali dengan bilangan yang sama, maka nilai pecahan itu tetap/sama.
Contoh:
1 2 pembilang dikali 2
-- = --
2 4 penyebut dikali 2
1 3 pembilang dikali 3
-- = --
2 6 penyebut dikali 3
1 4 pembilang dikali 4
-- = --
2 8 penyebut dikali 4
1 2 3 4
Jadi, -- nilainya sama dengan --; --; -- .
2 4 6 8
Jika pembilang dan penyebut dibagi dengan bilangan yang sama, maka nilai pecahan itu tetap/sama.
www.ditptksd.go.id
Contoh:
12 6 pembilang dibagi 2
--- = --
18 9 penyebut dibagi 2
12 2 pembilang dibagi 6
--- = --
18 3 penyebut dibagi 6
12 6 2
Jadi, --- = -- = -- 18 9 3
Pecahan campuran dapat ditulis ke dalam bentuk pecahan biasa dengan pembilang lebih besar daripada penyebut.
Contoh:
1 2x5+1 11 5-- = --- = --- 2 2 2 3 4x3+3 15 3-- = --- = --- 4 4 4
Pecahan biasa dengan pembilang lebih besar dari penyebut dapat ditulis ke dalam bentuk pecahan campuran.
Contoh:
23 3
--- = 5—karena 23 : 4 = 5 sisa 3
4 4 15 1
--- = 2—karena 15 : 7 = 2 sisa 1
7 7
www.ditptksd.go.id
Latihan 2.1
6 … 3 … 18 …
9 18 4 20 27 9
6 18 3 18 24 …
9 … 4 … 48 8
6 … 3 … 36 6
9 45 4 32 54 …
6 48 3 30 20 5
9 … 4 … 24 …
1.
2.
3. =
=
=
4. =
5. =
6. =
7. =
8. =
9. =
10. =
11. =
12. =
D. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan
1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan dengan Penyebut sama
Contoh:
a. 2 + 2
= 2 + 2
= 4
5 5 5 5
b. 3 - 2
= 3 - 2
= 1
5 5 5 5
c. 3 + 1
= 3 + 1
= 4
= 1
4 4 4 4
d. 3 - 1
= 3 - 1
= 2
= 1
4 4 4 4 2
www.ditptksd.go.id
Latihan 2.2
1. 3 + 2
= … 4. 5
- 3
= …
6 6 6 6
2. 4 + 2
= … 5. 5
- 3
= …
7 7 7 7
3. 5 + 3
= … 6. 7
- 5
= …
8 8 8 8
2. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan dengan Penyebut tidak sama
Contoh:
1 + 1
= …
2 3
Cara menyelesaikan penjumlahan tersebut harus disamakan penyebutnya. Untuk menyamakan penyebut carilah pecahan yang senilai dari kedua pecahan tersebut, kemudian carilah yang penyebutnya sama.
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
2 = 4 = 6 = 8 = 10 dan 3 = 6 = 9 = 12 = 15
Dari pecahan-pecahan di atas diperoleh bahwa
1 3 1 2 1 1 3 2 2+3 5
2 = 6 dan 3 = 6 sehingga 2 + 3 = 6 + 6 = 6 = 6
Perhatikan contoh-contoh berikut dan sempurnakan yang belum selesai.
a. 1 + 1
= 2
+ 1
= 2+1
= 3
2 4 4 4 4 4
1 1 3 1 … …
www.ditptksd.go.id
c. 1 + 1
= …
+ …
= …
= …
2 3 6 6 6 …
d. 1 - 1
= 2
- 1
= 2-1
= 1
2 4 4 4 4 4
e. 1 - 1
= 3
- 1
= …
= …
2 6 6 6 6 …
f. 1 - 1
= 3
- 2
= …
= …
2 3 6 6 6 …
Latihan 2.3
1. 2 + 3
= … 4. 3
- 1
= …
3 4 5 2
2. 1 + 2
= … 5. 7
- 2
= …
2 5 8 4
3. 3 + 3
= … 6. 7
- 2
= …
4 5 9 3
3. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Campuran a. Penjumlahan
www.ditptksd.go.id
1 3 2 3 5 1
2 4 4 4 4 4
1 2 1 2
2 3 2 3
3 4
6 6
7 6
7 6 1 6
= 2
2
2
=
=
3
2 = 3
2) + + +
1) + +
2 3 +
= 5 + +
1
= 6
= 5 +
= 5 +
b. Pengurangan
2 1 4 3 1
3 2 6 6 6
3 - 1 = 3 - 1 = 2
Latihan 2.4
2 5 1 1
3 6 2 3
3 1 3 1
5 2 4 2
3 1 1 1
5 4 3 6
2 1 5 1
3 6 6 2
2 3 1 5
5 7 3 6
1 5 5 1
- 3 = …
= …
5 - 2 = …
…
=
3 - = …
10.
11.
2
6
7
+ 2 = …
+ 3 = …
4.
5.
2
6
4 2
8 2 9. - 2
8. 1
7. -
1.
2.
…
… +
+
=
=
3 2
3. + = …
www.ditptksd.go.id
E. Perkalian Pecahan
1. Perkalian Bilangan Asli dengan Pecahan Contoh peragaan dengan gambar.
1 2
2/3 3
1/3
6 3
1 3
3/4 4
2/4
1/4 9 1
4 4
1 2 3
3 x = n
n = = 2
1 2 3
3 x = n
n = = 2
Contoh tanpa gambar.
1 1 1 1 3 3 1 3
4 4 4 4 4 1 4 4
1 1 1 1 1 4 4
5 5 5 5 5 5 5
4 x 1 = 5 1+1+1+1 =
5 atau
4 x = + + + =
1 x 4 =
atau + = 3 x 1
+ 1+1+1
4 =
3 x = + =
2. Perkalian Pecahan Biasa dengan Pecahan Biasa
Mengalikan pecahan dengan pecahan sama dengan mengalikan pembilang dengan pembilang per penyebut kali penyebut.
Contoh:
3 2 6 1
4 3 12 2
5 2 10
7 3 21
= =
5 x 2 = 7 x 3
=
x 3 x 2
4 x 3
x =
www.ditptksd.go.id
Latihan 2.5
3 3 2 3
5 4 3 5
3 3 4 3
7 4 5 4
5 2 5 2
6 3 8 3
2 2
3 3
3 3
5 10. 8 x 32 = …
5. x 10 = …
9. x 21 = …
4. x 6 = …
8. x = …
3. x = …
x = …
2. x = … 7. x = …
1. x = … 6.
3. Perkalian Pecahan Campuran
Cara mengerjakan perkalian dengan pecahan campuran adalah dengan mengubah bentuk pecahan campuran menjadi pecahan biasa, kemudian pembilang kali pembilang per penyebut kali penyebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
1 3 5 3 15 7
2 4 2 4 8 8
3 1 19 5 95 7
4 2 4 2 8 8
2
4 2
=
x 1
=
= x
5 x 3 2 x 4
x = = =
11
= x = 19x5
www.ditptksd.go.id
4x2Latihan 2.6
2 3 3 1 2
3 5 5 2 3
3 3 2 3 3
5 4 3 4 5
1 5 2 2 3
2 8 3 3 5
1 1 3 1 5
2 2 4 4 6
2 3 2 3
3 5 7 4
= …
12. 3 x 2 = …
11. 2 x 2
10.
=
x …
x 8.
9.
13.
14.
2 6
3 x
2 x
15. 5 x
3. x = …
1.
2.
…
… x
x
=
= 3
7. 10
6. 4 x 10
3
3 1 =
4.
5.
2
3
x 8 = …
x 9 = …
…
3 = …
15 =
4 =
…
=
x = …
…
x …
… 30 =
F. Pembagian Pecahan
Pembagian dengan pecahan dilakukan dengan cara yang mudah, yaitu dengan mengubah menjadi perkalian. Dibagi dengan suatu pecahan biasa sama dengan dikalikan dengan kebalikan bilangan pembagi.
Contoh:
4 2 4 2
-- : -- = ... -- bilangan yang dibagi dan -- pembagi
5 3 5 3
Pembagian dengan pecahan sama dengan perkalian dengan kebalikan pembagi, maka
4 2 4 3 2 3
5 3 5 2 3 2
4 2 4 3 12 2 1
5 3 5 2 10 10 5
dibalik menjadi
: = x = 4x3
5x2 = =
pembagi
sehingga diperoleh 1
= :
= 1
, yang dibagi tetap, x
