LOGARITMA & EKSPONENSIAL

(1)

MATA KULIAH

MATA KULIAH :: MATEMATIKAMATEMATIKA KODE MATA KULIAH

KODE MATA KULIAH :: UNM10.103UNM10.103 SKS

SKS :: 2 (12 (1--1) 1)

LOGARITMA & EKSPONENSIAL

Oleh Oleh Syawaludin

Syawaludin A. A. HarahapHarahap, , MScMSc

UNIVERSITAS PADJADJARAN UNIVERSITAS PADJADJARAN

FAKULTAS PERIKANAN DAN ILMU KELAUTAN FAKULTAS PERIKANAN DAN ILMU KELAUTAN

JATINANGOR JATINANGOR 2011 2011

LOGARITMA

Logaritma

Logaritma adalahadalah pangkatpangkat yangyang harusharus diberikan

diberikan kepadakepada suatusuatu angkaangka agaragar didapatdidapat bilangan

bilangan tertentutertentu..

““suatusuatu angkaangka”” tersebuttersebut merupakanmerupakan basisbasis daridari logaritma logaritma.. Contoh Contoh:: 2 2_{log 8 = …..}_{log 8 = …..} 2

2 harusharus diberidiberi pangkatpangkat berapaberapa agar agar hasilnya

(2)

P

_log

_{log a = m}

_{a = m}

_artinya

_{a = p}

mm

p

disebut

disebut bilangan

bilangan pokok

pokok

a

disebut

disebut bilangan

bilangan logaritma

logaritma atau

atau

numerus

numerus dengan

dengan

a

a >

> 0

0 m

m

disebut

hasil

logaritma

atau

eksponen

eksponen dari

dari basis

basis..

Bentuk

Bentuk Umum

Umum

Sifat

Sifat--sifat

sifat Logaritma

Logaritma

1.

1. pp_log_{log (a x b)}_{(a x b) =}₌pp_log_{log a +}_{a +}pp_log_{log b}_b

2.

2. pp_log_{log (a : b)}_{(a : b) =}₌pp_log_{log a}_{a --} pp_log_{log b}_b

3.

3. pp_log_{log (a)}_(a)nn _{= n x}_{= n x}pp_log_{log a}_a

4.

4. pp_log_{log p}_p _{= 1}_{= 1}

5.

5. bb_{log 1 = 0; log 1= 0;}_{log 1 = 0; log 1= 0; ln}_{ln 1= 0}_{1= 0}

6.

(3)

Sebenarnya

Sebenarnya semuasemua angkaangka bisabisa dijadikandijadikan basis

basis logaritmalogaritma,, tapitapi yangyang palingpaling banyakbanyak digunakan

digunakan hanyahanya 22 angkaangka,, yaituyaitu::

1.

1. Logaritma dengan Basis 10Logaritma dengan Basis 10 Pada

Pada bentukbentuk pp_log_{log a}_{a =}_{= m,}_{m, maka}_maka:: 10

10_log_{log a}_{a =}_{= m}_{m cukup}_{cukup ditulis}_{ditulis log}_{log a}_{a =}_{= m}_m..

Basis

Basis 1010 padapada logaritmalogaritma tidaktidak perluperlu dituliskan

dituliskan.. Contoh Contoh::

10

10_{log 3}_{log 3}_dituliskan_{dituliskan log 3}_{log 3} 10

10_{log 5}_{log 5}_dituliskan_{dituliskan log 5}_{log 5}

2.

2. LogaritmaLogaritma naturalnatural dengandengan BasisnyaBasisnya adalah

adalah bilanganbilangan irasionalirasional tertentutertentu yaituyaitu

e

== 22,,7182871828

Pada bentuk

Pada bentuk pp_{log a=m, maka}_{log a=m, maka}ee_{log a=m}_{log a=m}

cukup ditulis dengan ln a=m cukup ditulis dengan ln a=m Contoh:

Contoh:

e

e_{log 3}_{log 3}_{dituliskan ln 3}_{dituliskan ln 3} e

(4)

Fungsi

Fungsi eksponensialeksponensial menggambarkanmenggambarkan fenomena

fenomena pertumbuhanpertumbuhan//peluruhanpeluruhan dengandengan persentase

persentase tetaptetap..

Fungsi

Fungsi yangyang variabelvariabel independennyaindependennya (x)(x) merupakan

merupakan pangkatpangkat daridari suatusuatu konstanta konstanta.. Contoh Contoh:: y y == 22xx_{,, y}_{y =}_{= 10}₁₀xx_{,, y}_{y =}_{= 2}₂₍₍₃₃xx_),_{), y}_{y =}_{= 5}₅₍₍₂₂33xx₎₎

EKSPONENSIAL

y = a(

y = a(b

b

cxcx

₎₎

a

= intercept (

= intercept (titik

titik potong

potong dengan

dengan

sumbu

sumbu y)

y)

b

= basis

cc

=

= bagian

bagian dari

dari basis

basis

Bentuk

(5)

pangkat

pangkat negatifnegatif bisabisa dihilangkandihilangkan::

y = 2

y = 2--x x _{= (2}_{= (2}--11₎₎x x _=(1/2)_=(1/2)xx

Jadi

Jadi :: fungsifungsi eksponensialeksponensial pangkatpangkat negatifnegatif =

= fungsifungsi eksponensialeksponensial pangkatpangkat positifpositif,, dgndgn basis

basis :: 00<b<<b<11 (basis(basis bilanganbilangan pecahanpecahan)).. Aplikasi

Aplikasi :: y =

y = bbxx _{menggambarkan}_{menggambarkan pertumbuhan}_pertumbuhan ((

growth

).).

y = b

y = b--xx _{menggambarkan}_{menggambarkan peluruhan}_peluruhan ((

decay

).).

Fungsi

Fungsi Eksponen

Eksponen Berbasis

Berbasis

e

Dalam

Dalam banyakbanyak aplikasiaplikasi adaada suatusuatu basis basis khusus

khusus yang yang seringsering dipergunakandipergunakan yaituyaitu basis

basis e = 2,71828e = 2,71828

misal y = e misal y = exx

Bentuk

Bentuk UmumUmum::

y = a.e

bxbx

(6)

Karakteristik

Karakteristik Fungsi

Fungsi Eksponensial

Eksponensial

1. 1. bbmm_.b_.bnn _b_bm+nm+n 2. 2. bbmm b bnn 3. 3. ((bbmm₎₎n n _b_bm.nm.n 4. 4. aamm_.b_.bm m _((a.b_a.b))mm 5. 5. bbmm/n/n 6. 6. n n nn 7. 7. bb0 0 ₁_1,, 8. 8. bb--mm _,, bm-n _{, b 0}

√√√√√√√√

bm

√√√√√√√√

_b m m b 0 1 1 b bmm b 0

√√√√√√√√

bm n n

(7)

Contoh Soal

1.

1. JikaJika 44_{log 64 = x}_{log 64 = x} Tentukan

Tentukan nilainilai x = ….x = …. Jawab Jawab:: 4 4_{log 64 = x}_{log 64 = x}₄₄xx _{= 64}_{= 64} 4 4xx _{= 4}_{= 4}44 x = 4. x = 4.

Contoh Soal

2.

2. NilaiNilai daridari 22_{log 8 +}_{log 8 +}33_{log 9 = ….}_{log 9 = ….} Jawab

Jawab:: =

= 22_{log 8 +}_{log 8 +}33_{log 9}_{log 9} =

= 22_{log 2}_{log 2}33 ₊₊33_{log 3}_{log 3}22 = 3 + 2

(8)

Contoh Soal

3.

3. NilaiNilai daridari 22_{log (8 x 16) = ….}_{log (8 x 16) = ….} Jawab

Jawab:: =

= 22_{log 8 +}_{log 8 +}22_{log 16}_{log 16} =

= 22_{log 2}_{log 2}33 ₊₊22_{log 2}_{log 2}44 = 3 + 4 = 3 + 4 = 7 = 7

Contoh Soal

4.

4. NilaiNilai daridari 33_{log (81 : 27) = ….}_{log (81 : 27) = ….} Jawab

Jawab:: =

= 33_{log 81}_{log 81 --} 33_{log 27}_{log 27} =

(9)

Contoh Soal

5.

5. NilaiNilai daridari 22_{log 8}_{log 8}44 _{= ….}_{= ….} Jawab Jawab:: = = 22_{log 8}_{log 8}44 = 4 x = 4 x 22_{log 2}_{log 2}33 = 4 x 3 = 4 x 3 = 12 = 12

Contoh Soal

6.

6. NilaiNilai daridari 22_log_log√√₈₈44 _{= ….}_{= ….} Jawab Jawab:: = = 22_log_log√√₈₈44 = 2 x = 2 x 22_{log 2}_{log 2}33 = 2 x 3 = 2 x 3 2 4 22_{log 8}_{log 8} = =

(10)

Contoh Soal

7.

7. JikaJika log 100 = xlog 100 = x Tentukan

Tentukan nilainilai x = ….x = …. Jawab Jawab:: log 100 = x log 100 = x 1010xx _{= 100}_{= 100} 10 10xx _{= 10}_{= 10}22 x = 2. x = 2.

Contoh Soal

8.

8. lnln xx22 ₊_{+ ln}_{ln x = 9.}_{x = 9. Tentukan}_{Tentukan nilai}_{nilai x ?}_{x ?} Jawab: Jawab: 3 ln x 3 ln x = 9_{= 9}_lnln xx = 3= 3 x x = e= e33 = 2,71828 = 2,7182833

(11)

Contoh Soal

9.

9. ee2x2x _{= 5.}_{= 5. Berapa}_{Berapa nilai}_{nilai x ?}_{x ?} Jawab: Jawab: ln e ln e2x2x _{= ln 5}_{= ln 5} 2x 2x lnln e = 1,6094e = 1,6094 2x = 1,6094 2x = 1,6094 x = 0,8047 x = 0,8047

Contoh Soal

10

10..SuatuSuatu zatzat yangyang disuntikkandisuntikkan keke dalamdalam tubuhtubuh ikanikan akanakan dikeluarkan

dikeluarkan daridari darahdarah melaluimelalui ginjalginjal.. SetiapSetiap 11 jamjam separuh

separuh daridari zatzat ituitu dikeluarkandikeluarkan oleholeh ginjalginjal.. BilaBila 100100 miligram

miligram zatzat ituitu disuntikkandisuntikkan keke tubuhtubuh ikanikan,, berapaberapa miligram

miligram zatzat ituitu yangyang tersisatersisa dalamdalam darahdarah setelahsetelah:: a)a) 1

1 jam,jam, b)b) 22 jam,jam, c)c) 33 jamjam ??

Jawab Jawab:: 1 jam : A=100.(1/2) = 100.(1/2) 1 jam : A=100.(1/2) = 100.(1/2) 11_{=50 mg}_{=50 mg} 2 2

(12)

Contoh Soal

11

11.. DiDi tahuntahun 19701970 jumlahjumlah populasipopulasi dugongdugong didi suatusuatu perairan

perairan adaada 100100 ekorekor.. BilaBila pertambahanpertambahan populasipopulasi 44%% per

per tahuntahun,, berapaberapa jumlahjumlah populasipopulasi dugongdugong padapada akhirakhir tahun

tahun 19951995 didi perairanperairan tersebuttersebut ?? Jawab

Jawab:: P

P_tt = P= P₀₀eertrt _{((pertumbuhan}_{pertumbuhan dugong}_{dugong terjadi}_{terjadi secara}_secara

kontinyu kontinyu)) = 100. e = 100. e0,04x250,04x25 = 100 x 2,71828 = 271,828 ekor = 100 x 2,71828 = 271,828 ekor