DANA LOKAL ITS TAHUN 2020
PEMBUATAN ALGORITMA DAN PEMROGRAMAN
PENGKARAKTERISTIK KETERBELITIAN MATRIKS KANAL
QUANTUM (QUANTUM CHANNEL MATRIX)
PADA TELEPORTASI KUANTUM (QUANTUM TELEPORTATION)
Tim Peneliti:
Lila Yuwana
Agus Purwanto
Heru Sukamto
Bintoro Anang Subagyo
(Departemen Fisika/FSAD/ITS)
PEMBUATAN ALGORITMA DAN PEMROGRAMAN PENGKARAKTERISTIK KETERBELITIAN MATRIKS KANAL QUANTUM (QUANTUM CHANNEL
MATRIX) PADA TELEPORTASI KUANTUM (QUANTUM TELEPORTATION)
RINGKASAN
Perkembangan penelitian mengenai teleportasi kuantum secara teoritik maupun eksperimen terus berlanjut hingga saat ini. Penelitian-penelitian teleportasi kuantum diharapkan dapat menambah khazanah ilmu pengetahuan dan teknologi yang selanjutnya dapat dijadikan rujukan pengembangan sistem komunikasi berbasis teleportasi kuantum. Penelitian ini merupakan hasil kajian dan analisa secara teoritik dan numerik mengenai komponen pokok dari teleportasi kuantum, yaitu kanal kuantum dalam bentuk matriks kanal kuantum (quantum
channel matrix).
Di dalam penelitian ini akan disusun algoritma serta pemrogramannya untuk menganalisa pengaruh rank dari matriks densitas tereduksi terhadap klasifikasi keadaan terbelit dan terpisah dari multipartit. Pertama, dilakukan dengan menyusun formulasi umum untuk menentukan kriteria keterbelitan dan keadaan terpisah dari suatu multipartit. Selanjutnya, kriteria keadaan terpisah dan terbelit ditentukan dengan menghitung rank-rank matriks densitas tereduksi. Lebih lanjut, metode yang digunakan dalam penelitian ini bertujuan untuk mengurangi langkah perhitungan dari metode yang telah diusulkan dalam penelitian sebelumnya untuk menentukan keadaan terpisah dari multipartit.
Dari algoritma tersebut, akan ditransformasi ke dalam pemrograman agar perhitungan dapat dilakukan secara komputasi. Lebih lanjut, perhitungan untuk membedakan keadaan multipartit berdasarkan pada keempat kriteria dapat dilakukan dalam waktu yang sangat singkat, yaitu keadaan: terbelit keseluruhan, terpisah keseluruhan, dan keadaan gabungan, yang terdiri atas keadaan sub-terbelit dan keadaan sub-terbelit-terpisah. Sebagai tambahan, dalam penelitian ini akan diperlihatkan penerapan atau implementasi klasifikasi keadaan keterbelitan tersebut untuk mengidentifikasi pola keterbelitan beberapa keadaan multipartit yang akan digunakan sebagai kanal kuantum dalam bentuk matriks kanal kuantum (quantum channel
matrix).
Kata kunci: quantum teleportation, kanal kuantum, multipartit, matriks densitas tereduksi,
DAFTAR ISI
RINGKASAN ... 2 DAFTAR ISI ... 3 BABI I PENDAHULUAN ... 5 1.1. Latar Belakang ... 5 1.2. Perumusan Masalah ... 13 1.3. Tujuan Penelitian ... 14 1.4. Relevansi ... 14 1.5 Target Luaran ... 15BABI II TINJAUAN PUSTAKA ... 16
2.1. Perkembangan Terkini (State of the Art) Teleportasi Kuantum (Quantum Teleportation) 16 2.2. Landasan Matematis dalam Teleportasi Kuantum ... 17
2.2.1. Notasi bra-ket ... 17
2.2.2. Basis vektor ... 18
2.2.3. Representasi matriks keadaan multipartit ... 19
2.2.4.Matriks densitas ... 22
2.2.5. Prinsip dasar keaadaan terbelit ... 23
2.1.6. Teorema tanpa penyalinan ... 25
2.3. Dasar Teleportasi Kuantum ... 25
2.3.1. Paradoks EPR ... 26
2.3.2. Pertidaksamaan Bell ... 28
2.3.3. Teleportasi kuantum menggunakan keadaan EPR sebagai kanal kuantum ... 31 2.4. Kriteria Keadaan Terpisah Keadaan Murni Multipartit Berdasarkan Rank Matriks Densitas
BAB III METODOLOGI PENELITIAN ... 40
3.1 Trace parsial ... 41
3.2. Operasi matriks ... 45
3.3. Metode Numerik Eliminasi Gauss dan rank matriks ... 46
BAB IV ORGANISASI TIM PENELITI, JADWAL, DAN ANGGARAN BIAYA ... 47
4.1. Organisasi Tim Peneliti ... 47
4.2. Jadwal Pelaksanaan Penelitian ... 49
4.3. Justifikasi Rencana Anggaran Biaya Penelitian... 49
DAFTAR PUSTAKA ... 51
BIODATA KETUA TIM PENELITI ... 54
BIODATA ANGGOTA PENELITI I ... 57
BABI I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Pembahasan komprehensif terhadap hukum-hukum mekanika kuantum memberikan pengaruh besar terhadap arah penelitian. Berawal pada tahun 1935, yaitu semenjak Albert Einstein, Boris Podolsky, dan Nathan Rosen yang mempertanyakan kelengkapan perumusan dalam mekanika kuantum. Kelengkapan yang dimaksud Einstein dkk. adalah adanya elemen-elemen padanan pada dua sisi yang berbeda, yaitu realitas fisis dan teori fisika. Lebih lanjut, penelitian Einstein dkk. memperlihatkan teori mekanika kuantum tidak dapat memenuhi dua prinsip, yaitu elemen realitas dan lokalitas, yang dikenal dengan EPR (Einstein, Podolsky, Rosen) paradoks (Einstein dkk., 1935). Pertama, jika ditinjau dua partikel yang terpisah tetapi saling berkorelasi, yaitu fenomena kuantum tersebut didefinisikan sebagai fenomena keterbelitan (entanglement) (Schrödinger, 1935), maka pengukuran terhadap suatu variabel (misalnya posisi atau momentum) akan diperoleh nilai variabel dari partikel yang lain. EPR mendefinisikan elemen realitas dipenuhi jika nilai dari suatu kuantitas fisis (posisi atau momentum) dapat ditentukan nilainya secara pasti tanpa melakukan pengukuran atau melakukan gangguan pada sistem, maka dapat ditentukan bahwa kuantitas fisis tersebut mempunyai elemen realitas. Namun, berdasarkan prinsip ketidakpastian Heisenberg, menyatakan bahwa posisi dan momentum tidak dapat ditentukan nilainya secara pasti. Kedua, terdapat fenomena yang tidak memenuhi prinsip lokalitas (Einstein locality), yaitu pengiriman informasi dari suatu tempat ke tempat yang lain tidak boleh melebihi kecepatan cahaya. Menurut EPR, proses pengukuran tersebut di atas, dapat interpretasikan pengiriman informasi secara instan dari partikel satu ke partikel lain yang terpisah tersebut melebihi kecepatan cahaya. Dari kedua alasan tersebut, EPR memandang perlu untuk melengkapi kaidah mekanika kuantum dengan variabel tersembunyi (hidden variable) yang menghubungkan variabel partikel satu dengan yang lainnya sehingga dengan melakukan pengukuran terhadap partikel pertama, diperoleh nilai variabel partikel kedua.
ketidakberadaan dari variabel tersembunyi tersebut. Dengan demikian kaidah mekanika kuantum masih lengkap untuk menjelaskan fenomena keterbelitan. Selanjutnya, Bell menginspirasi peneliti-peneliti lain untuk memulai penelitian secara teoritik maupun eksperimen untuk memverifikasi pertidaksamaan Bell (Bell, 1964) yang secara tidak langsung merupakan usaha untuk menjelaskan tentang ketidaklengkapan prinsip mekanika kuantum yang tertuang di dalam EPR paradoks.
Penelitian secara teoritik yang dilakukan oleh Bennet dkk. pada tahun 1993 memperkenalkan teleportasi kuantum yang mengawali peneliti lain untuk mengeksplorasi teleportasi kuantum lebih jauh secara teoritik maupun eksperimen. Bennet dkk. memanfaatkan fenomena partikel dalam keadaan terbelit (entangled state) yang jika dipisah dalam jarak yang jauh, keadaan kedua partikel tersebut masih saling mempengaruhi. Dua atau lebih partikel dalam keadaan terbelit yang digunakan dalam sistem teleportasi kuantum ini disebut sebagai kanal kuantum (quantum channel), yang disebut juga sebagai sumber EPR (EPR source). Teleportasi kuantum merupakan sistem kuantum yang memungkinkan pengiriman informasi berupa keadaan kuantum dari pengirim (misal disebut sebagai partikel 1), misalnya dikirimkan oleh Alice ke Bob. Dengan memanfaatkan dua partikel dalam keadaan terbelit yang dikirim ke Alice dan Bob (partikel 2 dan 3), memungkinkan keadaan kuantum dari Alice direkonstruksi oleh Bob. Rekonstruksi oleh Bob ini dicapai setelah informasi yang dikirim (partikel 1) diinteraksikan dengan satu partikel terbelit yang diperoleh dari kanal kuantum (partikel 2), yang dinamakan sebagai proses pengukuran (measurement). Hasil interaksi mempengaruhi partikel terbelit yang diterima Bob dari kanal kuantum (partikel 3), kemudian Bob melakukan rekonstruksi dengan menerapkan operator uniter berdasarkan hasil pengukuran Alice (Bennet dkk., 1993). Dalam proses pengukuran ini keadaan kuantum awal (partikel 1) dimusnahkan karena mengalami keterbelitan dengan partikel 2. Fenomena ini merupakan konsekuensi dari partikel-partikel yang dalam keadaan terbelit, walaupun dipisah dalam jarak yang jauh, keadaaan partikel-partikel tersebut masih saling mempengaruhi. Penjelasan lebih detil dari sistem teleportasi yang ditawarkan Bennet dkk. dapat dilihat pada bab selanjutnya. Selain itu, penelitian secara teoritik juga berkembang di bidang informasi kuantum, khususnya di pembahasan quantum walks (Aharonov dkk., 1993; Ambainis dkk., (2001); Yuwana dkk., 2017).
penelitian teoritik yang dilakukan oleh Bennet dkk. seperti yang dijelaskan pada paragraf sebelumnya. Bouwmeester dkk. menghasilkan sumber EPR menggunakan teknik konversi bawah parametrik (parametric down conversion /PDC) tipe II. Teknik ini menggunakan foton dari laser yang dilewatkan pada kristal non linier. Setelah foton melewati kristal non linier tersebut, terbentuk dua foton dalam keadaan terbelit yang dinamakan foton 2 dan 3. Selain kedua foton tersebut yang dihasilkan, terdapat dua berkas pantulan foton. Pantulan pertama digunakan sebagai foton 1, yaitu foton yang akan diteleportasikan, sedangkan pantulan kedua digunakan sebagai pemicu (foton 4) yang menandakan foton 1 telah terbentuk (Beuwmeester dkk., 1997) (lihat Gambar 1.1).
Dalam sistem teleportasi eksperimen Beuwmeester dkk. ini, keadaan kuantum ditunjukan dalam arah polarisasi foton, yaitu polarisasi horisontal | ⟷⟩ dan vertikel | ↕⟩. Misalkan, foton 1 dipolarisasikan sebesar 45o melalui polarisator (Pol). Maka, demikian juga foton 2 yang berinteraksi di beam splitter juga akan terpolarisasi sebesar 45o. Teleportasi kuantum terjadi ketika detektor 𝑓1 dan 𝑓2 mendeteksi adanya foton 1 dan 2 datang bersamaan
dari pembagi sinar (beam splitter) (BS). Karena foton 2 dan 3 merupakan keadaan terbelit, maka demikian juga foton 3 akan terpolarisasi sebesar 45o. Arah polarisasi foton 3 dianalisa menggunakan pembagi sinar terpolarisasi yang dipilih untuk arah +45o dan -45o. Kemudian, 𝑑1 dan 𝑑2 diatur pada arah polarisasi -45o dan +45o. Untuk mendeteksi adanya teleportasi kuantum, digunakan tiga detektor (three-fold coincident). Karena foton 1 menggunakan arah polarisasi +45o, maka seharusnya hanya detektor 𝑑2 yang mendeteksi adanya informasi berupa foton 3 yang datang di Bob, sedangkan detektor 𝑑1 tidak mendeteksi adanya informasi yang datang. Di dalam eksperimen Beuwmeester dkk. telah berhasil melakukan teleportasi kuantum yang melupakan langkah awal tetapi telah membuka peluang besar bagi peneliti lain untuk mengembangkan penelitian secara teoritik maupun eksperimen di bidang teleportasi kuantum.
Selanjutnya, Boschi dkk. melakukan eksperimen untuk menteleportasi keadaan kuantum yang terpolarisasi secara linier dan elipitik (Boschi dkk., 1998). Eksperimen Boschi dkk. tetap menggunakan teknik PDC tipe II sebagai pembangkit pasangan foton terbelit. Alice mengirim keadaan kuantum yang tidak diketahui, yang kemudian direkonstruksi oleh Bob pada jarak 2,5 m. Pengaturan peralatan sistem teleportasi kuantum yang digunakan dapat dilihat pada Gambar 1.2.
Gambar 1.2. Pengaturan peralatan sistem teleportasi (Boshi dkk., 1998).
Pasangan foton terbelit yang dihasilkan adalah foton a1-a2 dan b1-b2. Foton terbelit
a1-b1 dipersiapkan menjadi input keadaan kuantum yang dikirim. Persiapan terhadap foton a1-b1 dilakukan dengan melewatkan foton-foton tersebut ke kristal C untuk mengubah arahnya kedalam vektor-k. Kemudian menerapkan pemutar polarisasi prisma Fresnel (Fresnel rhomb) untuk mengubah arah polarisasi sebagai variasi input keadaan kuantum. Hasil pengukuran keadaan Bell (Bell’s state measurement) digunakan untuk merekonstruksi foton a2-b2 dengan mengatur pembagi sinar terpolarisasi dan pemutar polarisasi prisma Fresnel secara manual di Bob, sehingga diperoleh keadaan kuantum replika yang benar-benar sama dengan keadaan kuantum yang dikirim Alice.
Kemudian, pada tahun 2004, Rupert Ursin dkk. telah melakukan eksperimen yang memberikan kontribusi nyata terhadap perkembangan teleportasi kuantum secara signifikan. Eksperimen tersebut mendemonstrasikan teleportasi kuantum menggunakan serat optik sejauh
2004). Pada saat itu, eksperimen tersebut merupakan terobosan baru karena sistem digunakan dalam teleportasi kuantum bekerja secara optimal dengan sukses menteleportasi informasi dari pengirim ke penerima di luar laboratorium. Denah eksperimen dapat dilihat pada Gambar 1.3.
Gambar 1.3. Teleportasi kuantum jarak jauh di sepanjang sungai Danube (Ursin dkk., (2004).
Eksperimen yang dilakukan Ursin dkk. menggunakan kanal kuantum melalui serat optik yang dilewatkan di sepanjang saluran pembuangan. Pasangan-pasangan foton terbelit, yaitu
c-d c-dan a-b, c-dibangkitkan oleh Sumber EPR melalui teknik konversi bawah parametrik spontan
(spontaneous parametric down-conversion/SPDC). Keadaan kuantum yang dikirim Alice berasal dari foton b dan foton c. Kemudian, foton b dilewatkan polariser P untuk menjadi input dari sistem teleportasi kuantum. Setelah foton b melewati P, dipandu melalui serat optik moda tunggal, demikian juga dengan foton c yang juga dilewatkan melalui serat optik moda tunggal lain menuju pembagi sinar BS (yang sebelumnya dilewatkan pengontrol polarisasi/PC untuk mengkoreksi arah polarisasi) yang dikoneksikan dengan pembagi sinar terpolarisasi PBM untuk dikenai pengukuran keadaan Bell. Rangkaian logika pada proses pengukuran keadaan-Bell memungkinkan dua hasil, yaitu |ψ−⟩
𝑏𝑐 dan |ψ+⟩𝑏𝑐. Hasil pengukuran akan dikirim melalui
kanal klasik gelombang mikro (microwave) ke penerima Bob melalui modulator listrik-optik (electro-optic modulator) (EOM) yang berfungsi memilih transformasi uniter yang sesuai terhadap foton d berdasarkan hasil pengukuran Alice secara aktif atau otomatis, sehingga foton
tersebut telah berhasil menambah jarak untuk teleportasi kuantum hingga 16 km di ruang terbuka untuk pertama kalinya sebagai media transmisi pasangan foton terpolarisasi terbelit, walaupun dalam propagasinya dipengaruhi oleh polusi udara dan aliran udara (angin) (Jin dkk., 2010). Pengaturan eksperimennya dapat dilihat pada Gambar 1.4.
Dalam sistem teleportasi ini, Charlie dan Alice berada di Badaling, Beijing sebagai penteleportasi keadaan kuantum, sedangkan Bob berada di Hualiai, Hebei sebagai penerima. Pasangan foton terbelit dihasilkan dengan teknik SPDC. Kemudian Charlie mengirim foton 1 ke Alice untuk selanjutnya dilakukan pengukuran keadaan Bell (BSM). Informasi klasik termasuk hasil pengukuran BSM dan sinyal untuk sinkronisasi waktu dikirim melalui ruang terbuka bersama dengan foton 2 ke Bob. Dalam usaha meningkatkan efisiensi transmisi dan kestabilan kanal ruang terbuka, maka digunakan dua tipe teleskop sebagai pentransmisi optik (split-type refracting telescope/SRT) untuk Charlie dan antena penerima (off-axis parabolic
reflecting telescope/OPRT) untuk Bob. Hasil pengukuran BSM dan foton 2 diterima Bob
melalui OPRT, dilanjutkan dengan menerapkan operasi uniter pada foton berdasarkan hasil pengukuran BSM. Akhirnya, Bob memperoleh hasil replika keadaan kuantum yang dikirim oleh Alice.
Gambar 1.4. (a) Denah eksperimen teleportasi kuantum di ruang terbuka sejauh 16km. Charlie mengirim pasangan foton terbelit ke Alice dan Bob. (b) Skema eksperimen sistem teleportasi
kuantum (Jin dkk., 2010).
terpolarisasi terbelit dipancarkan melalui teleskop transmiter dengan diagram pengaturan eksperimen terlihat pada Gambar 1.5 (Ma, et al., 2012).
Gambar 1.5. Sistem teleportasi kuantum antara Canary Islands La Palma dan Tenerife (Ma dkk., 2012)
Dalam skema eksperimen Ma dkk., Alice dan Charlie berada di La Palma dan Bob berada di Tenerife. Charlie membangkitkan foton 1 sebagai input dan foton 0 sebagai triger menggunakan sumber penanda foton tunggal (heralded-single-photon) (HSP). Lebih lanjut, Sumber EPR digunakan untuk menghasilkan pasangan foton terbelit, yaitu foton 2 dan foton 3. Charlie mengirim foton 1 dan foton 2 ke Alice untuk dilakukan pengukuran BSM. Hasil pengukuran BSM dari Alice dikirim ke Bob melalui kanal masukan depan (feed-forward) klasik, sedangkan foton 3 dikirim Charlie ke Bob melalui kanal kuantum berupa ruang terbuka. Setelah Bob melakukan transformasi/operasi uniter yang sesuai terhadap foton 3 berdasarkan hasil pengukuran BSM yang dikirim Alice melalui kanal masukan depan klasik. Maka, Bob memperoleh keadaan kuantum replika yang benar-benar sama dengan foton 1 yang dipersiapkan oleh Charlie.
Penelitian yang dilakukan secara teoritik terhadap teleportasi kuantum juga masih berlanjut hingga sekarang. Seperti halnya di bidang eksperimen, penelitian secara teoritik juga berawal dari penelitian yang dilakukan oleh Bennet dkk. Pada tahun 2007, Xin-Wei Zha dan Cun-Bing Huang telah berhasil merumuskan teleportasi sistem kuantum dua kubit (kuantum bit). Zha dan Huang mengemukakan syarat terealisasinya teleportasi yaitu operator transformasi pada penerima harus dapat diputarbalikkan (reversible). Sedangkan operator
operator transformasi tidak sama dengan nol, maka teleportasi kuantum dapat direalisasikan (Zha & Huang, 2007). Satu tahun kemudian, Zha dan Ren menunjukkan hubungan determinan operator dan invarian SLOCC (stochastic local operation and classical communication) juga dapat digunakan untuk menentukan kapabilitas kanal kuantum untuk merealisasikan teleportasi kuantum (Zha dan Ren, 2008).
Demikian juga, terdapat kesinambungan penelitian terhadap sumber daya kanal kuantum, yaitu keadaan keterbelitan. Pada tahun 2013, Zha dkk. menunjukkan kriteria umum untuk keadaan terbelit sempurna untuk multi-qubit dengan menggunakan invarian transformasi LU (lower upper) (Zha dkk., 2013). Selanjutnya, pada tahun 2014, Prakash dan Verma melakukan observasi pada teleportasi kuantum kubit tunggal menggunakan kanal kuantum keadaan mirip Werner (Werner-like) (Prakash dan Verma, 2014). Pembahasan keadaan keterbelitan juga menambah khasanah kuantum non lokalitas. Diantaranya adalah klasifikasi keadaan terbelit multipartit yang menjadi fungsi penting dalam teori informasi kuantum. Pada tahun 2016, Zhao dkk. menunjukkan metoda baru untuk menentukan kriteria separabilitas (separability) untuk keadaan murni multi-partite sembarang dengan menggunakan perhitungan rank matriks densitas tereduksi (Zhao dkk., 2016). Dalam penelitian tersebut, Zhao dkk. menyatakan bahwa untuk menentukan keadaan n-multipartit adalah keadaan terpisah (separable state) keseluruhan dibutuhkan perhitungan rank density matriks tereduksi sebanyak 2𝑛−1− 1.
Penelitian ini akan dilakukan secara teoritik yang dilanjutkan dengan penyusunan algoritma baru dan mentransformasi kedalam kaidah-kaidah komputasi. Dengan terbentuknya formula komputasi, akan diperoleh manfaat yang sangat besar, yaitu penentuan keadaan n-multipartit dapat dengan diperoleh hasilnya walaupun untuk n yang besar. Dari studi awal yang telah dilakukan peneliti, muncul permasalahan yang dapat ditelaah lebih lanjut. Seperti dipaparkan pada alinea sebelumnya, Zhao dkk. telah memperlihatkan hasil penelitian yang sangat bermanfaat dalam mendeskripsikan kriteria separabilitas untuk keadaan murni multi-partite dengan mengkalkulasi rank matriks densitas tereduksi. Lebih detail, matriks densitas tereduksi merupakan hasil trace terhadap matriks densitas yang merupakan bentuk lain untuk merepresentasikan fungsi keadaan kuantum yang digunakan sebagai kanal kuantum yang berupa susunan dari multipartite (multipartit) (terdiri atas 𝑛 partit (partite)) dalam teleportasi
matriks tereduksi dari n-multipartit sebanyak 2𝑛−1− 1. Bertitik tolak dari hasil penelitian Zhao
dkk., (Purwanto dkk., 2018) telah melakukan pengembangan metode untuk pengklasifikasian keadaan kuantum n-multipartit. Klasifikasi kriteria keadaan kuantum yang dicakup tidak hanya keadaan terpisah keseluruhan (maximally separable state), tetapi juga keadaan terbelit maksimal (maximal entangled state), gabungan keadaan sub terbelit (compound entangled state), dan gabungan keadaan terpisah dan terbelit (compound separable-entangled state).
Namun, penentuan klasifikasi ini memerlukan waktu yang sangat lama untuk melakukan perhitungan dan analisa terhadap n-multipartit karena melibatkan matriks yang berdimensi sangat besar jika dilakukan dengan perhitungan analitis biasa. Oleh karena itu, dalam penelitian ini akan membangun sistem pemrograman komputasi yang mendukung teleportasi kuantum dengan mempersingkat waktu yang dibutuhkan untuk melakukan perhitungan dan analisa penentuan keterbelitan kanal kuantum n-multipartit. Penelitian ini diharapkan memberikan kontribusi yang orisinil dan bermanfaat terhadap perkembangan penelitian di bidang teleportasi kuantum, khususnya penelitian secara teoritik maupun komputasi quantum teleportation.
1.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang pada sub bab sebelumnya, maka permasalahan yang akan dibahas dan diselesaikan dalam penelitian ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
a) Apakah keterbelitan suatu keadaan kuantum dan kemampuan untuk merealisasikan teleportasi kuantum dapat diidentifikasi secara matematis
b) Apakah penelitian Zhao yang telah mengusulkan jumlah perhitungan sebanyak 2𝑛−1− 1 untuk mengidentifikasi keadaan terpisah dapat diperluas untuk mengidentifikasi jenis keadaan-keadaan yang lain.
c) Apakah proses identifikasi berbagai jenis keadaan kuantum yang dilakukan oleh Purwanto dapat dirumuskan polanya agar dapat diformulasikan secara iterasi.
d) Bagaimana mentransformasi perhitungan analitik dan analisanya ke dalam algoritma teleportasi kuantum serta membangun formulasi komputasinya sehingga dapat dijalankan lewat pemrograman numerik.
1.3. Tujuan Penelitian
Bertitik tolak dari latar belakang dan perumusan masalah pada sub bab sebelumnya, maka dapat dirumuskan tujuan yaitu:
a) Untuk merumuskan metode pengklasifikasian keadaan kuantum n-multipartit berdasarkan kriteria: keadaan terpisah maksimal, terbelit maksimal, gabungan keadaan sub-terbelit, dan gabungan keadaan terpisah-terbelit.
b) Untuk merumuskan bentuk umum keadaan kuantum dan densitas matriks dari keadaan terpisah maksimal, terbelit maksimal, gabungan keadaan sub-terbelit, dan gabungan keadaan terpisah-terbelit.
c) Untuk merumuskan perhitungan rank densitas matriks tereduksi untuk keempat kriteria di atas.
d) Untuk mentransformasi perhitungan analitik dan analisanya ke dalam algoritma teleportasi kuantum serta membangun formulasi komputasinya sehingga dapat dijalankan lewat pemrograman numerik.
e) Untuk membuat perograman numerik berdasarkan tujuan poin d, untuk mengidentifikasi berbagai pola keadaan terbelit yang akan digunakan sebagai kanal kuantum yang berbentuk density matrix.
1.4. Relevansi
Berdasarkan perumusan masalah pada sub bab sebelumnya, penelitian ini mampu untuk memberikan kontribusi terhadap penelitian teleportasi kuantum di bidang teoritik, komputasi, maupun eksperimen. Hasil penelitian penelitian ini akan memberikan metode dan komputasi untuk perancangan sistem teleportasi kuantum, khususnya pada identifikasi keadaan kuantum multipartit yang akan digunakan sebagai kanal kuantum dalam teleportasi kuantum. Dalam penelitian ini memberikan kontribusi yang orisinil berupa pengklasifikasian keadaan kuantum multipartit dalam kriteria: keadaan terpisah maksimal, terbelit maksimal, gabungan keadaan sub-terbelit, dan gabungan keadaan terpisah-terbelit. Kontribusi orisinil yang lain adalah merumuskan formula untuk meminimalkan jumlah perhitungan rank densitas matriks tereduksi dalam penentuan kriteria keempat keadaan kuantum di atas. Demikian juga algoritma yang dibentuk dalam penelitian ini bersifat baru. Algoritma ini juga merupakan dasar dari
kontribusi orisinil ini yang membedakan dan merupakan usaha untuk mengembangkan metode pengklasifisian keadaan kuantum n-multipartit dan untuk meningkatkan efisiensi waktu perhitungan dan analisa terhadap klasifikasi terhadap keempat kriteria di atas.
1.5 Target Luaran
Dalam pelaksanaan Penelitian Doktor Baru yang diajukan ini memiliki target luaran berupa 1 (satu) jurnal ilmiah internasional terindeks Scopus Q2, yang diharapkan juga akan dapat menambah khazanah ilmu pengetahuan, khususnya pada bidang teleportasi kuantum sehingga dapat menunjang penelitian selanjutnya secara teoritik maupun eksperimen. Selain itu, penelitian ini juga dimanfaatkan sebagai upaya inisiasi penelitian secara eksperimen dengan langkah awal, yaitu mengunjungi laboratorium teleportasi kuantum yang sudah
mapan, yaitu di Centre for Quantum Technologies (CQT), National University of Singapore (NUS). Sehingga dari kunjungan tersebut, diharapkan akan ada percepatan progres penelitian secara eksperimen selain teoritik di Laboratorium Fisika Teori dan Filsafat Alam, Departemen Fisika, FSAD ITS.
BABI II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Perkembangan Terkini (State of the Art) Teleportasi Kuantum (Quantum
Teleportation)
Perkembangan penelitian mengenai teleportasi kuantum secara teoritik maupun eksperimen terus berlanjut hingga saat ini. Penelitian-penelitian teleportasi kuantum diharapkan dapat menambah khazanah ilmu pengetahuan dan teknologi yang selanjutnya dapat dijadikan rujukan pengembangan sistem komunikasi berbasis teleportasi kuantum. Penelitian ini merupakan hasil kajian dan analisa secara teoritik mengenai komponen pokok dari teleportasi kuantum, yaitu kanal kuantum dalam bentuk keadaan terbelit.
Di dalam penelitian sebelumnya telah dianalisa pengaruh rank dari matriks densitas tereduksi terhadap klasifikasi keadaan terbelit dan terpisah dari multipartit (Purwanto dkk., 2018). Pertama, dilakukan dengan menyusun formulasi umum untuk menentukan kriteria keterbelitan dan keadaan terpisah dari suatu multipartit. Diperoleh hasil bahwa rank matriks densitas asal selalu nol, sedangkan rank-rank matriks densitas tereduksinya bervariasi. Selanjutnya, kriteria keadaan terpisah dan terbelit ditentukan dengan menghitung rank-rank matriks densitas tereduksi. Lebih lanjut, metode yang digunakan dalam penelitian ini telah berhasil mengurangi langkah perhitungan dari metode yang telah diusulkan dalam penelitian sebelumnya untuk menentukan keadaan terpisah dari multipartit. Bagaimanapun juga, formulasi tersebut membutuhkan waktu yang lama jika dilakukan secara analitis karena melibatkan dimensi matriks yang sangat besar jika jumlah multipartit yang dibutuhkan besar. Oleh karena itu, dalam penelitian yang akan dilakukan ini akan memberikan piranti perhitungan komputasi agar perhitungan serta analisa kanal matriks (channel matrix) terhadap sifat keterbelitannya dapat ditentukan dengan sangat singkat. Adapun peta jalan (road map) penelitian ini sesuai dengan peta jalan dari Pusat Penelitian Sains Fundamental, khususnya untuk tahun 2020 seperti tabel berikut ini.
Tabel 2.1 Peta jalan (road map) Pusat Penelitian Sains Fundamental yang sesuai dengan topik teleportasi kuantum (quantum teleportation)
Topik Penelitian
Road Map Pusat Penelitian Sains Fundamental
2020 2021 2022 2023 2024
Quantum Teleportation
• Two-qubit information via four qubit channel • Channel Matrix • Noisy Channe • Entanglement Class • Fidelity of noisy information • Channel Distilation • SLOCC invariant of Entanglement Class • Probabilistic Quantum Teleportation • Entanglement Fidelity • Krauss operator • Experimental of Quantum teleportation in various Scheme
2.2. Landasan Matematis dalam Teleportasi Kuantum
Mekanika kuantum merupakan kerangka kerja yang digunakan dalam teleportasi kuantum (Basdevant dan Dalibart, 2005). Mekanika kuantum tidak membahas hukum-hukum fisika yang harus ‘ditaati’ dalam sistem teleportasi kuantum, tetapi mekanika kuantum menyediakan kerangka acuan secara konseptual dan matematis yang harus dipatuhi agar pengembangan sistem teleportasi kuantum tetap sesuai dengan arti fisis sebenarnya (Nielsen & Chuang, 2010). Di dalam sub bab ini dijelaskan landasan matematis yang mendasari pengembangan sistem teleportasi kuantum.
2.2.1. Notasi bra-ket
Notasi bra-ket merupakan salah satu notasi yang sangat jamak digunakan dalam mekanika kuantum. Notasi ini pertama kali diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1939. Menurut Dirac, suatu vektor yang menyatakaan keadaan suatu sistem dapat dinotasikan dalam simbol ket, misalnya |𝛼⟩ yang dibaca sebagai ket alfa. Ket tersebut dipostulatkan berisi informasi keseluruhan dari suatu keadaan fisis (Sakurai, 1994), dengan ket dalam representasi matriks merupakan vektor kolom yang misalnya berisi elemen kompleks 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 sebagai
|𝛼⟩ = ( 𝛼1 𝛼2 ⋮ 𝛼𝑛 ) (2.1a)
Korespondensi pasangan (dual corespondence) dari |𝛼⟩ adalah bra, yaitu ⟨𝛼| yang merupakan sekawan Hermit dari |𝛼⟩ berikut ini
⟨𝛼| = (|𝛼⟩)† = (𝛼
1∗ 𝛼2∗ … 𝛼𝑛∗), (2.1b)
sehingga ⟨𝛼| merupakan matriks baris.
Jika diketahui |𝛼⟩ dan |𝛽⟩ kemudian keduanya dijumlahkan, maka diperoleh matriks kolom yang elemennya merupakan penjumlahan dari elemen |𝛼⟩ dan |𝛽⟩ berikut ini, untuk elemen |𝛽⟩ adalah 𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑛. |𝛼⟩ + |𝛽⟩ = ( 𝛼1+ 𝛽1 𝛼2+ 𝛽2 ⋮ 𝛼𝑛+ 𝛽𝑛 ) (2.2)
Sedangkan untuk perkalian dengan skalar, berlaku
𝑐|𝛼⟩ = ( 𝑐𝛼1 𝑐𝛼2 ⋮ 𝑐𝛼𝑛 ). (2.3) 2.2.2. Basis vektor
Kumpulan suatu vektor {|𝑒1⟩, |𝑒2⟩, … , |𝑒𝑛⟩} dapat disebut sebagai basis ortonormal bagi keadaan kuantum |𝜓⟩ jika memenuhi kriteria:
1. Vektor-vektor {|𝑒1⟩, |𝑒2⟩, … , |𝑒𝑛⟩} membentuk ruang vektor 𝑉 atau dengan kata lain |𝜓⟩
di dalam ruang vektor 𝑉 dapat ditulis sebagai kombinasi linier |𝜓⟩ = 𝑐1|𝑒1⟩ + 𝑐2|𝑒2⟩ +
⋯ + 𝑐𝑛|𝑒𝑛⟩.
2. Vektor-vektor {|𝑒1⟩, |𝑒2⟩, … , |𝑒𝑛⟩} adalah saling bebas linier, yaitu ketika 𝑎1|𝑒1⟩ +
𝑎2|𝑒2⟩ + ⋯ + 𝑎𝑛|𝑒𝑛⟩ = 0 dipenuhi hanya untuk 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0. 3. Memenuhi syarat kelengkapan
∑ |𝑒𝑖⟩⟨𝑒𝑖|
𝑛
𝑖=1
= 1 (2.4)
Contoh basis vektor adalah basis vektor tiga dimensi yang disusun oleh {|𝑒1⟩, |𝑒2⟩, |𝑒3⟩}, yang
dapat dinyatakan dalam representasi matriks berikut ini. |𝑒1⟩ = ( 1 0 0 ) , |𝑒2⟩ = ( 0 1 0 ) , |𝑒3⟩ = ( 0 0 1 )
2.2.3. Representasi matriks keadaan multipartit
Keadaan kuantum dari satu partikel atau sub-sistem/sub-keadaan disebut sebagai partit (partite) dan dapat direpresentasikan sebagai |𝑖𝑖⟩ dengan jumlah keadaan atau derajat kebebasannya adalah 𝑑1, yaitu {|0⟩, |1⟩, … , |𝑑1− 1⟩}. Sedangkan keadaan kuantum yang tersusun atas beberapa partikel atau sub-sistem/sub-keadaan, disebut sebagai keadaan multipartit (Schimpf, 2013). Lebih lanjut, untuk keadaan multipartit yang paling sederhana adalah keadaan bipartit (bipartite), yaitu keadaan yang terbentuk oleh dua partikel/sub-sistem, yaitu partikel 1 dan partikel 2, yaitu |𝑖1⟩ dan |𝑖2⟩.
|𝜓⟩ = ∑ ∑ 𝑥𝑖1𝑖2|𝑖1⟩ ⊗ |𝑖2⟩ 𝑑2−1 𝑖2=0 𝑑1−1 𝑖1=0 (2.5) dengan ∑ ∑𝑑2 |𝑥𝑖1𝑖2|2 = 1 𝑖2=1 𝑑1 𝑖1=1 (2.6)
dan 𝑑1 dan 𝑑2 merupakan derajat kebebasan dari sub-sistem 1 dan 2.
Untuk keadaan khusus satu-partit dengan masing-masing derajat kebebasannya adalah dua (berdimensi dua) dinyatakan dalam 𝑑1 = 2. Sehingga masing-masing |𝑖1⟩ dapat dinyatakan dalam keadaan |0⟩ dan |1⟩. Keadaan kuantum satu-partit dengan dua derajat kebebasan |0⟩ dan |1⟩ tersebut disebut dengan kubit yang terkait dengan istilah dalam sistem informasi klasik yang berbasis biner {0,1} dan dalam informasi kuantum dikenal sebagai kubit (qubit: quantum bit). Maka, kubit dapat dinyatakan dalam bentuk
|0⟩ = (1
0) dan |1⟩ = ( 0 1).
Maka, keadaan kubit juga dapat dinyatakan dalam |𝜓⟩𝑘𝑢𝑏𝑖𝑡= (𝑥𝑥0
1).
Untuk keadaan satu-partit dengan derajat kebebasan lebih dari dua, disebut dengan kudit (qudits). Sebagai contoh, untuk keadaan tiga-kudit yang memiliki tiga derajat kebebasan dapat dinyatakan dalam
|𝜓⟩3−𝑘𝑢𝑑𝑖𝑡 = 𝑦0|0⟩ + 𝑦1|1⟩ + 𝑦2|2⟩ dengan |𝑦0|2+ |𝑦
1|2+ |𝑦2|2 = 1.
Representasi matriks dari keadaan |0⟩, |1⟩ dan |2⟩ merupakan basis ortonormal tiga dimensi yang sesuai dengan derajat kebebasan 3-kudit yaitu tiga berikut ini
|0⟩ = ( 1 0 0 ) , |1⟩ = ( 0 1 0 ) , dan |2⟩ = ( 0 0 1 ).
Maka, keadaan 3-kudit juga dapat dinyatakan dalam |𝜓⟩3−𝑘𝑢𝑑𝑖𝑡= ( 𝑦0 𝑦1 𝑦2).
Lain halnya dengan keadaan multipartit, keadaan multipartit tersusun atas lebih dari dua partikel atau partit, dengan masing-masing partikel {|𝑖1⟩, |𝑖2⟩, … , |𝑖𝑛⟩} memiliki derajat
kebebasan masing-masing {𝑑1, 𝑑2, … , 𝑑𝑛}, yang dapat dinyatakan sebagai
|𝜒⟩ = ∑ ∑ … ∑ 𝑥𝑖1𝑖2…𝑖𝑛|𝑖1𝑖2… 𝑖𝑛⟩ 𝑑𝑛−1 𝑖𝑛=0 d2−1 i2=0 d1−1 i1=0 (2.7)
Dalam representasi matriks, |𝑖1𝑖2… 𝑖𝑛⟩ merupakan matriks kolom berdimensi 𝑑1𝑑2… 𝑑𝑛 𝑥 1,
dengan elemen matriks dari 𝑥00…0 sampai dengan 𝑥𝑑1−1,𝑑2−1,…,𝑑𝑛−1.
Sebagai ilustrasi, dapat ditinjau keadaan sistem 3-partite yang tersusun atas tiga sub-sistem A, B, dan C yaitu keadaan kubit, tiga kudit, dan empat kudit berikut ini
|𝜒⟩ = |𝜒⟩𝐴⊗ |𝜒⟩𝐵⊗ |𝜒⟩𝐶 ≡ |𝜒⟩1⊗ |𝜒⟩2⊗ |𝜒⟩3
= (𝑥0|0⟩ + 𝑥1|1⟩) ⊗ (𝑦0|0⟩ + 𝑦1|1⟩ + 𝑦2|2⟩) ⊗ (𝑧0|0⟩ + 𝑧1|1⟩ + 𝑧2|2⟩ + 𝑧3|3⟩)
(2.8) Bentuk representasi matriks dari |0⟩ dan |1⟩ pada masing-masing sub-sistem di atas adalah tidak
Keadaan sistem tersebut merupakan hasil perkalian tensor dari tiga keadaan sub-sistem, sehingga dimensi sistem total juga ikut bertambah besar. Walau demikian keadaan sistem total dapat dinyatakan dalam representasi matriks berikut ini.
|𝜒⟩ = (𝑥𝑥0 1)𝐴⊗ ( 𝑦0 𝑦1 𝑦2 ) 𝐵 ⊗ ( 𝑧0 𝑧1 𝑧2 𝑧3 ) C = ( 𝑥0𝑦0𝑧0 𝑥0𝑦0𝑧1 𝑥0𝑦0𝑧2 𝑥0𝑦0𝑧3 𝑥0𝑦1𝑧0 𝑥0𝑦1𝑧1 𝑥0𝑦1𝑧2 𝑥0𝑦1𝑧3 𝑥0𝑦2𝑧0 𝑥0𝑦2𝑧1 𝑥0𝑦2𝑧2 𝑥0𝑦2𝑧3 𝑥1𝑦0𝑧0 𝑥1𝑦0𝑧1 𝑥1𝑦0𝑧2 𝑥1𝑦0𝑧3 𝑥1𝑦1𝑧0 𝑥1𝑦1𝑧1 𝑥1𝑦1𝑧2 𝑥1𝑦1𝑧3 𝑥1𝑦2𝑧0 𝑥1𝑦2𝑧1 𝑥1𝑦2𝑧2 𝑥1𝑦2𝑧3) (2.9) Secara umum, sistem 3-partit tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk
|𝜒⟩ = ∑ ∑ ∑ 𝑐𝑖1𝑖2𝑖3|𝑖1𝑖2𝑖3⟩ 3 𝑖3=0 2 𝑖2=0 1 𝑖1=0 (2.10) dengan |𝑐𝑖1𝑖2𝑖3| 2 = 1.
sistem memiliki dimensi besar, dapat dinyatakan dalam konstanta dalam bentuk indeks sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan yang ringkas seperti pada Pers. (2.4). 2.2.4. Matriks densitas
Suatu keadaan kuantum dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks dalam matriks densitas. Matriks densitas merupakan matriks semidefinit positip, yaitu Hermittian, nilai-nilai eigennya riil dan lebih atau sama dengan nol. Matriks densitas 𝜌 memiliki nilai trace (𝜌) = 1. Nilai ekspektasi dari observabel 𝐴̂, ditentukan dalam eksperimen sebagai rata-rata 〈𝐴̂〉, dengan 〈𝐴̂〉 = 𝑇𝑟(𝐴̂𝜌), sehingga sifat-sifat dari matriks densitas dapat dinyatakan sebagai (Nakahara & Ohmi, 2008)
1. 𝜌 = 𝜌†
2. 𝑇𝑟𝑎𝑐𝑒(𝜌) = 1 3. ⟨𝑥|𝜌|𝑥⟩ ≥ 0
Untuk sifat ke-3 dipenuhi jika elemen-elemen diagonalnya adalah positip.
Matriks densitas dapat merepresentasikan keadaan campuran dan keadaan murni. Keadaan campuran merupakan campuran dari keadaan murni, yaitu keadaan yang dideskripsikan dalam pasangan probabilitas dan keadaan murni {(𝑝1, |𝜓1⟩, … , (𝑝𝑛, |𝜓𝑛⟩}. Matriks densitas didefinisikan sebagai matriks Hermittian positip sebagai berikut
𝜌 = ∑ 𝑝𝑗|𝜓𝑗⟩⟨𝜓𝑗| 𝑛
𝑗=0
(2.11)
dengan 𝑝𝑗 ≥ 0 untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 yang memenuhi
∑ 𝑝𝑗
𝑛
𝑗=1
= 1.
Dalam penelitian ini membahas khusus untuk keadaan murni yang dinyatakan dalam matriks densitas murni dengan bentuk
𝜌𝑚𝑢𝑟𝑛𝑖 = |𝜓⟩⟨𝜓| (2.12)
dengan |𝜓⟩ merupakan kumpulan dari beberapa keadaan murni yang disebut sebagai grup murni (pure ensemble) dan 𝜌𝑚𝑢𝑟𝑛𝑖 adalah matriks densitas dari |𝜓⟩ tersebut (Grasselli, 2014).
Sebagai contoh bentuk matriks densitas untuk keadaan murni dapat diperoleh dari menggunakan |𝜓⟩ = ∑ 𝑎𝑖1|𝑖1⟩ 𝑑𝑖1−1 𝑖1=0 Sehingga 𝜌𝑚𝑢𝑟𝑛𝑖 = |𝜓⟩⟨𝜓| = ∑ 𝑎𝑖1𝑎𝑗1 ∗|𝑖 1⟩ 𝑑1−1 𝑖1,𝑗1=0 ⟨𝑗1|
Untuk keadaan murni, berlaku 𝑇𝑟(𝜌) = 𝑇𝑟(𝜌2) = 1, dapat dilihat pada Lampiran I.
2.2.5. Prinsip dasar keaadaan terbelit
Keadaan terbelit merupakan sistem dua partikel atau lebih dengan keadaan kuantum yang saling mempengaruhi satu sama lain, walaupun memiliki posisi yang berbeda. Sifat inilah yang dimanfaatkan dalam teleportasi kuantum, untuk men-superposisikan keadaan kuantum yang dikirim dengan sebagian partikel keadaan terbelit, sehingga pada keluaran diperoleh replika keadaan kuantum yang dikirim berdasarkan pada keadaan keadaan terbelit yang dikirim ke penerima.
Sebagai contoh keadaan yang dapat merepresentasikan sistem dua kubit dapat dinyatakan dalam persamaan berikut ini.
|𝜓⟩ = 𝛼|00⟩ + 𝛽|01⟩ + 𝛾|10⟩ + 𝛿|11⟩ dengan |𝛼|2+ |𝛽|2+ |𝛾|2+ |𝛿|2 = 1.
Keadaan dua kubit disebut terbelit jika bentuknya tidak dapat dipisah sebagai perkalian dua kubit tunggal.
Secara matematis, keadaan terbelit dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan terdapat sistem dengan dua komponen: satu sistem yang berada dalam ruang Hilbert HI dan sistem lain
|Ψ𝐼⟩ = ∑ 𝑎𝑗 𝑗|𝑒𝐼𝑗⟩ ; |Ψ𝐼𝐼⟩ = ∑ 𝑏𝑘 𝑘|𝑒𝐼𝐼𝑘⟩, (2.13) dengan total sistem
|Ψ⟩𝑠 = ∑ ∑ 𝑐𝑗 𝑘 𝑗𝑘|𝑒𝐼𝑗⟩ ⊗ |𝑒𝐼𝐼𝑘⟩. (2.14a)
Koefisien 𝑐𝑗𝑘 merupakan bilangan kompleks dan memenuhi syarat normalisasi, yaitu
∑ ∑ |𝑐𝑗 𝑘 𝑗𝑘|2 = 1. (2.14b)
Dari persamaan (2.14a), terlihat bahwa seolah-olah keadaan total sistem hanya bisa dinyatakan secara terpisah melalui perkalian tensor
|Ψ⟩𝑠 = |Ψ𝐼⟩ ⊗ |Ψ𝐼𝐼⟩. (2.15)
Keadaan total sistem yang dinyatakan dalam persamaan (2.15) tersebut disebut sebagai keadaan terpisah, karena dapat dinyatakan secara terpisah sebagai komponen sistem pertama dan kedua, yaitu keadaan |Ψ𝐼⟩ dan |Ψ𝐼𝐼⟩.
Selain interpretasi sebagai keadaan terpisah, persamaan (2.14a) dapat dideskripsikan sebagai bentuk persamaan yang hanya dapat diperoleh dari koefisien 𝑐𝑗𝑘 dengan nilai spesial
(tertentu) untuk masing-masing suku. Sebagai konsekuensinya, keadaan sistem tersebut merupakan sistem yang tidak dapat dipisahkan atau dinyatakan dalam persamaan (2.15) atau bukan keadaan terpisah. Keadaan sistem tersebut disebut sebagai keadaan terbelit (Cristescu dan Popescu, 2009).
Sebagai ilustrasi, dapat ditinjau pada sistem dengan dua keadaan yaitu elektron. Proyeksi spin elektron hanya dapat dinyatakan dalam dua keadaan yaitu ±ℏ
2 atau spin up (spin atas) dan spin down (spin bawah), yang dinyatakan dalam notasi Diract | ↑⟩ dan | ↓⟩. Dari persamaan (2.15), untuk sistem dengan dua elektron dapat dinyatakan dalam bentuk
|Ψ1⟩ = 𝑎|↑⟩ + 𝑏| ↓⟩ ; |Ψ2⟩ = 𝑐|↑⟩ + 𝑑| ↓⟩. (2.16)
Berdasarkan persamaan (2.24a), sistem dua elektron tersebut dapat dinyatakan sebagai |Ψ⟩𝑠 =
1
√2(| ↑⟩| ↓⟩ − | ↓⟩| ↑⟩). (2.17)
Secara umum, keadaan Pers. (2.14a) dikategorikan keadaan terpisah jika 𝑐𝑖𝑗 dapat
1
√2 pada persamaan (2.17). Maka dari itu, persamaan (2.17) merupakan keadaan terbelit.
Untuk keadaan yang lebih umum mempunyai ketebelitan yang lebih kompleks, yakni dapat terpisah atau terbelit seluruhnya atau sebagian.
2.1.6. Teorema tanpa penyalinan
Berdasarkan teorema tanpa penyalinan (non-cloning theorem), pada teleportasi kuantum tidak memungkinkan bahwa suatu informasi yang dikirim dapat disadap oleh pihak lain. Lebih rinci, dapat dilihat penjelasan sebagai berikut. Pada teleportasi kuantum, yang dikirim adalah keadaan kuantum yang tidak diketahui. Keadaan inipun tidak dapat disalin dengan menggunakan transformasi uniter. Misalkan, terdapat transformasi uniter 𝑈 yang akan digunakan untuk menyalin keadaan kuantum yang dikirim dalam teleportasi kuantum. Jika 𝑈 dikenakan pada keadaan kuantum |𝜑⟩, maka (Nakahara dan Ohmi, (2008)
𝑈 ∶ |𝜑0⟩ → |𝜑𝜑⟩. (2.18)
Misal, |𝜑⟩ dan |𝜙⟩ merupakan dua keadaan yang tidak saling bergantung. Maka, dari definisi, 𝑈|𝜑0⟩ = |𝜑𝜑⟩ dan 𝑈|𝜙0⟩ = |𝜙𝜙⟩. Kemudian U diterapkan pada |𝜓⟩ = 1
√2(|𝜑⟩ + |𝜙⟩) dan menghasilkan 𝑈|𝜓0⟩ = 1 √2(𝑈|𝜑0⟩ + 𝑈|𝜙0⟩) = 1 √2(|𝜑𝜑⟩ + |𝜙𝜙⟩).
Jika 𝑈 merupakan transformasi penyalinan, maka seharusnya 𝑈|𝜓0⟩ = |𝜓𝜓⟩ = 1
√2(|𝜑𝜑⟩ + |𝜑𝜙⟩ + |𝜙𝜑⟩ + |𝜙𝜙⟩),
yang kontradiktif dengan hasil sebelumnya. Maka, tidak ada operator uniter yang dapat menyalin informasi.
2.3. Dasar Teleportasi Kuantum
Berkembangnya penelitian dalam bidang teleportasi kuantum secara teoritik maupun eksperimen merupakan dampak positif dari usaha-usaha untuk membuktikan apa yang telah dirumuskan oleh Einstein dkk. dan Bell. Hingga Bennet telah benar-benar mempublikasikan
2.3.1. Paradoks EPR
Einstein, Podolsky, dan Rosen (EPR) merupakan ilmuwan pertama yang mempertanyakan kaidah-kaidah mekanika kuantum untuk menjelaskan fenomena keterbelitan. EPR telah menunjukkan bahwa formalisme mekanika kuantum memperbolehkan fenomena dua partikel yang masing-masing memiliki keterkaitan satu sama lain. Walaupun dua partikel tersebut telah dipisah pada jarak yang jauh, dengan melakukan pengukuran posisi maupun momentum pada salah satu partikel, akan dapat diperoleh nilai posisi dan momentum partikel kedua. Berbeda dengan hal tersebut, berdasarkan kaidah mekanika kuantum untuk prinsip ketidakaturan Heisenberg, pengukuran nilai posisi dan momentum secara pasti dan bersamaan tidak diperbolehkan. Bertitik tolak dari paradoks inilah prinsip lokalitas mulai menjadi perhatian (Laghi, 2013). EPR menawarkan keberadaan variabel tersembunyi yang menjamin pengukuran pada salah satu partikel berdampak pada partikel yang lain. Dari paradoks ini pula, EPR mempertanyakan kelengkapan kaidah-kaidah mekanika kuantum melalui artikel yang dikenal dengan judul ‘Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?’ (Einstein dkk., 1935).
Gambaran paradoks EPR dapat diperoleh dari peluruhan inti atom yang memancarkan elektron dan positron (Gambar 2.1). Sesuai dengan hukum kekekalan momentum sudut, setelah meluruh, momentum sudut inti atom adalah nol sehingga elektron dan positron bergerak dalam arah berlawanan dengan momentum sudut yang juga berlawanan arah pada kecepatan yang sama.
Partikel 𝑒 (elektron) dideteksi oleh Alice, yang melakukan pengukuran komponen spin searah vektor satuan 𝒂 (Gambar 2.1). Demikian juga, Bob mendeteksi arah spin partikel 𝑝 (positron) dengan cara mengukur komponen spin yang searah dengan vektor satuan 𝒃.
Gambar 2.1. Skema teoritik dari argumen EPR (Wiseman, 2006).
𝑒
𝑝
𝒂
𝒃
Hasil pengukuran Alice terhadap elektron dinyatakan dalam 𝑢𝑎 = ± 1
2, sedangkan hasil
pengukuran Bob terhadap positron adalah 𝑢𝑏 = ±1
2. Jika Alice memperoleh pengukuran + 1 2,
maka Alice dapat memastikan bob akan memperoleh hasil −1
2 jika arah pengukurannya sama
dengan Alice. Tetapi karena Bob melakukan pengukuran pada arah yang lain yaitu 𝒃, maka Alice tidak dapat memastikan hasil pengukuran Bob. Tetapi jika arah pengukuran 𝒂 dan 𝒃 hanya sedikit berbeda (1 − 𝒂. 𝒃 ≤ 1), maka terdapat kemungkinan untuk Bob memperoleh hasil pengukuran +1
2.
Fungsi keadaan yang dibentuk oleh pasangan olehelektron-positron dapat dinyatakan dalam
|𝜓⟩ = 1
√2(|𝑒+⟩|𝑝−⟩ − |𝑒−⟩|𝑝+⟩). (2.19a)
Jika Alice memperoleh hasil pengukuran +1
2, maka keadaan sistem menjadi
|𝜓′⟩ = |𝑒+⟩|𝑝−⟩ (2.19b)
Dari persamaan (2.29a), amplitudo sebelum pengukuran Alice adalah 1
√2, sedangkan amplitudo
Bob untuk mengukur positron pada arah 𝒃, dapat dinyatakan dalam (Binney dan Spinner, 2013) |+, 𝒃⟩ = sin (𝜃 2) 𝑒 −𝑖𝜙 2 |𝑝 −⟩ + cos (𝜃 2) 𝑒 −𝑖𝜙 2 |𝑝−⟩ (2.20)
dengan 𝜃 dan 𝜙 adalah sudut pada koordinat polar yang menyatakan orientasi 𝒃 dalam sistem dengan 𝒂 berada pada sumbu 𝑧, sehingga 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝒂. 𝒃. Karena setelah pengukuran, positron berada dalam keadaan |𝑝−⟩ (Pers. (2.19b), maka amplitudo Bob memperoleh hasil pengukuran +1
2 pada arah 𝒃 adalah ⟨+, 𝒃|𝑝 −⟩ = 𝑠𝑖𝑛 ( 𝜃 2) 𝑒
−𝑖𝜙2
, dengan probabilitasnya adalah |𝑠𝑖𝑛 (𝜃 2) 𝑒 −𝑖𝜙2|2= sin2(𝜃 2) atau 𝑃𝐵(+|𝐴 +) = sin2( 𝜃 2) (2.21)
yang dapat dipenuhi jika 𝜃 kecil atau 𝒂 ≅ 𝒃 seperti yang diprediksi Alice bahwa terdapat kemungkinan bahwa hasil pengukuran Bob akan sama dengan Alice. Hasil ini konsisten dengan
EPR memfokuskan pada pemilihan arah pengukuran Bob yang tidak memungkinkan memperoleh hasil sama dengan Alice. Sehingga seolah-olah positron tahu secara pasti hasil pengukuran Alice terhadap elektron yang dikenal dengan fenomena non-lokalitas. Maka, selama kaidah mekanika kuantum relevan untuk pengukuran suatu partikel itu tidak mempengaruhi partikel lain, maka EPR beragumentasi bahwa terdapat informasi (dalam bentuk
variabel tersembunyi) yang memungkinkan agar positron mengetahui hasil pengukuran Alice.
Dengan kata lain, kaidah mekanika kuantum tidak cukup lengkap untuk mencakup fenomena non-lokalitas sehingga harus melibatkan variabel tersembunyi.
2.3.2. Pertidaksamaan Bell
Pada tahun 1964, John Bell membuat terobosan baru yang menarik perhatian ilmuwan lain untuk melakukan eksperimen terhadap aspek konseptual fisis. Formula Bell dapat dijelaskan sebagai berikut (Bell, 1964). Harapan Einstein pada Sub Bab seblumnya dapat terpenuhi jika variabel tersembunyi terbukti keberadaannya sehingga fenomena keterbelitan konsisten dengan kaidah kuantum mekanik.
Dari Gambar 2.1, dapat dianalogikan 𝑎 adalah elektron dan 𝑏 adalah positron yang bergerak berlawanan setelah terjadi peluruhan inti atom. Dari kaidah kekekalan momentum sudut, karena setelah meluruh, momentum sudut inti atom adalah nol, maka elektron dan positron bergerak berlawanan dengan momentum sudut yang berlawanan, sehingga jika kedua momentum sudut tersebut dijumlahkan menghasilkan nilai nol.
Jika Alice mengukur elektron dan Bob mengukur positron dengan arah pengukuran membentuk sudut 𝜃 serta hasil pengukuran Alice dan Bob adalah 𝑢𝑎 = ±1
2 dan 𝑢𝑏 = ± 1
2, maka
nilai ekspektasi dari 𝑢𝑎𝑢𝑏 adalah (Binney dan Spinner, 2013) ⟨𝑢𝑎𝑢𝑏⟩ =
1
4{𝑃𝑎(+)𝑃𝑏(+|𝑎 +) + 𝑃𝑎(−)𝑃𝑏(−|𝑎 −) − 𝑃𝑎(+)𝑃𝐵(−|𝑎 +) − 𝑃𝑎(−)𝑃𝑏(+|𝑎−)} (2.22)
dengan 𝑃𝑎(+) adalah probabilitas Alice memperoleh 𝑢𝑎 = +1
2 dan 𝑃𝑏(−|𝐴+) adalah
probabilitas Bob memperoleh hasil pengukuran 𝑢𝑏 = −1
2 yang merupakan kausalitas dari 𝑢𝑎 =
+1
2. Selama Alice tidak mengetahui hasil pengukuran, maka 1
Karena 𝑃𝑏(+|𝑎 +) = sin2( 𝜃 2), sehingga 𝑃𝑏(−|𝑎 +) = 1 − 𝑃𝑏(+|𝑎 +) = cos2( 𝜃 2). (2.24)
Substitusi ke Pers. (2.22) menghasilkan ⟨𝑢𝑎𝑢𝑏⟩ = 1 4{sin 2(𝜃 2) − cos 2(𝜃 2)} = − 1 4𝑐𝑜𝑠𝜃 = − 1 4𝒂. 𝒃 (2.25)
Prediksi EPR akan terbukti jika variabel tersembunyi juga terbukti keberadaannya. Maka, untuk hasil pengukuran spin elektron pada arah 𝒂 ditentukan oleh nilai yang diperoleh dari komponen variabel tersembunyi yang ditambahkan pada pengukuran 𝒂. Sehingga sesuai dengan kekekalan momentum sudut, fungsi pengukuran dengan melibatkan variabel tersembunyi dapat dinyatakan dalam 𝑢𝑎(𝒗, 𝒂) = −𝑢𝑏(𝒗, 𝒂).
Fungsi tersebut random dan non-probabilistik karena 𝑣 merupakan variabel yang tidak diketahui dan 𝑢𝑎(𝒗, 𝒂) = ±1
2 dan 𝑢𝑏(𝒗, 𝒃) = ± 1
2 . Dengan mengkuantisasikan variabel
tersembunyi dalam rapat probabilitas 𝜌(𝒗) yang dinyatakan dalam volume berdimensi 𝑛, yaitu 𝑑𝑃 = 𝜌(𝒗)𝑑𝑛𝒗, maka nilai ekspektasi hasil pengukuran 𝒂 dan 𝒃 adalah
⟨𝑢𝑎(𝒂)𝑢𝑏(𝒃)⟩ = ∫ 𝑑𝑛𝒗 𝜌(𝒗) 𝑢
𝑎(𝒗, 𝒂) 𝑢𝑏(𝒗, 𝒃)
= −∫ 𝑑𝑛𝒗 𝜌(𝒗) 𝑢
𝑎(𝒗, 𝒂) 𝑢𝑎(𝒗, 𝒃) (2.26)
sesuai dengan Pers. (2.26). Misalkan, terdapat pengukuran pada arah yang lain, yaitu 𝒄 dan dengan memperhatikan 𝑢𝑎2(𝒗, 𝒂) =1 4, maka ⟨𝑢𝑎(𝒂)𝑢𝑏(𝒃)⟩ − ⟨𝑢𝑎(𝒂)𝑢𝑏(𝒄)⟩ = −∫ 𝑑𝑛𝒗 𝜌(𝒗) 𝑢 𝑎(𝒗, 𝒂) (𝑢𝑎(𝒗, 𝒃) − 𝑢𝑎(𝒗, 𝒄)) = −∫ 𝑑𝑛𝒗 𝜌(𝒗) 𝑢 𝑎(𝒗, 𝒂) 𝑢𝑎(𝒗, 𝒃)(1 − 4𝑢𝑎(𝒗, 𝒃)𝑢𝑎(𝒗, 𝒄)) (2.37) Suku (1 − 4𝑢𝑎(𝒗, 𝒃)𝑢𝑎(𝒗, 𝒄)) selalu lebih besar atau sama dengan nol, karena 𝑢𝑎(𝒗, 𝒃)𝑢𝑎(𝒗, 𝒄) =
(±1 2) (± 1 2) = ± 1 4. Sedangkan suku −∫ 𝑑 𝑛𝒗 𝜌(𝒗) 𝑢 𝑎(𝒗, 𝒂) 𝑢𝑎(𝒗, 𝒃) untuk −𝑢𝑎(𝒗, 𝒂) 𝑢𝑎(𝒗, 𝒃) diambil nilai maksimal 1 4, dan ∫ 𝑑
𝑛𝒗 𝜌(𝒗) = 1, maka dengan mengambil nilai mutlaknya dan
adalah pertidaksamaan Bell, yang berlaku untuk semua pengukuran 𝒂, 𝒃, 𝒄 jika variable tersembunyi benar-benar ada. Sehingga dapat diverifikasi kebenaran pertidaksamaan tersebut dengan mengambil pengukuran Alice terhadap elektron yang dilakukan dalam banyak percobaan dalam arah 𝒂, sedangkan Bob melakukan pengukuran terhadap positron dengan setengah jumlah percobaan pada arah 𝒃 dan sisa pengukurannya pada arah 𝒄. Estimasi ruas kiri dari Pers. (2.28) dapat diperoleh dari hasil percobaan. Sedangkan nilai dari ruas kanan diestimasi dari percobaan baru yaitu Alice mengukur elektron pada arah 𝒃, dan Bob mengukur spin positron pada arah 𝒄. Karena ⟨𝑢𝑎(𝒂)𝑢𝑏(𝒃)⟩ =14𝒂. 𝒃, maka ruas kiri (LHS) dan ruas kanan
(RHS) diperoleh 𝐿𝐻𝑆 =1
4|𝒂. (𝒃 − 𝒄)| ; 𝑅𝐻𝑆 = 1
4(1 − 𝒃. 𝒄) (2.29)
Jika dipilih 𝒂. 𝒃 = 0 dan 𝒄 = 𝒃 𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜙 untuk 𝜙 = 0 …𝜋
2, diperoleh
𝐿𝐻𝑆 =1
4|𝑠𝑖𝑛𝜙| ; 𝑅𝐻𝑆 = 1
4(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜙). (2.30)
Grafik dari Pers. (2.30) dapat dilihat dalam Gambar 2.2 berikut ini.
Gambar 2.2. Plot pertidaksamaan Bell untuk LHS (ruas kiri) dam RHS (ruas kanan) (Binney dan Spinner, 2013)
Dari Gambar 2.2 diketahui bahwa pertidaksamaan Bell tidak sesuai untuk semua nilai 𝜙 kecuali pada 𝜙 = 0𝑜 dan 𝜙 =𝜋
2. Dengan demikian, kaidah mekanika kuantum tidak konsisten
dengan pertidaksamaan Bell dan variabel tersembunyi yang diusulkan EPR tidak terbukti keberadannya.
1970. Eksperimen ini menggunakan pasangan foton dalam keadaan terbelit. Hingga pada tahun 1980, eksperimen yang telah dilakukan oleh Aspect dkk. berhasil membuktikan pelanggaran dari pertidaksamaan Bell. Selanjutnya, penelitian secara teoritik maupun eksperimen mengenai keadaan keterbelitan terus berlanjut hingga terbentuk bahasan baru yaitu teleportasi kuantum yang dibahas pada sub bab selanjutnya.
2.3.3. Teleportasi kuantum menggunakan keadaan EPR sebagai kanal kuantum
Pada tahun 1993, Bennet dkk. memperkenalkan teleportasi kuantum, yaitu metode untuk mengirim informasi kuantum (dari Alice ke Bob) berupa keadaan kuantum suatu partikel tanpa adanya pengiriman partikel tersebut (Bennet, et al., 1993).
Berdasarkan teleportasi kuantum yang diusulkan Bennet dkk., Alice akan mengirim informasi quantum ke Bob berupa keadaan kuantum dari suatu partikel. Dengan memanfaatkan keterbelitan dua partikel sebagai kanal kuantum, Alice dan Bob berbagi partikel dalam keadaan terbelit tersebut, yaitu berupa salah satu pasangan partikel terbelit. Selanjutnya, Alice melakukan pengukuran melalui pengukuran keadaan Bell atau BSM (Bell State Measurement). Dalam proses ini, informasi kuantum asli tidak teridentifikasi lagi karena telah dilebur dengan kanal kuantum berupa partikel terbelit yang dikirim dari sumber EPR. Secara matematis, peleburan informasi kuantum awal dengan partikel terbelit adalah proses perkalian tensor antara keadaan kuantum dari informasi yang dikirim dengan kanal kuantum (keadaan EPR). Hasil pengukuran tersebut dikirim ke Bob melalui kanal klasik. Setelah mengetahui hasil tersebut, Bob mengkonversi keadaan kuantum EPR-nya menjadi keadaan kuantum replika (keadaan ter-teleportasi) dari |𝜙⟩ dengan menerapkan transformasi uniter (U) yang sesuai berdasarkan hasil dari kanal klasik. Diagram sistem teleportasi kuantum tersebut dapat dilihat dalam Gambar 2.3.
Gambar 2.3. Skema prinsip teleportasi kuantum (Pan, 2000).
Sebagai contoh, Alice akan meneleportasi keadaan kuantum |𝜙⟩1. Indeks 1 adalah partikel 1
(milik Alice). Bentuk matematis dari |𝜙⟩1 adalah sebagai berikut.
|𝜙⟩1 = a|0⟩1+ b|1⟩1 (2.31)
Sumber EPR berfungsi untuk membangkitkan pasangan partikel terbelit seperti pada persamaan berikut ini. |Φ+⟩ = 1 √2 (|00⟩ + |11⟩) |Ψ +⟩ = 1 √2 (|01⟩ + |10⟩) |Φ−⟩ = 1 √2 (|00⟩ − |11⟩) |Ψ −⟩ = 1 √2 (|01⟩ − |10⟩) (2.32)
Misal, keadaan EPR yang dipilih adalah |Ψ+⟩
23. Indeks 23 diartikan bahwa pasangan partikel
terbelit ada dua, yaitu partikel 2 dan partikel 3. Partikel 2 akan dipasangkan dengan partikel milik Alice (partikel 1), dan partikel 3 akan dikirim ke Bob. Bentuk |Ψ+⟩23 adalah sebagai berikut.
|Ψ+⟩ 23 =
1
√2(|0⟩2|1⟩3+ |1⟩2|0⟩3) (2.33)
Kemudian, keadaan atau informasi kuantum dari Alice dilebur dengan kanal kuantum dari sumber EPR, maka keadaan kuantum sistem menjadi |𝜙⟩1⊗ |Ψ+⟩23, yaitu
|𝜓⟩123= a √2(|0⟩1|0⟩2|1⟩3+ |0⟩1|1⟩2|0⟩3) + b √2(|1⟩1|0⟩2|1⟩3+ |1⟩1|1⟩2|0⟩3) |𝜙⟩ |𝜙′⟩ Partikel-3 (setelah dikenai transformasi uniter), keadaan kuantumnya sama dengan keadaan
Informasi awal yang akan dikirim oleh Alice melebur menjadi satu dengan kanal kuantum dan tidak dapt diidentifikasi lagi. Peleburan ini sesuai dengan teorema tanpa penyalinan, yaitu informasi dilebur sebelum dikreasi kembali.
Selanjutnya, agar teleportasi kuantum dapat tercapai, Alice melakukan proses pengukuran keadaan Bell untuk partikel 1 dan 2 pada Pers. (2.34). Dalam pengukuran ini, keadaan kuantum partikel 1 dan 2 diinteraksikan dengan salah satu keadaan Bell (2.32). Proses pengukuran keadaan Bell oleh Alice sampai dengan rekonstruksi keadaan kuantum yang diterima Bob sehingga sama dengan keadaan kuantum yang dikirim dapat dilihat berikut ini.
(i) Pengukuran menggunakan keadaan Bell |Φ+⟩ |𝜋1⟩ = |Φ+⟩ =
1
√2(|00⟩ + |11⟩) (2.35)
Pengukuran keadaan Bell melalui |𝜋1⟩ terhadap partikel 1 dan 2 pada keadaan Pers. (2.34) dilakukan dengan cara
(⟨𝜋1| ⊗ 𝐼) |𝜓⟩123 =1
2(𝑎|1⟩3+ 𝑏|0⟩3)
Dari hasil pengukuran tersebut, agar Bob memperoleh informasi dalam bentuk keadaan kuantum yang sama dengan yang dikirim Alice, maka Bob harus menerapkan operator 2𝜎𝑥, sehingga
|𝜓⟩3 = 2𝜎𝑥(
1
2(𝑎|1⟩3+ 𝑏|0⟩3)) = 𝑎|0⟩3+ 𝑏|1⟩3
Dengan demikian, jika Alice menggunakan |Φ+⟩ dalam melakukan pengukuran keadaan Bell, maka Bob harus menerapkan operasi 2𝜎𝑥 terhadap kubit yang diterimanya agar diperoleh
keadaan kuantum yang sama dengan yang dikirim.
Pengukuran keadaan Bell melalui |𝜋2⟩ terhadap partikel 1 dan 2 pada Pers. (2.34) dilakukan dengan cara
(⟨𝜋2| ⊗ 𝐼) |𝜓⟩123= 1
2(𝑎|1⟩3− 𝑏|0⟩3)
Dari hasil pengukuran tersebut, agar Bob memperoleh informasi dalam bentuk keadaan kuantum yang sama dengan yang dikirim Alice, maka Bob harus menerapkan operator 2𝜎𝑥𝜎𝑧, sehingga
|𝜓⟩3 = 2𝜎𝑥𝜎𝑧(
1
2(𝑎|1⟩3− 𝑏|0⟩3)) = 𝑎|0⟩3+ 𝑏|1⟩3
Dengan demikian, jika Alice menggunakan |Φ−⟩ dalam melakukan pengukuran keadaan Bell, maka Bob harus menerapkan operasi 2𝜎𝑥𝜎𝑧 terhadap kubit yang diterimanya agar diperoleh keadaan kuantum yang sama dengan yang dikirim.
(iii) Pengukuran menggunakan keadaan Bell |Ψ+⟩ |𝜋3⟩ = |Ψ+⟩ = 1
√2(|01⟩ + |10⟩) (2.37)
Pengukuran keadaan Bell melalui |𝜋3⟩ terhadap partikel 1 dan 2 pada Pers. (2.34) dilakukan
dengan cara
(⟨𝜋3| ⊗ 𝐼) |𝜓⟩123=
1
2(𝑎|0⟩3+ 𝑏|1⟩3)
Dari hasil pengukuran tersebut, agar Bob memperoleh informasi dalam bentuk keadaan kuantum yang sama dengan yang dikirim Alice, maka Bob harus menerapkan operator 2𝐼, sehingga
|𝜓⟩3 = 2𝐼 (
1
2(𝑎|0⟩3+ 𝑏|1⟩3)) = 𝑎|0⟩3+ 𝑏|1⟩3
Dengan demikian, jika Alice menggunakan |Ψ+⟩ dalam melakukan pengukuran keadaan Bell, maka Bob harus menerapkan operasi 2𝐼 terhadap kubit yang diterimanya agar diperoleh
(iv) Pengukuran menggunakan keadaan Bell |Ψ−⟩
|𝜋4⟩ = |Ψ−⟩ = 1
√2(|01⟩ − |10⟩) (2.38)
Pengukuran keadaan Bell melalui |𝜋4⟩ terhadap partikel 1 dan 2 pada Pers. (2.34) dilakukan dengan cara
(⟨𝜋4| ⊗ 𝐼) |𝜓⟩123= 1
2(𝑎|0⟩3− 𝑏|1⟩3)
Dari hasil pengukuran tersebut, agar Bob memperoleh informasi dalam bentuk keadaan kuantum yang sama dengan yang dikirim Alice, maka Bob harus menerapkan operator 2𝜎𝑧,
sehingga |𝜓⟩3 = 2𝜎𝑧(1
2(𝑎|0⟩3− 𝑏|1⟩3)) = 𝑎|0⟩3+ 𝑏|1⟩3
Dengan demikian, jika Alice menggunakan |Ψ−⟩ dalam melakukan pengukuran keadaan Bell,
maka Bob harus menerapkan operasi 2𝜎𝑧 terhadap kubit yang diterimanya agar diperoleh keadaan kuantum yang sama dengan yang dikirim.
Dari keempat perhitungan tersebut dapat dibuat tabel yang menunjukkan pengukuran yang digunakan Alice serta operasi/transformasi uniter yang harus diterapkan Bob agar keadaan kuantum replika |𝜙⟩3 dapat terbentuk. Informasi pengukuran yang digunakan Alice inilah yang
dikirim ke Bob lewat kanal klasik.
Tabel 2.1. Relasi antara pengukuran keadaan Bell yang dilakukan Alice dengan transformasi uniter yang diterapkan Bob
No Hasil Pengukuran (BSM) Alice
|𝜙⟩3 Bob
Transformasi Uniter (U) Bob 1 |Ψ−⟩ 12 (−𝑎|0⟩3− 𝑏|1⟩3) 2𝐼 2 |Ψ+⟩ 12 (−𝑎|0⟩3+ 𝑏|1⟩3) 2𝜎𝑧 3 |Φ−⟩ 12 (𝑎|1⟩3+ 𝑏|0⟩3) 2𝜎𝑥 4 |Φ+⟩ 12 (𝑎|1⟩3− 𝑏|0⟩3) 2𝜎𝑥𝜎𝑧
2.4. Kriteria Keadaan Terpisah Keadaan Murni Multipartit Berdasarkan Rank Matriks Densitas Tereduksi
Pada tahun 2016, Zhao dkk. mengusulkan metode untuk menentukan kriteria keadaan terpisah (separability) suatu keadaan kuantum. Penentuan keadaan terpisah ini menurut Zhao juga dapat digunakan untuk mengevaluasi keterbelitan suatu keadaan kuantum multipartit. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, keterbelitan merupakan sumber daya utama dari teleportasi kuantum, yaitu digunakan sebagai kanal kuantum. Zhao melibatkan keadaan multipartit dalam pembahasannya, yang merupakan keadaan yang sangat kompleks dibandingkan dengan keadaan kanal kuantum dua-kubit maupun bipartit. Keadaan dua kubit tersusun atas dua partikel yang masing-masing hanya memiliki dua keadaan, misalnya 0 dan1, spin atas dan spin bawah, dan polarisasi horisontal dan vertikel. Sedangkan bipartit tersusun atas dua partikel yang masing-masing memiliki dua atau lebih keadaan. Maka, multipartit merupakan keadaan kuantum yang tersusun dua atau lebih partikel yang masing-masing partikel mempunyai dua atau lebih keadaan (Zhao dkk., 2016).
Zhao dkk. telah melakukan penelitian secara teoritik mengenai kriteria keadaan terpisah dari suatu keadaan kuantum dengan menghitung densitas matriks tereduksi keadaan kuantum tersebut. Penentuan kriteria keadaan terpisah yang diusulkan Zhao dkk. adalah berdasarkan matriks densitas tereduksi dari keadaan kuantum yang akan didentifikasi. Misalkan terdapat n-partit keadaan murni dengan |𝜓⟩ ∈ 𝐻 = 𝐻1⊗ 𝐻2⊗ … ⊗ 𝐻𝑛 yang masing-masing memiliki dimensi 𝑑𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Maka, |𝜓⟩ dapat dinyatakan dalam bentuk basis ortonormal dari ruang Hilbert sebagai berikut
|𝜒⟩ = ∑ ∑ … ∑ 𝑥𝑖1𝑖2…𝑖𝑛|𝑖1𝑖2… 𝑖𝑛⟩ 𝑑𝑛−1 𝑖𝑛=0 d2−1 i2=0 d1−1 i1=0 (2.39)
yang memenuhi syarat normalisasi ∑𝑖1𝑖2…𝑖𝑛|𝑥𝑖1𝑖2…𝑖𝑛|2 = 1.
Jika |𝜒⟩ adalah keadaan terpisah, yaitu |𝜒⟩ = |𝜑⟩ ⊗ |𝜙⟩, maka sub-keadaan |𝜑⟩ dan |𝜙⟩ dinyatakan dalam |𝜑⟩ = ∑ 𝑎𝑖1𝑖2…𝑖𝑝|𝑖1𝑖2… 𝑖𝑝⟩ 𝑖1𝑖2…𝑖𝑝 dan|𝜙⟩ = ∑ 𝑏𝑖𝑝+1𝑖𝑝+2…𝑖𝑛|𝑖𝑝+1𝑖𝑝+2… 𝑖𝑛⟩ 𝑖𝑝+1𝑖𝑝+2…𝑖𝑛 .
𝜌 = |𝜑⟩⟨𝜑|. (2.40) yang secara umum memiliki rank matriks satu (Zhao dkk., 2016) dan dihitung sebagai berikut 𝜌𝑃 = |𝜑⟩⟨𝜑| = ∑ 𝑎𝑖1𝑖2…𝑖𝑝|𝑖1𝑖2… 𝑖𝑝⟩ 𝑖1𝑖2…𝑖𝑝 ∑ 𝑎𝑗1𝑗2…𝑗𝑝 ∗ ⟨𝑗 1𝑗2… 𝑗𝑝| 𝑗1𝑗2…𝑗𝑝 = ∑ ∑ 𝑎𝑖1𝑖2…𝑖𝑝𝑎𝑗1𝑗2…𝑗𝑝 ∗ |𝑖 1𝑖2… 𝑖𝑝⟩⟨𝑗1𝑗2… 𝑗𝑝| 𝑗1𝑗2…𝑗𝑝 𝑖1𝑖2…𝑖𝑝 (2.41)
Bentuk matriks dari Pers. (2.41) adalah
𝜌𝑃= ( 𝑎0…0𝑎0…0∗ 𝑎0…0𝑎0…1∗ … 𝑎0…0𝑎(𝑑𝑝−1)…(𝑑𝑝−1) ∗ 𝑎0…1𝑎0…0∗ 𝑎0…1𝑎0…1∗ … 𝑎0…1𝑎(𝑑𝑝−1)…(𝑑𝑝−1) ∗ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎(𝑑𝑝−1)…(𝑑𝑝−1)𝑎0…0 ∗ 𝑎 (𝑑𝑝−1)…(𝑑𝑝−1)𝑎0…1 ∗ … 𝑎 (𝑑𝑝−1)…(𝑑𝑝−1)𝑎(𝑑𝑝−1)…(𝑑𝑝−1) ∗ ) (2.42)
Matriks densitas 𝜌𝑃 (sub sistem P) tersebut memiliki elemen yang sama untuk masing-masing
kolom untuk semua baris, misalnya pada kolom kedua, untuk terdapat konstanta 𝑎0…1∗ yang
sama untuk semua baris. Demikian juga, untuk masing-masing baris, memiliki faktor pengali yang sama. Sebagai contoh, pada baris kedua, faktor pengalinya adalah 𝑎0…1. Jika faktor pengali suatu baris dinyatakan dalam 𝑎𝑖𝑟1𝑖𝑟2…𝑖𝑟|𝑝| dan faktor pengali baris yang lain dinyatalan
dalam 𝑎𝑖
𝑟1𝑖𝑟2…𝑖𝑟|𝑝|
∗ , maka setiap baris dapat dinyatakan dalam baris yang lain dengan faktor
pengali
𝑎
𝑖𝑟1𝑖𝑟2…𝑖𝑟|𝑝|
𝑎
𝑖𝑟1𝑖𝑟2…𝑖𝑟|𝑝|
∗ . Sebagai konsekuensinya, dengan menggunakan eliminasi Gauss, elemen semua baris dapat diubah menjadi nol hingga tersisa hanya satu baris. Maka, dapat ditentukan bahwa matriks densitas sub sistem P memiliki rank satu. Maka, demikian juga dengan sub sistem Q memiliki rank satu.
Lebih lanjut, menurut Zhao dkk., jika |𝜒⟩ belum diketahui apakah merupakan keadaan terpisah atau tidak maka dapat diidentifikasi dengan menghitung matriks densitas satuan berikut ini.
= ∑ 𝐼 ⊗ … ⊗ 𝐼 𝑚𝑝+1…𝑖𝑛 ⊗ ⟨𝑚𝑝+1… 𝑚𝑛| ∑…∑𝑎𝑖1𝑖2…𝑖𝑝𝑏𝑖𝑝+1𝑖𝑝+2…𝑖𝑛𝑎∗𝑗1𝑗2…𝑗𝑝𝑏𝑗∗𝑝+1𝑗𝑝+2…𝑗𝑛|𝑖1𝑖2… 𝑖𝑛⟩⟨𝑗1𝑗2… 𝑗𝑛| 𝑖𝑛,𝑗𝑛 𝑖1,𝑗1 |𝐼 ⊗ … ⊗ 𝐼 ⊗ |𝑚𝑝+1… 𝑚𝑛⟩ = ∑ … ∑ 𝑎𝑖1𝑖2…𝑖𝑝𝑎𝑗1𝑗2…𝑗𝑝 ∗ |𝑖 1𝑖2… 𝑖𝑝⟩ 𝑖𝑝,𝑗𝑝 𝑖1,𝑗1 ⟨𝑗1𝑗2… 𝑗𝑝|
Jika diekspansi dalam bentuk matriks, menjadi
𝜌𝑃= ( 𝑎0…0𝑎0…0∗ 𝑎0…0𝑎∗0…1 … 𝑎0…0𝑎(𝑑𝑝−1)…(𝑑𝑝−1) ∗ 𝑎0…1𝑎0…0∗ 𝑎0…1𝑎∗0…1 … 𝑎0…1𝑎(𝑑𝑝−1)…(𝑑𝑝−1) ∗ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎(𝑑𝑝−1)…(𝑑𝑝−1)𝑎0…0∗ 𝑎(𝑑𝑝−1)…(𝑑𝑝−1)𝑎0…1∗ … 𝑎(𝑑𝑝−1)…(𝑑𝑝−1)𝑎(𝑑𝑝−1)…(𝑑𝑝−1) ∗ ) (2.20)
Di dalam artikelnya, Zhao dkk. bahwa n-kudit yang keadaannya terpisah, yaitu |𝜓⟩ = |𝜓⟩1⊗ |𝜓⟩2⊗ … ⊗ |𝜓⟩𝑛 membutuhkan perhitungan rank matriks densitas tereduksi
sebanyak 2𝑛 − 2. Tetapi faktanya untuk memastikan bahwa suatu keadaan kuantum adalah keadaan terpisah, hanya dibutuhkan perhitungan rank matriks densitas tereduksi sebanyak 2𝑛−1− 1 kombinasi. Selain itu, jika semua matriks densitas tereduksi suatu keadaan kuantum memiliki rank yang tidak sama dengan satu, maka dapat dipastikan bahwa keadaan kuantum yang dievaluasi tersebut merupakan keadaan terbelit keseluruhan.
2.5. Formulasi Klasifikasi Keadaan Keterbelitan Berdasarkan Matriks Kanal
Di dalam penelitian sebelumnya telah dianalisa pengaruh rank dari matriks densitas tereduksi terhadap klasifikasi keadaan terbelit dan terpisah dari multipartit (Purwanto dkk., 2018). Pertama, dilakukan dengan menyusun formulasi umum untuk menentukan kriteria keterbelitan dan keadaan terpisah dari suatu multipartit. Diperoleh hasil bahwa rank matriks densitas asal selalu nol, sedangkan rank-rank matriks densitas tereduksinya bervariasi. Selanjutnya, kriteria keadaan terpisah dan terbelit ditentukan dengan menghitung rank-rank matriks densitas tereduksi.
