YAYASAN TARAKANITA WILAYAH BENGKULU
SEKOLAH MENENGAH ATAS ( SMA ) SINT CAROLUS
TERAKREDITASI ” A ” (UNGGUL)
JL. Kapuas Raya No. 73 Lingkar Barat Bengkulu Telepon : ( 0736 ) 22475 e-mail : smacbkl@gmail.com
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Oleh : Rosalia Widi Lumantari, S.Pd.,Gr.
Satuan Pendidikan : SMA SINT CAROLUS Mata pelajaran : Matematika
Materi Pokok : Induksi Matematika Kelas/Semester : XI / Ganjil
Program : MIPA/IPS
Alokasi Waktu : 6 JP/ 3 x pertemuan
A. Kompetensi Inti
KI-3 : Memahami, menerapkan, menganalisis dan mengevaluasi pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif pada tingkat teknis, spesifik, detil, dan kompleks berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah KI-4 : Menunjukkan keterampilan menalar, mengolah, dan menyaji secara: efektif, kreatif, produktif, kritis, mandiri, kolaboratif, komunikatif, dan solutif, dalam ranah konkret dan abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta mampu menggunakan metoda sesuai dengan kaidah keilmuan.
B. Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi
KOMPETENSI DASAR DARI KI 3 KOMPETENSI DASAR DARI KI 4 3.1 Menjelaskan metode pembuktian
pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika
4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian
INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI (IPK) DARI KD 3.1
INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI (IPK) DARI KD 4.1
3.1.3. Menjelaskan prinsip induksi matematika
4.1.2. Membuktikan formula keterbagian bilangan dengan prinsip induksi matematika
4.1.3. Membuktikan formula bentuk
ketidaksamaan bilangan dengan prinsip induksi.
C. Tujuan Pembelajaran
Melalui kegiatan pembelajaran dengan pendekatan saintifik dengan model Problem Based Learning yang dipadukan dengan metode diskusi,
1. Peserta didik mampu menjelaskan prinsip induksi matematika dengan benar 2. Peserta didik mampu membuktikan formula keterbagian bilangan dengan prinsip
induksi matematika dengan tepat
3. Peserta didik mampu membuktikan formula bentuk ketidaksamaan bilangan dengan prinsip induksi dengan tepat
dengan sikap religiositas, mandiri, rasa ingin tahu, berpikir kritis, dan gotong royong.
D. Materi Pembelajaran 1. Faktual
• Prinsip induksi matematika lemah dan kuat
• Pembuktian dengan menggunakan prinsip induksi matematika
• Logika matematika.
2. Konsep : Nilai kebenaran, pernyataan matematis bilangan asli 3. Prinsip : Induksi matematika
4. Prosedur
• Langkah awal buktikan untuk 𝑛 = 1, kemudian langkah induksi matematika buktikan untuk 𝑛 = 𝑘 benar maka akan ditunjukan benar pula untuk 𝑛 = 𝑘 + 1. Bila langkah 1 dan 2 terbukti maka formula bernilai benar.
• Langkah awal buktikan untuk 𝑛 = 𝑚 ; 𝑚 > 1, kemudian langkah induksi matematika mengasumsikan untuk 𝑛 = 𝑘 ; 𝑘 > 𝑚 benar, maka akan
ditunjukan benar pula untuk nilai 𝑛 = 𝑘 + 1. Bila langkah 1 dan 2 terbukti maka formula bernilai benar
E. Metode Pembelajaran
Model Pembelajaran : Langsung (Direct Instruction) Metode : Ekspository
F. Media Pembelajaran
Media/Alat dan bahan
❖ Worksheet atau lembar kerja peserta didik (LKPD)
❖ Lembar penilaian
❖ Spidol, papan tulis
❖ Buku cetak (Kemendikbud dan Platinum)
G. Sumber Belajar
1. Bornok Sinaga, dkk. 2017. Buku Siswa Matematika Kelas XI Revisi Tahun 2017. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.
2. Bornok Sinaga, dkk. Buku Guru Matematika Kelas XI Revisi Tahun 2017.
Jakarta: P usat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.
3. Sukino. Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI Semester 1 Kelompok Wajib 2016. Jakarta : Erlangga.
4. Buku atau sumber lain yang relevan
H. Langkah-Langkah Pembelajaran
Kegiatan Pendahuluan Guru :
1. Melakukan pembukaan dengan salam pembuka, dan berdoa untuk memulai pembelajaran
2. Memeriksa kehadiran peserta didik sebagai sikap disiplin
3. Menyiapkan fisik dan psikis peserta didik dalam mengawali kegiatan pembelajaran.
Aperpepsi
4. Mengaitkan mengenai materi prasyarat yang berhubungan dengan materi yang akan di pelajari pada hari ini, yaitu tentang sifat-sifat pembagian dan ketaksamaan aljabar serta prinsip induksi matematika yang telah dipelajari pada pertemuan sebelumnya.
Pemberian Acuan
5. Memberitahukan materi pelajaran yang akan dibahas pada pertemuan saat itu.
6. Memberitahukan tentang kompetensi dasar dan indikator pencapaian komptensiyang akan dicapai pada pertemuan yang berlangsung
Kegiatan Inti Sintak Model
Pembelajaran Kegiatan Pembelajaran
Presentasi (penyampaian materi)
1. Guru memberikan materi pembelajaran, yaitu mengingatkan ulan mengenai prinsip induksi matematika lemah dan kuat. Menjelaskan langkah-langkah pembuktian menggunakan prinsip induksi matematika.
2. Guru memberikan contoh pembuktian dengan menggunakan prinsip induksi matematika dengan mengajarkan logika berfikir dalam memanipulasi suatu pertidaksamaan dan keterbagian. Conoh yanag diberikan sebagai berikut:
1. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa 3𝑛 > 2𝑛+ 10𝑛, berlaku untuk 𝑛 ≥ 4
2. Apakah 𝑎2𝑛− 𝑏2𝑛 habis dibagi (𝑎 + 𝑏)?
3. Guru memberikan penekanan penjelasan pada hal-hal yang sulit dan bersifat konsep/prinsip dan menanyakan kepada siswa apakah materi yang disampaikan dapat dipahami dengan baik atau belum. Jika belum guru menjelaskan ulang pada bagian materi yang belum dipahami siswa. Bila siswa sudah merasa paham, guru mengecek pemahaman siswa dengan menujuk salah satu atau 2 siswa untuk menjelaskan terkait materi yang disampaikan. Misalnya, penjelasan mengenai langkah 1 ke langkah 2 dan sebagainya.
4. Siswa berdiskusi dan menyusun hipotesis tentang permasalahan pada kegiatan 1 dan 2
5. Siswa membuktikan kebenaran hipotesis yang telah disusun pada kegiatan 1 dan 2 dengan menyelesaikan kegiatan 1 dan 2
6. Guru memberikan kesempatan kepada masing-masing perwakilan kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusi kelompoknya.
7. Kelompok lain memberikan tanggapan atau bertanya mengenai hasil presentasi jika ada yang tidak paham.
Latihan terstruk
8. Guru memandu siswa untuk melakukan latihan-latihan yang dibahas bersama-sama dengan siswa di papan tulis. Peran guru yang penting dalam fase ini adalah memberikan umpan balik terhadap respon siswa dan memberikan penguatan terhadap respon siswa yang benar dan mengoreksi respon siswa yang salah.
Latihan terbimbing
9. Guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk berlatih dengan membentuk kelompok kerja dalam membuktikan ketaksamaan dan keterbagian suatu bilangan asli menggunakan prinsip induksi matematika dipandu dengan LKPD yang sudah disiapkan oleh guru.
Pada fase ini peran guru adalah memonitor dan memberikan bimbingan jika diperlukan
Latihan mandiri
10. Pada fase ini guru memberikan soal latihan mandiri yang diambil dari buku pegangan siswa dengan memperhatikan tingkat kesulitan soal (C2, C3, C4). Hal ini dilakukan untuk mengetahui tingkat pemahaman dan penalaran siswa
Kegiatan Penutup Peserta didik :
1. Membuat resume tentang point-point penting yang muncul dalam kegiatan pembelajaran tentang materi pembuktian keterbagian suatu bilangan dan pembuktian ketidaksamaan dengan menggunakan induksi matematika.
2. Mengagendakan pekerjaan rumah untuk materi pembuktian keterbagian suatu
bilangan dan pembuktian ketidaksamaan untuk memperkuat pemahan siswa.
Guru :
3. Memberikan informasi tentang materi yang akan disampaikan pada pertemuan yang akan datang.
Tahap Langkah-langkah (Uraian) Kegiatan pembelajaran
(1) (2)
PENDAHULUAN (10 MENIT)
1. Menyanyikan lagu Indonesia Raya bersama-sama untuk mengembangkan rasa cinta tanah air.
2. Berdoa menurut kepercayaan masing-masing sebelum pembelajaran dimulai untuk mesyukuri anugerah Tuhan dan mohon pendampingan selama proses pembelajaran. [religiositas]
3. Mengkondisikan suasana belajar yang menyenangkan (mengecek kehadiran peserta didik, mengecek kebersihan kelas)
4. Guru mengajak peserta didik mengingat kembali mengenai determinan dan invers matriks
KEGIATAN INTI (70 MENIT)
Ulangan Harian 1 1. Peserta didik diminta untuk menyiapkan kertas ulangan dan peralatan tulis secukupnya di atas meja karena akan diadakan ulangan harian.
2. Peserta didik diberikan lembar soal ulangan harian. (bagian kanan dan kiri berbeda soal)
3. Peserta didik diingatkan mengenai waktu pengerjaan soal ulangan harian, serta diberi peringatan bahwa ada sanksi bila peserta didik mencontek.
4. Guru mengumpulkan kertas ulangan jika waktu pengerjaan soal ulangan harian telah selesai
PENUTUP (10 MENIT)
1. Guru menjelaskan kepada peserta didik apabila ada menemukan kesulitan dalam mengerjakan soal.
2. Peserta didik diingatkan untuk mempelajari bab berikutnya mengenai transformasi.
Memberi salam I. Penilaian
1. Penilaian Sikap
a. Teknik penilaian : Observasi : sikap religios dan sikap sosial b. Bentuk penilaian : lembar pengamatan
c. Instrumen penilaian : jurnal (terlampir) 2. Penilaian Pengetahuan
a. Jenis/Teknik tes : tertulis, lisan, dan penugasan b. Bentuk tes : uraian
c. Instrumen Penilaian (terlampir) 3. Penilaian keterampilan
a. Teknik/Bentuk Penilaian : lembar kerja kelompok b. Instrumen Penilaian (terlampir)
4. Remedial
a. Pembelajaran remedial dilakukan bagi peserta didik yang capaian KD nya belum tuntas.
b. Tahapan pembelajaran remedial dilaksanakan melalui remidial teaching (klasikal), atau tutor sebaya, atau tugas dan diakhiri dengan tes.
c. Apabila tes remedial telah dilakukan namun peserta didik belum mencapai ketuntasan, maka remedial dilakukan namun peserta didik belum mencapai ketuntasan, maka remedial dilakukan dalam bentuk tugas tanpa tes tertulis kembali.
5. Pengayaan
Bagi Peserta didik yang sudah mencapai nilai ketuntasan diberikan pembelajaran pengayaan sebagai berikut:
a. Siwa yang mencapai nilai n(ketuntasan)nn(maksimum) diberikan materi masih dalam cakupan KD dengan pendalaman sebagai pengetahuan tambahan.
b. Siwa yang mencapai nilai n n(maksimum) diberikan materi melebihi cakupan KD dengan pendalaman sebagai pengetahuan tambahan.
Mengetahui Bengkulu, 1 Juli 2022
Kepala SMA Sint Carolus Guru Mata Pelajaran,
RJ. Sulistyanta, S.Pd. Rosalia Widi Lumantari, S.Pd.,Gr
Email : rosalialumantari65@guru.sma.belajar.id
LAMPIRAN INSTRUMEN PENILAIAN
A. INSTRUMEN PENILAIAN SIKAP
INTRUMEN PENILAIAN SIKAP Nama Satuan pendidikan : SMA SINT CAROLUS Tahun pelajaran : 2020/2021
Kelas/Semester : XI / semester 1 Mata Pelajaran : Matematika N
O WAKTU NAMA KEJADIAN/
PERILAKU
BUTIR SIKAP
POS/
NEG TINDAK LANJUT 1
2 3 4 5
B. INSTRUMEN PENILAIAN PENGETAHUAN & KETERAMPILAN INSTRUMEN TES TERTULIS
Nama Satuan pendidikan : SMA SINT CAROLUS Tahun pelajaran : 2020/2021
Kelas/Semester : XI / semester 1 Mata Pelajaran : Matematika
KKM : 75
UJI KOMPETENSI
No INDIKATOR SOAL
1 4.1.1 Menggunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan
ketidaksamaan
1. Apakah 1 + 1
22+ 1
32+ ⋯ + 1
𝑛2 < 2 −1
𝑛 untuk setiap n bilangan bulan 𝑛 ≥ 2?
2. Untuk sembarang bilangan asli, buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa 𝑛! ≥ 2𝑛.
2 4.1.2 Menggunaka prinsip induksi matematika untuk membuktikan keterbagian suatu bilangan
1. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa bilangan (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) habis dibagi (𝑎 − 𝑏)
2. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa bilangan 32𝑛+ 22𝑛+2 habis dibagi 5
RUBRIK PENILAIAN KETERAMPILAN
No. JAWABAN SKOR
1.
Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa 3𝑛 > 2𝑛 + 10𝑛, berlaku untuk 𝑛 ≥ 4
Langkah awal :
1. jika P(n) adalah kalimat terbuka 3𝑛 > 2𝑛+ 10𝑛, Akan ditunjukkan P(n) benar untuk 𝑛 = 𝑚 ; 𝑚 = 4
34 > 24+ 10(4) 81 > 56
Langkah induksi matematika :
2. Asumsikan ∀ 𝑘 ≥ 𝑚, 𝑘 ∈ Ν. Jika 𝑝(𝑘) benar.
3𝑘 > 2𝑘+ 10𝑘 ……… benar
maka akan ditunjukkan benar pula 𝑝(𝑘 + 1) = 3𝑘+1 > 2𝑘+!+ 10(𝑘 + 1) benar.
Karena 3𝑘 > 2𝑘+ 10𝑘 benar, maka berlaku
(3)(3𝑘) >3[2𝑘+ 10𝑘] Kedua ruas dikali 3 3𝑘+1 > 3.2𝑘+ 30𝑘
3𝑘+1 > 3.2𝑘+ 30𝑘 > 2𝑘+ 2.2𝑘− 2𝑘+ 30𝑘− 20𝑘 + 10
Sifat transitif
ketaksamaan 𝑎 < 𝑏 <
𝑐 maka 𝑎 < 𝑐 3𝑘+1 > 2𝑘+1+ 10𝑘 + 10
3𝑘+1 > 2𝑘+1+ 10(𝑘 + 1) Terbukti
Telah ditunjukkan benar untuk langkah 1 dan 2, maka dapat disimpulkan terbukti bahwa 3𝑛 > 2𝑛+ 10𝑛, berlaku untuk 𝑛 ≥ 4
25
2.
Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa 𝑛! ≥ 2𝑛, ∀ 𝑛 ∈ Ν ; n ≥ 4
Langkah awal :
1. jika P(n) adalah kalimat terbuka 𝑛! > 2𝑛, Akan ditunjukkan P(n) benar untuk 𝑛 = 𝑚 ; 𝑚 = 4
4! ≥ 24 24 ≥ 16
Langkah induksi matematika :
2. asumsikan benar untuk 𝑃(𝑘) = 𝑘! > 2𝑘, benar. Maka akan ditunjukkan benar
pula untuk 𝑃(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)! > 2𝑘+1
𝑘! > 2𝑘 Dari asumsi
𝑘! (𝑘 + 1) > 2𝑘(𝑘 + 1) Kedua ruas dikali 𝑘 + 1 (𝑘 + 1)! > 2𝑘(𝑘 + 1)
(𝑘 + 1)! > 𝑘(2𝑘) + 2𝑘 > 2𝑘+ 2𝑘 Sifat transitif pada ketaksamaan 𝑎 < 𝑏 <
𝑐 maka 𝑎 < 𝑐 (𝑘 + 1)! > 2𝑘+ 2𝑘
(𝑘 + 1)! > 2(2𝑘)
(𝑘 + 1)! > 2𝑘+1 Terbukti
Telah ditunjukkan pada langkah 1 dan 2 maka dapat disimpulkan terbukti bahwa 𝑛! ≥ 2𝑛, ∀ 𝑛 ∈ Ν ; n ≥ 4.
3.
Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa bilangan (𝑎𝑛− 𝑏𝑛) habis dibagi (𝑎 − 𝑏)
Langkah awal:
1. Akan ditunjukkan benar untuk n=1 (𝑎1− 𝑏1) habis dibagi (𝑎 − 𝑏) (𝑎 − 𝑏) habis dibagi (𝑎 − 𝑏)
……….Benar 2. Asumsikan benar untuk 𝑛 = 𝑘
(𝑎𝑘− 𝑏𝑘) habis dibagi (𝑎 − 𝑏) maka akan ditunjukkan benar pula untuk 𝑛 = 𝑘 + 1
(𝑎𝑘+1− 𝑏𝑘+1) = (𝑎𝑘× 𝑎1) − (𝑏𝑘× 𝑏1) = 𝑎𝑎𝑘− 𝑏𝑏𝑘
= 𝑎. 𝑎𝑘− 𝑎𝑏𝑘+ 𝑎𝑏𝑘− 𝑏. 𝑏𝑘 = 𝑎(𝑎𝑘− 𝑏𝑘) + 𝑏𝑘(𝑎 − 𝑏)
Karena (𝑎 − 𝑏) dan (𝑎𝑘− 𝑏𝑘) habis dibagi (𝑎 − 𝑏) maka kelipatan nya juga pasti Habis dibagi (a-b)
Berdasarkan asumsi, habis dibagi (a-b)
habis dibagi (𝑎 − 𝑏). Maka berdasarkan pembuktian (1) dan (2) maka dapat dapat ditarik kesimpulan bahwa (𝑎𝑛− 𝑏𝑛) habis dibagi (𝑎 − 𝑏) terbukti.
4.
Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa bilangan 32𝑛+ 22𝑛+2 habis dibagi 5
Langkah awal :
1. Akan ditunjukkan benar untuk 𝑛 = 1
32(1)+ 22(1)+2 = 9 + 16 = 25 habis dibagi 5 ……… benar Langkah induksi matematika :
2. Asumsikan benar untuk 𝑛 = 𝑘
(32𝑘+ 22𝑘+2) = 32𝑘 + 4(22𝑘) habis dibagi 5. Maka akan ditunjukkan benar pula untuk
𝑛 = 𝑘 + 1
32(𝑘+1)+ 22(𝑘+1)+2 = 32𝑘+2+ 22𝑘+4
= 32𝑘× 32+ 22𝑘 × 24
= 9(32𝑘) + 16(22𝑘)
= 9(32𝑘) + 16(32𝑘) − 16(32𝑘) + 16(22𝑘)
= (9 + 16)(32𝑘) − 16(32𝑘− 22𝑘)
= 25(32𝑘) + 4(−4(32𝑘) + 4(22𝑘))
= 4(−4(32𝑘) − (32𝑘) + (32𝑘) + 4(22𝑘))
= 4(−4(32𝑘) − (32𝑘))
= −20(32𝑘)
berdasarkan pembuktian (1) dan (2) maka dapat dapat ditarik kesimpulan bahwa (32𝑛− 22𝑛+2) habis dibagi 5 terbukti.
25
TOTAL SKOR 100
Habis dibagi (5)
Berdasarkan asumsi, (32𝑘) + 4(22𝑘)habisdibagi 5
Habis dibagi (5)
