Bilangan dalam bentuk akar juga sering menjadi bagian penting dalam soal-soal kompetisi matematika
Beberapa pengetahuan dasar tentang bentuk akar : 1. Bilangan di bawah tanda akar tidak boleh negatif
2. 𝑎 × 𝑏 = 𝑎𝑏 , salah satu akibatnya adalah 𝑎 2 = 𝑎 3. Merasionalkan bentuk akar
a. 1 𝑎 = 1 𝑎 𝑎 b. 1 𝑎+ 𝑏 = 𝑎− 𝑏 𝑎2−𝑏 c. 1 𝑎+ 𝑏 = 𝑎− 𝑏 𝑎 −𝑏 4. 𝑎 ± 𝑏 2= 𝑎 + 𝑏 ± 2 𝑎𝑏
Contoh satu penerapanya adalah 8 − 2 15 = 5 − 3
5. Dengan menggunakan rumus pengkuadratan bentuk aljabar, maka 𝑎2± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = a + b
Contohnya : 11 + 4 7 = 22+ 2 ∙ 2 7 + 7 2 = 2 + 7
6. Dengan persamaan bentuk aljabar 1 + (n – 1)n(n + 1)(n + 2) = (n(n + 1) – 1)2, maka
𝑛 − 1 𝑛 𝑛 + 1 𝑛 + 2 = 𝑛 𝑛 + 1 − 1 Contohnya : 98 ∙ 99 ∙ 100 ∙ 101 + 1 = 9900 – 1 = 9899
Contoh Soal Soal 1
[OSN 2004] Nilai dari 50502− 49502 = …. a. 10 c. 1.000
b. 100 d. 10.000 Jawaban : c
dengan menggunakan rumus selisih kuadrat, a2 – b2 = (a + b)(a – b) maka bentuk 50502 – 49502 = (5050 + 4950)( 5050 – 4950) = (10000)(100) Sehingga 50502− 49502 = 10000 ∙ 100 = 1000 Soal 2 1 1+ 2 2+ 3 1− 2 2− 3 = .... Jawaban 1 1+ 2 2+ 3 1− 2 2− 3 = 1 1+ 2 1− 2 2+ 3 2− 3 = 1 1−2 4−3 = - 1
Soal 3
Hasil dari : 190 + 32 + 16 adalah …. a. 208 c. 16
b. 14 d. 18 Jawaban : b
190 + 32 + 16 = 190 + 32 + 4 = 190 + 36 = 190 + 6 = 14 Soal 4
Selesaikan soal berikut
6 + 2 6 − 3 + 2 − 1− 2 2=? Jawaban 6+ 2 6− 3+ 2−1− 2 2 = 2 6+ 2 −2 6− 3+ 2−1 2 6− 3+ 2−1 = 2 3+2−2 6+2 3−2 2+2 2 3− 6+2− 2 = 4−2 6+4 3−2 2 2 3− 6+2− 2 = 4 1+ 3 −2 2 1+ 3 2 1+ 3 − 2 1+ 3 = 4−2 2 2− 2 = 2 Soal 5
Tentukan semua bilangan bulat n sehingga 𝑛 − 4 𝑛 − 19 juga merupakan bilangan bulat
UKMT MENTORING SCHEME (Intermediate Level) March 2011 (Sheet 6) Jawaban
Misalkan p = 𝑛 − 4 𝑛 − 19 , maka p2 = n - 4 𝑛 − 19 yang disederhanakan menjadi 𝑛 − 𝑝2 2 = 16 𝑛 − 19
Karena 16 merupakan bilangan kuadarat, maka n – 19 juga harus merupakan bilangan kuadrat. Misalkan n – 19 = m2 𝑛 − 𝑝2 2 = 16 𝑛 − 19 ⇨ 𝑚2+ 19 − 𝑝2 2 = 16𝑚2 ⇨ m2 + 19 – p2 = 4m ⇨ m2 – 4m + 19 = p2 ⇨ (m – 2)2 + 15 = p2 ⇨ p2 – (m – 2)2 = 15 ⇨ (p + m – 2)(p – m + 2) = 15
Dengan menggunakan faktor-faktor positif dari 15 yaitu (1,15), (15,1), (3,5) dan (5,3) Maka kita dapat pasangan nilai (p,m) adalah (8,9), (8,-5), (4,3) dan (1,4)
Karena m adalah nilai dari 𝑛 − 19 , maka m harus positif, sehingga pasangan (p,m) yang memenuhi tinggal (8,9), (4,3) dan (4,1)
Untuk m = 9 ⇨ n = 100 Untuk m = 3 ⇨ n = 27 Untuk m = 1 ⇨ n = 20 Soal 6
Berapakah jumlah dari bentuk berikut 1 2 1 + 1 2+ 1 3 2 + 2 3+ ⋯ + 1 100 99 + 99 100 International Contest-Game MATH KANGAROO Canada, 2007 Jawaban
Setiap pecahan dari penjumlahan tersebut berbentuk 1
𝑛 𝑛−1+ 𝑛−1 2 , dengan n = 2, 3, ..., 100
Bentuk tersebut dapat disederhanakan dengan cara berikut : 1 𝑛 𝑛−1+ 𝑛−1 𝑛 ⇨ = 1 𝑛 𝑛−1+ 𝑛−1 𝑛× 𝑛 𝑛−1− 𝑛−1 𝑛 𝑛 𝑛−1− 𝑛−1 𝑛 = 𝑛 𝑛−1− 𝑛−1 𝑛 𝑛2 𝑛−1 − 𝑛−1 2𝑛 = 𝑛 𝑛−1 𝑛− 𝑛−1 𝑛 𝑛−1 𝑛−𝑛+1 = 𝑛− 𝑛−1 𝑛 𝑛−1 = 1 𝑛−1− 1 𝑛
Dengan semikian, bentuk soal tersebut dapat diubah menjadi 1 1+ 1 2− 1 2− 1 3+ 1 3− 1 4+ ⋯ + 1 99− 1 100 = 1 1− 1 100= 9 10
SOAL-SOAL KOMPETISI MATEMATIKA
1. Jika a > 0, maka 𝑎 34 𝑎 𝑎 𝑎
3 dapat disederhanakan menjadi A. a B. 𝑎8 9 C. a3 D. 1
𝑎
8 E. Tidak ada yang benar
2009 - Appalachian State University Comprehensive High School Math Contest
2. Tentukan pangkat 4 dari 4 + 4 + 4
(A) 24 + 8√6 (B) 24 + 4√6 (C) 32 (D) 16 + 8√2 (E) Tidak ada pilihan yang benar 2009 - Appalachian State University Comprehensive
3. Jika 100 − 𝑥 = 9, maka x = ... (A) 9 (B) 91 (C) √19 (D) 97 (E) 19
Cayley Contest 2012 4. Jika 25 + 𝑥 = 6, berapakah nilai x?
Euclid Contest 2011
5. Jika N = 5+2+ 5−2
1−1 , maka N =?
a) 1 (b) √2 (c) √3 (d) 4 (e) Tidak ada pilihan yang benar
2011 Math Contest Level 1 - Coastal Carolina University 6. Untuk berapa banyak nilai k yang berbeda sehingga 𝑘 − 11 dan 𝑘 + 64 keduanya
merupakan bilangan bulat?
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) none of these
2011 Math Contest Level 1 - Coastal Carolina University 7. Diketahui x = 7 + 13 − 7 − 13 . Tentukan nilai dari 𝑥3− 2𝑥 − 2 2012 .
(a) 28048 (b) 22024 (c) 41006 (d) 4503 (e) 86036
MATH TOURNAMENT 2012 PROBLEMS – Columbus State
8. Tentukan bilangan bulat x yang memenuhi 14 + 6 5 − 14 − 6 5 = 𝑥
MATH TOURNAMENT 2012 CIPHERING – Columbus State
9. Hitunghlah 3 + 3 + 3 + ⋯2012
Georgia Tech High School Math Competition-Ciphering Test 10. 5 + 2 133 + 5 − 2 133 = ... A) 65 3 4 B) 4 13 C) 3 2 D) 1 E) 1+ 136 2
Indiana State Mathematics Contest-Comprehensive 2011 11. Hasil dari 0, 444 ⋯ 4
100 𝑘𝑎𝑙𝑖
ditulis dalam bentuk bilangan desimal. Berapakah angka yang ke-100 setelah tanda koma?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
International Kangaroo Mathematics Contest 2010 Student Level: Class (11 & 12)
12. Manakah yang senilai dengan 8
2− 2− 4 2 1 2
A) 2√2 B) 2 + √2 C) 4 - √2 D) 4√2 E) Tidak ada yang benar KSEA Math Contest – Sample for 2012
1+ 2 2+ 3 3+ 4 24+ 25
A) 1 B) 4 C) 9 D) 16 E) Tidak ada yang benar KSEA Math Contest – Sample for 2012 14. Berapakah 4 7 + 11 − 7 ?
(A) 4√7 (B) -1 (C)√7 (D) 2 (E) 11
2011 Lakehead University Math Contest – Senior Individual 15. Tentukan bilangan bulat u dan v yang memenuhi persamaan berikut
18 − 2 65 = 𝑢 − 𝑣
2012 LSU Math Contest – Open Session
16. Manakah yang senilai dengan 26+26+26+43 6∙15∙300 3 ? (A)1 15 (B) 2 15 (C) 8 15 (D) 4 15 (E) 16 15
FORTY-EIGHTH ANNUAL OLYMPIAD HIGH SCHOOL PRIZE COMPETITION IN MATHEMATICS 2011-2012 17. Sederhanakanlah : 5 4− 3 2− 5 4+ 3 2 (A) -√3 (B) -√2 (C) √2 (D) √3 (E) − 5 2
FORTY-EIGHTH ANNUAL OLYMPIAD HIGH SCHOOL PRIZE COMPETITION IN MATHEMATICS 2010-2011 18. Jika √36 + √x = √100, maka x =
A. 2 B. 4 C. 8 D. 64 E. None of these.
2012 Marywood Mathematics Contest 19. 16 × 16 × 16 × 16 =
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 E. None of these.
2012 Marywood Mathematics Contest
20. Diketahui bahwa x adalah bilangan bulat. Jika 𝑥 +12 2011 − 𝑥 −1
2 2011 juga merupakan bilangan bulat, tentukan x
Mathworks at Texas State University Mathworks Math Contest For Middle School Students 2011
21. Hitunglah
173 − 133 2893 + 2213 + 1693
Nassau County Interscholastic Mathematics League Contest #3 : 2011 – 2012 22. Berapakah hasil dari √81 − √36?
(A) √9 − √6 (B) 3 (C) 6 (D) √45 (E) 452012
NB Math Contest - Grade 8
23. Tentukan nilai dari 7 − 48 + 5 − 24 + 3 − 8
2011 NC State Mathematical Contest 24. Diketahui 2
5 4
− 34 = 𝐴 4
+ 𝐵4 + 𝐶4 + 𝐷4 untuk semua bilangan bulat A, B, C, D. Tentukan nilai dari A – B + C – D .
2012 OHMIO PRESSURE ROUND 25. Nyatakan dalam bentuk akar tunggal yang paling sederhana 2 43 84
2011 OHMIO PRESSURE ROUND
26. Berapakah nilai dari 11111
9 REMT 2012 27. Sederhanakanlah : 1 𝑥−3− 𝑥 𝑥−9 REMT 2012 28. 2 2 2 2 40 41 8 17 =
Rocket City Math League 2011-2012 : Senior Division Inter-School Test
29. Sederhanakanlah 4+ 15 4− 15+
4− 15 4+ 15
(a) 0 (b) 2 (c) 8 (d) 19 (e) None of the above
Saginaw Valley State University2009 Math Olympics – Level I
30. Rasionalkan penyebutnya : 4 2 2+ 3+ 7 (a) 4/7 (b) 2 + √3 − √7 (c) −4 2− 7
3 (d) 2√3 + 4 + 4 21
7 (e) None of the above
SVSU – 2007 Math Olympics Level I
31. 1− 5 2+ 5 7+ 5 = ... a) 1+ 5 4 b) 4− 5 11 c) −4− 5 11 d) 8+4 5 11 e) 27+15 5 44
(a) 1 (b) 4 (c) 2√6 (d) 8 6 (e) 8√6
High School Math Contest University of South Carolina January 28, 2012
33. Jika lima bilangan berikut
11 − 10 ; 10 − 3 ; 1 6 ; 10 20 ; 11 22
Disusun dari yang terkecil ke yang terbesar, maka bilangan yang berada di tengah adalah ...
a) 11 − 10 b) 10 − 3 c) 16 d) 10 20 e)
11 22
SOUTH AFRICANMATHEMATICS OLYMPIAD 2011 SECOND ROUND SENIOR SECTION: GRADES 10, 11 AND 12
34. Diberikan a = 3 − 8 dan b = 3 + 8. Maka a + b = ... (a) 6 (b) 2 (c) 3 (d) √3 (e)√8
2011Pro2Serve Tennessee Math ContestFERMAT I
35. Tentukan nilai dari x = 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
AB EXAM TEXAS A&M HIGH SCHOOL MATH CONTEST NOVEMBER 12, 2011
36. Berapakah bilangan rasional dalam bentuk yang paling sederhana yang senilai dengan 9 + 4 5
3
+ 9 − 4 53
BC EXAM TEXAS A&M HIGH SCHOOL MATH CONTEST NOVEMBER 12, 2011
37. Tentukan bilangan bulat terbesar yang kurang dari
10 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
BEST EXAM TEXAS A&M HIGH SCHOOL MATH CONTEST NOVEMBER 12, 2011
38. Sederhanakanlah bentuk akar berikut 1 9 3
39. Berapakah nilai dari 19 − 192 + 19 + 192 a. √19 b. 8√3 c. 4√2 d. 8 e. 4
40. Misalkan p = 2 + 2dan r = 2 − 2serta x = p + r, maka x = ... a. p√2 b. 2p c. 4 d. 2r e. r√2
41. Hitunglah hasil penjumlahan bentuk berikut :
501 + 504 −1+ 504 + 507 −1+ 507 + 510 −1+ ⋯ + 2001 + 2004 −1 a. 1 4 501 b. 1 3 501 c. 1 5 501 d. 1 2 501 e. 501 42. Hitunglah 33 ∙ 34 ∙ 35 ∙ 36 + 1.
(A) 1089 (B) 1091 (C) 1190 (D) 1191 (E) None of the above 2008 Written test - UGA Math Contest 43. Problem 5. Express in terms of the fewest number of square roots possible:
7 + 4 3 + 7 − 4 3
2008 Ciphering test - UGA Math Contest 44. Berapakah nilai dari
8 + 2 7 − 8 − 2 7 2
2011 SENIOR ‘KANGAROO’ MATHEMATICAL CHALLENGE
45. Diketahui bahwa a dan b adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dan 𝑎 𝑎 𝑎 = b. Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari a + b.
UKMT MENTORING SCHEME (Intermediate Level) October 2010 (Sheet 1) 46. Nyatakanlah bentuk 1
2011+ 20112−1 dalam bentuk 𝑎 − 𝑏 dengan a dan b bilangan bulat.
UKMT MENTORING SCHEME (Intermediate Level) December 2011 (Sheet 3)
