Kalkulus : Fungsi Dan Grafik

BAB II

FUNGSI DAN GRAFIK

Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas (besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Fungsi dapat dinyatakan dalam 4 cara yaitu secara verbal (kata-kata), numerik (tabel nilai), visual (grafik) dan aljabar (rumus eksplisit).

TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi yang diberikan

2.1. Pengertian dan Penyajian Fungsi

Sebuah fungsi f adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x dalam satu himpunan, misalkan A, dengan tepat satu elemen f(x) dalam himpunan kedua, misalkan B. Himpunan B boleh sama dengan himpunan A.

Apabila f merupakan fungsi yang memasangkan setiap anggota A pada tepat satu anggota B, maka f ditulis sebagai f : A → B. Himpunan A disebut domain (daerah asal, daerah definisi) fungsi f dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dari fungsi f.

Empat situasi berikut menggambarkan cara penyajian fungsi, yaitu :

a. Luas daerah A dari suatu lingkaran tergantung pada jari–jari r lingkaran tersebut. Aturan yang mengaitkan r dan A diberikan oleh persamaan A = π r2_.

Setiap nilai r berhubungan dengan nilai A, maka dikatakan bahwa A adalah fungsi dari r. Fungsi tersebut disajikan melalui suatu rumus eksplisit.

b. Populasi manusia P di dunia tergantung pada waktu t. Tabel berikut memberikan taksiran populasi dunia P(t) pada waktu t, untuk tahun tertentu. Tabel taksiran populasi penduduk dunia

Tahun (t) Populasi (P)* 1900 1650 1910 1750 1920 1860 1930 2070 1940 2300 1950 2520 *dalam jutaan

Untuk setiap nilai t terdapat nilai padanannya P, sehingga kita katakan bahwa

P merupakan fungsi dari t. Fungsi tersebut disajikan dalam bentuk tabel.

c. Biaya pengiriman surat tercatat C tergantung pada beratnya w. Walaupun tidak terdapat rumus sederhana yang mengaitkan C dan w, kantor pos mempunyai aturan tertentu (dapat disajikan dengan uraian kata – kata) untuk menentukan

C bila w diketahui. Aturan yang digunakan Perusahaan Pos Amerika Serikat tahun 1998 sebagai berikut : Biayanya adalah 32 sen untuk berat sampai dengan satu ons, ditambah 23 sen untuk setiap ons tambahan sampai dengan 11 ons. Tahun (t) Populasi (P)* 1960 3020 1970 3700 1980 4450 1990 5300 1996 5770

d. Kecepatan tegak tanah a yang diukur oleh seismograf selama gempa adalah

fungsi dari waktu terlewat t. Biasanya digunakan grafik yang menyatakan hubungan antara a dan t.

2.2. Domain dan Kodomain Fungsi

Domain fungsi f yaitu himpunan elemen-elemen di mana fungsi f mendapat nilai (suatu bilangan real). Himpunan bagian dari B yang anggota-anggotanya merupakan nilai-nilai yang diperoleh dari fungsi f disebut range (daerah hasil) dari fungsi f.

Pembicaraan tentang domain dan range memegang peranan penting dalam fungsi karena hal ini terkait dengan nilai-nilai dimana fungsi mempunyai makna.

f

Domain Range Keterkaitan antar variabel

x a f(x) f(a) t (detik) a (cm/det2₎

Lambang yang menyatakan suatu bilangan sebarang pada domain f disebut variabel bebas. Sedangkan lambang yang menyatakan bilangan pada range f

disebut variabel terikat. Misalnya dalam empat penyajian fungsi di atas, apabila fungsi disajikan dalam bentuk rumus eksplisit berikut A = π r2 _{maka r}

merupakan variabel bebas, sedangkan A adalah variabel terikat.

Fungsi bentuk eksplisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikatnya terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat maka notasi fungsi bentuk eksplisit ditulis y = f(x).

Contoh :

a. y = 3 sin x + cos x

b. y = x2 _{- 8 x + 10}

Fungsi bentuk implisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikat letaknya tidak terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat maka notasi fungsi bentuk implisit ditulis f(x, y) = 0.

Contoh :

a. (x-3) y + 5 x -3 y = 0 b. x2 _{– x y}2 _{+ 6 x y – 7 x = 0}

Fungsi parametrik adalah fungsi yang relasi antara variabel bebas dan variabel terikatnya disajikan dalam persamaan yang menggunakan parameter. Jika

x variabel bebas, y variabel terikat dan, t parameter maka notasi bentuk fungsi

implisit dapat di tulis sebagai berikut :

   = = ) ( ) ( t g y t f x , t sebagai parameter

Contoh : a.    = = a y a x sin cos , a sebagai parameter b.     + − = + = 1 2 2 2 2 2 t t t y t t x , t sebagai parameter

Fungsi y = f(x) merupakan fungsi yang dibentuk dari satu variabel yakni

x, sedangkan fungsi z = f(x, y) adalah fungsi yang dibentuk dari dua varibelyaitu

x dan y. Contoh :

a. Fungsi satu variabel ∼ y = 3 x – 2

∼ z = sin y + cos y

b. Fungsi dua variabel ∼ z = x3 _{+ 4 x}2 _{y - 8}

∼ c = a2_b2 _{+ a b}4

Apabila sebuah fungsi domainnya tidak dirinci, maka dapat dianggap bahwa domainnya adalah himpunan bilangan real yang terbesar sehingga fungsi tersebut bernilai bilangan real. Domain tersebut disebut daerah asal alamiah.

Contoh :

a. Tentukan domain dan range f(x) = 25_−x2

Penyelesaian :

a. Domain fungsi f(x) = 25_−x2 adalah nilai-nilai x sehingga f(x) bernilai

bilangan real, yaitu himpunan penyelesaian dari 25 - x2_{≥ 0. Jadi} D(f) = {x ∈ R : 25 - x2_{≥ 0}}

= {x ∈ R : x2 _{≤ 25 }}

= {x ∈ R : -5 ≤ x ≤ 5}.

Range fungsi f adalah nilai y yang diperoleh apabila x berada dalam D(f). Jadi

R(f) = {y ∈ R : y = 25_−x2 , -5 ≤ _x ≤ _{5} = {y} ∈ _R : 0 ≤ _y ≤ _5}∎ b. Domain fungsi g(x) = x x 2 ₂₅ 5 −

− adalah nilai-nilai x sehingga g(x) bernilai real.

Fungsi g(x) bernilai real apabila x – 5 ≠ 0, jadi D(g) = {x ∈ R : x ≠ 5}.

Range fungsi g(x) adalah R(g) = {y ∈ R : y = x x 2 ₂₅ 5 − − , x ≠ 5} 5, 5 10 5 ) 5 )( 5 ( 5 25 2 ≠ ⇒ ≠ + = − − + = − − = x x y x x x x x y R(g) = {y ∈ R : y ≠ 10}∎

2.3. Operasi, Komposisi dan Invers Fungsi

Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal A dan B. Maka fungsi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian antara kedua fungsi itu didefinisikan sebagai berikut :

1. (f + g) (x) = f(x) + g(x) ,daerah asal f + g adalah A ∩ B

2. (f – g) (x) = f(x) – g(x) daerah asal f – g adalah A ∩ B

4. ( )(x) _g(x)f(x) g

f ₌

daerah asal _gf adalah { x ∈A ∩ B ; g(x) ≠ 0 }

Contoh :

Jika f(x) = x dan g(x) = 2

4−x , tentukan f + g, f – g, fg, _gf dan daerah asalnya

Penyelesaian :

Daerah asal f(x) adalah [0, +

∞

) dan daerah asal g(x) adalah [-2, 2] sehingga irisan daerah asal f(x) dan g(x) adalah [0, +

∞

)

∩

[-2, 2] = [0, 2].

Jadi menurut definisi diperoleh (f + g)(x) = x + 2

4−x , dan daerah asal : [0, 2]. (f – g)(x) = x - 2

4−x , dan daerah asal : [0, 2].

(f g)(x) = x 2

4−x = 3

4x−x , dan daerah asal : [0, 2].

( )(x) g f = ₂ 4 x x − = _{4 x}2 x

− , dan daerah asal : [0, 2) ∎

Komposisi Fungsi

Diberikan fungsi f dan g, fungsi komposit f



g (disebut juga komposisi dari f dan g), didefinisikan oleh

(f



g)(x) = f(g(x))

Daerah asal f



g adalah himpunan dari semua x di dalam daerah asal g

sedemikian hingga g(x) berada di dalam daerah asal f. Dengan kata lain, (f



g) (x) akan terdefinisi jika g(x) dan f(g(x)) keduanya terdefinisi. Penjelasan f



g

x g(x) f(g(x))

(masukan) (keluaran) Variabel x sebagai masukan, akan diproses mesin g dan akan diperoleh hasil g(x), selanjutnya g(x) akan menjadi masukan bagi mesin f, hasilnya adalah f(g(x))

Contoh :

Jika f(x) = x dan g(x) = 2−x , tentukan komposisi fungsi berikut daerah asalnya.

a. f



g c. f



f

b. g



f d. g



g Penyelesaian :

a. (f



g)(x) = f(g(x)) = f( 2−x) = 2-x = 4 2-x .

Daerah asalnya adalah

{

x∈ℜ 2-x≥0

}

₌

{

x∈ℜ x≤2

}

_{= (-}

∞

_{, 2]} b. (g



f)(x) = g(f(x)) = g( x ) = 2 - x .

Agar x terdefinisi, maka x ≥ 0 dan agar 2- x terdefinisi maka 2 - x

≥ 0, yaitu x ≤ 2 atau x ≤ 4, sehingga daerah asalnya adalah [0, 4].

c. (f



f)(x) = f(f(x)) = f( x ) = x = 4 x, dan daerah asalny adalah [0 ,

∞

). d. (g



g)(x) = g(g(x)) = g(2 - x) = 2 - 2 - x .

Agar 2−x terdefinisi maka 2 – x ≥ 0, yaitu x ≤ 2 dan agar 2 - 2 - x terdefinisi maka 2 - 2−x ≥ 0 , yaitu 2−x ≤ 2 atau x ≥ - 2, sehingga

daerah asalnya adalah [-2, 2] ∎

Melakukan komposisi tiga fungsi atau lebih , misalnya f



g



h, adalah dengan memproses masukan pada h terlebih dahulu, selanjutnya hasilnya diproses pada g,

dan terakhir hasil dari proses g diproses pada f, rumusannya adalah sebagai berikut (f



g



h)(x) = f(g(h(x))) Contoh : Carilah f



g



h jika f(x) = 1 + x x , g(x) = x5 _{dan h(x) = x + 3} Penyelesaian : (f



g



h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x + 3)) = f((x + 3)5_{) =} 1 3 3 5 5 + + + ) (x ) (x ∎ Invers Fungsi.

Suatu fungsi f memadankan suatu nilai x dalam daerah asalnya A dengan nilai tunggal y dalam daerah hasilnya B. Untuk suatu nilai y dalam B diperoleh kembali nilai x yang oleh f itu dipadankan dengan y. Fungsi yang baru ini, yang memadankan nilai y dengan x, dilambangkan dengan f -1 _{dan disebut invers} dari f. Daerah asal f -1 _{adalah B dan daerah hasilnya adalah A. Lambang f}-1 _bukan

berarti 1_f .

Hal ini dapat dituliskan

y = f(x) ⇔ x = f-1_(y)

Contoh :

Tentukan f-1_{(x) dari f(x) = 2 x + 6}

Variabel x dapat dicari dari y = f(x) = 2 x + 6, yaitu x = 2 6 y-= f-1_(y) Sehingga f-1_{(x) =} 2 6 x-∎ 2.4. Macam-macam Fungsi

Beberapa macam fungsi yang disajikan dalam sub bab ini adalah fungsi tangga, fungsi gasal, fungsi genap, fungsi aljabar, fungsi logaritma, dan fungsi eksponensial

Fungsi Tangga

Fungsi tangga adalah fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong Fungsi-fungsi yang sering digunakan adalah dua fungsi yang sangat khusus yaitu fungsi nilai mutlak , dinotasikan | |, dan fungsi bilangan bulat terbesar, dinotasikan [ ].

Fungsi nilai mutlak disajikan sebagai | x | =

   < ≥ 0 jika -0 jika x x x x

Grafiknya mempunyai sudut tajam pada titik asal. Perhatikan grafik berikut :

y

Fungsi bilangan bulat terbesar disajikan sebagai

[ ]

x , yaitu bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Grafiknya melompat pada tiap bilangan bulat.

Contoh :

Biaya pengiriman surat C(w) dengan berat w disajikan sebagai berikut.

C(w) =        ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < 4 3 jika 1,01 3 2 jika 0,78 2 1 jika 0,55 1 0 jika 0,32 w w w w

Jika berat surat w = 1,5 maka C(1,5) = 0,55. Selanjutnya C(2,1) = 0,78, C(2,7) = 0,78 dan seterusnya

Fungsi Genap dan Fungsi Gasal

Fungsi y = f(x) disebut fungsi genap jika f( - x ) = f( x ) Fungsi y = f(x) disebut fungsi gasal jika f( - x ) = - f( x )

Grafik fungsi genap simetris dengan sumbu y, sedangkan grafik fungsi gasal simetri terhadap titik asal.

Contoh :

a. Apakah f(x) = 3 x6 – 2 x4 + 11 x2 – 5 genap, gasal , atau bukan keduanya ? b. Apakah f(x) = x3 – 2 x genap, gasal, atau bukan keduanya ?

Penyelesaian :

a. Karena f(-x) = 3 (-x)6 _{– 2 (-x)}4 _{+ 11 (-x)}2 _{– 5 = 3 x}6 _{– 2 x}4 _{+ 11 x}2 _{– 5 = f(x)}

maka f(x) adalah fungsi genap.

b. Karena f(-x) = (-x)3 _{– 2 (-x) = -x}3 _{+ 2 x = -( x}3 _{– 2 x) = - f(x) maka f(x)}

Fungsi Aljabar

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar). Fungsi aljabar dikatakan rasional jika variabel x tidak terdapat di bawah tanda akar dan dikatakan irrasional jika x terdapat di bawah tanda akar. Fungsi aljabar dikatakan bulat rasional jika x tidak terdapat sebagai penyebut dan dikatakan pecah rasional jika x terdapat sebagai penyebut.

Contoh :

a. f(x) =

3 1

x3 _{– x}2 _{+ 4 x + 1 dan g(x) = x}2 _{+ 5 x + 7 adalah fungsi aljabar bulat}

rasional b. f(x) = 5 3 2 + + x x x _{dan g(x) =} 1 3 1 -+ x x

adalah fungsi aljabar pecah rasional.

c. f(x) = 4 -1 -2 x x

merupakan fungsi aljabar pecah irrasional, dan g(x) = x+2

adalah fungsi aljabar bulat irrasional.

Fungsi Eksponensial

Fungsi f(x) = 2x _{disebut fungsi eksponensial karena variabel x merupakan}

eksponen. Secara umum fungsi eksponensial adalah fungsi yang berbentuk

f(x) = ax

Sifat-sifat fungsi eksponensial dirangkum dalam teorema berikut Teorema :

Jika a > 0 dan a

≠

1, maka f(x) = ax _{merupakan fungsi kontinu dengan}

Khususnya, ax _{> 0 untuk setiap x.}

Jika 0 < a < 1, f(x) = ax _{merupakan fungsi turun}

Jika a >1, f(x) merupakan fungsi naik. Jika a, b > 0 dan x , y

∈

ℜ, maka

1. ax + y = ax + ay 2. a x - y ₌ y x a a 3. (ax) y= xx y 4. (a b) x _{= a}x _bx

Jika a = e bilangan natural maka diperoleh fungsi eksponensial natural,yaitu

y = ex

Fungsi Logaritma

Fungsi eksponensial f(x) = ax _{mempunyai invers yang disebut fungsi}

logaritma dengan bilangan pokok a, dilambangkan dengan alog . Jika digunakan perumusan fungsi invers,

f -1 _{(x) = y} ⇔ _{f(y) = x} maka diperoleh alog x = y ⇔ay = x sehingga log a _(ax_{) = x untuk setiap x}

∈

_ℜ dan

Teorema :

Jika a > 1, fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi kontinu dan naik dengan daerah asal (0,

∞

) dan daerah hasil ℜ.

Jika x, y > 0 dan r bilangan real sebarang, maka

1. alog (x y) = alog x + alog y

2. alog (xr) = r alog x

3. alog (

y x

) = alog x – alog y

Fungsi logaritma dengan bilangan pokok e disebut logaritma natural dan mempunyai lambang khusus

log

e _{x = ln x}

Dari sifat fungsi logaritma diperoleh

ln x = y ⇔ e y _{= x}

ln(e x_{) = x untuk setiap x}

∈

_ℜ

e ln x _{= x untuk setiap x > 0}

Untuk x = 1, diperoleh

ln e = 1

Sifat-sifat logaritma Natural

Jika x dan y bilangan positip dan r bilangan rasional, maka

1. ln (x y) = ln x + ln y

2. ln ( _yx ) = ln x – ln y

2.5. Grafik Fungsi

Jika daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi merupakan bilangan real, maka fungsi itu dapat digambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x).

Dalam hal menggambar grafik, ada dua bentuk grafik yang digunakan, yaitu sketsa kasar dan sketsa halus. Untuk menentukan sketsa mana yang akan digunakan, apakah sketsa halus atau kasar, tentu tergantung dari kebutuhan. Jika yang dibutuhkan hanya pola hubungan antar variabel, cukup digunakan sketsa kasar, tetapi jika akan digunakan untuk memprediksi nilai data pada titik tertentu, tentu saja sketsa halus yang dibutuhkan.

Jika bentuk fungsi belum diketahui dan yang diketahui hanya sekumpulan datanya, maka untuk menentukan bentuk fungsinya, terlebih dahulu diprediksi bentuk fungsi tersebut. Selanjutnya dengan menggunakan data-data yang tersedia, kemudian dicari konstanta-konstanta yang belum diketahui. Untuk menentukan konstanta-konstanta tersebut sering digunakan metode kuadrat terkecil dan hal ini akan dibahas pada saat pembahasan turunan, sedangkan pada pembahasan ini akan digunakan pendekatan kasar.

Contoh :

Sketsa grafik y =  x Sketsa grafik y = x2_{– 3 x + 2}

Penyelesaian :

x y =  x -2 -1 0 1 2 2 1 0 1 2

Sehingga grafiknya adalah

b. Grafik untuk fungsi kuadrat di atas berupa parabola yang terbuka ke atas. Untuk menggambarkan grafik y = x2 _{– 3 x +2, maka dilakukan}

langkah-langkah sebagai berikut :

• Titik potong dengan sumbu x, y = 0 x2 _{– 3 x +2 = 0}

(x – 1) (x – 2) = 0

x = 1 atau x = 2

Titik potong dengan sumbu x adalah (2, 0) dan (1, 0).

• Titik potong dengan sumbu y, x = 0

y = 02 _{– 3.0 + 2 = 2}

• Sumbu simetri y = 2 3 2 =− − a b

• Karena a = 1 > 0, maka grafik terbuka ke atas .

Transformasi fungsi.

Dengan menerapkan transformasi tertentu pada grafik fungsi yang diketahui akan dapat diperoleh grafik baru yang berkaitan. Ada dua transformasi fungsi yang dapat digunakan untuk mendapatkan grafik baru , yaitu

1. Pergeseran (translasi) tegak dan mendatar. Misalkan c > 0. untuk memperoleh grafik

• y = f(x) + c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke atas

• y = f(x) – c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah

• y = f(x + c), geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kiri

• y = f(x – c), geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kanan 2. Peregangan dan pencerminan tegak dan mendatar.

• y = c f(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c • y = (1/c) f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c • y = f(c x), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c • y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c • y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu x

• y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu y

Terapan Fungsi (Model Matematika)

Model matematika adalah uraian secara matematika (seringkali menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata. Beberapa contoh penerapan model matematika adalah pemodelan pertumbuhan populasi, permintaan untuk suatu barang, kecepatan benda jatuh, konsentrasi zat hasil pada reaksi kimia, harapan hidup seseorang pada waktu lahir, atau biaya reduksi emisi. Tujuan model adalah memahami suatu fenomena dan membuat prakiraan tentang perilaku fenomena tersebut pada masa depan.

Tahapan – tahapan permodelan matematika adalah :

1. Bila diberikan suatu persoalan dunia nyata, pahami persoalan tersebut dengan

seksama.

2. Rumuskan model matematika dengan cara mengenali dan menentukan variabel

bebas dan variabel terikat, membuat asumsi yang menyederhanakan permasalahan. Selanjutnya, dengan bekal pengetahuan tentang situasi fisik dan ketrampilan matematika, dapat dibentuk persamaan yang mengaitkan variabel – variabel tersebut.

3. Dengan penerapan pengetahuan matematika pada model matematika dapat

dirumuskan kesimpulan secara matematis. Selanjutnya, kesimpulan matematis tersebut ditafsirkan sebagai informasi tentang fenomena dunia nyata semula dengan cara menyodorkan penjelasan atau membuat perkiraan.

4. Langkah terakhir adalah validasi model, yaitu membandingkan hasil prakiraan

model dengan fenomena mula – mula. Bila hasil prakiraan model mendekati fenomena mula – mula, maka model dapat dikatakan valid. Jika tidak, model tersebut perlu diperbaiki.

Model matematika tidak pernah merupakan pernyataan akurat secara lengkap dari situasi fisik, melainkan merupakan pengidealan (yaitu dengan memberlakukan asumsi – asumsi tertentu). Model yang baik menyederhanakan kenyataan (fenomena) sekedar untuk memungkinkan kalkulasi matematika, tetapi cukup akurat untuk memberikan kesimpulan yang berharga.

Model Linier

Bila hasil ploting grafik antara variabel terikat dan variabel bebas

menunjukkan pola garis lurus, maka cukup masuk akal untuk mengatakan bahwa

y merupakan fungsi linier dari x. Secara matematis, hal ini dapat dinyatakan dengan y = f(x) = m x + b.

Contoh :

a. Ketika udara kering bergerak ke atas, ia memuai dan mendingin. Jika suhu

permukaan tanah adalah 20 o _{C dan suhu pada ketinggian 1 km adalah 10} o_C.

anggapan bahwa suatu model linier sudah memadai. Dan gambarkan grafik fungsi di atas.

Penyelesaian :

Karena dianggap bahwa T merupakan fungsi linier h, maka dapat ditulis

T = m h + b

Pada waktu h = 0 diperoleh T = 20, sehingga 20 = m . 0 + b = b

Pada waktu h = 1, T = 10, sehingga 10 = m . 1 + 20

kemiringan garis adalah m = -10 dan fungsi yang diperoleh

T = -10 h + 20 Grafiknya berupa sketsa kasar

b. Tabel di bawah ini berasal dari percobaan laktonisasi asam hidroksivaleri pada suhu 250 _{C. Tabel menunjukkan konsentrasi C(t) dari asam ini (dalam}

mol perliter) setelah t menit.

T 0 2 4 6 8

Sketsa grafiknya dan perkirakan nilai C(3), C(5), dan C(7) Penyelesaian :

Diasumsikan fungsinya berbentuk garis lurus dan melalui titik ((4, 0.0408) dan (8, 0.0210), maka persamaan fungsinya adalah

4 8 4 0408 0 0210 0 0408 0 − − = − − t , , , C(t) C(t) = - 0,0198 t + 0,2424

Sehingga dengan memasukkan nilai t pada persamaan ini akan diperoleh nilai

C(t) yang diinginkan.

C(3) = 0,183 ; C(5) = 0,1434 ; C(7) = 0,1038 ∎

Latihan 2.

Bagian Soal yang berkaitan

2.1 2.3 2.4 2.4 2.5 1 sampai 10 11 sampai 38 39 sampai 48 49 sampai 63 59 sampai 61

Untuk soal nomor 1 sampai dengan 10, carilah domain dan range dari fungsi f

1. f(x) = 1 2 2 ₋ + x x 6. f(x) = 6 -4 2 2 − −x x x 2. f(x) = 4 _x2 _{−6x 7. f(x) =} 1 1 + x 3. f(x) = 3 _x2 _−6x 8. f(x) = |x| + x 4. f(x) = x−2 9. f(x) = |2 x + 3|

5. f(x) = 6 2 2 − − x x 10. f(x) =    − ≥ < + 1 jika 3 -1 jika 3 2 x x x x

Untuk soal nomor 11 sampai dengan 15, tentukan f + g, f – g , f g , _gf dan

daerah asalnya. 11. f(x) = x3 _{+ 2 x}2_{, g(x) = 3 x}2 _{– 1} 12. f(x) = 1+x , g(x) = 1−x 13. f(x) = 1 x-x , g(x) = _1+x2 14. f(x) = x2 _{+ x , g(x) =} 3 2 + x 15. f(x) = x – x 1 , g(x) = x2 _{+ 1} 16. Jika f(x) = x2 _{+ x , g(x) =} 3 2 + x , carilah (f – g)(2), ( g f )(1), g2₍₃₎ 17. Jika f(x) = x2−1, g(x) = x 2 , carilah f 4_{(x) + g} 4_(x) 18. f(x) = x – x 1 , g(x) = x2 _{+ 1 , carilah f} 3_{(-1), f} 2_{(2) + g} 2₍₂₎

Untuk soal nomor 19 sampai dengan 22, tentukan (a). f



g , (b). g



f, (c). f



f, (d). g



g dan daerah asalnya

19. f(x) = x+1 , g(x) = x2 20. f(x) = x 1 , g(x) = x3 _{+ 2 x} 21. f(x) = 1 1 x - , g(x) = 1 1 x x - + 22. f(x) = x2 −1, g(x) = 1 - x

23. f(x) = x – 1, g(x) = x , h(x) = x – 1

24. f(x) = x 1

, g(x) = x3_{, h(x) = x}2 _{+ 2}

25. Tentukan f dan g sedemikian hingga g



f = x + 7

26. Tentukan f dan g sedemikian hingga f



g =

4 2 2 + x x

Untuk nomor 27 dan 28, tentukan f, g dan h sedemikian hingga 27. f



g



h = 1 - 2

3x

28. f



g



h = 3 _{x −1}

Untuk soal nomor 29 sampai dengan 38, tentukan f -1_{(x) dari}

29. f(x) = - 4 x + 5 30. f(x) = - 2 - x 31. f(x) = 5 – 4 x3 _{35. f(x) =} 3 1 − x 32. f(x) = (x – 4)3 _{36. f(x) =} 3 2 2 x x - + 33. f(x) = x3/2 _{37. f(x) =} 2 1 3 3 + + x x 34. f(x) = 5 1 x + 38. f(x) = 3 1 3 1 2       + x - x

Untuk soal nomor 39 sampai dengan 48, nyatakan apakah fungsi yang diberikan genap, gasal, atau bukan keduanya

39. f(x) = 3 x2 _{+ 2 x -1 44. f(x) =} 1 2 ₋ x x 40. f(x) = 1 3 2₊ x x 45. f(x) = 1 1 2 x-x + 41. f(x) = x-1 46. f(x) = ₄ 2 ₁ x x x + +

42. f(x) = x2+4 47. f(x) = | 2 x2 + 2|

43. f(x) = 2 x5 – 3 x3 + x 48. f(x) = - | x + 3 |

Untuk soal nomor 49 sampai dengan 58, gambarkan grafiknya

49. f(x) =3 x + 6 52.      > − ≤ − = 0 , 4 2 0 , 4 ) ( 2 x x x x x f 50. f(x) = 2 x2 _{– 4 x + 2 53. f(x) = e} x + 1 51. y = log x 54. f(x) = x2 −1 55. x+2 _57.      > − = < − = 2 , 4 2 , 4 2 , 4 ) ( 2 x x x x x x f 56. y = ln (x + 1) 58. f(x) = e x _{+ 1}

59. Perusahaan F harus mengeluarkan biaya 20.000 + 1000 x untuk membuat x

tempat obat yang dijual dengan harga Rp 2 000,00 per buah.

a. Carilah rumus untuk P(x), yaitu keuntungan total dalam membuat x buah tempat

obat.

b. Hitung P(200) dan P(2000).

c. Berapa tempat obat yang harus dibuat agar mencapai titik impas.

60. Kotak tanpa tutup dibuat dari selembar seng berebentu persegi panjang berukuran 12 cm x 20 cm, dengan cara membuang persegi dengan panjang sisi x cm pada setiap pojoknya dan melipat sisi-sisinya ke atas. Nyatakan isi kotak sebagai fungsi dari x.

61. Tabel di bawah memuat rata-rata tingkat karbon dioksida di atmosfir, diukur dalam “ppm-parts per million” di Mauna Loa Observatory sejak th 1972 sampai th. 1990.

Tahun 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 Tk.CO2 327, 3 330, 0 332, 0 335, 3 338, 5 341, 0 343, 3 347, 0 351, 3 354,0

a. Plot grafik tingkat CO2 sebagai fungsi waktu

b. Taksir bentuk fungsinya

c. Dengan menggunakan hasil b carilah tingkat CO2 pada th. 1985 dan th. 2003