Kebebasan Stokastik

(1)

BAB IV BAB IV

KEBEBASAN STOKASTIK KEBEBASAN STOKASTIK

A.

A. Proses Proses Stokastik Stokastik BerhinggaBerhingga Pengertian

Pengertian

Suatu eksperimen berupa deret berhingga di mana tiap eksperimen mempunyai sejumlah Suatu eksperimen berupa deret berhingga di mana tiap eksperimen mempunyai sejumlah berhingga hasil yang mungkin d

berhingga hasil yang mungkin dengan peluang tertentu.engan peluang tertentu. Contoh 1:

Contoh 1:

Terdapat 4 buah kotak yang berisi bola merah dan bola biru pada tiap-tiap kotak. Kotak I Terdapat 4 buah kotak yang berisi bola merah dan bola biru pada tiap-tiap kotak. Kotak I berisi

berisi 10 10 bola, bola, 3 3 di di antaranya antaranya berarna berarna merah. merah. Kotak Kotak II II berisi berisi ! ! bola, bola, " " di di antaranyaantaranya berarna merah.

berarna merah. Kotak III Kotak III berisi # berisi # bola, 1 bola, 1 di antaranya di antaranya berarna merah. berarna merah. Kotak I$ berisKotak I$ berisii 10 bola, 4 di antaranya berarna merah. Kita akan mengambil satu kotak se%ara random, 10 bola, 4 di antaranya berarna merah. Kita akan mengambil satu kotak se%ara random, dan kemudian dari kotak tersebut diambil satu buah bola biru se%ara random. &erapakah dan kemudian dari kotak tersebut diambil satu buah bola biru se%ara random. &erapakah peluang bola berarna biru terambil'

peluang bola berarna biru terambil' Penyelesaian:

Penyelesaian:

(alam soal ini kita akan melakukan dua eksperimen sebagai berikut) (alam soal ini kita akan melakukan dua eksperimen sebagai berikut) 1.

1. *em*emililih ih 1 1 dadari ri 4 4 kokotatak k ".

". *engam*engambil 1 bbil 1 buah bouah bola yanla yang mung mungkin bgkin berarnerarna merah a merah atau biatau biruru +eluang mengambil 1 kotak dari 4 kotak se%ara random adalah . +eluang mengambil 1 kotak dari 4 kotak se%ara random adalah .

adi, peluang terambil kotak I  peluang terambil kotak II  peluang terambil kotak III  adi, peluang terambil kotak I  peluang terambil kotak II  peluang terambil kotak III  peluang terambil kotak I$

peluang terambil kotak I$..

(ari kotak I yang berisi 10 bola, 3 di antaranya berarna merah. +eluang terambil bola (ari kotak I yang berisi 10 bola, 3 di antaranya berarna merah. +eluang terambil bola merah adalah 3/10 dan peluang terambil bola biru adalah /10.

merah adalah 3/10 dan peluang terambil bola biru adalah /10.

(ari kotak II yang berisi 3 bola, " di antaranya berarna merah. +eluang terambil bola (ari kotak II yang berisi 3 bola, " di antaranya berarna merah. +eluang terambil bola merah adalah "/! dan peluang terambil bola biru adalah /!.

merah adalah "/! dan peluang terambil bola biru adalah /!.

(ari kotak III yang berisi # bola, 1 di antaranya berarna merah. +eluang terambil bola (ari kotak III yang berisi # bola, 1 di antaranya berarna merah. +eluang terambil bola merah adalah 1/# dan peluang terambil bola biru adalah 4/#.

merah adalah 1/# dan peluang terambil bola biru adalah 4/#.

(ari kotak I$ yang berisi 10 bola, 4 di antaranya berarna merah. +eluang terambil bola (ari kotak I$ yang berisi 10 bola, 4 di antaranya berarna merah. +eluang terambil bola merah adalah 4/10 dan peluang terambil bola biru adalah /10.

merah adalah 4/10 dan peluang terambil bola biru adalah /10. Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut)

Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut)

Diagram el!ang Diagram el!ang &ola biru &ola biru Kotak I Kotak I

(2)

+roses dan 2asil dari +erhitungan +eluang &ersyarat) +roses dan 2asil dari +erhitungan +eluang &ersyarat) +eluang terambil bola biru dari kotak I adalah

+eluang terambil bola biru dari kotak I adalah 1 1 4 4 x x 7 7 10 10

=

7 7 40 40

+eluang terambil bola biru dari kotak II adalah +eluang terambil bola biru dari kotak II adalah

1 1 4 4 x x 6 6 8 8

=

6 6 32 32

=

3 3 16 16

+eluang terambil bola biru dari kotak III adalah +eluang terambil bola biru dari kotak III adalah

1 1 4 4 x x 4 4 5 5

=

4 4 20 20

=

1 1 5 5

+eluang terambil bola biru dari kotak I$ adalah +eluang terambil bola biru dari kotak I$ adalah

1 1 4 4 x x 6 6 10 10

=

6 6 40 40

=

3 3 20 20

adi, peluang terambil bola biru adalah peluang terambil bola biru dari kotak I  +eluang adi, peluang terambil bola biru adalah peluang terambil bola biru dari kotak I  +eluang terambil bola biru dari kotak II  +eluang terambil bola biru dari kotak III  +eluang terambil bola biru dari kotak II  +eluang terambil bola biru dari kotak III  +eluang

terambil bola biru dari kotak I$ adalah terambil bola biru dari kotak I$ adalah

7 7 40 40

+

3 3 16 16

+

1 1 5 5

+

3 3 20 20

=

51 51 80 80 B.

B. Ke"e"asan Ke"e"asan Stokastik Stokastik DiskritDiskrit De#inisi:

De#inisi:

*isalnya dua peubah a%ak diskrit  dan 5 mempunyai nilai 6ungsi peluang gabungan di *isalnya dua peubah a%ak diskrit  dan 5 mempunyai nilai 6ungsi peluang gabungan di

((

x x , y, y

))

_,_{, y}_yaaiittu_u p p

((

x x ,, yy

))

_sert_serta_{a mas}_masing_ing-ma_-masin_sing_{g mem}_mempun_punya_yai_{i nil}_nilai_{ai 6un}_6ungsi_{gsi pel}_peluan_uang_g &ola &ola 3 3 1 1 &ola biru &ola biru Kotak II Kotak II &ola &ola &ola biru &ola biru Kotak III Kotak III &ola &ola 1 1 5 5 &ola biru &ola biru 1 1 Kotak I$ Kotak I$ &ola &ola 1 1

(3)

marginal dari  di 7, yaitu p1

(

x

)

_{dan nilai 6ungsi peluang marginal dari 5 di y, yaitu}

p2

(

y

)

.

Kedua peubah a%ak  dan 5 dikatakan bebas stokastik, jika dan hanya jika) p

(

x , y

)

=

p1

(

x

)

. p2

(

y

)

8ntuk semua pasangan nilai

(

x , y

)

.

(alam praktiknya, soal yang menyangkut kebebasan stokastik dua peubah a%ak diskrit ini ada dua kemungkinan, yaitu sebagai berikut.

1. 9ungsi peluang gabungan dari kedua peubah a%ak diketahui bentuknya. Kita harus menentukan terlebih dahulu 6ungsi peluang marginal dari masing-masing peubah a%aknya. Kemudian kita substitusikan semua pasangan nilai dari kedua peubah a%ak itu ke dalam persyaratan kebebasan stokastik, dan kita perhatikan hasilnya dengan kriteria sebagai berikut.

a. :pabila ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah a%ak itu dikatakan bebas stokastik.

b. :pabila ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah a%ak itu dikatakan tidak bebas stokastik atau bergantungan.

". 9ungsi peluang gabungan dari kedua peubah a%ak tidak diketahui bentuknya. (alam hal ini 6ungsi peluang marginal dari masing-masing peubah a%ak diketahui bentuknya. Kemudian kita substitusikan semua pasangan nilai dari kedua peubah a%ak itu ke dalam persyaratan kebebasan stokastik dan kriterianya sama dengan sebelumnya.

Contoh $:

*isalnya 6ungsi peluang gabungan dari  dan 5 berbentuk) p

(

x , y

)

=

(

1

72

)

(

x

+

2 y

)

; x

=

0,1,2,3 dan y

=

0,1,2,3 :pakah  dan 5 bebas stokastik'

Penyelesaian:

Kita harus menentukan dahulu 6ungsi peluang marginal masing-masing dari X dan Y . 9ungsi peluang marginal dari  adalah)

p₁

(

x

)

=

∑

y=0 3

(

1

(4)

¿

(

1 72

)

{

x

+

(

x

+

2

)

+

(

x

+

4

)

+(

x

+

6

)

}

¿

(

1 72

)

(

4 x

+

12

)

¿

(

1 72

)

.4

(

x

+

3

)

p1

(

x

)

=

(

1 18

)

(

x

+

3

)

adi, p1

(

x

)

=

(

1 18

)

(

x

+

3

)

; x

=

0,1,2,3 9ungsi peluang marginal 5 adalah)

p₂

(

y

)

=

∑

x=0 3

(

1 72

)

(

x

+

2 y

)

¿

(

1

72

)

{

2 y

+

(

1

+

2 y

)

+

(

2

+

2 y

)

+(

3

+

2 y

)

}

¿

(

1 72

)

(

8 y

+

6

)

¿

(

1 72

)

.2

(

4 y

+

3

)

p2

(

x

)

=

(

1 36

)

(

4 y

+

3

)

adi, p2

(

y

)

=

(

1 36

)

(

4 y

+

3

)

; y

=

0,1,2,3

*isalnya pasangan nilai dari  dan 5 diambil

(

x , y

)

=

(

0,0

)

. *aka) p

(

x

=

0, y

=

0

)

=

(

1

72

)

(

x

+

2 y

)

¿

(

1

(5)

¿

(

1 72

)

(

0

)

¿

0 x

=

0

¿

y

=

0 p1

¿

(

1 18

)

(

0

+

3

)

.

(

1 36

)

(

4

(

0

)

+

3

)

¿

(

1 18

)

(

3

)

.

(

1 36

)

(

3

)

¿

1 6 . 1 12

¿

1 72 karena x

=

0

¿

y

=

0 p

(

x

=

0, y

=

0

)

≠ p1

¿

maka  dan 5 dikatakan dua peubah a%ak yang tidak bebas

stokastik atau bergantungan.

Contoh %:

9ungsi peluang gabungan dari  dan 5 berbentuk) p

(

x , y

)

=

1

36 xy ; x

=

1,2,3 dan y

=

1,2,3 :pakah  dan 5 bebas stokastik'

Penyelesaian:

p₁

(

x

)

=

∑

y=1 3

(

1 36 xy

)

p₁

(

x

)

=

1 36 x

(

1

+

2

+

3

)

p1

(

x

)

=

1 36 x

(

6

)

(6)

p₁

(

x

)

=

1 6 x adi, p1

(

x

)

=

1

6 x ; x

=

1,2,3

9ungsi peluang marginal dari 5 adalah) p₂

(

y

)

=

∑

x=1 3

(

1 36 xy

)

p₂

(

y

)

=

1 36

(

1

+

2

+

3

)

y p2

(

y

)

=

1 36

(

6

)

y p₂

(

y

)

=

1 6 y adi, p2

(

y

)

=

1 6 y ; y

=

1,2,3 *aka p1

(

x

)

. p2

(

y

)

=

1 6 x . 1 6 y

=

1 36 xy Ternyata p

(

x , y

)

=

p1

(

x

)

. p2

(

y

)

, karena

1

36 xy

=

1 36 xy

*aka  dan 5 dikatakan dua peubah a%ak yang bebas stokastik.

C. Ke"e"asan Stokastik Kontin! De#inisi:

*isalnya dua peubah a%ak kontinu X dan Y mempunyai nilai 6ungsi densitas, gabungan di

(

x , y

)

_{, yaitu}

(

x , y

)

_{, yaitu} f

(

x , y

)

_{serta masing-masing mempunyai nilai 6ungsi}

densitas marginal dari X di x, yaitu f 1

(

x

)

_{dan nilai 6ungsi densitas marginal dari Y di y,}

yaitu f 2

(

y

)

_{. Kedua peubah a%ak X dan Y dikatakan bebas stokastik, jika dan hanya}

jika)

f

(

x , y

)

=

f ₁

(

x

)

f ₂

(

y

)

(alam praktiknya, soal yang menyangkut kebebasan stokastik dua peubah a%ak kontinu ini ada dua kemungkinan, yaitu sebagai berikut.

1. 9ungsi densitas gabungan dari kedua peubah a%ak diketahui bentuknya. Kita harus menentukan terlebih dahulu 6ungsi densitas marginal dari masing-masing peubah

(7)

a%ak. Kemudian kita menggunakan persyaratan kebebasan stokastik, dan kita memperhatikan hasilnya dengan kriteria sebagai berikut.

a. :pabila ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah a%ak itu dikatakan bebas stokastik.

b. :pabila ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah a%ak itu dikatakan tidak bebas stokastik atau bergantungan.

". 9ungsi densitas gabungan dari kedua peubah a%ak tidak diketahui bentuknya. (alam hal ini 6ungsi densitas marginal dari masing-masing peubah a%ak diketahui bentuknya. Kemudian kita menggunakan persyaratan kebebasan stokastik dan kriterianya sama dengan sebelumnya.

Contoh &:

*isalnya 6ungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk) f

(

x , y

)

=

4 xy ;0

<

x

<

1,0

<

y

<

1

¿

0_{; x , y lainnya.}

:pakah X dan Y bebas stokastik' Penyelesaian:

Kita harus menentukan dahulu 6ungsi densitas marginal masing-masing dari X dan Y . 9ungsi densitas marginal dari X adalah)

g

(

x

)

=

∫

−∞ ∞ f

(

x , y

)

dy

¿

∫

−∞ 0 f

(

x , y

)

dy

+

∫

0 1 f

(

x , y

)

dy

+

∫

1 ∞ f

(

x , y

)

dy

¿

∫

−∞ 0 0dy

+

∫

0 1

(

4 xy

)

dy

+

∫

1 ∞ 0dy

¿

0

+

{

2 y2 x

}

]

_y₌0 1

+

0 g

(

x

)

=

2 x adi, g

(

x

)

=

2 x ;0

<

x

<

1

¿

0_{; x lainnya.}

9ungsi densitas marginal dari Y adalah) h

(

y

)

=

∫

−∞ ∞ f

(

x , y

)

dx

¿

∫

−∞ 0 f

(

x , y

)

dx

+

∫

0 1 f

(

x , y

)

dx

+

∫

1 ∞ f

(

x , y

)

dx

¿

∫

−∞ 0 0dx

+

∫

0 1

(

4 xy

)

dx

+

∫

1 ∞ 0dx

(8)

¿

0

+

{

2 x2 y

}

]

_x=0 1

+

0 h

(

y

)

=

2 y

adi, h

(

y

)

=

2 y ;0

<

y

<

1

¿

0_{; y lainnya.} *aka g

(

x

)

. h

(

y

)

=

2 x.2 y

=

4 xy

Ternyata f

(

x , y

)

=

g

(

x

)

. h

(

y

)

, karena 4 xy

=

4 xy

Sehingga X dan Y merupakan peubah a%ak yang bebas stokastik. Contoh ':

*isalnya 6ungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk) f

(

x , y

)

=

x

+

y ;0

<

x

<

1,0

<

y

<

1

¿

:pakah X dan Y bebas stokastik' Penyelesaian:

g

(

x

)

=

∫

−∞ ∞ f

(

x , y

)

dy

¿

∫

−∞ 0 f

(

x , y

)

dy

+

∫

0 1 f

(

x , y

)

dy

+

∫

1 ∞ f

(

x , y

)

dy

¿

∫

−∞ 0 0dy

+

∫

0 1

(

x

+

y

)

dy

+

∫

1 ∞ 0dy

¿

0

+

{

xy

+

(

1 2

)

y 2

}

]

y=0 1

+

0 g

(

x

)

=

x

+

1 2 adi, g

(

x

)

=

x

+

1 2;0

<

x

<

1

¿

0_{; x lainnya.}

(

y

)

=

∫

−∞ ∞ f

(

x , y

)

dx

¿

∫

−∞ 0 f

(

x , y

)

dx

+

∫

0 1 f

(

x , y

)

dx

+

∫

1 ∞ f

(

x , y

)

dx

(9)

¿

∫

−∞ 0 0dx

+

∫

0 1

(

x

+

y

)

dx

+

∫

1 ∞ 0dx

¿

0

+

{

(

1 2

)

x 2

+

xy

}

]

x=0 1

+

0 h

(

y

)

=

1 2

+

y adi, h

(

y

)

=

1 2

+

y ;0

<

y

<

1

¿

(

x

)

. h

(

y

)

=

(

x

+

1 2

)(

1 2

+

y

)

¿

x 2

+

xy

+

y 2

+

1 4

Ternyata f

(

x , y

)

≠ g

(

x

)

. h

(

y

)

, karena x

+

y ≠ x 2

+

xy

+

y 2

+

1 4

Sehingga X dan Y merupakan peubah a%ak yang tidak bebas stokastik atau bergantungan. Teorema $.1.1

*isalkan 6.k.p bersama dari X dan Y adalah f

(

x , y

)

. *aka X dan Y bebas stokastik jika

dan hanya jika terdapat 6ungsi-6ungsi non negati6 g

(

x

)

dan h

(

y

)

sehingga f

(

x , y

)

=

g

(

x

)

h

(

y

)

_{dan dominan dari} g _{tidak tergantung dari} _{y serta domain} h tidak tergantung dari x .

B!kti:

a. *isalkan 7 dan y bebas stokastik. *aka f

(

x , y

)

=

f

(

x

)

f

(

y

)

. (alam hal ini %ukup diambil g

(

x

)

=

f

(

x

)

dan h

(

y

)

=

f

(

y

)

. b. *isalkan f

(

x , y

)

=

g

(

x

)

h

(

y

)

; g

(

x

)

≥0 dan h

(

y

)

≥0 .

:kan dibuktikan X dan Y bebas stokastik, untuk itu di%ari f

(

x

)

dan f

(

y

)

. f

(

x

)

=

∫

−∞ ∞ f

(

x , y

)

dy

=

∫

−∞ ∞ g

(

x

)

h

(

y

)

dy

=

g

(

x

)

∫

−∞ ∞ h

(

y

)

dy

¿

Kg

(

x

)

_{dengan K}

=

∫

−∞ ∞

(10)

f

(

x

)

=

∫

−∞ ∞ f

(

x , y

)

dx

=

∫

−∞ ∞ g

(

x

)

h

(

y

)

dx

=

h

(

y

)

∫

−∞ ∞ g

(

x

)

dx

¿

Lh

(

y

)

_{dengan L}

=

∫

−∞ ∞ g

(

x

)

_{dx suatu konstanta} :kan tetapi g

(

x

)

=¿

∫

−∞ ∞

∫

−∞ ∞ g

(

x

)

h

(

y

)

dy dx KL

=

∫

−∞ ∞ h

(

y

)

dy

∫

−∞ ∞

¿

∫

−∞ ∞

∫

−∞ ∞ f

(

x , y

)

dy dx

=

1 :kibatnya, f

(

x , y

)

=

g

(

x

)

h

(

y

)

=

f

(

x

)

K f

(

y

)

L

=

f

(

x

)

f

(

y

)

(ari persamaan ;a< dan ;b< berarti X dan Y bebas stokastik.

Soal (atihan )an *a+a"an

1. Kotak : berisi 1# buah kaset terdiri atas ! buah kaset lagu berbahasa Indonesia dan  buah kaset lagu berbahasa :sing. Kotak & berisi 1" buah kaset terdiri atas ! buah kaset lagu berbahasa Indonesia dan 4 buah kaset lagu berbahasa :sing. Kotak = berisi 14 buah kaset terdiri atas > buah kaset lagu berbahasa Indonesia dan # buah kaset lagu berbahasa :sing. &erapakah peluang kaset yang terambil itu berisi lagu berbahasa Indonesia'

Penyelesaian:

(alam soal ini kita akan melakukan dua eksperimen sebagai berikut) a. *emilih 1 dari 3 kotak.

b. *engambil 1 buah kaset yang mungkin berisi lagu berbahasa Indonesia atau berbahasa :sing.

+eluang mengambil 1 kotak dari 3 kotak se%ara random adalah 1 3 .

adi, peluang terambil kotak :  peluang terambil kotak &  peluang terambil kotak =. (ari kotak : yang berisi 1# buah kaset, ! di antaranya kaset lagu berbahasa Indonesia.

+eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah 8

15 dan peluang terambil

kaset lagu berbahasa :sing adalah 7 15 .

(11)

(ari kotak & yang berisi 1" buah kaset, ! di antaranya kaset lagu berbahasa Indonesia.

kaset lagu berbahasa :sing adalah 4 12 .

(ari kotak = yang berisi 14 buah kaset, > di antaranya kaset lagu berbahasa Indonesia.

kaset lagu berbahasa :sing adalah 5 14 . Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut)

+eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak : adalah 1 3 x 8 15

=

8 45

+eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak & adalah 1 3 x 8 12

=

8 36

=

2 9

+eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak = adalah 1 3 x 9 14

=

9 42

=

3 14

+eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak :  peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari

kotak &  peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak =. 8 45

+

2 9

+

4 14

=

216 315 7 1 1 1

kaset lagu berbahasa

kaset lagu berbahasa :sing kaset lagu berbahasa :sing

kaset lagu berbahasa kaset lagu berbahasa :sing

kaset lagu berbahasa

1 3 1 3 1 3 Kotak : 1 Kotak & Kotak =

(12)

adi, peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah

216 315 .

". :ndi mempunyai tiga buah kotak yang masing-masing berisi lampu. Kotak 1 berisi 10 lampu, dengan 4 lampu di antaranya sudah rusak. Kotak " berisi  lampu, dengan 1 lampu di antaranya sudah rusak. Kotak 3 berisi ! lampu, dengan 3 lampu di antaranya sudah rusak. Sebuah kotak dipilih se%ara a%ak, kemudia sebuah lampu diambil se%ara a%ak dari kotak yang telah terpilih itu. &erapa peluang lampu yang terambil adalah lampu yang sudah rusak'

Penyelesaian:

(alam soal ini kita akan melakukan dua eksperimen sebagai berikut) a. *emilih 1 dari 3 kotak.

b. *engambil 1 lampu yang mungkin berisi lampu yang sudah rusak atau masih ber6ungsi.

+eluang mengambil 1 kotak dari 3 kotak se%ara random adalah 1 3 .

adi, peluang terambil kotak :  peluang terambil kotak &  peluang terambil kotak =. (ari kotak 1 yang berisi 10 lampu, 4 di antaranya sudah rusak. +eluang terambil lampu

yang sudah rusak adalah 4

10 dan peluang terambil lampu yang masih ber6ungsi adalah

6 10 .

(ari kotak " yang berisi  lampu, 1 di antaranya sudah rusak. +eluang terambil lampu

5 6 .

(13)

(ari kotak 3 yang berisi ! lampu, 3 di antaranya sudah rusak. +eluang terambil lampu

5 8 .

Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut)

+eluang terambil lampu yang sudah rusak dari kotak 1 adalah 1 3 x 4 10

=

4 30

=

2 15

+eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak " adalah 1 3 x 1 6

=

1 18

+eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak 3 adalah 1 3 x 3 8

=

3 24

=

1 8

+eluang lampu yang sudah rusak adalah peluang terambil lampu yang sudah rusak a dari kotak 1  peluang terambil lampu yang sudah rusak dari kotak "  peluang lampu yang sudah rusak dari kotak 3.

2 15

+

1 18

+

1 8

=

339 1080

adi, peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah

339 1080 .

3. 9ungsi peluang gabungan dari  dan 5 berbentuk) p

(

x , y

)

=

k x2 y2; x

=

1,2 _{dan y}

=

1,2

(engan  dan 5 merupakan peubah a%ak yang bebas stokastik. &era pakah nilai k ' Penyelesaian:

6 1 3 5 6 1 6

?ampu yang sudah rusak

?ampu yang masih ber6ungsi ?ampu yang masih ber6ungsi

?ampu yang sudah rusak ?ampu yang masih ber6ungsi

?ampu yang sudah rusak

1 3 1 3 1 3 Kotak 1 5 8 Kotak " Kotak 3

(14)

p₁

(

x

)

=

∑

y=1 2

(

k x2 y2

)

p1

(

x

)

=

k x 2

(

1

+

4

)

p1

(

x

)

=

k x 2

₍

5

)

p1

(

x

)

=

5k x 2 adi, p1

(

x

)

=

5k x 2 ; x

=

1,2

(

y

)

=

∑

x=1 2

(

k x2 y2

)

p2

(

y

)

=

k y 2

₍

1

+

4

)

p2

(

y

)

=

k y 2

(

5

)

p2

(

y

)

=

5k y 2 adi, p2

(

y

)

=

5k y 2 ; y

=

1,2

Karena peubah a%ak  dan 5 bebas stokastik maka p

(

x , y

)

=

p1

(

x

)

. p2

(

y

)

, sehingga

k x2 y2

=

5k x2.5k y2 _{. ika diambil}

(

x , y

)

=(

1,1

)

_{, maka} k

(

1

) (

1

)

=

5k

(

1

)

.5k

(

1

)

k

=

25k 2 k k 2

=

25 1 k

=

25 k

=

1 25

adi, nilai k yang memenuhi p

(

x , y

)

=

k x2 y2; x

=

1,2 dan y

=

1,2 adalah 1 25 .

4. 9ungsi peluang gabungan dari  dan 5 berbentuk) p

(

x , y

)

=

1

25 x

2

y2; x

=

1,2 _{dan y}

=

1,2 Tentukan

(

X ≥1,Y

<

2

)

@

Penyelesaian:

(15)

9ungsi peluang marginal dari  adalah) p₁

(

x

)

=

∑

y=1 2

(

1 25 x 2 y2

)

p1

(

x

)

=

1 25 x 2

(

1

+

4

)

p1

(

x

)

=

1 25 x 2

(

5

)

p₁

(

x

)

=

1 5 x 2 adi, p1

(

x

)

=

1 5 x 2 ; x

=

1,2

(

y

)

=

∑

x=1 2

(

1 25 x 2 y2

)

p2

(

y

)

=

1 25 y 2

(

1

+

4

)

p2

(

y

)

=

1 25 y 2

(

5

)

p2

(

y

)

=

1 5 y 2 adi, p2

(

y

)

=

1 5 y 2 ; y

=

1,2 p

(

X ≥1,Y

<

2

)

=

p₁

(

X ≥1

)

. p₂

(

Y

<

2

)

p

(

X ≥1,Y

<

2

)

=

1 5 x 2 . 1 5 y 2 p

(

X ≥1,Y

<

2

)

=

1 5

(

1

+

4

)

. 1 5

(

1

)

p

(

X ≥1,Y

<

2

)

=

1.1 5 p

(

X ≥1,Y

<

2

)

=

1 5

adi, p

(

X ≥1,Y

<

2

)

pada 6ungsi peluang gabungan p

(

x , y

)

=

1 25 x 2 y2; x

=

1,2 _dan y

=

1,2 _adalah 1 5 .

(16)

#. 9ungsi densitas gabungan dari  dan 5 berbentuk) f

(

x , y

)

=

(

4

35

)

xy ;1

<

x

<

4,1

<

y

<

4

¿

0_{; x , y lainnya.} :pakah X dan Y bebas stokastik'

Penyelesaian:

g

(

x

)

=

∫

−∞ ∞ f

(

x , y

)

dy

¿

∫

−∞ 1 f

(

x , y

)

dy

+

∫

1 4 f

(

x , y

)

dy

+

∫

4 ∞ f

(

x , y

)

dy

¿

∫

−∞ 1 0dy

+

∫

1 4

(

4 35

)

xy dy

+

∫

₄ ∞ 0dy

¿

0

+

{

(

4 35

)(

1 2

)

x y 2

}

]

y=1 4

+

0 g

(

x

)

=

(

6 7

)

x adi, g

(

x

)

=

(

6 7

)

x ;1

<

x

<

4

¿

0_{; x lainnya.}

(

y

)

=

∫

−∞ ∞ f

(

x , y

)

dx

¿

∫

−∞ 1 f

(

x , y

)

dx

+

∫

1 4 f

(

x , y

)

dx

+

∫

4 ∞ f

(

x , y

)

dx

¿

∫

−∞ 1 0dx

+

∫

1 4

(

4 35

)

xy dx

+

∫

₄ ∞ 0dx

¿

0

+

{

(

4 35

)(

1 2

)

x 2 y

}

]

x=1 4

+

0 h

(

y

)

=

(

6 7

)

y

(17)

adi, h

(

y

)

=

(

6 7

)

y ;1

<

y

<

4

¿

(

x

)

. h

(

y

)

=

(

6 7

)

x .

(

6 7

)

y

¿

(

36 49

)

xy

Ternyata f

(

x , y

)

≠ g

(

x

)

. h

(

y

)

, karena

(

4

35

)

xy ≠

(

36

49

)

xy

Sehingga X dan Y merupakan peubah a%ak yang tidak bebas stokastik atau bergantungan. . *isalkan 6ungsi peluang gabungan dari  dan 5 berbentuk)

f

(

x , y

)

=

(

1 16

)

x

3

y3;0

<

x

<

2,0

<

y

<

2

¿

0_{; x , y lainnya}

:pakah  dan 5 bebas stokastik' +enyelesaian)

Kita harus menentukan dahulu 6ungsi densitas marginal masing-masing dari  dan 5. 9ungsi peluang marginal dai  adalah)

g

(

x

)

=

∫

−∞ ∞ f

(

x , y

)

dy

¿

∫

−∞ 0 f

(

x , y

)

dy

+

∫

0 2 f

(

x , y

)

dy

+

∫

2 ∞ f

(

x , y

)

dy

¿

∫

−∞ 0 0dy

+

∫

0 2

(

1 16

)

(

x 3 y3

)

dy

+

∫

2 ∞ 0dy

¿

0

+

(

1 16

)

{

(

1 4

)

x 3 y4

}

]

y=0 2

+

0 4 x

(¿ ¿

3

)

g

(

x

)

=

(

1 16

)

¿

adi, 4 x

(¿¿

3

)

;0

<

x

<

2 g

(

x

)

=

(

1 16

)

¿

0_{; x lainnya}

(18)

h

(

y

)

=

∫

−∞ ∞ f

(

x , y

)

dx

¿

∫

−∞ 0 f

(

x , y

)

dx

+

∫

0 2 f

(

x , y

)

d x

+

∫

2 ∞ f

(

x , y

)

dx x

(

1 16

)

(¿¿

3 y 3

)

d x

+

∫

2 ∞ 0d x

¿

∫

−∞ 0 0d x

+

∫

0 2

¿

x

(¿¿

4 y3

)

(

1 4

)

¿

{

_¿

]

¿

0

+

(

1 16

)

¿

h

(

y

)

=

(

1 16

)

(

4 y 3

)

adi, h

(

y

)

=

(

1 16

)

(

4 y 3

)

;0

<

y

<

2

¿

0_{; x lainnya} *aka) 4 x 4 y x

(¿ ¿

3 y3

)

(¿¿

3

)=

(

1 16

)

¿

(¿¿

3

)

.

(

1 16

)

¿

g

(

x

)

. h

(

y

)=

(

1 16

)

¿

Ternyata f

(

x , y

)

=

g

(

x

)

. h

(

y

)

, karena

x x

(¿¿

3 y3

)

(¿¿

3 y3

)=

(

1 16

)

¿

(

1 16

)

¿

(19)

*aka  dan 5 dikatakan dua peubah a%ak yang bebas stokastik.

. 9ungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk) f

(

x , y

)

=

kxy;0

<

x

<

1,0

<

y

<

1

¿

(engan  dan 5 merupakan peubah a%ak yang bebas stokastik. &era pakah nilai k ' Penyelesaian:

g

(

x

)

=

∫

−∞ ∞ f

(

x , y

)

dy

¿

∫

−∞ 0 f

(

x , y

)

dy

+

∫

0 1 f

(

x , y

)

dy

+

∫

1 ∞ f

(

x , y

)

dy

¿

∫

−∞ 0 0dy

+

∫

0 1

(

kxy

)

dy

+

∫

1 ∞ 0dy

¿

0

+

{

1 2 k y 2 x

}

]

y=0 1

+

0 g

(

x

)

=

1 2 kx adi, g

(

x

)

=

1 2 k x ;0

<

x

<

1

¿

0_{; x lainnya.}

(

y

)

=

∫

−∞ ∞ f

(

x , y

)

dx

¿

∫

−∞ 0 f

(

x , y

)

dx

+

∫

0 1 f

(

x , y

)

dx

+

∫

1 ∞ f

(

x , y

)

dx

¿

∫

−∞ 0 0dx

+

∫

0 1

(

kxy

)

dx

+

∫

1 ∞ 0dx

¿

0

+

{

1 2 k x 2 y

}

]

x=0 1

+

0 h

(

y

)

=

1 2ky adi, h

(

y

)

=

1 2ky ;0

<

y

<

1

(20)

¿

0_{; y lainnya.}

Karena peubah a%ak  dan 5 bebas stokastik maka f

(

x , y

)

=

g

(

x

)

. h

(

y

)

, sehingga

kxy

=

1 2 kx . 1 2ky . ika diambil

(

x , y

)

=(

1 2, 1 2

)

, maka k

(

1 2

)(

1 2

)

=

1 2 k

(

1 2

)

. 1 2k

(

1 2

)

1 4 k

=

1 16 k 2 k k 2

=

4 16 1 k

=

1 4 k

=

4