FUNGSI DAN FUNGSI KUADRAT
Pengantar
Peta Konsep Peta Konsep Indikator
1. Menemukan ciri-ciri fungsi kuadrat dari contoh berlabel
2. Menjelaskan karakterstik masalah autentik yang pemecahan masalahnya terkait dengan fungsi kuadrat
3. Menemukan definisi fungsi kuadrat dari contoh berlabel. 4. Melukis dan menyusun grafik fungsi kuadrat
5. Membuat model matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat serta menyelesaikan masalah matematikanya.
Kompetensi Dasar.
1. Menggunakan konsep yang dimiliki pemetaan dan fungsi untuk melukis dan menggambar grafik fungsi kuadrat
2. Membuat model matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat serta menyelesaikan masalah matematikanya. STANDAR
KOMPETENSI
Keterangan Petakonsep
Suatu relasi f yang memetakan dari suatu himpunan A ke himpunan B dikatakan fungsi apabila relasi tersebut memasangkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B, dan dinotasikan dengan:
f : A B xA y!B
Himpunan A disebut Domain / daerah asal dari f(x), dinotasikan Df, sedang {yf(x) = y, xA B} disebut Range / daerah hasil dari f(x) dinotasikan Rf.
Jika daerah asal suatu fungsi merupakan himpunan bilangan rill maka dalam selang interval dapat di notasikan dengan Df = RDf = {xR:-x}, dan jika
daerah hasil suatu fungsi merupakan himpunan bilangan rill maka dalam selang interval dapat di notasikan dengan Rf = RRf = {yR:-x}.
Suatu fungsi f yang memiliki bentuk umum f(x)= a0+a1x +….+anxn disebut dengan bentuk umum dari fungsi polinom. Fungsi folinom yang memiliki bentuk f(x)= a0 disebut dengan fungsi konstanta, fungsi folinom yang memiliki bentuk f(x)= a0 + a1x disebut dengan fungsi linier, fungsi folinom yang memiliki bentuk f(x)= a0 + a1x + a2x2 disebut dengan fungsi kuadrat.
Sebelum kita membahas tentang materi fungsi kuadrat, ada baiknya kita membahas terlebih dahulu relasi, fungsi, fungsi konstanta, dan fungsi linier.
Misalkan ada tiga orang siswa, yait Arman, Beni, dan Elma memilih mata pelajaran yang mereka sukai. Arman dan Elma memilih mata pelajaran Fisika, Beni dan Elma memilih mata pelajaran Matematika, Arman, Beni, dan Elma memilih mata pelajaran Biologi.
Jika A = {Arman, Beni, Elma} dan B = {Fiska, Matematika, Biologi} maka dapat dibentuk relasi (hubungan) antara anggota A dan B seperti gambar dibawah ini
Materi Pengantar
Materi Pengantar
Relasi.
Relasi yang tepat dari himpunan A ke himpunan B pada gambar di samping adalah relasi menyukai. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Pada relasi himpunan A ke B di atas, setiap anggota A dapat dipasangkan dengan satu atau beberapa anggota himpunan B bahkan dapat terjadi ada anggota himpunan A yang tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan B. Pernyataan x anggota A berelasi dengan y anggota B dinotasikan dengan xRy.
Misalnya,
R = {(a,2), (a,4), (b,2), (b,4)},
relasi ini dapat dinyatakan dengan aR2, aR4, bR2, bR4. Pernyataan bahwa x anggota A tidak berelasi dengan y anggota B dinotasikan dengan xRy. Dari contoh diatas dapat dituliskan bahwa aR5 atau (a,5) R.
konsep “fungsi merupakan hal yang penting dalam berbagai cabang matematika. Pengertian fungsi dalam matematika berbeda dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari.dalam pengertian sehari-hari “fungsi”adalah guna atau manfaat. Kata fungsi dalam matematika sebagaiman diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antar dua himpunan, sehingga fungsi dapat dikatakan merupakan hal yang istimewa dari suatu relasi antara dua buah himpunan.
perhatika gambar disamping.
Lima buah gelas yang sama ukurannya, tingginya masing-masing 12 cm disusun seperti gambar tersebut. Gelas kedua sapai kelima hanya separoh yang dapat masuk ke gelas di bawahnya. Jika diukur tinggi keseluruhannya diperoleh:
Fungsi atau Pemetaan.
Banyak Gelas 1 2 3 4 5 Tinggi Tumpukan 12 cm 18 cm 24 cm 30 cm 36 cm
Dari hal di atas maka dapat kita nyatakan bahwa tinggi tumpukan merupakan “fungsi” dari banyak gelas. Perubahan banyak gelas terkait atau berelasi langsung dengan perubahan tinggi tumpukan. Sekarang, jika tinggi gelas kita nyatakan dengan t dan banyak gelas kita nyatakan dengan g maka dapat kita nyakatan sebuah fungsi yang menyatakan sebuah hubungan antara tinggi tumpukan dan banyak gelas yang ditumpuk.
Perhatika gambar disamping.
Pada gambar tersebut terdapat dua himpunan, yaitu himpunan P = {Nisa, Asep, Made, Cucu, Butet} dan himpunan Q = {A, B, O, AB}. Setiap anak anggota P dipasangkan dengan tepat satu golongan darah anggota Q. Bentuk relasi seperti ini disebut Fungsi atau Pemetaan.
Gambar diatas merupakan bentuk contoh dan non-contoh dari suatu fungsi. Untuk mengetahui alasannya, perhatikan definisi fungsi pada keterangan peta konsep.
Selanjutnya perhatikan contoh berlabel 2 berikut.
1. Misalkan ada dua buah himpunan A dan B, dimana himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c, d} maka R = {(1,a), (2,b), (3,d)}, dan R = {(a,1), (b,1), (c,2), (d,3)} merupakan contoh fungsi, sedangkan R = {(1,a), (2,b), (2,c), (3,d)}, dan R = {(a,1), (c,2), (d,3)} merupakan non-contoh fungsi. Untuk mengetahui alasannya, perhatikan definisi fungsi pada keterangan peta konsep.
2. Perhatikan gambar dibawah ini
i. R1 = {(a,k), (b,m), (c,n), (d,l), (e,k)} Ya Tidak. ii.R2 = {(a,n), (b,k), (d,m), (e,l)} Ya Tidak c.
Selanjutnya kerjakan LKS latihan 1, nomor 3 – 5, halaman 1 – 2.
Setelah kamu mengetahui definisi suatu fungsi maka kita harus bisa menyelidiki suatu relasi itu merupakan fungsi atau tidak. Untuk itu perhatikan contoh berlabel berikut:
Ya
Tidak
Ya
Tidak
1. Suatu relasi f : R R dengan f(x) = x merupakan suatu fungsi kaerena jika kita
ambil sembarang x,y R sembarang dengan x = y maka:
Dari nilai f(x) = x dan x = y Kita peroleh nilai f(x) = y.
Hal ini menunjukkan bahwa untuk setip xR dikaikan secara tunggal dengan
yR, sehingga relasi f : R R dengan f(x) = x merupakan suatu fungsi.
2. Suatu relasi g(x) : [0,+∞] R dengan g(x) = bukan merupakan fungsi karena
kalau kita ambil 4[0,+∞] maka:
g(x) = 4 = 2 g(x) = 2R atau g(x) = - 2R
Ini artinya ada 4[0,+∞] mempunyai pasangan yang tidak tunggal sehingga
relasi g(x) : [0,+∞] R dengan g(x) = x bukan merupakan fungsi.
3. Suatu relasi h(x) : [1,+∞] [0,+∞] dengan g(x) = x merupakan fungsi
karena kalau kita ambil sembarang x,y R sembarang dengan x = y maka:
g(x) = 4 = 2 g(x) = 2R atau g(x) = - 2R
Ini artinya ada 4[0,+∞] mempunyai pasangan yang tidak tunggal sehingga
relasi g(x) : [0,+∞] R dengan g(x) = x bukan merupakan fungsi.
Perhatikan contoh berlabel 3 berikut:
1. Misalkan fungsi f memetakan setiap anggota himpunan A ke himpunan B, maka:
Humpunan A dinamakan daerah asal atau domain atau prapeta dari fungsi f. Himpunan B disebut denagan daerah kawan atau kodomain fungsi f.
Himpunan yang beranggotakan himpunan B yang dipasangkan dengan anggota himpunan A disebut dengan daerah ahsi atau range atau peta fungsi f. 2. Perhatikan gambar berikut:
maka:
daerah asal fungsi tersebut adalah A = {1,2,3}
Daerah Asal, Daerah Kawan, Daerah Hasil.
daerah kawan fungsi tersebut adalah B = {a,b,c,d} daerah hasil fungsi tersebut adalah {a,b, d}.
3. Suatu fungsi f dan g didefinisikan oleh f(x) = x – 1 dan g(x) = 2x2 + 3
Jadi prapeta dari 5 adalah -2 dan 2
5. Suat fungsi f didefinisikan dengan f(x) = 2x +3, maka daerah asal dari fungsi tersebut adalah nilai x yang terdefinisi pada fungsi tersebut. Karena untuk setiap x anggota bilangan rill, f(x) = 2x+3 terdefinisi pada bilangan rill juga, maka daerah asal fungsi f adalah x R atau Df = {x | x R}. Daerah hasi atau
range dari fungsi tersebut adalah semuanilai y yang mendefinisikan nilai x. Karena setiap nilai x anggota bilangan ril terdefinisi pada nilai y anggota bilangan rill maka daerah hasil fungsi f adalah y R atau Rf = {y | y R}.
6. Suatu fungsi f didefinisikan dengan f (x) = 3x + 4 , x = 2, maka daerah asal fungsi f atau Df = {x | x = 2}, daerah kawanl fungsi f atau Rf = {y| y = 10}, relasi fungsi f adalah xRy = {(x,y) | (2,10)}
7. Perhatikan kembali contoh berlabel 2 nomor 3. Relasi F = {(x,y) | y = x2, -3 ≤ x ≤ 3},
Sehingga
Df = {x | -3 ≤ x ≤ 3}, Rf = {y | 0 ≤ y ≤ 9},
xRy = {(x,y) | (-3,9) ≤ (x,y) ≤ (0,0) (0,0) ≤ (x,y) ≤ (3,9)}
= {(x,y) | (-3,9) ≤ (x,y) ≤ (3,9)}
Dari contoh berlabel 3 diatas, tentunya kamu telah memahami tentang daerah asala, daerah kawan, dan daerah hasil.
Selanjutnya perhatikan contoh Kasus 2 berikut.
gambar disamping adalah merupakan bongkahan batu di pegunungan. Akibat kikisan air, pegunungan tersebut menjadi berbentuk. Apabila ditarik gari, diperoleh fungsi f
(x) = x2 + 3, -2 ≤ x ≤ 4. Yang menjadi masalah, apakah kamu dapat menentukan daerah asal dan daerah hasil untuk fungsi yang terbentuk?
