Materi Fungsi Linear-ida

Materi Fungsi Linear

Materi Fungsi Linear

Admin8:32:00 PM

Duhh akhirnya nongol lagi ...

kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v ...

MATEMATIKA , ya iu namanya. maeri !. adalah enang "ungsi linear kenapa saya updae enang maemaika ##

karena ada emen yang re$ues , moga aja viewers bisa banyak . AMI% :D langsung saja....

Fungsi

Fungsi adalah hubungan maemais anara suau variabel dengan variabel lainnya. &nsur'unsur pembenuk "ungsi adalahVariabel, koefisien , danVariabel, koefisien , dan konstanta

konstanta. Variabel

Variabel adalah unsur yang si"anya berubah'ubah dari sau keadaan ke keadaan lainnya. (ariabel dapa dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel erika. (ariabel bebas : variabel yang menjelaskan variabel lainnya. adapun variabel erika adalah variabel yang dierangkan olehvariabelvariabel bebas

bebas.

Koefisien

Koefisien adalah bilangan aau angka yang dileakkan epa di depan suau variabel, erkai dengan variabel yang bersangkuan .

Konstanta

Konstantasi"anya eap dan idak erkai dengan suau variabel apapun

1). Pengertian fungsi linier 1). Pengertian fungsi linier

Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering disebut

dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya sbb.: f : x→ mx + c atau f(x) = mx + c atau y = mx + c

m adalah gradien / kemiringan / kecndngan dan c adalah knstanta

2). Melukis grafik fungsi linier 2). Melukis grafik fungsi linier

!angkah"langkah melukis grafik fungsi linier

a #entukan titik ptng dengan sumbu x$ y = % diperleh krdinat &( x'$ %) b #entukan titik ptng dengan sumbu y$ x = % diperleh krdinat ( %$ y')

c hubungkan dua titik & dan  sehingga terbentuk garis lurus

ersamaan linier *uga dapat ditulis ditulis dengan simbl y = ax + b (ini untuk memudahkan kita dalam memahami gambar)

)ika b bernilai posii" : "ungsi linier digambarkan garis dari kiri bawah ke kanan aas )ika b bernilai negai" : "ungsi linier digambarkan garis dari kiri aas ke kanan bawah )ika b bernilai nol : digambarkan garis yg sejajar dengan sumbu daar *

Apabila b bernilai negatif : Y = 10 - 2X maka kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah

Apabila b bernilai positif : Y = 2 + 2X maka kurva bergerak dari kiri bawah ke kanan atas

3). Gradien dan persamaan garis lurus 3). Gradien dan persamaan garis lurus

a). aris lurus yang melalui titik &(x'$ y') dan (x,$ y,) memiliki gradien m: m = y'"y, atau m = y,"y'

x'"x, x,"x'

b. ersamaan garis lurus yang melalui titik &(x'$ y') dan (x,$ y,) adalah: y"y' = x"x'

y,"y' x,"x'

c. ersamaan garis lurus (pgl) yang bergradien m dan melalui titik &(x'$ y') adalah: y = m (x - x' ) + y'

4). Menentukan gradien dari persamaan garis

4). Menentukan gradien dari persamaan garis lurus (pgl)lurus (pgl)

 ersamaan garis lurus : ax + by = c maka gradiennya m = " a/b  ersamaan garis lurus : y = ax + b maka m = a

 aris yang se*a*ar sumbu x memiliki persamaan y = c dan m = %

 aris yang se*a*ar sumbu y memiliki persamaan x = c dan tidak memiliki gradient

5). Titik potong dua buah garis 5). Titik potong dua buah garis

enentukan titik ptng dua buah garis lurus identik dengan menyelesaikan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel baik dengan metde eleminiasi$ metde substitusi maupun metde grafik

). !ubungan dua buah garis ). !ubungan dua buah garis

0ua garis yang bergradien m' dan m, dikatakan se*a*ar *ika m' = m, dan tegak lurus *ika m' x m, = "' erimpit

0ua garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari garis yan lain. 0engan demikian $ garis akan berimpit dengan garis $ *ika

1e*a*ar

0ua garis lurus akan se*a*ar apabila lereng/gradien garis yang satu sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. 0engan demikian $ garis akan se*a*ar dengan garis $ *ika

erptngan

0ua garis lurus akan berptngan apabila lereng/gradien garis yang satu tidak sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. 0engan demikian $ garis akan berptngan dengan

garis $ *ika

#egak lurus

0ua garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng/gradien garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng/gradien dari garis yang lain dengan tanda yang berla2anan. 0engan demikian $

BAB 2 Fungsi Linier

BAB 2 Fungsi Linier

Pengertian Pengertian

Fungsi Linier atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari ariabelnya adalah pangkat satu! "esuai namanya# setiap persamaan linier apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis lurus!

$entuk umum persamaan linier adalah : y % a & b'

dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu ertikal y# sedangkan b adalah k(efisien arah atau gradien garis yang bersangkutan!

2.2.Pembentukan Persamaan Linier 2.2.Pembentukan Persamaan Linier

"ebuah persamaan linier dapat dibentuk melalui beberapa ma)am )ara# tergantung pada data yang tersedia! $erikut ini di)(nt(hkan empat ma)am )ara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linier# masing*masing berdasarkan ketersediaan data yang diketahui! +eempat )ara yang dimaksud adalah :

Cara dwi-koordinat Cara dwi-koordinat

,ari dua buah titik dapat dibentuk sebuah persamaan linier yang memenuhi kedua titik tersebut! Apabila diketahui dua buah titik A dan $ dengan k((rdinat masing*masing -'.#y./ dan

-'2#y2/#maka rumus persamaan liniernya adalah :

(nt(h "(al:

y *.2 % 2' 4 # y % 2'& 8 # y % 2 & 0# '

Cara koordinat-lereng Cara koordinat-lereng

Apabila diketahui sebuah titik A dengan k((rdinat -'.#y./ dan lereng garisnya b# maka persamaan

liniernya adalah :

(nt(h "(al :

Andaikan diketahui bah5a titik A-2#3/ dan lereng garisnya adalah 0# maka persamaan linier yang memenuhi kedua persamaan kedua data ini adalah

Cara penggal-lereng Cara penggal-lereng

"ebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu -a/ dan lereng garis -b/ yang memenuhi persamaan tersebut# maka persamaan liniernya adalah :

y%a'&b 6 a % penggal# b % lereng (nt(h "(al :

Andaikan penggal dan lereng garis y %f -'/ masing*masing adalah 2 dan 0## maka persamaan liniernya adalah : y%2&'

Cara dwi-penggal Cara dwi-penggal

"ebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggal garis pada masing* masing sumbu# yaitu penggal pada sumbu ertikal -ketika ' % 0/ dan penggal pada sumbu h(ris(ntal - ketika y % 0/# maka persamaan liniernya adalah :

6 a % penggal ertikal# b % penggal h(ris(ntal (nt(h "(al :

Andaikan penggal sebuah garis pada sumbu ertikal dan sumbu h(ris(ntal masing*masing 2 dan * # maka persamaan liniernya adalah :

pengertian fungsi linear,,denisi..dan persamaan linear pengertian fungsi linear,,denisi..dan persamaan linear

ungsi !iniar

1"# $engertian fungsi linier

ungsi linier adalah suatu fungsi %ang variabeln%a berpangkat satu atau suatu fungsi

%ang gra&kn%a merupakan garis lurus# 'leh karena itu fungsi linier sering disebut dengan persamaan garis lurus (pgl" dengan bentuk umumn%a sbb#:

f : ) * m) +  atau f()" = m) +  atau % = m) + 

m adalah gradien , kemiringan , keondongan dan  adalah konstanta 2"# elukis gra&k fungsi linier

!angkah-langkah melukis gra&k fungsi linier

a .entukan titik potong dengan sumbu )/ % = 0 diperoleh koordinat A( )1/ 0" b .entukan titik potong dengan sumbu %/ ) = 0 diperoleh koordinat ( 0/ %1"  hubungkan dua titik A dan  sehingga terbentuk garis lurus

"# radien dan persamaan garis lurus

a"# aris lurus %ang melalui titik A()1/ %1" dan ()2/ %2" memiliki gradien m: m = %1-%2 atau m = %2-%1

)1-)2 )2-)1

b# $ersamaan garis lurus %ang melalui titik A()1/ %1" dan ()2/ %2" adalah: %-%1 = )-)1

%2-%1 )2-)1

# $ersamaan garis lurus (pgl" %ang bergradien m dan melalui titik A()1/ %1" adalah: % = m () 3 )1 " + %1

4"# enentukan gradien dari persamaan garis lurus (pgl"

5 $ersamaan garis lurus : a) + b% =  maka gradienn%a m = - a,b 5 $ersamaan garis lurus : % = a) + b maka m = a

5 aris %ang se6a6ar sumbu ) memiliki persamaan % =  dan m = 0 5 aris %ang se6a6ar sumbu % memiliki persamaan ) =  dan tidak memiliki gradient

7"# .itik potong dua buah garis

enentukan titik potong dua buah garis lurus identik dengan men%elesaikan pen%elesaian sistem persamaan linier dua variabel baik dengan metode eleminiasi/ metode substitusi maupun metode gra&k

8"# 9ubungan dua buah garis

ua garis %ang bergradien m1 dan m2 dikatakan se6a6ar 6ika m1 = m2 dan tegak lurus 6ika m1 ) m2 = -1

Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadrat

87#121 kali diba)a

Fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar ariabelnya adalah 2! Mirip dengan persamaan kuadrat# namun berbentuk suatu fungsi!

$entuk umumnya adalah: # dengan suatu bilangan real dan !

(nt(h: !

,engan demikian# # # dll!

-Materi terkait:Persamaan +uadrat# "istem Persamaan Linear /

GrafikKur!a Fungsi Kuadrat

GrafikKur!a Fungsi Kuadrat

ika digambarkan pada k((rdinat artesius# grafik fungsi kuadrat berbentuk parab(la! Parab(la nya terbuka ke atas jika dan terbuka ke ba5ah jika !

$erikut ini langkah*langkah dalam menggambarkan grafik9kura nya:

Pertama# tentukan titik p(t(ng terhadap sumbu # yaitu nilai

saat ! ,engan demikian# nilai titik p(t(ng ini merupakan akar*akar dari persamaan kuadrat !

+emudian# tentukan titik p(t(ng terhadap sumbu # yaitu nilai saat !

"etelah itu# tentukan sumbu simetri nya! "umbu simetri merupakan garis yang membagi dua parab(la menjadi sama besar! itik p(t(ng sumbu simetri terhadap sumbu dapat dihitung

dengan menggunakan rumus:

atau !

erakhir# tentukan titik pun)ak -titik balik maksimum atau minimum/ grafiknya! itik pun)ak merupakan titik di mana nilai men)apai nilai maksimum atau minimum# sehingga parab(la nya akan berbalik arah!

+((rdinat titik pun)ak parab(la adalah:

,i mana , adalah diskriminan# yaitu !

"etelah mendapatkan titik*titik di atas# maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan titik*titik diatas dengan garis yang berbentuk parab(la!

Agar parab(lanya terlihat lebih halus -sm((th/# kita dapat menghitung9menentukan titik*titik lain yang dile5ati (leh kura9fungsi !

$erikut ini merupakan )(nt(h grafik fungsi kuadrat :

(nt(h "(al:

ika mempunyai nilai minimum # tentukanlah nilai !

a5ab:

;ilai minimum tersebut merupakan titik pun)ak !

,engan demikian# dengan menggunakan rumus titik pun)ak kita dapat:

itik pun)ak % !

!

,engan demikian# !

"ubungan #iskriminan Grafik Fungsi Kuadrat "ubungan #iskriminan Grafik Fungsi Kuadrat

ika pada persamaan kuadrat nilai diskriminan dapat kita gunakan untuk mengetahui apakah akar*akarnya riil# kembar# atau tidak mempunyai akar*akar riil# pada fungsi kuadrat kita dapat menggunakan nilai diskriminan untuk mengetahui apakah grafiknya mem(t(ng sumbu di dua titik yang berlainan# menyinggung sumbu # atau tidak menyinggung ataupun mem(t(ng sumbu

!

ika merupakan diskriminan suatu fungsi kuadrat # maka: ika # maka grafik mem(t(ng sumbu pada dua titik yang berbeda ika # maka grafik menyinggung sumbu ' pada satu titik! ika # maka grafik tidak mem(t(ng sumbu !

Men$usun Fungsi Kuadrat Baru Men$usun Fungsi Kuadrat Baru

+ita dapat menyusun fungsi kuadrat baru jika salah satu dari ketiga inf(rmasi ini diketahui# yaitu:

.! ika diketahui mele5ati tiga titik# yaitu # dan #

maka bentuk fungsinya dapat diketahui dengan mensubstitusikan nilai k((rdinat ketiga titik tersebut ke persamaan ! ,engan demikian# akan didapat tiga persamaan linear dalam # dan ! "elanjutnya# tentukan nilai # dan dengan menggunakan met(de eliminasi9substitusi!

2! ika diketahui mem(t(ng sumbu di titik dan # serta

melalui satu titik lain - # maka bentuk fungsinya adalah:

! itik ketiga# yaitu digunakan untuk mendapatkan nilai pada bentuk fungsi di atas!

3! ika diketahui melalui titik pun)ak dan satu titik lain - #

maka bentuk fungsinya adalah !

(nt(h:

entukanlah bentuk fungsi kuadrat yang mem(t(ng sumbu pada titik dan # serta melalui titik A !

a5ab:

+arena diketahui titik p(t(ng terhadap sumbu dan mele5ati satu titik lain# maka kita dapat

menggunakan bentuk -2/ di atas# yaitu !

,engan demikian:

!

+arena mele5ati titik # maka: ! !

adi# bentuk fungsi kuadrat nya adalah !

Fungsi %asional &%ational Fun'tions(

Fungsi %asional &%ational Fun'tions(

. ;(ember 20.0msihabudininggalkan k(mentar <( t( )(mments

$entuk umum

$entuk umum fungsi rasi(nal adalah dengan dan adalah fungsi p(lyn(mial dan

Fungsi rasi(nal dibagi menjadi dua yaitu:

.!Fungsi rasi(nal sejati yaitu jika derajat lebih rendah dari derajat

(nt(h: Fungsi rasi(nal yang dirumuskan dengan adalah fungsi rasi(nal sejati! ,alam hal ini derajat pembilang adalah satu dan derajat penyebut adalah 2! 2!Fungsi rasi(nal tidak sejati yaitu jika derajat lebih tinggi atau sama dengan derajat

(nt(h: Fungsi rasi(nal yang dirumuskan dengan adalah fungsi rasi(nal tidak sejati! ,alam hal ini derajat dari pembilang adalah  derajat penyebut adalah 2! <rafik fungsi rasi(nal tidak memiliki bentuk yang khas seperti fungsi linier atau fungsi kuadrat karena sangat tergantung pada fungsi pembilang dan fungsi penyebutnya! <rafik demikian agak sulit dan membutuhkan 5aktu untuk menggambarnya!

(nt(h: <ambarkan grafik fungsi

Penyelesaian : fungsi tak terdefinisi pada =ntuk ' mendekati dua dari kanan nilai penyebutnya mendekati n(l dan berharga p(sitip# sehingga berharga p(sitip dan sangat besar! ika ' semakin lebih besar dari dua maka menjadi semakin ke)il! "elanjutnya jika '

mendekati dua dari kiri maka penyebut mendekati n(l dan bertanda negatip# sehingga berharga ke)il sekali dan negatip!

ika ' semakin lebih ke)il dari dua maka akan semakin besar dan tetap bertanda negatip! ,ari analisa tersebut maka grafik dari fungsi adalah seperti di ba5ah ini!

2!<ambarkan grafik fungsi rasi(anal

Penyelesaian: ,ari rumusan fungsi dapat dipahami bah5a nilai : a!nilai terdefinisi pada

b!sama dengan n(l jika

)!jika t berharga p(sitip sangat besar maka mendekati n(l dan berharga p(sitip6 d!jika t berharga negatip sangat ke)il maka mendekati n(l dan berharga negatip!

,engan demikian grafik fungsi dapat digambarkan sketsanya dibuat latihan!

3!<ambarkan grafik fungsi rasi(anal

Penyelesaian: ,ari rumusan fungsi dapat dipahami bah5a nilai : a!terdefinisi untuk

b!sama dengan n(l jika )!sama dengan . jika

d!jika ' berharga p(sitip sangat besar maka mendekati . dan selalu lebih besar dari .6 e!jika ' berharga negatip sangat ke)il maka mendekati . dan selalu lebih ke)i dari .!

,engan demikian grafik fungsi

Pengertian Fungs

Pengertian Fungsi Rasional

i Rasional dan Asimtot

dan Asimtot

$engertian fungsi rasional adalah fungsi dengan bentuk umum :

imana p()" dan d()" adalah polinomial dengan s%arat d()" ; 0# aerah

asal,domain dari <()" adalah ) untuk semua bilangan real diluar pembuat nol d()" (akar akar dari fungsi d"#

ontoh fungsi rasional %ang paling sederhana adalah f()" = 1,) dan f()" = 1,)>/ dimana kedua fungsi tersebut mempun%ai pembilang sebuah kontstanta dan pen%ebut berupa polinomial# ?arena pembentuk nol, akar persamaan pen%ebut ( d()"" adalah nol/ maka domain dari fungsi tersebut adalah ) anggota bilangan real dimana ) ; 0#

@ntuk ontoh %ang lebih rumit bisa sa6a diambil misalkan fungsi f()" = ()-7", (2)+1"# @ntuk ini domainn%a adalah ) ; 1,2# ?arena 1,2 adalah pembuat nol dari d ()"#

oba perhatikan kembali fungsi f()" = 1,) / fungsi tersebut dinamakan fungsi kebalikan# ebab/ 6ika diambil nilai ) sembarang - selain pembuat nol# aka akan diperoleh kebalikan dari nilai itu# Bni artin%a semakin besar nilai ) maka nilai fungsi akan semakin keil# 9al %ang berkebalikan itulah %ang men6adi sebutan /fungsi terbalik # Cika digambarkan maka diperoleh gambar seperti berikut#

Cika diperhatikan gambar diatas/ pada titik )=0 hasiln%a 6ika di subtitusikan pada fungsi 1,) hasiln%a tak hingga/ artin%a tidak ada titik (0/###" %ang dilalui oleh gra&k# alah satu keunikan %ang di dapat adalah untuk bagian kurva di kuadran ) menu6u tak berhingga maka nilai f()" mendekati nol# ?urva tersebut mengindikasikan bahwa gra&k adalah fungsi gan6il#

ekarang bagaimana dengan f()"= 1,)> # Cika digambarkan akan diperoleh seperti di bawah ini#

ambar %ang diperoleh hampir sama dengan kurva 1,)# ari bentuk seperti itulah bisa didefenisikan sifat asimtot/ dimana %=0 adalah asimtot horiDontal dari fungsi f()" = 1,) dan f()" = 1,)># isa disimpulkan#

Asimtot 9oriDontal adalah 6ika diberikan suatu konstanta k/ garis % = k dari fungsi <()" 6ika )/ men%ebabkan <()" mendekati k: ) * 3E/ <()" * k atau ) * E/ <()" * k# ementara asimtot vertikal bisa didefenisikan dalam kalimat matematis/

Asimtot <ertikal adalah 6ika diberikan suatu konstanta h/ garis ) = h / untuk fungsi < 6ika ) mendekati h/ <()" akan ber tambah atau ber kurang tanpa batas: ketika ) *

h+/ <()" * FE atau ketika ) * h3/ <()" * FE#

Cadi asimtot untuk f()" = 1,) adalah % = 0 dan ) = 0 untuk asimtot vertikal# !ebih sederhanan%a bisa dihitung dengan menggunakan rumus asimtot di bawah ini#

$ada gambar (a" di bawah ini menun6ukkan garis asimtot horiDontal pada % = 1/ %ang menggambarkan gra&k f()" sebagai translasi gra&k % = 1,) ke atas se6auh 1 satuan# ambar (b" menun6ukkan garis asimtot horiDontal pada % = 32/ %ang menggambarkan gra&k g()" sebagai pergeseran gra&k % = 1,)> ke bawah se6auh 2 satuan#

ederhanan%a bila berikan sebuah persaman maka bentuklah persamaan fungsi tersebut dalam bentuk umum rumus asimtot# ?emudian tentukan nilai k dan h

masing masing sesuai rumus# aka nilai k dan h tersebut adalah asimtot-n%a# @ntuk lebih lengkap bisa dilan6utkan membaa :